Triángulo trinomial

Al igual que construíamos el triángulo de Pascal para binomiales sumando cada dos consecutivos, podemos definir el triángulo trinomial si cada coeficiente es la suma de los tres situados en la fila anterior y sobre él. Los coeficientes de los extremos serán suma de dos o de uno, como si a izquierda y derecha del triángulo existieran ceros. Así quedaría con una hoja de cálculo.

 

A diferencia de los binomiales, estos coeficientes del triángulo forman filas de longitud impar, 2n+1, por lo que se puede hablar siempre de términos centrales, que en la imagen son 1, 1, 3, 7 y 19.

Este proceso equivale a la siguiente recurrencia:

Como curiosidad, John D. Cook relaciona estos números con los pasos del rey en el ajedrez para llegar a las distintas posiciones

 (ver https://www.johndcook.com/blog/2025/05/16/trinomial-coefficients-and-kings/)

Este triángulo posee diversas propiedades, tal como ocurría con el binomial. Por ejemplo, la primera diagonal de la izquierda contiene los números naturales, 1, 2, 3, 4, … y la segunda los triangulares, 1, 3, 6, 10, 15, …Igualmente, si en los binomiales la suma por filas era 2ⁿ, aquí es 3ⁿ. Por ejemplo, 1+3+6+7+6+3+1=27=3³

Estos números se pueden interpretar también como los coeficientes de la potencia (1+x+x²)ⁿ

Por ejemplo, para n=4 nos queda, en wxMaxima:

Los coeficientes coinciden con los de la fila 4 del triángulo.

Para distinguir estos coeficientes de los binomiales, se suele añadir un 2 a la derecha de su símbolo. El resto queda igual porque vemos que dependen de solo dos parámetros. Así que, a partir de ahora, los representaremos así:

En ese símbolo k es un entero que cumple -n ≤ k ≤ n, por lo que puede tomar valores negativos. Lo podemos interpretar como la diferencia entre el lugar central de la fila y el del término definido.

Cálculo directo

Según la Wikipedia, existe una fórmula para el cálculo directo:

Usa un sumatorio algo complicado, por lo que es más directo y formativo el seguir la recurrencia definida.

Por recurrencia

El esquema de recurrencia ya presentado se puede traducir a una función directa, en la que dados n y k nos devuelva el coeficiente correspondiente en el triángulo trinomial. Para ello, traducimos las filas de hoja de cálculo a dos vectores u(i) y v(i) que comiencen y terminen con ceros, y con ellos ir construyendo la recurrencia hasta llegar al coeficiente deseado:

Function trinomial2(n, k)

Dim u(50), v(50), i, j, h, t

 

 

For i = 1 To 2 * n + 3: u(i) = 0: v(i) = 0:  Next I ‘Se rellenan los vectores con ceros

u(n + 3) = 1 ‘Primer coeficiente

For i = 1 To n ‘Se trabaja hasta la fila n

For j = 3 To 2 * n + 3 ‘Longitud de la fila contando con ceros iniciales

v(j) = u(j - 1) + u(j) + u(j + 1) ‘Recurrencia

Next j

For h = 3 To 2 * n + 3: u(h) = v(h: Next h ‘Se copia v(i) en u(i)

For h = 1 To 2 * n + 1: v(h) = 0: Next h ‘Y se rellena con ceros

Next i

t = u(n + k + 3) ‘Se localiza el coeficiente pedido

trinomial2 = t

End Function

 

Aunque parece algo complejo, funciona con rapidez. En la imagen se recogen los coeficientes correspondientes a n=5 y n=6:

Coeficientes centrales

Los números centrales de cada fila poseen importancia propia. Por eso, en OEIS, se les dedican muchas referencias y descripciones de propiedades. Aquí sólo se darán algunos detalles, remitiendo para un estudio completo a la página https://oeis.org/A002426.

Su cálculo no es difícil. En la página mencionada se usa la definición como coeficientes de  (1+x+x²)ⁿ, pero eligiendo el coeficiente número n. Se propone este código PARI de fácil comprensión, extendido aquí con un bucle FOR:

a(n) = if( n<0, 0, polcoeff( (1 + x + x^2)^n, n))

for(k=0,20,print1(a(k),", "))

Su resultado, en la página oficial de PARI es:

Coincide con lo publicado.

Con nuestra función trinomial2(n,k) basta dar a k el valor 0. Así se ha efectuado para crear esta columna de Excel:

Una interpretación interesante de estos números es la de David Callan, que los identifica con el número de sucesiones de n elementos tomados del conjunto (1, 2, 3, … n), crecientes en sentido amplio, en las que ningún elemento se repite más de dos veces. Propone como ejemplo si n = 3, las sucesiones son 112, 113, 122, 123, 133, 223, 233, es decir, son siete como indica su coeficiente central.

He añadido la condición FMAX a mi herramienta Cartesius (https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius) y, aunque aún no está publicada, la he usado para comprobar esta propiedad. He concretado las condiciones siguientes:

xtotal=5

xt=1..5

FMAX<3

Creciente

Con ellas se combinan en arreglos crecientes los números del 1 al 5, con la condición de que la frecuencia máxima sea 2, tal como plantea David Callan, y se han obtenido 51 posibilidades, como corresponde al coeficiente central de orden 5. Este recorte contiene los primeros y su total: