lunes, 31 de enero de 2022

Números triangulares (3) Propiedades interesantes

 

Continuamos la publicación de curiosidades sobre los números triangulares, que ya iniciamos en las dos entradas anteriores a esta.

Teorema de Gauss

 En la página de Wikipedia en español dedicada a los números triangulares, https://bit.ly/2Y2p6qc, puedes leer la historia del descubrimiento de Gauss de que todo número es suma de tres triangulares, si admitimos el 0 y la existencia de repetidos.

Por ejemplo,  elegido al azar el número 23761, se puede comprobar que, entre otros muchos casos, equivale a la suma T(67)+T(92)+T(185). Con cualquier calculadora se verifica que 67*68/2+92*93/2+185*186/2=23761.

Lo interesante es que, en general, existen muchas sumas de este tipo para un mismo número. En el de nuestro ejemplo, 23761, más de cien. En la imagen hemos recortado parte de ellas:

 


Es interesante destacar que también pueden existir sumas de dos triangulares, o, lo que es igual, que uno de los tres sea 0. Aquí tienes un ejemplo para 23761:

23761=25*26/2+216*217/2

Con el siguiente programa en PARI puedes descomponer un número en todas las ternas posibles de triangulares:

u=23761;for(i=0,sqrt(2*u+1),p=i*(i+1)/2;for(j=i,u-p/2,q=j*(j+1)/2;v=u-p-q;if(issquare(8*v+1),if(v>=p&&v>=q,print(p,", ",q,", ",v)))))

Para otro número cualquiera basta sustituir u=23761 por el valor adecuado. Por ejemplo, para u=73 quedaría:

 

El listado ha sido recortado al probar el algoritmo para el 73 en https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

También aquí hay una solución con dos triangulares (y el cero).

 

Toda cuarta potencia es suma de dos triangulares de dos formas distintas

La primera forma se desprende de una propiedad vista con anterioridad, y es que todo cuadrado es suma de dos triangulares consecutivos. Si lo adaptamos a una cuarta potencia quedará:

 

Por ejemplo, 3^4=81=9(9+1)/2+9(9-1)/2=45+36=T(9)+T(8)

La segunda forma se basa en una identidad algebraica. Descompone la cuarta potencia en el triangular de orden n2-n-1 y el de orden n2+n-1, es decir:

   n4=(n2-1-n)(n2-1-n+1)/2+(n2-1+n)(n2-1+n+1)/2

Hemos comprobado esta identidad con la calculadora Wiris (que usa la variable X en lugar de N):

 


Así, por ejemplo, se cumple: 

5^4=625=T(19)+T(29)=19*20/2+29*30/2=190+435=625

 

La suma de los cuadrados de dos triangulares consecutivos es otro triangular

Por ejemplo, T(3)2+T(4)2=62+102=136=T(42)

En este ejemplo resulta el triangular cuyo orden es el cuadrado del  mayor orden de los sumandos. Se puede demostrar sin problemas:

 


Dejamos aquí las propiedades generales de los números triangulares. En muchas otras entradas del blog podrás encontrar otras más específicas.

 

 

 

 

 

 

 

viernes, 21 de enero de 2022

Números triangulares (2) Primeras propiedades y significados varios

Continuamos el tema de los números triangulares con propiedades sencillas y algún significado. No se tratarán de forma exhaustiva, sino que se elegirán las que mejor se adapten a las técnicas usadas en este blog.

Propiedades sencillas

 Los números triangulares terminan en 0, 1, 3, 5, 6 u 8.

Aquí tienes los desarrollos en todos los casos posibles según la última cifra:

1*2/2=1, 2*3/2=3, 3*4/2=6, 4*5/2=10, 5*6/2=15, 6*7/2=21, 7*8/2=28, 8*9/2=36, 9*10/2=45

Las terminaciones son las previstas.

 

La suma de Tn y Tn-1 es un cuadrado perfecto o, si se quiere usar la terminología pitagórica, un número cuadrado.


