Números aritméticos (6) - Aritméticos unitarios

Un número natural d es un divisor unitario de otro número natural N cuando d y N/d son coprimos. Por ejemplo, 33 es divisor unitario de 66, ya que 33 es coprimo con 66/33=2. Es evidente que N/d también es unitario. Los divisores unitarios aparecen por parejas.

El número de divisores unitarios de N es 2^K, siendo K=omega(N), es decir,  el número de factores primos diferentes que posee N. La razón es que cada divisor unitario ha de presentar la misma multiplicidad en sus factores primos que N, para garantizar que es coprimo con N/d. Así, coincidirán con todos los subconjuntos formados con los factores primos distintos que posea N.

Damos un ejemplo:

Los divisores unitarios de 84 son 1, 3, 4, 7, 12, 21, 28 y 84, en total 8=2³.

La suma de todos los divisores unitarios de un número N es una clase especial de la familia de las funciones sigma. Se la suele distinguir con un asterisco: σ* y también recibe el nombre de usigma.

La fórmula para calcular usigma es:

En ella p_i son los factores primos y k_i sus multiplicidades. La razón ya la vimos, y es que hay que tomar todos los factores primos con su multiplicidad.

Así, σ*(84)=(1+3)(1+2²)(1+7)=4*5*8=160=1+3+4+7+12+21+28+84

Aritméticos unitarios

Buscaremos ahora los aritméticos unitarios, que son aquellos en los que USIGMA(N)/UTAU(N) es un número entero. Por no repetir lo escrito en las entradas enlazadas, lo haremos con una técnica sencilla, sin basarnos en teorías previas.

Function u_aritmetico(n) As Boolean

Dim t, s, i, c
t = 0 'variable para UTAU
s = 0 'variable para USIGMA
For i = 1 To n
If n / i = n \ i Then 'se trata de un divisor
If mcd(i, n / i) = 1 Then ‘ han de ser coprimos i y n/i
s = s + i 'incrementa USIGMA
t = t + 1 'incrementa UTAU
End If
End If
Next i
c = s / t ' cociente entre USIGMA y UTAU
If c = Int(c) Then u_aritmetico = True Else u_aritmetico = False
End Function

Por ejemplo, si N = 660 sus divisores unitarios serán 1, 3, 4, 5, 11, 12, 15, 20, 33, 44, 55, 60, 132, 165, 220 y 660. Su suma es 1440, que al dividirla entre 16, que es el número de divisores, nos da un promedio entero de 90.

Los aritméticos unitarios están publicados en OEIS (https://oeis.org/A103826)

A103826              Unitary arithmetic numbers (those for which the arithmetic mean of the unitary divisors is an integer).

1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 91, 92, 93,…

Para nuestro estudio de estos números distinguiremos dos casos:

(1) N es impar

El promedio de sus divisores unitarios será un entero, luego serán todos aritméticos.

El promedio provendrá de dividir la función usigma(N) entre 2^omega(N). La primera contendrá k paréntesis pares, según la fórmula explicada anteriormente, y cada uno estará dividido entre 2, dando cocientes enteros.

El listado de los primeros impares nos descubre varios casos:

 

Los primos p y potencias de primos p^k sólo tendrán dos factores unitarios, 1 y p^k, ambos impares con suma par luego la media de ambos será entera y ellos aritméticos unitarios.

Los demás impares también presentarán media entera por el razonamiento de párrafos anteriores. Por ejemplo, el 15. Sus factores unitarios son 1, 3, 5, 15, usigma(15)=24 2^omega(15)=2²=4, luego el cociente valdrá 6, entero.

Tomemos un impar más complejo, el 315=3²*7*5. Sus factores unitarios serán 1, 5, 7, 9, 35, 45, 63, 315, y usigma(315)=480. En lugar de suma directa podemos usar la fórmula:

Usigma(315)=(1+5)*(1+7)*(1+3²)=6*8*10=480.

