Números doblemente triangulares

Se llaman así a aquellos números triangulares cuyo orden es también triangular. Los designaremos como DT. Si un número triangular de orden N se define como N(N+1)/2, en estos números, N también es triangular, por ejemplo m(m+1)/2, con lo que, sustituyendo queda:

DT(m)=(m(m+1)/2)(m(m+1)/2+1)/2=m(m+1)(m²+m+2)/8

Esta es la fórmula utilizada en su publicación en OEIS:

Como un número triangular es suma de los primeros números consecutivos, estos doblemente triangulares han de equivaler a una suma de ese tipo en el que el número de sumandos sea triangular. Esto se visualiza muy bien en el triángulo de Floyd:

1

2   3

4   5   6

7   8   9   10

11 12 13 14 15

Si se van sumando los números fila a fila nos resultarán, 1, 6, 21, 55, 120,…los doblemente triangulares.

Para generarlos con hoja de cálculo basta crear una columna con los primeros números naturales, otra paralela con los triangulares  y, por último, copiar la fórmula de la segunda en otra tercera:

La última fórmula se incluye para aclarar, pero en la hoja coincide con la segunda con órdenes distintos. Así:

Se observa que las dos columnas poseen la misma fórmula. Por eso estos números son doblemente triangulares.

Relación con números combinatorios

Como también los números triangulares de orden N equivalen al número combinatorio C(N+1,2), que cuenta el número de pares de elementos de un conjunto de cardinal N+1, sin repetición, el número doblemente triangular contará el “número de pares de pares”. Así, se puede expresar también como

En lenguaje de hoja de cálculo tendríamos:

DT(N)=COMBINAT(COMBINAT(N+1;2)+1;2)

Escribe en una hoja =COMBINAT(COMBINAT(12;2)+1;2) y te resultará 2211, el número doblemente triangular de orden 11.

Colores en un cuadrado

Esta idea de “pares de pares” la visualiza Wikipedia en las formas de colorear las diagonales de un cuadrado si se consideran iguales las que surgen de rotaciones o simetrías. En la imagen figuran los pares de colores arriba y a la izquierda, mientras los “pares de pares” figuran en el centro:

 

 

Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Doubly_triangular_number

Este esquema de colores se puede reproducir con nuestra herramienta Cartesius,

(http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

si representamos las combinaciones de colores con números de dos cifras. El planteo puede ser el siguiente:

Combinamos pares de pares, representando los colores por 11, 12,…33 y exigiendo que sea creciente cada arreglo para que no se repitan los pares (de pares). El resultado es:

En la parte derecha de la hoja se reflejará el total, el número doblemente triangular 21.

En OEIS se propone esta otra fórmula con números combinatorios:

 DT(n)=3*(n+2)*(n+1)*n*(n-1)/24+n(n+1)/2=n(n+1)(n²+n+2)/8

Esta igualdad se verifica muy bien en WolframAlpha:

https://www.wolframalpha.com/

También Mitch Harris, Oct 17 2006 y Bruce J. Nicholson proponen esta otra expresión con números combinatorios:

También se puede verificar algebraicamente. Antes hemos sustituido los números combinatorios por su expresión respecto a n:

https://www.wolframalpha.com/

Aportación nuestra

Para n>=2, a(n) es la suma de dos números triangulares de esta forma:

DT(n)=T(n(n+1)/2)=T(n)+T((n^2+n-2)/2)

Esto es debido a la identidad:

n*(n+1)*(n^2+n+2)/8=n*(n+1)/2+(n^2+n-2)*(n^2+n)/8)

También la hemos verificado en https://www.wolframalpha.com/

La idea nos surgió al descubrir las coincidencias con la sucesión de números triangulares que son suma de triangulares. Puedes consultar nuestra entrada

https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/04/sumandos-con-el-mismo-caracter-que-la.html

Así, por ejemplo, 21=6+15, 55=10+45, 120=15+105,…

En realidad, no es necesario acudir al Álgebra. La siguiente imagen representa muy bien esta descomposición:

En ella observamos que el triangular 21, de orden 6 (también triangular) se convierte en otro triangular al separarle el lado. Por tanto, 21 es la suma de dos triangulares, su lado, que es 6 y el triangular residual, 15.