Lo vemos con la fórmula:

Ahora lo entenderemos mejor con una imagen:

 


Estos dos triangulares son consecutivos, uno de lado 4 y otro de lado 5, y adosados forman un cuadrado.


Inserción de paréntesis

Un número triangular, al ser también un número combinatorio, se puede interpretar como el número de formas de insertar un par de paréntesis entre varias letras. Por ejemplo, entre tres letras XYZ se pueden insertar así: (X)YZ (XY)Z (XYZ) X(Y)Z X(YZ) XY(Z), que son seis, al igual que el número triangular T(4)=4*3/2.

En general, si tenemos k letras, los paréntesis se pueden situar en k+1 huecos y como han de ir de dos en dos, serán combinaciones de k+1 objetos sobre 2. Son combinaciones porque los símbolos “(“ y “)” no se pueden intercambiar.

 

Relación con un cubo

Todo cubo equivale a la diferencia entre los cuadrados de dos triangulares consecutivos.

Por ejemplo, 8 es la diferencia entre 3^2 y 1^2, los primeros triangulares.

No es difícil demostrarlo. Aquí tienes el desarrollo:

T(n+1)2-T(n)2= (n+1)²(n+2)²/4-(n+1)²n²/4 = (n+1)2(4n+4)/4 = (n+1)3

  

Apretones de manos

Por ser un número combinatorio, los triangulares resuelven el problema del número de apretones de manos distintos que se pueden dar en una reunión. Si asisten N personas, se podrán dar la mano de  N(N-1)/2 formas, lo que equivale a T(n-1).

 

Equivalencias entre triangulares

 

T(a+b)=T(a)+T(b)+ab


Algebraicamente se deduce con facilidad:

 

En la imagen, el triángulo total equivale a T(7)=21, Los círculos rojos, T(3)=6, los verdes, T(4)=10, y los cuadrados, 3*4=12. Se cumple esta igualdad: T(3+4)=T(3)+T(4)+3*4

 

 

Triangular del producto

T(ab)=T(a)*T(b)+T(a-1)*T(b-1)

Lo demostramos algebraicamente:

Restamos los primeros productos y comprobamos que la diferencia coincide con el tercer producto:

T(ab)-T(a)*T(b)=ab*(ab+1)/2-a(a+1)/2*b(b+1)/2=(2a²b²+2ab-(a²+a)(b²+b))/4=(2a²b²+2ab-a²b²-a²b-ab²-ab)/2=(a²b²-a²b-ab²+ab)/4=ab(a-1)(b-1)/4=T(a-1)*T(b-1)

Por ejemplo:

T(3)=6, T(4)=10, T(3*4)=T(12)=12*13/2=78

T(3)*T(4)=6*10=60, T(3-1)=T(2)=3, T(4-1)=T(3)=6, luego 78=6*10+3*6=60+18=78.

 

Triangulares que son cuadrados

Hay triangulares, como 1 y 36, que son también cuadrados. Los primeros son:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881,… (http://oeis.org/A001110)

Puedes profundizar este concepto en mi entrada de blog

https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/10/damos-vueltas-los-triangulares.html

y en su siguiente.

En ellas se deducen varias recurrencias basadas en una ecuación de Pell. La más popular, que coincide con Wikipedia, es A(n)=34A(n-1)-A(n-2)+2. Con ella es fácil obtener todos los triangulares cuadrados a partir del o y el 1. Se puede construir con hoja de cálculo.

 



Suma de los primeros números triangulares

La suma de los n primeros números triangulares es también conocida como número tetraédrico, así el enésimo número tetraédrico es la suma de los primeros n números triangulares.

