Un número y sus cifras (3) - Smith

En los números de Smith la suma de sus cifras coincide con las de sus factores primos tomados con repetición, como el 666, cuyas cifras suman 18 y las de su desarrollo en factores primos 2*3*3*37 también: 2+3+3+3+7=18. Los tienes en http://oeis.org/A006753

En la definición más aceptada, se exige que estos números sean compuestos, pues en el caso de los primos esta condición se cumple trivialmente.

Los primeros son: 4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666,…( https://oeis.org/A006753)

El primer número de este tipo lo publicó Albert Wilansky, que fue quien dio este nombre, porque se basó el en teléfono de su cuñado Harold Smith. El 49377775= 3*5*5*65837 cumple la definición:

4+9+3+7+7+7+5 = 3+5+5+6+5+8+3+7 = 42

Búsqueda de estos números

Aunque estén publicados y muy estudiados, es gratificante usar una hoja de cálculo para reproducirlos. Usaremos una función adaptada de otra similar que publicamos en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/10/sumas-de-cuadrados-de-cifras-8-numeros.html

Esta función sumará las cifras de los factores de un número, para comparar el resultado con la suma de cifras del mismo:

Public Function smith(n) As Boolean

Dim f, a, e
If esprimo(n) Then smith = False: Exit Function ‘Solo compuestos
a = n 'Copia el valor de n
f = 2 'Recogerá los factores primos
e = 0 'Recogerá la suma de las cifras
While f <= a
While a / f = a \ f  ' Ve si es divisor
a = a / f: e = e + sumacifras(f) ' Si lo es, suma las cifras
Wend
If f = 2 Then f = 3 Else f = f + 2 ' Siguiente factor, que será primo por la división a=a/f
Wend
If e = sumacifras(n) Then smith = True Else smith = False
End Function

Hemos comprobado la función y coinciden los resultados con los publicados.

Con esta función se pueden detectar números de este tipo que estén próximos. Por ejemplo, los números de Smith consecutivos, o números de Smith “hermanos”, como 728 y 729. Basta exigir SMITH(N) AND SMITH(N+1) en cualquier buscador. Lo hemos efectuado con Excel con este resultado:

Los menores de cada par están publicados en https://oeis.org/A050219

Hay muchos pares que se diferencian en dos unidades. Los podríamos llamar “primos o cousins”. Los primeros son:

También se pueden buscar ternas de números de Smith consecutivos. Hemos localizado la primera terna con Excel:

Las siguientes las tienes en https://oeis.org/A105648

No seguimos por este camino. Sería cuestión de ampliar y tener paciencia.

Números de Smith generalizados 

Podemos sustituir la igualdad de las dos sumas que estamos comparando por la condición de que las cifras de los factores primos de N sumen un múltiplo de la suma de las propias cifras de N. En nuestras exploraciones hemos comprobado que suelen publicarse clasificando los números de este tipo según el cociente entre las dos sumas.

Para encontrarlos deberemos sustituir la igualdad

If e = sumacifras(n) Then smith = True Else smith = False

En su lugar llamaremos q al cociente entre e y sumacifras(n), y verificar que es entero e igual al cociente que propongamos:

q = e / sumacifras(n, 1)
If q = Int(q) And q = k Then smith = True Else smith = False

El valor de k está prefijado por los usuarios, ya que en la cabecera de la función correspondiente lo añadiremos como parámetro:

Public Function smith(n, k) As Boolean

Por ejemplo, para k=2 obtenemos la lista de aquellos números en los que la suma de las cifras de sus factores primos sea el doble de la de las propias del número:

De igual forma procederíamos con otros valores de k. Los primeros ejemplos están todos publicados.

Números “hoax” o engañosos

Podemos suprimir de la suma de cifras las repeticiones de los factores primos. Nos puede seguir siendo útil nuestra función Smith, pero sin sumar los factores repetidos nada más que una vez. Para ello introducimos una variable cuenta=0, que se transforma en 1 en cuanto detecta una primera sumas. Algo así:

cuenta = 0
While a / f = a \ f 
a = a / f
If cuenta = 0 Then e = e + sumacifras(f, 1): cuenta = 1
Wend

 Con esta modificación obtenemos los números hoax en lugar de los de Smith:

Por ejemplo, 160=2⁵*5, y como contamos el 2 una sola vez, obtenemos la igualdad 1+6+0=2+5=7

(Ver https://oeis.org/A019506)

Aquellos de estos números que sean libres de cuadrados, serán también números de Smith.

