Números heptagonales

 Introducción

En la serie de este curso sobre números poligonales, esta entrada es posterior a la dedicada a los pentagonales y hexagonales. Por ello, en algunos temas remitiremos a estos números y puede ser aconsejable consultar las entradas correspondientes. Busca en el blog las palabras “pentagonales” o “hexagonales”

Definición e inserción con los poligonales en general

Los números heptagonales se generan, como todos los poligonales, alineando los elementos en estructuras de este tipo adosadas en orden creciente, y compartiendo dos lados cada una con la anterior, como se puede ver en este esquema construido con Excel:

 

Observamos que se ha construido adosando cuatro heptágonos con tamaño creciente. Como se cuenta también la unidad inicial, este número heptagonal tendría índice 5.

 Si estás siguiendo esta serie sabrás ya que todos los números poligonales se calculan con la fórmula

Tal como procedimos con otros poligonales, si hacemos k=7 obtendremos la fórmula adecuada para los heptagonales, que representaremos como Hp:

Con una hoja de cálculo se crea rápidamente una columna de heptagonales aplicando esta fórmula:

Los primeros números heptagonales son:

1 , 7 , 18 , 34 , 55 , 81 , 112 , 148 , 189 , 235 , 286, 342, 403, 469, 540, 616 , 697, 783, 874, 970, 1071, 1177, 1288, 1404, 1525, 1651, 1782,…

(http://oeis.org/A000566)

 

Caracterización de los números heptagonales

 

Si multiplicamos un heptagonal por 5 y añadimos una unidad, obtenemos un número triangular. En efecto:

 

El criterio para saber si un número es triangular es que 8T+1 sea cuadrado, luego, en el caso del heptagonal deberá ser cuadrado C²=8(5Hp+1)+1=40Hp+9

Por ejemplo, ¿Es heptagonal 783?

Aplico el criterio: C=40*783+9=31329=177^2, luego es un cuadrado y 783 es heptagonal.

La raíz cuadrada siempre terminará en 7. Si sustituimos el número a probar por la fórmula de un heptagonal, queda:

 

Claramente, la expresión 10n-3 termina en 7 en el sistema decimal de numeración.

Si se cumple el criterio, podemos encontrar el orden del heptagonal:

Igualamos la fórmula del heptagonal a su valor llegamos a la ecuación

5n²-3n-2H=0

Escribiendo la solución en función de C llegamos a una relación muy simple: n=(C+3)/10.

Todo esto se puede resumir en una función:

 

Function ordenheptagonal(n)

Dim a, b

 

b = 0 ‘Comenzamos haciendo cero el posible orden

a = 40 * n + 9 ‘Buscamos el cuadrado

If escuad(a) Then ‘Si es cuadrado, n es heptagonal

b = (Sqr(a) + 3) / 10 ‘Calculamos su orden

End If

ordenheptagonal = b

End Function

 

De esta forma podemos identificar si un número es heptagonal  o no.

En la tabla siguiente hemos buscado el primer heptagonal a partir de 400:

Vemos que sólo 403 es heptagonal de orden 13, porque 403=13*(5*13-3)/2

 

Omitimos para los heptagonales la referencia a mi calculadora Calcupol. Puedes consultar la entrada para pentagonales o la de hexagonales. No conviene repetir demasiado.

 

Otras formas de expresar los heptagonales

 

Paul Barry da en OEIS este desarrollo: a(n) = Sum_{k = 1..n} (4*n - 3*k).

Traducimos a nuestra notación:

Es fácil de comprobar, ya que el sumatorio de 4n será 4n², y el de 3k es el triple de un número triangular, quedando

Hp(n)=4n²-3n(n+1)/2=n(5n-3)/2, que es la fórmula del heptagonal.

Por ejemplo, para n=6

Viendo este ejemplo te puedes preguntar si existen más heptagonales que sean cuadrados. La respuesta es afirmativa y los tienes publicados en http://oeis.org/A036354

 

Los números heptagonales equivalen a un número triangular de su mismo lado sumado con cuatro veces su anterior.

Lo podemos comprobar con la siguiente imagen

También es sencilla la justificación algebraica:

Es n(n+1))/2+4(n-1)n/2=n(5n-3)/2=Hp(n)

Es válida para heptagonales la descomposición Hp(n)=n+5T(n-1), como suma de un lado y cinco triangulares de lado n-1

En efecto, n+5n(n-1)/2=n(5n-3)/2=Hp(n)

 

Recurrencias

Todos los poligonales siguen esta sencilla recurrencia P(n,k)=P(n,k-1)+(k-1)(n-2)+1. En el caso de los heptagonales hacemos n=5 y queda Hp(k)=Hp(k-1)+5(k-1)+1

Hp(k)=Hp(k-1)+5(k-1)+1=Hp(k-1)+5(k-1)+1

Así, nos queda esta tabla:

La primera columna contiene índices, la segunda los incrementos 5k+1 y la tercera las sumas, que se convierten en los heptagonales. Hemos destacado que 55=21+34

En OEIS proponen varias recurrencias. Comprobamos la de  Jaume Oliver Lafont:

a(n) = 3*a(n-1) - 3*a(n-2) + a(n-3),  a(0) = 0, a(1) = 1, a(2) = 7.

Lo intentamos con nuestra herramienta de sucesiones recurrentes lineales http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2

Abrimos la hoja “Tercer orden” y rellenamos datos:

Los coeficientes son 3, -3 y 1, y como iniciales hemos elegido 0, 1, 7. Pulsamos el botón “Ver sucesión” y obtenemos los primeros heptagonales.