Tal como se explicó, todos los paréntesis son pares, luego al dividirlos entre 2³, resulta un cociente de 60

(2) N es par

En este caso el promedio de los divisores unitarios puede ser entero o no. Estos son los primeros que son aritméticos unitarios:

En uno de los comentarios de OEIS se afirma que estos números son doble de números que no pueden ser suma de dos cuadrados. Esto quiere decir que poseerán factores primos del tipo 4k+3 elevados a exponente impar. Lo comprobamos con los primeros:

Todos los factores primos son 2 o del tipo 4k+3, estos con exponente impar.

Caso de la media prima

En algunos casos la media de divisores unitarios es un número primo Estos son los números con promedio primo de sus divisores unitarios:

3, 5, 6, 9, 12, 13, 25, 37, 48, 61, 73, 81, 121, 157, 193, 277, 313, 361, 397, 421, 457, 541, 613, 625, 661, 673, 733, 757, 768, 841, 877, 997, 1093, 1153, 1201, 1213, 1237, 1321, 1381, 1453, 1621, 1657, 1753, 1873, 1933, 1993, 2017, 2137, 2341, 2401, 2473…(La hemos publicado en https://oeis.org/A192577)

Todos son impares salvo 6, 12, 48,…Los estudiamos por separado:

(1) N es impar

En este caso, N ha de ser primo o potencia par de un primo.

La razón es la siguiente: sabemos que la expresión de usigma es

Si ahora dividimos entre 2^h, podemos asignar un 2 a cada factor, quedando:

Todos los cocientes serán mayores que 1, porque los numeradores serán números pares iguales o mayores que 4, pues los primos serán distintos de 2, al ser N impar. 

Pero así no puede resultarnos un número primo, ya que lo que obtenemos es una descomposición en varios factores, luego h ha de ser 1, es decir, que N ha de ser primo o potencia par de un primo distinto de 2, porque si fuera impar, la media no sería entera (lo razonaremos más adelante)

Los términos primos 3, 5, 13, 37, 61, 73, 157, 193 (http://oeis.org/A005383) son aquellos en los que (p+1)/2 también es primo.

Las potencias de primos han de ser pares, para que el cociente entre 2 sea entero. La expresión de la media de los divisores será:

La razón de que el exponente deba ser par es:

Si p es impar y k también, podemos plantear:

El cociente  (1+p^k)/(1+p) será entero si k es impar, según el álgebra elemental, luego (1+p^k) será múltiplo de 1+p. Por otra parte, 1+p es par, luego (1+p^k)/2 será múltiplo de (1+p)/2, y por tanto compuesto. Así que k no podrá ser impar.

(Demostración adaptada de https://oeis.org/A192618)

(2) N es par

Los primeros números pares que hemos encontrado en este caso son:

6, 12, 48, 768, 196608,…

¿Porqué hay tan pocos pares que produzcan un promedio de divisores unitarios que sea primo?

Lo razonamos:

Todo número par de h factores primos diferentes es de la forma

En ella p_i son números primos impares y k_i sus multiplicidades.

Por tanto

El número de divisores unitarios sería 2^h, y para que la media sea un número entero, la expresión (1) ha de ser divisible entre 2^h. Pero si además deseamos que sea primo, la media ha de ser exactamente el primer factor (1+2^a), que es el único que es impar y no va a desaparecer en el cociente entre 2^h. Por tanto, el resto de factores ha de desaparecer.

Un factor del tipo (1+p^k) con p primo para simplificarse en el cociente ha de ser una potencia de 2, y el valor mínimo que consigue esto es (1+3¹) = 4. Por tanto, cada paréntesis de (1) ha de ser una potencia de 2 de al menos exponente 2. Resumiendo,

Usigma(N) ≥ (1+2^a)*4*4*4…*4 = (1+2^a)*2^2(h-1)    (2)

Para hallar el promedio de divisores unitarios dividimos entre 2^h y nos resulta:

M = Usigma(N)/ 2^h ≥ (1+2^a)*2^h-2

Y llegamos a un resultado interesante: Para que M sea primo, h debe valer 2 y por tanto M=(1+2^a). Y más todavía: para que en (2) sea válida la igualdad p₁ ha de valer 3 y k₁ la unidad.

Sólo los números pares de la forma 2^a*3 podrán tener una media M prima. Además, dicha media será un número primo de Fermat.

Lo hemos comprobado con hoja de cálculo:

Si recordamos que los números de Fermat son del tipo

Y que no todos son primos, obtendremos la solución anticipada:

6=2*3, 12=2²*3, 48=2⁴*3, 768=2⁸*3, 196608=2¹⁶*3,…

Se conjetura que sólo existen estos primos de Fermat, por lo que podemos pensar también que los únicos números pares que son aritméticos unitarios son

6, 12, 48, 768, 196608

En https://oeis.org/A085866 se hace referencia a una propiedad de estos números, y es que cada uno es igual al anterior multiplicado por el valor de la función PHI de Euler en él. Vemos esta generación en la tabla siguiente:

Esta recurrencia no nos sirve para encontrar otros aritméticos con media prima de divisores unitarios, ya que en el siguiente, 12884901888 tiene media 4294967297, que no es primo.

Caso en el que la media es divisor

La media de N que estamos estudiando con divisores unitarios puede ser también divisor de N (no necesariamente unitario). Los primeros ejemplos son los siguientes:

Por ejemplo en el número 45 los divisores unitarios son 1, 5, 9, 45, con lo que usigma(45)=60 (también, (1+3²)(1+5)=60)

La media de estos divisores será 60/4=15, que es divisor de 45

¿Podrá ser la media un divisor unitario? La respuesta es afirmativa. Estos son los primeros ejemplos:

En ellos comprobamos que la media M es divisor unitario, pues el máximo común divisor con el cociente N/M es 1. Están publicados en https://oeis.org/A353039.

 

 

 

 

Números aritméticos (5) - Medias armónicas

Hemos estudiado ya en entradas anteriores la media aritmética de los divisores y la cuadrática. La geométrica tiene menos interés y no la hemos tratado. Tocaría ahora el turno a la media armónica y, después, a la contraarmónica.

Media armónica

El estudio de la media armónica nos lleva, en primer lugar,  a los números de Ore, ya tratados por el autor en https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/11/numeros-de-ore.html

Un número entero positivo N se llama de Ore o armónico cuando la media armónica de todos sus divisores es un número entero. Por ejemplo, es armónico 140, porque sus 12 divisores son 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140 y por tanto su media armónica es

Parece muy pesado este cálculo para números grandes, pero existe una simplificación. Para ello basta observar que cada divisor d posee un complementario d’ tales que d.d’=N. Este hecho permite ir sustituyendo cada cociente del tipo 1/d por d’/N, con lo que todos los denominadores resultará iguales a N y se podrán sumar los cocientes con facilidad:

Este procedimiento es fácilmente generalizable: basta multiplicar N por su número de divisores y dividir después entre la suma de los mismos:

Representamos el número de divisores mediante d(N) y su suma por σ(N), o bien como TAU y SIGMA respectivamente. Basta observar la fórmula para poder interpretarla de otra manera: La media armónica de los divisores equivale al cociente entre el número y la media aritmética de dichos divisores. Podríamos afirmar entonces que la media aritmética de los divisores es otro divisor. Por eso aparecieron números de Ore cuando estudiamos ese caso en los aritméticos.

Este cambio nos permite calcular la media armónica mediante un sencillo algoritmo: Se encuentran los divisores y se van contando y sumando hasta completar el valor de d(N) y  σ(N). Si esta media es entera, el número N será armónico.

Incluimos un listado en Basic que lo logra:

Sub armonico
Input n
a=0 ‘Inicia el contador de divisores
b=0 ‘Inicia el sumador de divisores
 for j=2 to n/2+1
if esmultiplo(n,j)  then
a=a+1 ‘Se ha encontrado un divisor: se aumenta el contador en 1
b=b+j ‘Se aumenta el sumador con el valor del divisor
end if
next j
a=a+2 ‘Se añade 2 para contar también 1 y N
b=b+n+1 ‘Se añaden al sumador 1 y N
m=i*a/b  ‘Media armónica
if m=int(m) then msgbox(“Es armónico”) else msgbox(“No es armónico”)
end sub

La siguiente tabla se ha obtenido con la repetición de este algoritmo:

N	D	S	M
6	4	12	2
28	6	56	3
140	12	336	5
270	16	720	6
496	10	992	5
672	24	2016	8
1638	24	4368	9

 
También se logra la sucesión de números de Ore con el Buscador de naturales:

En la primera condición reproducimos la fórmula obtenida más arriba, y en la segunda publicamos el resultado entero en la segunda columna.