Números de Smith cuadráticos

Estos números son mucho menos populares, pero hemos publicado una entrada sobre ellos en este blog

(https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/10/sumas-de-cuadrados-de-cifras-8-numeros.html)

Son aquellos números en los que la suma de los cuadrados de sus cifras coincide con las sumas, también de cuadrados, de sus factores primos con repetición.

Nos remitimos a esta entrada nuestra.

Un número y sus cifras (2) - Zuckerman

En la anterior entrada estudiamos los números de Niven, que son múltiplos de la suma de sus cifras. Ahora buscaremos propiedades en las que participe el producto de las mismas. En esa entrada usamos las funciones sumacifras y producifras, que nos serán ahora igualmente útiles.

Números de Zuckerman

 

Estos números son divisibles entre el producto de sus cifras. Al buscarlos, hay que introducir la condición de que producifras no sea nulo, lo que provocaría el error de “división por cero”. Con esta condición es sencillo encontrar los primeros de al menos dos cifras, pues los de una cumplen todos la condición:

Están publicados en https://oeis.org/A007602

Es evidente que los repitunos 1, 11, 111, 1111,…y sus consecutivos 2, 12, 112, 1112,…, así como los 5, 15, 115, 1115,…pertenecen todos a esta sucesión.

Los números de Zuckerman forman una subsucesión de los “desnudos”, que se llaman así porque dejan al descubierto sus factores primos. Son aquellos que son divisibles entre cada una de sus cifras. Por ello, los de Zuckerman, al serlo entre el producto, también son múltiplos de las cifras una a una. Un número desnudo es el 672, que es divisible entre sus tres cifras: 672/6=112; 672/7=96 y 672/2=336.

Las frecuencias de estos números disminuyen claramente al incrementar el valor de N. De Koninck and Luca demostraron que siempre están comprendidas entre x^0.122 y x^0.863. En la tabla desde 0 a 10000 se muestra claramente que este intervalo es muy amplio:

Números divisibles entre suma y también producto

Podemos unir las dos condiciones de que un número sea múltiplo de la suma de sus cifras y también de su producto, si este no es nulo.

Una sencilla ampliación de las búsquedas nos lleva al resultado (para números de más de una cifra):

 

Están publicados en https://oeis.org/A038186

Números de Moran

Son también un subconjunto de los números de Niven

Se llaman así a aquellos números de Niven en los que el cociente N/SUMACIFRAS(N) es primo. Con un buscador unimos la condición de que ese cociente sea entero con la de que sea primo, y así los encontraremos. En la siguiente imagen figura el resultado con nuestro Buscador de Naturales:

Podemos añadirle el cociente en la columna de detalles:

Así comprobamos que todos los cocientes son primos.

Estos números de Moran están publicados en https://oeis.org/A001101

En esa página se usa un procedimiento en PARI muy ilustrativo de la potencia de este lenguaje:

is(n)=(k->denominator(k)==1&&isprime(k))(n/sumdigits(n)) \\ Charles R Greathouse IV, Jan 10 2014

En el listado se observan dos números de Moran consecutivos, 152 y 153, en los que 152/(1+5+2)=19, primo, y 153/(1+5+3)=17, también primo, y ambos cocientes, 17 y 19 son primos consecutivos.

¿Existirán más pares de este tipo? Se pueden buscar con la misma herramienta:

Vemos que sí existen más pares de números de Moran consecutivos. En la página https://oeis.org/A085775 puedes consultar un listado más completo.

¿Existirán más pares en los que los cocientes sean primos consecutivos?

Aquí el Buscador ya se nos queda elemental, y deberemos acudir a otro implementado en Excel. Con él hemos encontrado tres:

 

Números de Rhonda

Como en anteriores entradas de esta serie, trabajaremos en base 10 para tener en cuenta las cifras de un número.