Con sus fórmulas:

6*7/2=3*4/2+5*6/2

 

 

 

Propiedades compartidas con el doble

Hace poco descubrí que el número 15561 y su doble, 31122, comparten la propiedad de ser ambos suma de dos cubos enteros positivos:

15561=17^3+22^3 y 31122=15561*2=11^3+31^3

¿Ocurrirá esta casualidad en otros números? ¿Habrá más coincidencias entre un número y su doble? Estas cuestiones las desarrollaremos hasta que la falta de interés o el espacio aconsejen parar.

Coincidencia en suma de cubos

Para encontrar números con la misma propiedad que el 15561 deberemos investigar, en primer lugar, qué números son suma de dos cubos enteros positivos. Es de esperar que sean muchos, y los encontraremos (en hoja de cálculo) con esta función:

Public Function sumadoscubos$(n) ‘Construye un texto

Dim i, r, t, w

Dim s$

s = "" ‘Si no hay solución, variable s queda vacía

r = Int(n ^ (1 / 3)) ‘Tope para la búsqueda

For i = 1 To r ‘Búsqueda del primer cubo

t = n - i ^ 3 ‘Posible segundo cubo

w = t ^ (1 / 3)

If escubo(t) And t > 0 Then s = s + Str$(i) + ", " + Str$(t ^ (1 / 3)) ‘Si es un cubo positivo, tenemos solución

Next i

sumadoscubos = s

End Function

Con ella obtenemos los primeros números que son suma de cubos:

No hemos impedido que aparezcan dos soluciones simétricas, porque eso simplifica el algoritmo.

Hemos usado nuestra función ESCUBO

Function escubo(n)

Dim a

a = Int(n ^ (1 / 3) + 10 ^ (-6))

If a * a * a = n Then escubo = True Else escubo = False

End Function

Estos números están publicados en http://oeis.org/A003325

Si ahora exigimos que el doble de esos números también presente la misma propiedad, obtendremos este listado:

También están publicados estos números, y entre ellos figura 15561, que nos ha servido de ejemplo inicial.

(ver http://oeis.org/A191345)

En esta dirección de OEIS no se usa PARI, por lo que incluimos una propuesta:

doscubos(n)={my(i=1,t,s=0,r=truncate(n^(1/3)));while(i<=r&&s==0,t=n-i^3;if(ispower(t,3)&&t>=1,s=1);i+=1);s}

es(n)=doscubos(n)&&doscubos(2*n)

for(i=1,10^5,if(es(i),print1(i,", ")))

Si usamos la página web de PARI/GP obtendremos la misma sucesión:

Coincidencia con cuadrados de primos

Esta búsqueda es algo más complicada, porque hay que buscar dos cuadrados y además sus bases deberán ser números primos. Lo hemos intentado con esta función de VBA Basic, que determina los números que son suma de dos cuadrados de primos:

Public Function sumadoscuad_prim$(n)

Dim i, r, t, w, m

Dim s$

s = "" ‘Inicio de la solución

m = 0 ‘Inicio del contador

r = Sqr(n) ‘Tope de búsqueda

i = 2 ‘Primer primo

While i < r

t = n - i ^ 2 ‘Posible segundo cuadrado

w = Sqr(t)

If escuad(t) And esprimo(w) And i <= w Then m = m + 1: s = s + " # " + Str$(i) + ", " + Str$(w) ‘Encuentra una solución

i = primprox(i) ‘Siguiente primo

Wend

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " # " + s

sumadoscuad_prim = s

End Function

Están publicadas en http://oeis.org/A045636

Si ahora añadimos la condición de que también el doble de N sea suma de dos potencias de primos, resulta que solo encontramos dos ejemplos, 29 y 845:

Por si el no encontrar más se debiera a una carencia de la hoja de cálculo, hemos traducido esta búsqueda a PARI:

doscuadprim(n)={my(i=2,t,s=0,r=sqrtint(n));while(i<=r&&s==0,t=n-i^2;if(issquare(t)&&isprime(sqrtint(t)),s=1);i=nextprime(i+1));s}

es(n)=doscuadprim(n)&&doscuadprim(2*n)

for(i=1,10^4,if(es(i),print1(i,", ")))

Hemos insertado este código en la página oficial de PARI con el mismo resultado:

Hemos probado más allá de 10^6 sin obtener más resultados.

 Coincidencia en suma de triangulares

Esta búsqueda es más fácil que la anterior. Basta sustituir en la función de cubos de los primeros párrafos ESCUBO por ESTRIANGULAR, y algún detalle más, pero no se encuentran soluciones a la cuestión propuesta entre los números

Otros ejemplos

Con sumandos pertenecientes a la sucesión de Fibonacci resultan demasiadas soluciones, lo que le resta interés.

