Los cinco cubos

En mis cálculos sobre fechas publicados en Twitter (@connumeros), a los que hacemos referencia frecuentemente en este blog, acudo casi a diario a la descomposición de un número de fecha en suma de cinco cubos o menos. El elegir el cinco se debe a limitaciones de nuestro equipo y de cualquier hoja de cálculo, que necesitan gran tiempo de cómputo para más sumandos, y al mismo atractivo de la descomposición, que queda bastante legible con pocos sumandos, pero que se complica de seis en adelante. Es, pues, una elección práctica con vistas a una publicación divulgativa.

Por ejemplo, la fecha 8/2/19 da lugar al número 8219, que se puede expresar con tres cubos:

8219=3³+16³+16³

Al día siguiente ya se necesitan cuatro:

9219=9³+13³+13³+16³ o bien 9219=3³+10³+16³+16³

Sin embargo, el día 10/2/19 necesita cinco, y el día 11 no se puede descomponer así. El número 11219 necesita más de cinco cubos.

Teorema de Waring

Esta cuestión que planteamos aquí es un caso particular del Teorema de Waring. Puedes leer sobre este teorema en

https://en.wikipedia.org/wiki/Waring%27s_problem

 y

http://mathworld.wolfram.com/WaringsProblem.html

Según Waring, y en el caso que nos ocupa, el número mínimo para que todos los números puedan ser engendrados por una suma de cubos es 9, pero él lo conjeturó nada más. En las páginas enlazadas puedes ver que este número de potencias se expresa como g(n), con lo que la afirmación anterior se puede expresar como g(3)=9. En 1909, Wieferich lo demostró. Aquí solo nos interesará el caso de cinco cubos o menos.

Los cinco cubos

Nos planteamos pues, con qué frecuencia van apareciendo números en la serie natural que no se puedan expresar como suma de no más de cinco cubos. Para ello estudiaremos los casos en los que el número de cubos es 1, 2, 3, 4 o 5, y los números buscados serán el complemento de la unión de estos. El proceder así es debido a que los casos positivos (que sí admiten suma de cinco cubos o menos) tienen interés por ellos mismos, y que ya han sido publicados. Los iremos presentando según el número de sumandos.

En todo el estudio usaremos a función POTE5(N;Z), en la que Z es el exponente, aunque en esta entrada solo usaremos el valor 3. Esta función devuelve “NO” si el número no admite suma de cinco cubos o menos, o bien, en caso afirmativo, una cadena de texto que comience presentando el número mínimo de sumandos, seguido de las diversas soluciones si el resultado es afirmativo.

Por ejemplo, para 10219 devuelve:

POTE5(10219;3)= EC  5 &&&  &  1 ,  12 ,  13 ,  13 ,  16 &  3 ,  10 ,  10 ,  16 ,  16 &  9 ,  10 ,  13 ,  13 ,  16

Los dos primeros caracteres los ignoramos por ahora, ya que serán usados por otras funciones. El primer 5 indica que el número mínimo de cubos es 5 y, a continuación se incorporan las tres soluciones del problema:

10219=1³+12³+13³+13³+16³

10219=3³+10³+10³+16³+16³

10219=9³+10³+13³+13³+16³

Si aplicamos la función a 11219 nos devolverá “NO”.

El algoritmo es algo complejo, porque se usan cinco bucles, y, para capturar bien las soluciones, no se han simplificado mucho. En el ANEXO del final del tema tienes la codificación en Visual Basic de Excel.

Vemos los casos particulares:

Un cubo

Es el problema trivial. Los números serán los cubos perfectos, 1, 8, 27, 64,…Los tienes publicados en http://oeis.org/A000578 y no hay más que decir.

Dos cubos

Si establecemos una búsqueda con nuestra función POTE5, obtendremos el siguiente listado:

Ignora los dos caracteres en mayúscula (El primero es el número de cubos, que aquí siempre será B, y el segundo el número de soluciones, que ves es A para una solución y B para dos)

Junto a cada solución se presentan las bases de la suma. Por ejemplo, 91=3³+4³. Observa que algunos también presentan soluciones más complejas con cuatro o cinco cubos.