Los números de Rhonda son aquellos naturales que cumplen que el producto de sus cifras es igual a la base de numeración (en este caso 10) multiplicada por la suma de cifras de sus factores primos.

Un ejemplo es el número 5265, que se descompone como 5265=3^4*5*13, y se cumple que

5*2*6*5=300=10*(3+3+3+3+5+13)=10*30

Como el producto ha de ser múltiplo de 10, entre las cifras del número ha de figurar un 5, y además una cifra par al menos.

Con nuestros buscadores en hoja de cálculo bastará pedirles que producifras(n)=10*sopfr(n).

Con esta sencilla condición nos aparecen los primeros:

Hemos descompuesto cada uno en factores primos y después los hemos sumado con repetición (función SOPFR). Es fácil ver que los productos de la segunda columna son diez veces mayores que los de la última.

Están publicados en https://oeis.org/A099542.

Recorriendo la tabla observamos que todos los productos de cifras son múltiplos de 20, pero esto no es necesario. Si extendemos la búsqueda encontraremos un contraejemplo:

Algunos tipos de números de Rhonda

Potencias

Entre los 100000 primeros números encontramos un cubo y una sexta potencia:

Cubo: 5832=18^3 y 5*8*3*2=10*(2+2+2+3+3+3+3+3+3)

Sexta potencia: 15625=5^6 y 1*5*6*2*5=10*(5+5+5+5+5+5)

Con cifras crecientes y otros

No hemos encontrado capicúas (palindrómicos) entre los primeros números de Rhonda, pero sí con cifras crecientes:

1568=2^5*7^2 y 1*5*6*8=240=10*(2+2+2+2+2+7+7)

Con cifras decrecientes no aparecen entre los primeros. Sí hay muchos con todas sus cifras distintas:

1568, 2835, 4752, 5439, 5824, 5832, 8526, 12985, 15698, 19435, 47265, 52374, 53176, 53742, 56718,…

Generalización

Si suprimimos la condición de multiplicar SOFPR por la base, y dejamos libre ese factor, nos resultará un listado distinto de números. Los siguientes aparecen si excluimos aquellos números que presentan una cifra igual a cero, pues en ese caso tendríamos muchas soluciones triviales:

2, 3, 4, 5, 7, 18, 25, 64, 154, 168, 187, 196, 255, 288, 329, 336, 364, 418, 437, 442, 455, 476, 532, 592, 624, 625, 629, 729, 748, 952, 978, 986, 988, 1298, 1449, 1458, 1484, 1519, 1568, 1573, 1595, 1674, 1764, 1824, 1826, 1955, 1989,…

Por ejemplo, en 455 el producto de las cifras es 100 y la suma de las de los factores primos es 5+7+13=25, y 100 es múltiplo de 25.

Algunos de ellos, de forma similar a lo que ocurría con los números de Smith (https://mathworld.wolfram.com/SmithNumber.html) presentan cociente 1, es decir, que el producto de sus cifras coincide con la suma de las de sus factores primos.

En esta tabla se observa bien la igualdad entre PRODUCIFRAS y SOPFR:

Están publicados en https://oeis.org/A065774

 

Un número y sus cifras (1) -Niven

Comenzamos hoy una serie sobre números populares que se distinguen por alguna curiosidad al relacionarlos con sus cifras. Nos limitaremos a la base de numeración 10, porque toda teoría de este tipo se podrá extender a otras bases, salvo ejemplos específicos.

Niven o Harshad

Un número de Harshad o número de Niven es un número entero divisible entre la suma de sus dígitos en una base dada. Aquí nos limitaremos a base 10.

Es claro que los números de una cifra son todos de Niven. Así que  es más interesante estudiar los de varias cifras. También se comprende que los números de Niven de más de una cifra no pueden ser primos.

Como curiosidad, destacamos que el número de Hardy-Ramanujan, 1729, es de este tipo, porque es múltiplo de 1+7+2+9=19, ya que 1729=7*13*19

Con nuestro Buscador de Naturales es fácil encontrar los primeros de varios dígitos:

 (ver http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador)

La condición es fácil de traducir, pues pide que sea entero el cociente entre el número y la suma de las cifras. Estos números están publicados en https://oeis.org/A005349.