Con oblongos no se encuentran tampoco entre los primeros números.

Con primos, por la Conjetura de Goldbach, nos resultarían todos los números pares.

Lo dejamos aquí.

Concatenación bilateral de cifras (2)

 Extensión a otros tipos de números

En la anterior entrada creábamos números primos adosando a un número cualquiera la misma cifra bilateralmente, tantas veces como fuera necesario hasta conseguir un número primo. Ahora realizaremos estudios similares, pero buscando otro tipo de números.

 Cuadrados

Los cuadrados terminan en 0, 1, 4, 5, 6 y 9. Podríamos investigar la concatenación bilateral a un cuadrado en lugar de a un primo. Bastaría sustituir ESPRIMO por ESCUAD, función muy usada en este blog, o issquare en PARI. Las funciones son las mismas, pero con ese pequeño cambio. Para no cansar, adjuntaremos los primeros ejemplos que vayamos encontrando.

En una primera investigación observamos que no existen muchas soluciones, y que es preferible restringir nuestro estudio a un solo dígito, pues ese es el caso más frecuente, según se observa en esta primera tabla exploratoria:

Hemos encontrado las extensiones 121, 676 y 484, además de las triviales.

Parece conveniente diseñar una función nueva, a la que llamaremos extencuad, que añada a un número la misma cifra tanto a la izquierda como a la derecha. Para Excel podría ser esta:

Function extencuad(n)

Dim i, j, k, p, m

Dim s$

Dim c(5)

 

 

s = ""

If escuad(n) Then extencuad = "NO": Exit Function

‘No tenemos en cuenta los que ya son cuadrados

p = numcifras(n)

c(1) = 1: c(2) = 4: c(3) = 5: c(4) = 6: c(5) = 9 ‘Posibles cifras

For i = 1 To 5

m = 10 ^ (p + 1) * c(i) + 10 * n + c(i) ‘Se añaden cifras

If escuad(m) Then s = s + "#" + Str$(m)

Next i

If s = "" Then s = "NO"

extencuad = s

End Function

 

En la siguiente tabla se recogen los primeros ejemplos de concatenación bilateral a cuadrado. Aparecen algunos capicúas, como 12321, y una solución doble en 62:

 

En http://oeis.org/A305719 están publicadas las raíces cuadradas, ordenadas, de los resultados de la segunda columna, además de otros ejemplos:

A305719              Numbers whose squares have the same first and last digits.                   

1, 2, 3, 11, 22, 26, 39, 41, 68, 75, 97, 101, 109, 111, 119, 121, 129, 131, 139, 141, 202, 208, 212, 218, 222, 225, 235, 246, 254, 256, 264, 303, 307, 313, 319, 321, 329, 331, 339, 341, 349, 351, 359, 361, 369, 371, 379, 381, 389, 391, 399, 401, 409, 411, 419, 421, 429, 431, 439, 441,

Estos números permiten su emparejamiento con los de la primera columna, resultando una función – inútil y dependiente de la base 10 – en la que sería un reto averiguar su sentido. Parecería aleatoria:

Los cuadrados con la primera cifra igual a la última también se pueden conseguir en PARI. Basta con este código:

exten(n)={my(s=digits(n));issquare(n)&&(s[1]==s[#s])}

for(i=100,10^5,if(exten(i),print1(i,", ")))

Obtendremos esta lista, idéntica a la de Excel, pero ordenada:

121, 484, 676, 1521, 1681, 4624, 5625, 9409, 10201, 11881, 12321, 14161, 14641, 16641, 17161, 19321, 19881, 40804, 43264, 44944, 47524, 49284, 50625, 55225, 60516, 64516, 65536, 69696, 91809, 94249, 97969

El único punto difícil de entender es el de (s[1]==s[#s]). En realidad, s es el conjunto de cifras de n, #s el número de ellas, y, por tanto, s[1]  es la primera cifra y s[#s] la última.

Terminamos con el hecho de que en números menores de un millón solo existe la solución doble del 62.