Los primeros números de Ore son: 1, 6, 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190,…( https://oeis.org/A001599)

El listado incluye  los números perfectos 6, 28, 496, 8128,…y otros más que no lo son.

Podemos entender su presencia con los números perfectos conocidos, que siguen la fórmula 2^n–1(2ⁿ–1) con el paréntesis primo. Entonces, ese factor tendrá dos divisores, y por la propiedad multiplicativa, la función TAU del número perfecto será par. Aplicamos la fórmula que vimos anteriormente

Resulta que SIGMA(N)/N=2 en los números perfectos, con lo que la fórmula queda como d(N)/2, y al ser par el numerador, será entera, y el número será de Ore.

Estos números no han de ser aritméticos, porque la media aritmética de los divisores no ha de ser entera. Si lo es, tendremos unos números que pertenecerán a las dos clases, los aritméticos y los de Ore. Los primeros son

1, 6, 140, 270, 672, 1638, 2970, 6200, 8190, 18600, 18620, 27846, 30240, 32760, 55860, 105664, 117800, 167400,…( https://oeis.org/A007340)

Media contraarmónica

Podemos considerar la media contrarmónica de los divisores de un número. Ya se estudió aquí el caso particular de cuando sólo intervienen dos números en la media

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/01/media-contraarmonica-entera.html)

En su aplicación a los divisores de un número, esta media se puede calcular dividiendo la función SIGMA_2(N) entre SIGMA_1(N), es decir, la suma de los cuadrados de los divisores entre la suma de los mismos.

Este cociente no tiene por qué ser entero. Si lo es, el número N se llama antiarmónico, porque esta media también recibe el nombre de “antiarmónica”.

Si se cuenta con la familia de sigmas según el exponente al que elevamos los divisores, no es difícil encontrar el cociente y comprobar si es entero. Si no se desea usar estas funciones, y también para traducir la búsqueda a otro lenguaje de programación, proponemos esta función:

Function esantiaritmetico(n) As Boolean
Dim i, s1, s2, a

 s1 = n ‘Suma de divisores
s2 = n ^ 2 ‘Suma de cuadrados de divisores
For i = 1 To n / 2
If n / i = n \ i Then s1 = s1 + i: s2 = s2 + i ^ 2
Next i
a = s2 / s1
If a = Int(a) Then esantiaritmetico = True Else esantiaritmetico = False
End Function

Por cualquiera de estos procedimientos, se encuenran rápidamente los primeros números antiarmónicos:

En PARI el planteo es mucho más simple:

is(n)=sigma(n,2)%sigma(n,1)==0
for(i=1,10^3,if(is(i),print1(i,", ")))

1, 4, 9, 16, 20, 25, 36, 49, 50, 64, 81, 100, 117, 121, 144, 169, 180, 196, 200, 225, 242, 256, 289, 324, 325, 361, 400, 441, 450, 468, 484, 500, 529, 576, 578, 605, 625, 650, 676, 729, 784, 800, 841, 900, 961, 968, 980,

Llama la atención el hecho de que están presentes todos los cuadrados. Profundizamos algo más con la ayuda de las fórmulas de las sigmas.

En este caso deberemos dividir la sigma de segundo orden entre la de primero. Nos quedaría:

Simplificando:

Por ejemplo, la media contraarmónica de 200 aparece en la tabla como 119. Lo podemos comprobar con esta fórmula:

M(200)=M(2³*5²)=(2⁴+1)/(2+1)(5³+1)/(5+1)=17/3*126/6

M(200)=17*126/18=119

Es elemental el hecho de que la suma de potencias impares es divisible entre la suma de las bases, luego la media será entera si los exponentes e_i son pares, lo que demuestra que todos los cuadrados han de figurar en el listado.