Para resolver esta búsqueda en hoja de cálculo contamos con la función sumacifras (ver, por ejemplo,

https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/03/autonumeros-1.html)

Aquí usaremos una versión con un parámetro adicional, que es el exponente al que se elevará cada cifra antes de sumarla. Si en esta entrada no es algo necesario, puede sernos útil en las siguientes.

Public Function sumacifras(n,k)

Dim h, i, s, m

h = n ‘De la variable h se irán extrayendo las cifrass = 0 ‘Esta variable recogerá la suma de cifras
While h > 9 ‘Bucle para extraer las cifras una a una
i = Int(h / 10)
m = h - i * 10
h = i
s = s + m^k ‘La nueva cifra o su potencia se suma a la variable
Wend
s = s + h^k ‘La cifra residual se suma a la variable
sumacifras = s
End Function

Con ella es fácil conseguir una tabla de números de Niven y los cocientes de dividirlos entre la suma de sus cifras:

 

En Pari es difícil superar la sencillez de esta función de Charles R Greathouse:

(PARI) is(n)=n%sumdigits(n)==0 \\ Charles R Greathouse IV, Oct 16 2012

En ella el símbolo % significa residuo respecto a un módulo.

 

Números de Niven consecutivos

Con nuestra función sumacifras es sencillo encontrar los primeros pares de números de Niven consecutivos:

Son fáciles de comprobar. Por ejemplo:

480/(4+8+0)=480/12=40

481/(4+8+1)=481/13=37

Los primeros de cada par están publicados en

https://oeis.org/A330927

Los números N de Niven tales que N+1 y N+2 también lo son, están presentados en esta tabla:

Los valores de N están publicados en https://oeis.org/A154701

Puedes leer en esa página que Cooper y Kennedy probaron que existen infinitos conjuntos de hasta 20 consecutivos de este tipo en base 10. Sin embargo H.G. Grundman demostró en 1994 que no hay 21 números enteros consecutivos.

 

Tipos especiales de números de Niven

 

Números con cociente el producto de sus cifras

La función explicada más arriba, sumacifras, se puede convertir, con un simple cambio de operación, en producifras. Así que estos números cumplen que N=PRODUCIFRAS(N)*SUMACIFRAS(N).

Con la hoja de cálculo es sencillo buscarlos de esta forma. Estos son los únicos, además del 1, que se pueden encontrar menores que 10^7:

135=1*3*5*(1+3+5)=15*9

144=1*4*4*(1+4+4)=16*9

Parece ser que son los únicos de este tipo.

 

Capicúas de Niven

Ya que estamos tratando con cifras, podemos buscar capicúas entre los números de Niven. Como en este blog disponemos de la función escapicua, bastará añadirla a las condiciones que se impongan. Estos son los primeros de más de una cifra que resultan:

(Ver  https://oeis.org/A082232)

Observamos muchos elementos “repidígitos” (con todas las cifras iguales), cuyo cociente coincide con el presentado en 111 (número “repituno”), que es 37. No todos los repitunos son de Niven. Los primeros son 1, 111, 111111111 y 11111111111

 

Otros ejemplos

Los primeros números de Niven cuadrados de varias cifras son:

36, 81, 100, 144, 225, 324, 400, 441, 576, 900, 1296, 1521, 1764,…

Se ha usado nuestra función escuad. (Ver https://oeis.org/A118547)

 

Los triangulares de Niven de varias cifras también son abundantes:

10, 21, 36, 45, 120, 153, 171, 190, 210, 300, 351, 378, 465, 630, 666, 780, 820, 990, 1035, 1128, 1275, 1431, 1540, 1596, 1770,…Están comprobados en https://oeis.org/A076713

 

Y oblongos:

12, 20, 30, 42, 72, 90, 110, 132, 156, 210, 240, 306, 342, 420, 506, 552, 600, 702, 756, 870, 1056, 1122, 1260, 1332, 1560, 1980,…

 

Los de la sucesión de Fibonacci son más escasos. Estos son los primeros: 21, 144, 2584. En https://oeis.org/A117774 se pueden observar términos de muchas cifras.

No hay que seguir, porque este tema es de cifras, y muchos tipos de números no dependen de ellas.