 

Otro ejemplo

Triangulares

La extensión a triangulares de forma bilateral se resuelve como la de los cuadrados. Basta cambiar las posibles terminaciones de cifras, que ahora son 1, 3, 5, 6 y 8. En esta tabla figuran los primeros ejemplos:

Si en PARI sustituimos issquare(n) por issquare(8*n+1) nos resultarán soluciones triangulares ordenadas.

exten(n)={my(s=Vec(Str(n)));issquare(8*n+1)&&(s[1]==s[#s])}

for(i=100,10^5,if(exten(i),print1(i,", ")))

171, 595, 666, 1081, 1431, 1711, 1891, 3003, 3403, 5565, 5995, 6216, 6786, 8128, 8778, 10011, 10731, 11781, 12561, 13041, 13861, 15051, 15931, 16471, 17391, 18721, 19701, 33153, 34453, 38503, 39903, 52975, 54285, 54615, 55945, 59685, 60726, 61776, 63546, 66066, 67896, 69006, 83028, 85078

No tienen que coincidir con las anteriores, porque, por ejemplo, 3003 procedería de 00 y eso no lo hemos considerado. Estas sí están ordenadas.

Como ejemplos basta con estos. Ya tenemos una base para emprender otras búsquedas distintas.

 

 

Concatenación bilateral de cifras (1)

 Extensión a un número primo

En esta entrada modificaremos algunos números mediante la concatenación de cifras a ambos lados de las suyas propias, y de forma simétrica. Como es un tema muy amplio, con muchas posibilidades, iniciaremos el estudio con algunas de ellas, y terminaremos cuando sea claro que se ha perdido interés.

Ya en otra entrada estudiamos la duplicación de unidades manteniendo el mismo tipo de número (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/09/sigue-el-mismo-tipo-al-duplicar-las.html)

Conversión en primo mediante una cifra repetida

Si tomamos un número cualquiera, como el 14622, existe la posibilidad de convertirlo en primo adosándole cualquiera de las cifras impares 1, 3, 7 o 9. En este ejemplo tendríamos estas primeras posibilidades con la cifra 1:

1146221

1111146221111

111111462211111

1111111111111111111146221111111111111111111

Estos cuatro números son primos.

En este caso no hemos descubierto una prolongación a primo con las cifras 3 o 9. La razón es que 14622 es múltiplo de 3, y al adosarle la cifra 3 o la 9 no puede ser primo.

Con la cifra 7 hemos intentado hasta 400 concatenaciones, sin que resulte un número primo. Esto nos dice que el proceso es más complejo de lo que pudiera parecer en un principio, pues puede ocurrir que no haya solución a nuestro alcance con una cifra impar concreta.

Como pueden existir comportamientos muy distintos con las cuatro cifras 1, 3, 5 y 7, sería útil diseñar una función con dos parámetros, uno el número que deseemos prolongar y otro la cifra que adosemos. Para Excel podría valer esta:

Function extenprimo$(n, c)

Dim i, j, k, p, m

Dim s$

s = ""

If esprimo(n) Then extenprimo = Str$(n): Exit Function

m = n

For i = 1 To 12

p = numcifras(m)

m = 10 ^ (p + 1) * c + 10 * m + c ‘Adosa cifras bilateralmente

If esprimo(m) Then s = s + "#" + Str$(m)

Next i

If s = "" Then s = "NO"

extenprimo = s

End Function

 

Esta función devuelve una cadena de texto con todas las soluciones posibles. Los parámetros son, el número n y la cifra c, y el resultado es el mismo número si es primo, un “NO” si no se encuentra solución o una lista de soluciones encontradas.

Aquí tienes ejemplos de estos casos:

Un gran problema del uso de la hoja de cálculo es que a partir de unos valores pasa los resultados a notación científica, con lo que se pierden cifras y se anula la utilidad del proceso. Por eso, en la función, solo se llega a doce cifras.

La solución a esto es cambiar a programas o lenguajes que usen todas las cifras posibles, pero entonces el fallo puede estar en la detección de primos. Por ejemplo, PARI, a partir de 2^64, sustituye la función isprime por ispseudoprime, que para otras tareas puede valer, pero en esta introduce una falta de seguridad en la finalización del proceso. Consecuencia de esto es que nos tendremos que mover con objetivos lúdicos, y no teóricos. Lo que afirmemos será siempre una conjetura, sin valor teórico.

La traducción de la función a PARI puede ser:

exten(n,c)={my(i,p,k=0,m=n);while(k==0&&i<200,p=#digits(m);m = 10 ^ (p + 1) * c + 10 * m + c;if(ispseudoprime(m),k=m);i=+1);k}

Aquí llegamos a 200 cifras, pero podrían ser más, siempre que usemos ispseudoprime.