Una consecuencia de esto es la de que si un número pertenece a ella y los multiplicamos por un cuadrado primo con él, por la propiedad multiplicativa, el resultado pertenecerá a la sucesión (Charles R Greathouse IV, Aug 02 2013)

Por ejemplo, 20 pertenece a la sucesión y lo podemos multiplicar por 7². Quedaría:

M(20*7²)=M(2²*5*7²)=(2³+1)/(2+1)*(5²+1)/(5+1)*(7³+1)/(7+1)=9/3*26/6*344/8=559, luego el producto es antiarmónico.

Esta propiedad garantiza la infinitud de los números antiarmónicos.

Si en estos productos eliminamos los cuadrados, nos quedarán los llamados antiarmónicos primitivos, que están publicados en https://oeis.org/A228023

1, 20, 50, 117, 200, 242, 325, 500, 578, 605, 650, 800, 968, 1025, 1058, 1280, 1445, 1476, 1682, 1700, 2312, 2340, 2600, 2645, 3200, 3362, 3757, 3872, 4205, 4232,…

Todos los ejemplos encontrados poseen una parte cuadrada mayor que 1, salvo el caso del mismo 1. Hemos buscado hasta 10^7 términos libres de cuadrados, sin encontrar ninguno, salvo el 1. Queda como conjetura el hecho de que no se encontrará ninguno.

Números aritméticos (4) - Otros aspectos

Carácter aritmético compartido

Finalizamos el estudio de los números aritméticos usuales buscando aquellos en los que su doble, cuadrado, o cubo o SIGMA también son aritméticos. Someteremos en un Buscador a cada número a dos condiciones, la de ser aritmético y la de que también lo sea otro número derivado de él. Resumimos algunos resultados:

Número y su doble

Existen muchos números aritméticos cuyo doble lo es también. La mayoría son impares libres de cuadrados, que ya sabemos que son todos aritméticos, pero existen ejemplos de aritméticos pares. Los primeros ejemplos de ambos casos son:

 

Son todos impares libres de cuadrados salvo el 30 y el 46. El primer caso está claro:

Caso 1: N es impar

En ese caso, 2N será el producto de dos coprimos, 2 y N, con lo que se dará:

SIGMA(2N)=SIGMA(2)*SIGMA(N)=3*SIGMA(N)

TAU(2N)=TAU(2)*TAU(N)=2*TAU(N)

SIGMA(2N)/TAU(2N)=3*K/2, luego K, cociente entre SIGMA(n) Y TAU(N),  ha de ser par.

En efecto, en los primeros ejemplos impares se cumple:

Todos los cocientes son pares.

Caso 2: N es par

Este caso es más complicado, y han de encajar algunos cocientes enteros.

En ese caso, N=2^p*M, 2N=2^p+1*M

SIGMA(N)=SIGMA(2^p)*SIGMA(M)=(2^p+1-1)*S

TAU(N)=TAU(2^p)*TAU(M)=(1+p)*T

SIGMA(2N)=SIGMA(2^p+1)*SIGMA(M)=(2^p+2-1)*S

TAU(2N)=TAU(2^p+1)*TAU(M)=(2+p)*T

 Por ejemplo, en el 46:

46=2*23, SIGMA(46)=3*24=72, TAU(46)=2*2=4, y es aritmético porque 72/4 es entero.

Vemos su doble:

92=2²*23, SIGMA(92)=7*24=168, TAU(92)=3*2=6, Y 168/6 es entero porque 6 divide a SIGMA(23), lo que es algo casual.

 

Número y su cuadrado

Si un número es aritmético, su cuadrado no tiene por qué serlo, porque la propiedad multiplicativa solo se aplica entre números primos entre sí. No obstante, son bastantes los casos que aparecen. Son estos:

7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 91, 97, 103, 109, 127, 133, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 217, 223, 229, 241, 247, 259, 271, 277, 283, 301, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397, 403, 409, 421

Todos están incluidos en la sucesión https://oeis.org/A107925, pero en ella figuran números que no son aritméticos, aunque sí impares, como 121. Llama la atención que todos los que hemos descubierto son impares libres de cuadrados.