 


Su expresión es:

 


Si escribimos un número triangular como (n2+n)/2, podemos separar la suma de triangulares en la mitad de la de los cuadrados y de los enteros. Para cada uno le aplicamos la fórmula correspondiente:

S(n)=(12+22+32+42+….n2+1+2+3+4+…n)/2=n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)/4=n(n+1)(2n+1+3)/12=n(n+1)(n+2)/6

Es fácil ver que esta suma coincide con un número combinatorio:

 


Por ejemplo, 1+3+6+10+15+21=56, que es el número combinatorio de 8 sobre 3 (se puede comprobar en Excel con COMBINAT(8;3)

 

Límite de la suma de inversos

Otro resultado muy interesante es el de que la suma de los inversos

de los números triangulares tiende a 2. Si quieres desarrollarlo

basta que pienses que 1/3 = (2/2 - 2/3), 1/6 = (2/3 - 2/4) y así

sucesivamente. Desarrolla la suma y verás anularse términos.

 

Los triangulares en la suma de cubos

La suma de los n primeros cubos equivale al cuadrado del triangular de orden n

Es fácil demostrarlo por inducción. Se cumple en los primeros casos

1=12

1+8=32

1+8+27=62

 Para completar la inducción a T(n)2 le sumamos otro cubo y se convierte en T(n+1)2. Esta equivalencia se puede comprobar con la calculadora Wiris:

 

En una tercera entrada completaremos las propiedades más básicas de los números triangulares.

 

martes, 11 de enero de 2022

Números triangulares (1) Definición y primeras propiedades

 Iniciamos aquí una serie de tres entradas sobre números triangulares. Como es costumbre en este blog, se usarán como instrumentos de cálculo Excel y el lenguaje PARI. Se pretende recorrer muchas de las propiedades interesantes de estos números bajo el aspecto de su relación con fórmulas y cálculos, evitando referencias teóricas que ya están estudiadas en otros ámbitos.

Número triangular

Un número triangular es aquel cuyas unidades se pueden situar en

forma de triángulo:

 


En la imagen puedes observar que estas unidades se cuentan por diagonales:

1+2+3+4+5+6+7+8=36

Por tanto, 36 es un número triangular. La misma imagen te sugiere la primera definición de un número triangular, como la suma de los primeros números naturales:

Los primeros números triangulares son:

1, 3, 6, 10, 15, 21,…

El 1 se define como triangular por convenio, ya que no tiene esa forma, pero cumple la definición de más arriba y otra que veremos más adelante.

Puedes consultar la sucesión de números triangulares en

https://oeis.org/A000217

 En esa página OEIS también incluyen el 0, pero no lo consideraremos aquí.

 

Generación mediante una hoja de cálculo

Es muy fácil acumular los primeros números naturales para crear una lista de números triangulares. En la siguiente figura lo tienes explicado:

 


En la columna A se han escrito los números naturales. Tal como se explica en la imagen, se declara A1=1 y en el resto de la columna, se define cada elemento como el anterior más una unidad: An=An-1+1.

Siguiendo la explicación de la imagen, en la columna B definimos B1 como igual a A1, lo que constituye la primera suma, y, por tanto, el primer número triangular. Después, cada triangular se forma sumando el elemento de su izquierda con el de arriba, es decir: Bn=An+Bn-1.

En toda la serie tendrás a tu disposición hojas de cálculo descargables. La imagen anterior está tomada del archivo triangulos1.xlsm, descargable desde

 http://www.hojamat.es/blog/triangulos1.xlsm

Esta generación de triangulares tiene una consecuencia que el autor usa a menudo en otro tipo de publicaciones, y es que cualquier suma de números consecutivos equivale a la diferencia entre dos números triangulares. Es como si truncáramos el triángulo eliminándole un triángulo menor, hasta dejar un trapecio:

 


En esta imagen vemos representada la suma 4+5+6+7+8, que, con un poco de imaginación podemos interpretar como la diferencia entre el triángulo de lado 8 y el de lado 3:

 4+5+6+7+8 = 30 = 8*9/2-3*4/2 = 36-6 = 30

 

Fórmulas para los números triangulares

Un número triangular es la suma de una progresión aritmética, luego podemos aplicar la fórmula general de las progresiones a este caso particular

 


Aquí viene bien recordar la anécdota de Gauss niño. La tienes en

(https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss)

Esta fórmula, n(n+1)/2, es la más popular y más usada para el cálculo de los números triangulares. En la hoja triangulos1.xlsm la tienes implementada como TRIANGULAR

En realidad, esta fórmula se corresponde con la del número combinatorio C(N+1; 2). Por tanto, también nos servirá la expresión en Excel =COMBINAT(N+1;2), que es la segunda implementada en la hoja triángulos1.xlsm.

