En la entrada anterior buscábamos números que separaran sumas equivalentes de cuadrados consecutivos. Ideamos tres algoritmos y comprobamos su equivalencia. En esta segunda entrada aplicaremos las ideas a otros tipos de números.
Sumas de triangulares
El número 17 cumple la propiedad que estamos estudiando
si la aplicamos a números triangulares. En efecto, estas dos sumas de
triangulares consecutivos son equivalentes, y sus órdenes están separados por
el número 17:
T(14)+T(15)+T(16)=14*15/2+15*16/2+16*17/2=361
T(18)+T(19) =18*19/2+19*20/2=361
Podemos intentar buscar qué otros números naturales
cumplen esta misma propiedad. En el primer y tercer algoritmo presentados en la
entrada anterior, bastará sustituir las expresiones tipo j^2 por las de los
triangulares j*(j+1)/2. Los dos algoritmos 1 y 3 coinciden en las
soluciones:
Con la función SUMAFUN de uso propio podemos comprobar
las soluciones para 122, que son 29 y 153:
sumafun(29;121;"X*(X+1)/2")=298561
sumafun(123;153;"X*(X+1)/2")=298561
Estos resultados coinciden con los correspondientes a la suma de oblongos, porque son sus dobles.
Sumas
de números primos
En el caso de los números primos, es preferible exigir
que el número frontera sea primo, pues, en caso contrario, aparecerían varios
números consecutivos para una misma suma. Es cuestión de economía de
resultados.
Adaptando convenientemente las funciones tipo “frontera”
de hoja de cálculo llegaríamos a este listado:
Primo Valores de a y b
23 11 31
47 17 67
101 67 127
193 53 271
197 37 281
211 163 251
251 131 337
269 163 349
307 11 439
379 139 521
389 83 563
449 29 647
509 283 661
571 199 787
653 569 743
733 397 971
739 229 1033
743 643 829
769 131 1097
859 241 1217
883 11 1289
Por ejemplo, el número 101 es primo y separa dos sumas
iguales de consecutivos, que llegan hasta 67 por la parte inferior y a 127 por
la superior. Lo hemos comprobado con esta tabla de Excel:
Suma
de cubos
Sólo hemos encontrado (sin buscar demasiado, porque el
proceso es lento) el ejemplo de 29, en el que la suma de cubos desde 4 hasta 28
coincide con la de los comprendidos entre 30 y 34. Lo puedes comprobar en esta
tabla:
Con
otros tipos de números
Si los sumandos los tomamos del tipo n2+1, sí
existen soluciones:
Comprobamos, por ejemplo, el primero: las sumas desde 168 hasta 472 y desde 474 hasta 591, formadas por sumandos del tipo n2+1, han de ser iguales. Lo comprobamos con nuestra función SUMAFUN:
SUMAFUN(168;472;"X^2+1")=33596665
SUMAFUN(474;591;"X^2+1")=33596665
Con estas técnicas podríamos extender el estudio a, por
ejemplo, cualquier polinomio. En esta tabla están las fronteras para n2-1:
N Valores de a
y b
115 65 140
290 71 364
315 174 385
4651 4131 5075
Números
poligonales y piramidales
Como los números poligonales y piramidales son
polinomios, valdría para ellos todo lo explicado anteriormente. Por ejemplo,
los hexagonales siguen el polinomio H(n)=n(2n-1), por lo que se puede intentar
buscar fronteras para ellos y sus sumas equivalentes.
Lo hemos intentado con las técnicas de frontera2,
obteniendo estas soluciones:
N Valores
de a y b
37 8
46
154 85
188
239 54
300
399 134
499
1288 574
1598
1779 469
2234
2099 59
2644
Comprobamos el último:
SUMAFUN(59;2098;"X*(2*X-1)")=6158445500
SUMAFUN(2100;2644;"X*(2*X-1)")=6158445500
Y para finalizar, 44 es frontera para números
tetraédricos, o piramidales triangulares, pues
SUMAFUN(10;43;"X*(X+1)*(X+2)/6")=162690
SUMAFUN(45;52;"X*(X+1)*(X+2)/6")=162690
La fórmula de los tetraedros la tienes en
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_tetra%C3%A9drico
También puedes consultar nuestra publicación
http://www.hojamat.es/publicaciones/piramidal.pdf