En mis cálculos diarios de Twitter uso a menudo el concepto de suma simétrica, en la que considero tres sumandos con un repetido, y que los tres presenten una misma propiedad. Por ejemplo, 80=23+43+23, es decir, una suma simétrica de cubos. Lo curioso en este caso es que su consecutivo, 81, también presenta esa misma propiedad, ya que 81=33+33+33. ¿Existirán muchos pares de este tipo, que sean consecutivos y con el mismo tipo de suma simétrica?
Como la búsqueda promete ser larga, la dividiremos en
tipos. Es ya frecuente en este blog, interrumpir un estudio cuando se perciba
que la cuestión se alarga o pierde interés.
Suma
simétrica de cubos
Comenzamos por este caso por ser el primero que se
consideró. Además del par 80, 81 existen otros, como veremos.
En primer lugar, necesitaremos saber cuándo un número se
puede expresar como suma simétrica de cubos. El objetivo inmediato es conocer
la forma de identificar un cubo. El problema lo constituyen los decimales y el
redondeo, por lo que podemos usar una identificación en dos pasos, extrayendo
la raíz cúbica y más tarde comprobar que su cubo coincide con el número
deseado. Sería algo así:
Function escubo(n)
Dim a
a = Int(n ^ (1 / 3) + 10 ^ (-6))
If a * a * a = n Then escubo = True Else
escubo = False
End Function
Un criterio más fiable, pero más lento, es el de extraer
los factores primos y exigir que todos los exponentes sean iguales a 3 (o a un
múltiplo de 3). Disponemos de una función diseñada para encontrar el exponente común
mínimo entre los factores primos de un número natural. Sería esta otra:
Public Function espotencia(n)
Dim i, j, s, p
If n = 1 Then espotencia = 0: Exit
Function
p = n
j = sacaprimos(p) ‘Construye
la descomposición factorial
s = expo(1)
If j > 1 Then
For i = 2 To j
s = mcd(s, expo(i)) ‘Elige
el mínimo MCD de los exponentes
Next i
End If
If s = 1 Then s = 0
espotencia = s
End Function
Devuelve el MCD de los exponentes, y si es 3 o múltiplo
de 3, ya tenemos un cubo.
En este proceso usaremos la primera versión para
encontrar soluciones, y luego verificaremos con la segunda, que es más lenta,
sin publicar de nuevo los resultados.
Una vez identificados los cubos, habrá que determinar si
un número es suma simétrica de dos cubos. Para eso estaría esta otra función:
Public Function sumasimcubos(n) As
Boolean
Dim i, m
Dim novale As Boolean
i = 1
novale = True
While i < (n - 1) ^ (1 / 3) And
novale ‘Buscamos el sumando central
If escubo((n - i ^ 3) / 2) Then novale =
False ‘Restamos y dividimos entre 2 para ver el otro
i = i + 1
Wend
sumasimcubos = Not novale
End Function
Esta función te indica si un número es suma de cubos
simétricos o no. Ya solo queda aplicarle esta prueba a dos números
consecutivos. En la práctica, la función va a devolver la suma en modo texto,
pero no se quería complicar esta explicación. Aplicada de esta forma, nos da
los siguientes pares:
Por ejemplo:
176200=443+183+443
y 176201=173+553+173
El lenguaje PARI devuelve resultados con más rapidez, por
lo que también es conveniente adaptar a él este proceso. Así llegamos un poco
más lejos, pero no se ha pretendido agotar el tema y hemos detenido la búsqueda
en 300000
scube(n)={my(i=1,m); while(i<(n-1)^(1/3),m=(n-i^3)/2;
if(ispower(m,3),return(1));i+=1)}
ok(n)=scube(n)&&scube(n+1)
for(i=1,300000,if(ok(i),print1(i,",
")))
80, 344, 3429, 7290, 12393, 14749, 61318, 85751, 92609, 95010, 120311, 167399, 170173, 171181, 173743, 173778, 176200, 185442, 250063, 252046, 277694,…
Búsqueda directa con Excel
Podemos organizar una tabla de doble entrada XY en cuyo
interior situemos las sumas x3+2y3, y no tendremos más
que buscar consecutivos. En la imagen están destacados cuatro pares:
Esto no sería fiable, porque la vista nos puede engañar y perdernos un par. Lo indicado aquí sería escribirlos en columna, ordenarlos después y comprobar que los consecutivos que cumplen la propiedad caen uno debajo del otro.