Esto significa que los números triangulares constituyen la tercera diagonal del triángulo de Pascal. Lo vemos en Excel:

 

Definición por recurrencia

Esta es una mera curiosidad, porque en Excel, aunque las recurrencias funcionan, pueden presentar problemas para números grandes. La idea es definir un número triangular de esta forma:

Si N=1, TRIANGULAR(N)=1

Si N>1, TRIANGULAR(N)=N+TRIANGULAR(N-1)

Simplemente definimos un número triangular como el resultado de sumar el número de orden al triangular anterior. Para nosotros será un entretenimiento. Este sería el listado de la función recurrente, a la que hemos rotulado como TRIANGULAR_R:

Public Function triangular_r(n)

If n = 1 Then

triangular_r = 1

Else

triangular_r = n + triangular_r(n - 1)

End If

End Function

 

No necesita explicación, ya que reproduce la definición por recurrencia. La tienes implementada en la misma hoja de definiciones:

 


Esta definición por recurrencia nos sirve también para demostrar la fórmula general mediante inducción completa:

T(1)=1

T(n+1) = T(n)+n+1 = n(n+1)/2+n+1 = (n(n+1)+2(n+1))/2=(n+1)(n+2)/2

  

Reconocimiento de los números triangulares

Existe una propiedad sencilla para saber si un número es triangular o no.  La idea es que si adosamos de forma conveniente un triangular consigo mismo ocho veces, se forma un cuadrado al que le falta una unidad.

En la imagen vemos el número triangular 6 adosado ocho veces y dejando el hueco central vacío. Por tanto, si le sumamos esa unidad, se convertirá en un cuadrado: 6*8+1=49=72

Este es un buen criterio para reconocer un número triangular T, que 8T+1 sea un cuadrado. Se puede confirmar de forma algebraica:

 

En la imagen, n=3, y el lado del cuadrado es 2*3+1=7

Este criterio nos permite crear la función ESTRIANGULAR en Excel o Calc:

Function estriangular(n) As Boolean

If escuad(8 * n + 1) Then estriangular = True Else estriangular = False

End Function

En PARI, el código es más compacto:

istriangular(n)=issquare(8*n+1)

En este blog hemos usado muy a menudo estas funciones.

Si en el cuadrado formado despejamos la variable n, obtendremos el orden de ese número triangular:

Public Function ordentriang(n)

Dim k

If estriangular(n) Then k = Int((Sqr(8 * n + 1) - 1) / 2) Else k = 0

ordentriang = k

End Function

Le hemos asignado un cero a los números que no son triangulares.

Con estas funciones podemos encontrar el triangular más próximo a un lado u otro de un número. Usaremos estas funciones:

El mayor número triangular menor o igual que N:

Public Function prevtriang(n)

Dim k

k = Int((Sqr(8 * n + 1) - 1) / 2)

prevtriang = k * (k + 1) / 2

End Function

El menor triangular mayor que N

Public Function proxtriang(n)

Dim k

k = ordentriang(prevtriang(n))

proxtriang = (k + 1) * (k + 2) / 2

End Function

En la hoja de referencia http://www.hojamat.es/blog/triangulos1.xlsm lo hemos implementado.

 


Si el número del rectángulo amarillo es triangular, nos devuelve su orden y, en caso contrario, el triangular anterior y posterior.


Una curiosidad

Si en lugar de buscar 8T+1 para obtener un cuadrado, lo intentamos con 9T+1, resultará un triangular. Si T es de orden n, 9T+1 será de orden 3n+1. Basta ver esta equivalencia:

 

Por ejemplo, T(10)=55, 9T(10)+1=496=T(31)=T(3*10+1)