Número y su cubo

También existen casos en los que tanto N como su cubo son aritméticos. Con estas condiciones sí aparecen números pares. Los primeros términos son:

3, 5, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 56, 57, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 94, 95

Anteriormente hemos publicado los cubos que son aritméticos, y en esta nueva sucesión faltan algunos como 13824, que es aritmético, y el cubo de 24, pero su base 24 no lo es, y por eso no figura en esta.

Elegimos un número par como ejemplo, el 42.

Los divisores del 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42, con lo que su promedio es

 (1+2+3+6+7+14+21+42)/8=96/8=12, entero.

Su cubo también es aritmético, pues

SIGMA(42^3)/TAU(42^3)=240000/64=3750, luego es aritmético.

 

Un número y su sigma

Terminamos estos ejemplos con aquellos números aritméticos cuya suma de divisores es también aritmética:

5, 13, 19, 20, 29, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 45, 49, 53, 59, 60, 61, 62, 67, 68, 69, 77, 78, 86, 92, 101, 109, 113, 116, 123, 131, 134, 137, 139, 143, 149, 157, 163, 164, 167, 168, 169, 173, 181, 183, 197, 204, 211, 212, 215,…

Aquí se dan todos los casos de paridad entre N y SIGMA(N).

 

Aritméticos de orden superior

Podíamos preguntarnos si existirán aritméticos con la media cuadrática, es decir si la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de los divisores es entera. Bastará un ligero retoque en la función esaritmetico, sustituyendo SIGMA por SIGMA_2, (o los divisores por sus cuadrados) que suma los cuadrados de los divisores, dividiendo entre TAU, y verificando si la raíz cuadrada del cociente es entera.

Con estas condiciones resultan estos primeros ejemplos:

Los valores de N están publicados en https://oeis.org/A140480 y se les llama RMS numbers.

A140480              RMS numbers: numbers n such that root mean square of divisors of n is an integer.

1, 7, 41, 239, 287, 1673, 3055, 6665, 9545, 9799, 9855, 21385, 26095, 34697, 46655, 66815, 68593, 68985, 125255, 155287, 182665, 242879, 273265, 380511, 391345, 404055, 421655, 627215, 730145, 814463, 823537, 876785, 1069895, 1087009, 1166399, 1204281, 1256489

El carácter multiplicativo de las funciones que intervienen en la definición hace que si A y B pertenecen al listado anterior y son coprimos, A*B también pertenezca (comentario de Andrew Weimholt en OEIs). Por ejemplo 7 y 239 son coprimos, por lo que su producto 1673 también figura en el listado.

Un caso especial es el de los primos que figuran en la sucesión. Porque en ellos SIGMA(p)/TAU(p)=(1+p²)/2 será un cuadrado, y su raíz un número de Pell. Estos números han sido tratados por el autor en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2014/02/numeros-de-pell.html

https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/12/los-numeros-de-pell.html

Podemos plantear 1+p²=2r², con lo obtendríamos una ecuación de Pell p²-2r²=-1

Acudimos a nuestra herramienta para esta ecuación (http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell) y quedan las primeras soluciones:

De ellas nos quedamos con las que se corresponden con -1 y con un valor de P primo:

Resultan los tres números primos que figuraban en el listado general.

Los valores de R, tal como se esperaba, son números de Pell, pues pertenecen a la sucesión 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832,…(ver enlaces anteriores)

Por último, planteamos un uso del Buscador de Naturales para rebajar un poco la dificultad del planteo anterior:

 

Fijamos las condiciones de que el número sea primo y que la raíz cuadrada de (1+p²)/2 sea entera, para después pedir evaluar esa raíz.

De esa forma hemos reproducido los resultados derivados de la ecuación de Pell.

Podríamos seguir con aritméticos de orden 3 o 4, pero no parecen presentar detalles interesantes.