Si nuestro interés estuviera en la detección del menor primo, estos inconvenientes no serían tan graves. Esto es lo que hemos introducido en PARI, que detiene el proceso cuando detecta un primo, al que nombramos como E(N). También se puede parar el proceso en Excel.

Al detener el proceso en la primera solución, podremos asignar a cada número un índice K(N) que indique cuantas concatenaciones ha necesitado para llegar a un primo.

Aquí tienes un ejemplo de estos conceptos, con la cifra 1:

Aparecerá un -1 cuando la función no sea capaz de detectar un primo, lo que ocurre en 134, 136, 138 y 140. Obtendremos un 0 si el número ya es primo, y el número de concatenaciones necesarias en el caso de que sí exista solución, como en 132 y 133.

Algoritmo

Una pequeña modificación en las funciones anteriores nos dará fácilmente la función K. En hoja de cálculo puede ser esta:

Function extenprimo(n, c)

Dim i, k, p, m, s

 

s = 0: k = 0

If esprimo(n) Then extenprimo = 0: Exit Function

m = n

i = 1

While i <= 12 And k = 0

p = numcifras(m)

m = 10 ^ (p + 1) * c + 10 * m + c

s = s + 1

If esprimo(m) Then k = 1

i = i + 1

Wend

If k = 0 Then s = -1

extenprimo = s

End Function

 

Si se ha entendido la primera versión, esta no presentará dificultad. Devuelve -1, 0 o un entero positivo según la tabla de más arriba. La hemos reproducido en Excel para cotejar los valores:

Como curiosidad, en la siguiente tabla figuran las frecuencias de los valores de K(N) para los mil primeros números.

La frecuencia más alta corresponde a la prolongación con un solo 1, y la frecuencia 1 es la del número 24, cuya prolongación mínima es 1111111241111111. Lo hemos dado como ejemplo.

En la siguiente tabla comparamos las estadísticas para las cuatro cifras 1, 3, 7 y 9.

Es fácil descubrir en ella la constancia del valor 0, ya que corresponde a los primos y estos no cambian, son 168. También se entiende que las cifras 3 y 9 presentan menos casos, por el problema ya explicado de los múltiplos de 3. Por último, de los que admiten extensiones a primo los más frecuentes son los que solo admiten una.

Semiprimos de la forma n^2+k

 Hay semiprimos que son cuadrados, como 4=2*2 o 9=3*3, pero existen muchos que no lo son, pero que se acercan a uno de ellos. Hoy buscaremos estos semiprimos, intentando, de forma simultánea buscar o descubrir algunas de sus propiedades.

Tipo n²+1

Comenzaremos con unos que ya están publicados, los de tipo n²+1, con lo que practicaremos de cara a los otros casos. Son estos:

A144255              Semiprimes of the form n^2+1.                

10, 26, 65, 82, 122, 145, 226, 362, 485, 626, 785, 842, 901, 1157, 1226, 1522, 1765, 1937, 2026, 2117, 2305, 2402, 2501, 2602, 2705, 3365, 3482, 3601, 3722, 3845, 4097, 4226, 4762, 5042, 5777, 6085, 6242, 6401, 7226, 7397, 7745, 8465, 9026, 9217

(http://oeis.org/A144255)

Al no tener ninguna prisa en la búsqueda, practicaremos varias técnicas.

Buscador de Naturales

En estas semanas estamos ampliando las prestaciones de nuestro Buscador, que tiene décadas de vida y le viene bien un repaso. Es descargable desde http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador

Para encontrar el listado anterior basta con exigir que el número sea semiprimo y que su anterior sea cuadrado. Lo logramos así:

 

La exigencia de ser semiprimo es directa, por lo que solo escribimos SEMIPRIMO, pero la otra se refiere a N-1, y eso supone usar la partícula ES. La tercera condición produce la descomposición factorial de los números encontrados, que es claramente propia de un semiprimo:

Obtenemos los primeros términos copiados más arriba.

Con una función de Excel

En este blog usamos a menudo la función ESCUAD para averiguar si un número es cuadrado y ESSEMIPRIMO para detectar los semiprimos. Basta unirlos convenientemente con la partícula AND:

ESSEMIPRIMO(N) AND ESCUAD(N-1)

Con este criterio y un bucle de búsqueda logramos un resultado similar al anterior:

En la tabla comprobamos que N-1 es cuadrado y N es semiprimo.