Si recordáis la anécdota de la matrícula del taxi de Ramanujan (https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Hardy-Ramanujan), sabréis que el primer número que presenta dos soluciones es 1729.

POTE5(1729;3)=”BD  2 &&&  &  1 ,  3 ,  3 ,  7 ,  11 &  1 ,  6 ,  8 ,  10 &  1 ,  12 &  9 ,  10”

Nuestra función afirma que el mínimo de cubos es 2 y devuelve cuatro soluciones, de las que las dos últimas se corresponden con la afirmación de Ramanujan:

1729=1³+12³=9³+10³

 Los primeros números con esta propiedad están publicados en http://oeis.org/A003325 y vemos que coinciden con nuestra tabla.

A003325                            Numbers that are the sum of 2 positive cubes.    

2, 9, 16, 28, 35, 54, 65, 72, 91, 126, 128, 133, 152, 189, 217, 224, 243, 250, 280, 341, 344, 351, 370, 407, 432, 468, 513, 520, 539, 559, 576, 637, 686, 728, 730, 737, 756, 793, 854, 855, 945, 1001, 1008, 1024, 1027, 1064, 1072, 1125, 1216, 1241, 1332, 1339,

Se puede destacar en esta publicación el comentario de Zak Seidov, en el sentido de que si n pertenece a la sucesión, también pertenecerán los múltiplos de n del tipo n*m³ (m >= 2). Esto garantiza que la sucesión es infinita.

Tres cubos

Procedemos de la misma forma que en el caso de dos cubos:

Algunos números presentan dos soluciones, en las que solo una está formada por tres cubos. Hay que seguir hasta el 251, que sí presenta dos soluciones de ese tipo:

251 = 1³+5³+5³ = 2³+3³+6³

Esta sucesión está publicada en http://oeis.org/A003072

A003072                            Numbers that are the sum of 3 positive cubes.                   

3, 10, 17, 24, 29, 36, 43, 55, 62, 66, 73, 80, 81, 92, 99, 118, 127, 129, 134, 136, 141, 153, 155, 160, 179, 190, 192, 197, 216, 218, 225, 232, 244, 251, 253, 258, 270, 277, 281, 288, 307, 314, 342, 344, 345, 349, 352, 359, 368, 371, 375, 378, 397, 405, 408, 415, 433, 434

También en esta se puede afirmar que todo elemento multiplicado por un cubo sigue perteneciendo, y que por tanto la sucesión es infinita.

Cuatro cubos

Abreviamos. Este es el listado obtenido mediante nuestra función POTE5:

Aquí también aparecen soluciones dobles en 82 y 89.

Están publicados en http://oeis.org/A003327

En este caso se ha conjeturado que todo número mayor que 7373170279850 pertenece a la sucesión. Puedes consultar

https://www.ams.org/journals/mcom/2000-69-229/S0025-5718-99-01116-3/

Cinco cubos

Llegamos al número de cubos que nos interesa. También es fácil encontrar los números que admiten una descomposición en cinco cubos:

Observamos que son frecuentes. El primero en presentar dos soluciones es 157, pues

157 =  1³+1³+3³+4³+4³  = 2³+2³+2³+2³+5³

Están publicados en http://oeis.org/A003328

Números que no admiten descomposición en suma de cubos

Estos son los números que más nos interesan, aquellos que no admiten ninguna forma de descomposición en suma de cubos desde 1 hasta 5. Alguno de ellos necesitará hasta 9 cubos, según el teorema de Waring.

Para encontrarlos basta imponer la condición de que POTE5(N;3)=”NO”.

Los primeros son estos:

6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 34, 39, 41, 42, 46, 47, 48, 49, 50, 53, 58, 60, 61, 69, 76, 77, 79, 84, 85, 86, 87, 95, 98

También se han publicado. Los tienes en http://oeis.org/A069136

Se puede conjeturar que esta sucesión es finita.

Este listado presenta los menores de 100, y son 32. Es de esperar que en otro rango de 100 aparezcan menos. Por ejemplo, de 1000 a 1100 son

1013, 1019, 1020, 1021, 1022, 1023, 1039, 1049, 1050, 1058, 1068, 1076, 1084, 1085, 1095.

