Propiedades compartidas con el doble

Hace poco descubrí que el número 15561 y su doble, 31122, comparten la propiedad de ser ambos suma de dos cubos enteros positivos:

15561=17^3+22^3 y 31122=15561*2=11^3+31^3

¿Ocurrirá esta casualidad en otros números? ¿Habrá más coincidencias entre un número y su doble? Estas cuestiones las desarrollaremos hasta que la falta de interés o el espacio aconsejen parar.

Coincidencia en suma de cubos

Para encontrar números con la misma propiedad que el 15561 deberemos investigar, en primer lugar, qué números son suma de dos cubos enteros positivos. Es de esperar que sean muchos, y los encontraremos (en hoja de cálculo) con esta función:

Public Function sumadoscubos$(n) ‘Construye un texto

Dim i, r, t, w

Dim s$

s = "" ‘Si no hay solución, variable s queda vacía

r = Int(n ^ (1 / 3)) ‘Tope para la búsqueda

For i = 1 To r ‘Búsqueda del primer cubo

t = n - i ^ 3 ‘Posible segundo cubo

w = t ^ (1 / 3)

If escubo(t) And t > 0 Then s = s + Str$(i) + ", " + Str$(t ^ (1 / 3)) ‘Si es un cubo positivo, tenemos solución

Next i

sumadoscubos = s

End Function

Con ella obtenemos los primeros números que son suma de cubos:

No hemos impedido que aparezcan dos soluciones simétricas, porque eso simplifica el algoritmo.

Hemos usado nuestra función ESCUBO

Function escubo(n)

Dim a

a = Int(n ^ (1 / 3) + 10 ^ (-6))

If a * a * a = n Then escubo = True Else escubo = False

End Function

Estos números están publicados en http://oeis.org/A003325

Si ahora exigimos que el doble de esos números también presente la misma propiedad, obtendremos este listado:

También están publicados estos números, y entre ellos figura 15561, que nos ha servido de ejemplo inicial.

(ver http://oeis.org/A191345)

En esta dirección de OEIS no se usa PARI, por lo que incluimos una propuesta:

doscubos(n)={my(i=1,t,s=0,r=truncate(n^(1/3)));while(i<=r&&s==0,t=n-i^3;if(ispower(t,3)&&t>=1,s=1);i+=1);s}

es(n)=doscubos(n)&&doscubos(2*n)

for(i=1,10^5,if(es(i),print1(i,", ")))

Si usamos la página web de PARI/GP obtendremos la misma sucesión:

Coincidencia con cuadrados de primos

Esta búsqueda es algo más complicada, porque hay que buscar dos cuadrados y además sus bases deberán ser números primos. Lo hemos intentado con esta función de VBA Basic, que determina los números que son suma de dos cuadrados de primos:

Public Function sumadoscuad_prim$(n)

Dim i, r, t, w, m

Dim s$

s = "" ‘Inicio de la solución

m = 0 ‘Inicio del contador

r = Sqr(n) ‘Tope de búsqueda

i = 2 ‘Primer primo

While i < r

t = n - i ^ 2 ‘Posible segundo cuadrado

w = Sqr(t)

If escuad(t) And esprimo(w) And i <= w Then m = m + 1: s = s + " # " + Str$(i) + ", " + Str$(w) ‘Encuentra una solución

i = primprox(i) ‘Siguiente primo

Wend

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " # " + s

sumadoscuad_prim = s

End Function

Están publicadas en http://oeis.org/A045636

Si ahora añadimos la condición de que también el doble de N sea suma de dos potencias de primos, resulta que solo encontramos dos ejemplos, 29 y 845:

Por si el no encontrar más se debiera a una carencia de la hoja de cálculo, hemos traducido esta búsqueda a PARI:

doscuadprim(n)={my(i=2,t,s=0,r=sqrtint(n));while(i<=r&&s==0,t=n-i^2;if(issquare(t)&&isprime(sqrtint(t)),s=1);i=nextprime(i+1));s}

es(n)=doscuadprim(n)&&doscuadprim(2*n)

for(i=1,10^4,if(es(i),print1(i,", ")))

Hemos insertado este código en la página oficial de PARI con el mismo resultado:

Hemos probado más allá de 10^6 sin obtener más resultados.

 Coincidencia en suma de triangulares

Esta búsqueda es más fácil que la anterior. Basta sustituir en la función de cubos de los primeros párrafos ESCUBO por ESTRIANGULAR, y algún detalle más, pero no se encuentran soluciones a la cuestión propuesta entre los números

Otros ejemplos

Con sumandos pertenecientes a la sucesión de Fibonacci resultan demasiadas soluciones, lo que le resta interés.

Con oblongos no se encuentran tampoco entre los primeros números.

Con primos, por la Conjetura de Goldbach, nos resultarían todos los números pares.

Lo dejamos aquí.