Hay semiprimos que son cuadrados, como 4=2*2 o 9=3*3, pero existen muchos que no lo son, pero que se acercan a uno de ellos. Hoy buscaremos estos semiprimos, intentando, de forma simultánea buscar o descubrir algunas de sus propiedades.
Tipo n2+1
Comenzaremos con unos que ya están publicados, los de
tipo n2+1, con lo que practicaremos de cara a los otros casos. Son
estos:
A144255 Semiprimes of the form n^2+1.
10,
26, 65, 82, 122, 145, 226, 362, 485, 626, 785, 842, 901, 1157, 1226, 1522,
1765, 1937, 2026, 2117, 2305, 2402, 2501, 2602, 2705, 3365, 3482, 3601, 3722,
3845, 4097, 4226, 4762, 5042, 5777, 6085, 6242, 6401, 7226, 7397, 7745, 8465,
9026, 9217
Al no tener ninguna prisa en la búsqueda, practicaremos varias técnicas.
Buscador de Naturales
En estas semanas estamos ampliando las prestaciones de nuestro Buscador, que tiene décadas de vida y le viene bien un repaso. Es descargable desde http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador
Para encontrar el listado anterior basta con exigir que el número sea semiprimo y que su anterior sea cuadrado. Lo logramos así:
La exigencia de ser semiprimo es directa, por lo que solo escribimos SEMIPRIMO, pero la otra se refiere a N-1, y eso supone usar la partícula ES. La tercera condición produce la descomposición factorial de los números encontrados, que es claramente propia de un semiprimo:
Obtenemos los primeros términos copiados más
arriba.
Con una función de Excel
En este blog usamos a menudo la función ESCUAD para averiguar si un número es cuadrado y ESSEMIPRIMO para detectar los semiprimos. Basta unirlos convenientemente con la partícula AND:
ESSEMIPRIMO(N) AND ESCUAD(N-1)
Con este criterio y un bucle de búsqueda logramos un resultado similar al anterior:
En la tabla comprobamos que N-1 es cuadrado y
N es semiprimo.
Con
el lenguaje PARI
Podemos usar esta función, a la que hemos añadido un bucle de búsqueda:
es(i)={bigomega(i)==2&&issquare(i-1)}
for(i=2,1000,if(es(i),print1(i,",
")))
Escrita en la web de PARI (https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html) produce el mismo resultado:
A partir de ahora acudiremos a estas tres
herramientas, pero dando menos detalles.
Propiedades
de estos números
Iwaniec probó que existen infinitos números de este tipo.
Es claro que n2+1 no puede ser cuadrado, luego sus factores serán distintos, y el más pequeño será menor que n. A esos factores se les pueden aplicar algunas ideas contenidas en una entrada reciente de este blog
(ver http://hojaynumeros.blogspot.com/2022/10/regresos-5-un-cuadrado-y-una-unidad-1.html)
En efecto, al ser n2+1 suma de dos cuadrados, sus factores serán el 2 o del tipo 4k+1.
Un cálculo ilustrativo es el de la media geométrica de los dos factores, que, evidentemente, se situará cercana al valor de n. Esta media será la raíz cuadrada del número. Su discrepancia con la media aritmética medirá el nivel de desigualdad entre los dos factores del número semiprimo:
De la misma forma, podemos encontrar semiprimos del tipo n2+2
En este caso los factores no han de ser necesariamente 2 o del tipo 4k+1. Basta comprobarlo en la tabla anterior.
Como curiosidad, estos son los del tipo n2+3:
Un caso interesante es el de K=-1, es decir, semiprimos del tipo n2-1. En ellos el semiprimo tendrá como factores (n+1)(n-1), o lo que es lo mismo, será producto de dos primos gemelos. Lo puedes comprobar en la siguiente tabla, en la que en la primera columna figuran los semiprimos, en la segunda las raíces de los cuadrados y en la siguiente los primos gemelos con exponente 1:
Con esta propiedad figuran estos semiprimos como producto de primos gemelos: en OEIS:
A037074 Numbers that are the product of a
pair of twin primes.
15,
35, 143, 323, 899, 1763, 3599, 5183, 10403, 11663, 19043, 22499, 32399, 36863,
39203, 51983, 57599, 72899, 79523, 97343, 121103, 176399, 186623, 213443,
272483, 324899, 359999, 381923, 412163, 435599, 656099, 675683, 685583
Encontrarlos con nuestras herramientas es fácil:
Buscador de naturales:
No necesita explicación, pues similar al caso anterior. Se distinguen bien los pares de primos gemelos.
Con Excel
Cambiamos la condición a
ESSEMIPRIMO(N) AND ESCUAD(N+1)
En la tabla hemos destacado que la raíz de N+1 es la media aritmética de los dos primos gemelos:
Estas propiedades nos garantizan que el conjunto de estos semiprimos es infinito,
Como el par de primos gemelos es siempre del tipo (6k-1, 6k+1), salvo el par (3, 5), los números encontrados tendrán la fórmula (6k)2-1=36k2-1 con lo que n+1 será múltiplo de 36, como es fácil observar en la tabla, que en su tercera columna solo contiene múltiplos de 6, salvo el primero.
Si expresamos el número 36k2-1 como 9(2k)2-1 descubriremos que las soluciones presentan resto -1 módulo 9, o lo que es lo mismo, resto 8. Pero con este módulo el resto es equivalente a sumar las cifras eliminando 9, es decir su raíz digital. Por eso en OEIS se destaca:
Todos los semiprimos encontrados, salvo el primero, poseen raíz digital 8.
Por ejemplo, en 5183 tenemos 5+1+8+3=17 y 1+7=8.
Puedes repasar la raíz digital en https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_root
Al ser las funciones PHI y SIGMA multiplicativas, y ser PHI(p)=p-1 y SIGMA(p)=p+1 en los números primos, si los aplicamos a este caso del producto N=p(p+2) de dos primos gemelos, obtendremos:
PHI(N)=(p-1)(p+2-1)=(p-1)(p+1) SIGMA(N)=(p+1)(p+2+1)=(p+1)(p+3)
La diferencia entre ambas será (p+1)*4=(p+1+p+1)*2=2*(p+p+2),es decir el doble de la suma de los dos primos gemelos. Lo verás en esta tabla:
Resumiendo:
En un producto de primos gemelos, la diferencia entre su número de divisores y el de coprimos menores que él es la suma de los dos primos.
Con estas ideas ya puedes experimentar con otros valores de K, como 4, 9, -4, -9 y otros. Lo dejamos abierto
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