Son solo 15.

Desde 10000 a 10100 aparecen siete: 10003, 10004, 10013, 10039, 10049, 10066, 10094.

Así podríamos seguir. Se puede conjeturar que terminarán desapareciendo en rangos mayores.

Estadísticas con los rangos de fechas

Las fechas que uso en Twitter pertenecen al rango aproximado de (1100,320000). Con una hoja de cálculo y la complejidad de la función POTE5 es desaconsejable estudiar completo este intervalo. Por eso, usaremos distintas estrategias para estudiarlo.

A) Frecuencia de los números que no admiten ser expresados como suma de cubos del 1 al 5:

Recorreremos varios intervalos de longitud 10000 hasta ver que los resultados llegan a un cierto estancamiento. Al llegar a 50000 ya se ve que los porcentajes no llegan al 5%

Hay que dejar claro que estos casos sí pueden pertenecer a números que necesiten seis o más cubos. Estamos tratando de los que no admiten cinco cubos o menos. Se percibe con claridad la disminución de los porcentajes, por lo que podemos confiar en que gran número de fechas de cada año admitan “los cinco cubos”, o menos. Con esta herramienta que hemos creado se detectan con más facilidad, por lo que incrementarán estos desarrollos en nuestros cálculos diarios en Twitter (@connumeros).

B) Tabla de doble entrada con resultados para 2, 3, 4 y 5 cubos

Hemos dividido, de forma aproximada, los rangos de fechas en distintos intervalos. En cada uno de ellos se han estudiado 51 números consecutivos, para tener una idea de cómo se pueden distribuir en la totalidad, dato que está fuera del alcance de nuestra hoja de cálculo.

Se ha llegado a esta tabla de doble entrada:

Los totales no valen siempre 51 porque faltan casos. Sólo hemos reflejado los de 2 a 5. La sorpresa en ellos, aunque no hay que darlo por cierto, es que parece haber más números con un mínimo de cuatro cubos que los que necesitan cinco. En los casos 2 y 3 es normal que presenten frecuencias bajas.

C) Recorrido aleatorio

Con la función RND (equivalente a ALEATORIO) hemos creado una columna de 200 números al azar dentro del rango de fechas. Los resultados confirman lo descubierto en el anterior procedimiento, y es que el caso más frecuente es el de cuatro cubos, seguido del de 3, siendo los otros casos mucho menos frecuentes. Como en las tablas anteriores, el  0 se interpreta como que el número necesita seis o más cubos. Estos han sido los resultados:

Como conclusión, a partir de ahora no hay que extrañarse de la frecuencia con la que una fecha del año permita una suma de tres a cinco cubos.

ANEXO

Código de la función POTE5

Public Function pote5$(n, z)

Dim i, j, k, p, q

Dim a, b, c, d, e

Dim f, g, h, m, mini, nume

Dim s$

a = n ^ (1 / z) + 0.1

s$ = ""

mini = 5: nume = 0

For i = 1 To a 'primera

If n = i ^ z Then

s$ = s$ + " & " + Str$(i)

If mini > 1 Then mini = 1

nume = nume + 1

End If

f = n - i ^ z

If f > 0 Then

b = f ^ (1 / z) + 0.1

For j = i To b 'segundo

If n = i ^ z + j ^ z Then

s$ = s$ + " & " + Str$(i) + " , " + Str$(j)

If mini > 2 Then mini = 2

nume = nume + 1

End If

g = n - i ^ z - j ^ z

If g > 0 Then 'tercero

c = g ^ (1 / z) + 0.1

For k = j To c 'tercero

If n = i ^ z + j ^ z + k ^ z Then

s$ = s$ + " & " + Str$(i) + " , " + Str$(j) + " , " + Str$(k)

If mini > 3 Then mini = 3

nume = nume + 1

End If

h = n - i ^ z - j ^ z - k ^ z

If h > 0 Then 'cuarto

d = h ^ (1 / z) + 0.1

For p = k To d 'cuarto

If n = i ^ z + j ^ z + k ^ z + p ^ z Then

s$ = s$ + " & " + Str$(i) + " , " + Str$(j) + " , " + Str$(k) + " , " + Str$(p)