 

Con el lenguaje PARI

Podemos usar esta función, a la que hemos añadido un bucle de búsqueda:

es(i)={bigomega(i)==2&&issquare(i-1)}

for(i=2,1000,if(es(i),print1(i,", ")))

Escrita en la web de PARI (https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html) produce el mismo resultado:

A partir de ahora acudiremos a estas tres herramientas, pero dando menos detalles.

 

Propiedades de estos números

Iwaniec probó que existen infinitos números de este tipo.

Es claro que n²+1 no puede ser cuadrado, luego sus factores serán distintos, y el más pequeño será menor que n. A esos factores se les pueden aplicar algunas ideas contenidas en una entrada reciente de este blog 

(ver http://hojaynumeros.blogspot.com/2022/10/regresos-5-un-cuadrado-y-una-unidad-1.html)

En efecto, al ser n²+1 suma de dos cuadrados, sus factores serán el 2 o del tipo 4k+1.

Un cálculo ilustrativo es el de la media geométrica de los dos factores, que, evidentemente, se situará cercana al valor de n. Esta media será la raíz cuadrada del número. Su discrepancia con la media aritmética medirá el nivel de desigualdad entre los dos factores del número semiprimo:

De la misma forma, podemos encontrar semiprimos del tipo n²+2

En este caso los factores no han de ser necesariamente 2 o del tipo 4k+1. Basta comprobarlo en la tabla anterior.

Como curiosidad, estos son los del tipo n²+3:

 Tipo n²-1

Un caso interesante es el de K=-1, es decir, semiprimos del tipo n²-1. En ellos el semiprimo tendrá como factores (n+1)(n-1), o lo que es lo mismo, será producto de dos primos gemelos. Lo puedes comprobar en la siguiente tabla, en la que en la primera columna figuran los semiprimos, en la segunda las raíces de los cuadrados y en la siguiente los primos gemelos con exponente 1:

 

Con esta propiedad figuran estos semiprimos como producto de primos gemelos: en OEIS:

 

A037074              Numbers that are the product of a pair of twin primes.                   

15, 35, 143, 323, 899, 1763, 3599, 5183, 10403, 11663, 19043, 22499, 32399, 36863, 39203, 51983, 57599, 72899, 79523, 97343, 121103, 176399, 186623, 213443, 272483, 324899, 359999, 381923, 412163, 435599, 656099, 675683, 685583

http://oeis.org/A037074

Encontrarlos con nuestras herramientas es fácil:

Buscador de naturales:

No necesita explicación, pues similar al caso anterior. Se distinguen bien los pares de primos gemelos.

Con Excel

Cambiamos la condición a

ESSEMIPRIMO(N) AND ESCUAD(N+1)

En la tabla hemos destacado que la raíz de N+1 es la media aritmética de los dos primos gemelos:

 

Estas propiedades nos garantizan que el conjunto de estos semiprimos es infinito,

Como el par de primos gemelos es siempre del tipo (6k-1, 6k+1), salvo el par (3, 5), los números encontrados tendrán la fórmula (6k)²-1=36k²-1 con lo que n+1 será múltiplo de 36, como es fácil observar en la tabla, que en su tercera columna solo contiene múltiplos de 6, salvo el primero.

Si expresamos el número 36k²-1 como 9(2k)²-1 descubriremos que las soluciones presentan resto -1 módulo 9, o lo que es lo mismo, resto 8. Pero con este módulo el resto es equivalente a sumar las cifras eliminando 9, es decir su raíz digital. Por eso en OEIS se destaca:

Todos los semiprimos encontrados, salvo el primero, poseen raíz digital 8.

Por ejemplo, en 5183 tenemos 5+1+8+3=17 y 1+7=8.

Puedes repasar la raíz digital en https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_root

Al ser las funciones PHI  y SIGMA multiplicativas, y ser PHI(p)=p-1 y SIGMA(p)=p+1 en los números primos, si los aplicamos a este caso del producto N=p(p+2) de dos primos gemelos, obtendremos:

PHI(N)=(p-1)(p+2-1)=(p-1)(p+1) SIGMA(N)=(p+1)(p+2+1)=(p+1)(p+3)

La diferencia entre ambas será (p+1)*4=(p+1+p+1)*2=2*(p+p+2),es decir el doble de la suma de los dos primos gemelos. Lo verás en esta tabla:

Resumiendo:

En un producto de primos gemelos, la diferencia entre su número de divisores y el de coprimos menores que él es la suma de los dos primos.

Con estas ideas ya puedes experimentar con otros valores de K, como 4, 9, -4, -9 y otros. Lo dejamos abierto