Este procedimiento sí nos daría más seguridad, pero, o se resolvía con macros, o nos tendría bastante tiempo ocupados. Dejamos esa puerta abierta a nuevos métodos
Suma
de potencias
Después de investigar sobre cubos, lo indicado es pasar a
los cuadrados u otras potencias. Con cuadrados aparecen tantos ejemplos que
hacen perder el interés por la búsqueda. Si en las funciones usadas para los
cubos vamos cambiando los exponentes 3 por 2, obtendremos las sumas simétricas
de cuadrados. Los primeros casos de consecutivos son estos:
Llama la atención la aparición de conjuntos de tres consecutivos, como 17, 18, 19, o 66, 67, 68. Como simple curiosidad, se adjuntan a continuación los primeros:
Su misma abundancia le resta interés.
Cuartas
potencias
Este caso es mucho menos frecuente. Volvemos a adaptar la
función para cubos cambiando 3 por 4 y obtenemos una primera solución:
14802=74+104+74 14803=34+114+34
No existen, al parecer, otras soluciones menores que 106,
por lo que dejamos abierta la búsqueda.
Como es nuestra norma, paramos aquí las potencias, para
no alargar. Con lo publicado ya hay información suficiente para los lectores
que deseen emprender otras búsquedas.
Otros
tipos
Al comenzar a redactar esta entrada parecía que existiría
gran variedad de soluciones en otros tipos de números, pero la realidad nos ha
devuelto casos con demasiados resultados o con demasiado pocos. Esto hace
perder interés a lo que sigue, pero hemos preferido mantenerlo.
Triangulares
Este tipo de números lo consideramos muy a menudo en
nuestras búsquedas, porque no suele defraudar. Habrá que alterar ligeramente
nuestra función, pues usaremos ESTRIANGULAR, que puedes encontrar en muchas
entradas de este blog. Quedaría la función así (la seguimos llamando sumasimcubos):
Public
Function sumasimcubos$(n)
Dim
i, m, p, q
Dim
s$
i = 1
s
= ""
While
i < Sqr(2 * n) And s = "" ‘El mayor triangular
sería Sqr(2*n)
q
= i * (i + 1) / 2 ‘Se construye el primer triangular
m
= (n - q) / 2 ‘Diferencia para encontrar los simétricos
If
estriangular(m) And m > 0 Then s =
Str$(m) + ", " + Str$(q) + ", " + Str$(m) ‘Es
triangular y paramos
i
= i + 1
Wend
sumasimcubos
= s
End
Function
Con esta función se obtienen muchas soluciones, como nos ocurrió con los cuadrados:
No tiene interés seguir.
Oblongos
Es inútil buscarlos, porque todos son pares y no puede
darse la propiedad buscada en dos números consecutivos, uno par y otro impar.
Primos
Para que se cumpla lo que pretendemos, en uno de los
consecutivos el primo central deberá ser 2, pero no tendremos esto en cuenta y
sustituiremos triangular por primo y estriangular
por esprimo. Como no existe fórmula
para los primos, usaremos la función para el próximo primo PRIMPROX. Todas
ellas ya han sido usadas en otras entradas.
Al ser obligada la presencia del 2 en uno de los números
hace que aparezcan muchos consecutivos en los que el término central es 2 en el
menor y 3 en el mayor, como puede comprobarse en este resultado:
También aquí obtenemos muchos resultados. Nos estamos quedando con pocos tipos interesantes. Hemos intentado con los números de Fibonacci y también resultan muchas soluciones, demasiadas para sacar consecuencias interesantes. Con los factoriales también se desvirtúa la búsqueda con 1! y 2! que son consecutivos. Así que hasta aquí llegó el estudio.