If mini > 4 Then mini = 4

nume = nume + 1

End If

m = n - i ^ z - j ^ z - k ^ z - p ^ z

If m > 0 Then 'quinto

e = m ^ (1 / z) + 0.1

For q = p To e 'quinto

If n = i ^ z + j ^ z + k ^ z + p ^ z + q ^ z Then

s$ = s$ + " & " + Str$(i) + " , " + Str$(j) + " , " + Str$(k) + " , " + Str$(p) + " , " + Str$(q)

nume = nume + 1

End If

Next q 'quinto

End If 'quinto

Next p 'cuarto

End If 'cuarto

Next k 'tercero

End If 'tercero

Next j ' segundo

End If 'segundo

Next i 'primer cubo

If s$ = "" Then s$ = "NO" Else s$ = Chr$(64 + mini) + Chr$(64 + nume) + " " + Str$(mini) + " &&& " + s$

pote5$ = s$

End Function

Productos cíclicos

En los cálculos sobre fechas que publico en Twitter (@connumeros), uso a menudo el desarrollo de números naturales mediante expresiones del tipo N=a*b+b*c+c*a, a las que llamaré productos cíclicos, dando por supuesto que solo se usarán tres números enteros positivos a, b y c. No se extenderá el estudio a más sumandos.

Por ejemplo, 16119=69*75+75*76+76*69.

Adelantaremos el hecho de que casi todos los números enteros admiten este tipo de representación y, en general, con muchas soluciones. Las excepciones las iremos viendo a lo largo de la entrada.

Primer caso: 1<=c<=b<=a

Según acotemos los sumandos llegaremos a soluciones distintas. En primer lugar supondremos que 1<=c<=b<=a. Dado que los tres pueden alcanzar un valor mínimo de 1, no es difícil calcular la cota que tendría a:

Si es ab+bc+ca=N, entonces a=(N-cb)/(c+b), luego bc<N y como b>=c>=1, a<(N-bc)/2<=(N-1)/2, que sería el caso en el que b=c=1.

Podemos recorrer valores de a entre 1 y (N-1)/2, que sería el caso en el que b y c valieran 1. Y b puede también recorrer desde 1 hasta el valor actual de a. Con esos valores, la tercera constante c se calculará mediante c=(N-ab)/(a+b)

Estas consideraciones las podemos plasmar en una función que devuelva todas las descomposiciones de un número en productos cíclicos. Últimamente, para recoger varias soluciones acudimos a funciones tipo texto (string), acudiendo a la palabra “NO” cuando no exista descomposición en producto cíclico.

En este caso usamos la siguiente función:

Public Function prodciclo$(n)

Dim s$

Dim i, j, k

s$ = "" ‘Variable que recogerá las soluciones

For i = 1 To (n - 1) / 2 ‘Recorrido de la variable a

j = 1

While j <= i And j < n / i ‘Recorrido de b

k = (n - i * j) / (i + j) ‘Se calcula la tercera variable c

If k = Int(k) And k <= j Then s$ = s$ + Str$(i) + Str$(j) + Str$(k) + "  " ‘Se incorpora otra solución

‘k tiene que entero y menor o igual que j

j = j + 1

Wend

Next i

If s$ <> "" Then prodciclo = s$ Else prodciclo = "NO"

End Function

Números que no admiten un producto cíclico

Al construir una búsqueda con esta función nos llevamos la sorpresa de que los números que no admiten producto cíclico solo son estos:

1, 2, 4, 6, 10, 13, 18, 22, 25, 30, 42, 58, 70, 78, 102, 130, 190, 210, 330, 462

Se puede aceptar la conjetura de que no hay más números con esa característica, ya que al ir aplicando la función a números grandes, aumenta mucho el número de soluciones. Por ejemplo, 21823 admite las soluciones para a, b y c:

89 87 80   111 83 65   113 75 71   117 76 67   119 89 54   121 91 51   125 123 26   137 99 35   139 139 9   145 63 61   146 95 33   147 97 31   153 104 23   159 97 25   163 100 21   167 72 41   169 99 19   175 123 1   185 63 41   186 67 37   187 61 42   193 91 15   197 89 15   200 93 11   213 83 14   217 75 19   219 67 25   221 71 21   225 58 31   226 45 43   231 65 23   232 67 21   233 51 35   247 87 1   287 65 9   293 51 20   297 71 2   309 35 32   325 33 31   340 63 1   343 36 25   351 61 1   357 40 19   401 38 15   409 37 15   411 41 11   453 28 19   463 25 21   485 23 21   495 43 1   501 35 8   583 28 9   674 17 15   681 31 1   703 30 1   833 15 11   947 21 2   991 21 1   1360 9 7   1363 15 1   1677 11 2   1983 10 1   2726 5 3   2727 7 1   5455 3 1 

Vemos que en esta variante se admite el 1 como factor en el producto.

Con PARI también puedes detectar los números que no admiten estos productos cíclicos. Su código imita la función anterior, pero usa números como resultado en lugar de textos.

for(n=1,2000,a=0;for(i=1,(n-1)/2,j=1;while(j<=i&&i*j<n&&a==0,b=n-i*j;if(b%(i+j)==0,k=b/(i+j);if(k<=j,a=1));j+=1));if(a==0,print1(n,", ")))

Resultado

Estos números están publicados en OEIS (http://oeis.org/A025052)

A025052 Numbers not of form ab + bc + ca for 1<=a<=b<=c (probably the list is complete).              

1, 2, 4, 6, 10, 18, 22, 30, 42, 58, 70, 78, 102, 130, 190, 210, 330, 462

According to Borwein and Choi, if the Generalized Riemann Hypothesis is true, then this sequence has no larger terms, otherwise there may be one term greater than 10^11.

T. D. Noe hace notar que en esta sucesión, n+1 es primo. Lo puedes comprobar fácilmente.

Segundo caso: 1<c<b<a

Si restringimos los valores a que sean desiguales y mayores que 1, tampoco es infinita la sucesión de números enteros positivos que no admiten esta representación. De hecho, 1848 es el mayor entre ellos.

Cambiando adecuadamente el código de la función, obtenemos su listado:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 28, 30, 32, 33, 35, 37, 40, 42, 43, 45, 48, 57, 58, 60, 67, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 163, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, 1848.

Se comprueba con PARI:

Se puede usar un código similar al siguiente:

for(n=1,6000,a=0;for(i=2,(n-4)/4,j=2;while(j<i&&i*j<n&&a==0,b=n-i*j;if(b%(i+j)==0,k=b/(i+j);if(k<j,a=1));j+=1));if(a==0,print1(n,", ")))

Estos números están publicados como los números idóneos de Euler en http://oeis.org/A000926

La definición de Euler la tienes en

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_id%C3%B3neo

Sobrepasa nuestra capacidad teórica y los objetivos de este blog demostrar la equivalencia entre ambas definiciones. Si lees los comentarios de la sucesión A000926 de OEIS podrás recorrer las diversas definiciones equivalentes y la posibilidad de que la conjetura sea cierta y con un elemento más.

Casos de unicidad

Son también interesantes los casos en los que solo existe una solución. Para investigarlos habrá que cambiar nuestra función PRODCICLO para que cuente soluciones y sólo nos devuelva un resultado cuando sea único. No lo desarrollamos. Es fácil realizar este cambio.

Se pueden plantear varios casos:

1<=a<=b<=c

Están publicados en http://oeis.org/A093670

La sucesión está acotada en el número 142 (conjetura).

3, 5, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 16, 25, 28, 34, 37, 46, 82, 142

Reproducimos los productos cíclicos mediante nuestra función PRODCICLO

0 < a < b < c

También están publicados los números que presentan un solo producto cíclico de ese tipo:

http://oeis.org/A093669

11, 14, 17, 19, 20, 27, 32, 34, 36, 43, 46, 49, 52, 64, 67, 73, 82, 97, 100, 142, 148, 163, 193

También aquí podemos conjeturar que 193 es una cota. El desarrollo de sus productos es el siguiente:

1<a<b<c

Terminamos con el caso, bastante razonable, de que los factores sean mayores que la unidad y distintos. El listado es un poco largo, por lo que solo se insertan los últimos resultados (conjetura):

Es razonable pensar que 883 es el máximo valor posible en este caso, al menos entre números accesibles a una hoja de cálculo.

Suma de cuadrados de cifras (5) - Suma de cifras que es cuadrada

Continuamos la serie que venimos publicando sobre la suma de los cuadrados de las cifras de un número. Se inserta a continuación la dirección de la primera, y a partir de ella puedes ir leyendo las siguientes, que no son consecutivas, pues tienen intercalados otros temas:

http://hojaynumeros.blogspot.com/2018/11/suma-de-cuadrados-de-cifras-1-un.html

Esta entrada se aparta un poco de la serie, pues no se refiere a la suma de los cuadrados de las cifras, sino a su suma normal. Esta cuestión es bastante simple por lo que no perderemos mucho tiempo con ella. Se incluye para completar posibilidades. Así que olvidamos los cuadrados por ahora y sumamos cifras simplemente.

Suma de cifras que es cuadrada

Para encontrar soluciones basta establecer una búsqueda exigiendo que sumacifras(n;1) (ver esta función en cualquier entrada de la serie) sea un cuadrado. Estas son las primeras soluciones:

1, 4, 9, 10, 13, 18, 22, 27, 31, 36, 40, 45, 54, 63, 72, 79, 81, 88, 90, 97, 100, 103, 108, 112, 117, 121, 126, 130, 135, 144, 153, 162, 169, 171, 178, 180, 187, 196, 202, 207, 211, 216, 220, 225,…

(Están publicadas en http://oeis.org/A028839)

En esta dirección puedes comprobar la sencillez de la búsqueda con el lenguaje PARI:

(PARI) isok(n) = issquare(sumdigits(n)); \\ Michel Marcus, Oct 30 2014

Es muy sencillo encontrar el máximo cuadrado que se puede obtener según el número de cifras. Bastará considerar los números formados sólo por nueves: 999…99. De esa forma, si k es el número de cifras, deberemos resolver 9k>n² y buscar el máximo valor de n. Así tendremos 9 como máximo para una cifra, 16 para dos (ya que 2*9>16), 25 para tres (3*9>25), y así podríamos seguir.

Propiedades de estos números

En A028839 se incluyen dos propiedades interesantes:

              

Difference between two consecutive terms is never equal to 8. - Carmine Suriano, Mar 31 2014

In this sequence, there is no number of the form 3*k-1. In other words, if a(n) is not divisible by 9, it must be of the form 3*k+1. - Altug Alkan, Apr 08 2016.

Ambas están relacionadas, por lo que demostraremos la segunda y de ella se derivará la primera.

Todos los cuadrados son del tipo 9k o 3k+1.

En efecto, si n=3k, n²=9k², múltiplo de 9. Si n=3k+1, su cuadrado será n²=9k²+6k+1=3q+1, y si n=3k-1, n²=9k²-6k+1=3q+1 luego siempre aparece el tipo 9k o 3k+1.

De aquí se deduce la primera propiedad:

Restamos dos consecutivos. Si ambos son múltiplos de 9, su diferencia será:

9q-9p=9(q-p), que es múltiplo de 9 y por tanto no puede valer 8.

Si ninguno es múltiplo de 9, tendríamos:

3p+1-3q-1=3(p-q), no puede ser 8

Si uno es múltiplo de 9 y otro no, la diferencia será (o en orden contrario)

9p-(3q+1)

En ella podemos suponer que q no es múltiplo de 3, pues si no, sustituiríamos q por 3q. Desarrollamos:

9k-(3q+1)=8=3*3-1 llevaría a 9k-3q-1=3*3-1, luego 9k-3q=3*3, 3(3k-q)=3*3, 3k-q=3, luego q es múltiplo de 3, y en su definición no lo es, pues se simplificaría entre 3.

Por tanto, las diferencias nunca pueden valer 8.