Regresos 5 – Un cuadrado y una unidad (2)

Triangulares del tipo n²+1

Si a un número natural le exigimos que sea triangular del tipo n²+1, es equivalente a que su anterior sea un cuadrado. Buscamos, pues, un cuadrado seguido de un triangular. No es difícil plantearlo. En nuestras funciones de Excel sería, usando la conectiva lógica Y:

Y(ESCUAD(N-1);ESTRIANGULAR(N))

Con ella es fácil encontrar los primeros ejemplos de triangulares con la forma n²+1:

10=4*5/2=3²+1

325=25*26/2=18²+1

11026=148*149/2=105²+1

Con PARI podemos usar el criterio issquare(i-1)&&issquare(8*i+1) y obtendríamos fácilmente otro elemento, el 374545.

Estudio algebraico

Podemos plantear que un número triangular sea el consecutivo a un cuadrado:

X*(X+1)/2=Y²+1

Manipulamos esta igualdad buscando una ecuación diofántica tipo Pell-Fermat:

X²+X-2Y²-2=0

4X²+4X+1-8Y²-9=0

(2X+1)²-8Y²=9

Z²-8Y²=9

En este tipo de ecuaciones solemos intentar resolverlas como una ecuación de Pell (en lugar del 9 debería haber un 1 o un -1), para después aprovechar, si es posible, la recurrencia entre soluciones.

Usamos nuestra hoja de cálculo correspondiente (descargable desde http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell)

Sus primeras soluciones son:

Z=9, X=4, Y=3, con el triangular 4*5/2=10 y el cuadrado 3^2=9

Z=51, X=25, Y=18, Triangular 25*26/2=325 y cuadrado 18^2=324

“Engañamos” al algoritmo usando como primera solución Z=9, Y=3, con lo que el resto de soluciones se genera fácilmente de forma recursiva:

Excel no puede seguir con más cifras enteras. Estas soluciones están publicadas en http://oeis.org/A164055:

A164055    Triangular numbers that are one plus a perfect square.    

1, 10, 325, 11026, 374545, 12723490, 432224101, 14682895930, 498786237505, 16944049179226, 575598885856165, 19553418069930370, 664240615491776401, 22564627508650467250, 766533094678624110085, 26039560591564569275626

Con el lenguaje PARI el planteo es muy simple:

for(i=1,10^8,if(issquare(i-1)&&issquare(8*i+1),print1(i,", ")))

Aquí se exige que i sea triangular (issquare(8*i+1)) y que su anterior sea cuadrado (issquare(i-1))

En esta captura de pantalla se comprueba el resultado:

Ha sido interesante estudiar esta sucesión desde varios puntos de vista.

Oblongos del tipo n²+1

Es costumbre nuestra prolongar los estudios sobre triangulares a sus dobles, que son los números oblongos: O(n)=n(n+1). Nuestra sorpresa ha sido que solo existe la solución X=2=1*2 Y=1²

No es difícil justificar esa ausencia. Si planteamos la ecuación lo razonaremos:

X(X+1)=Y²+1

X²+X=Y²+1

Y²-X²=X-1

Esta igualdad solo se cumple para X=1 y X=Y

En los demás casos, con X>1, la diferencia entre X² y su siguiente cuadrado es 2X+1, siempre mayor que X-1, luego no habrá más soluciones.

Poligonales del tipo n²+1

Hemos estudiado ya los triangulares, y los cuadrados no se pueden considerar en este caso porque no tendría sentido, así que probaremos con los pentagonales. Nuestra función ESPOLIGONAL (ver, por ejemplo, https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/09/consecutivos-que-son-poligonales.html) nos puede ayudar con la hoja de cálculo.

Con Excel

Usamos la fórmula de los pentagonales, P(n)=(3*n²-n)/2, y un algoritmo similar, obteniendo:

Pentagonal  Cuadrado

1                   0

5                   4

145             144

2501           2500

43265         43264

Comprobamos con este código PARI:

is(n)={my(m=1+24*n,b=(1+sqrt(m)));issquare(m)&&b%6==0&&issquare(n-1)}

 for(i=1,5*10^8,if(is(i),print1(i,", ")))

Obtenemos:

1, 5, 145, 2501, 43265, 1387685, 24010001, 415425925

Es muy costoso y lento seguir. Lo dejamos en este punto.

Invitamos a repetir el trabajo con hexagonales. Entre los primeros sólo hemos encontrado 1 y 325.

 

 

Regresos 5 – Un cuadrado y una unidad (1)

El día 5 de noviembre de 2008 se publicó en mi blog “Números y hoja de cálculo” una primera versión del tema de los números del tipo n²+1 (https://hojaynumeros.blogspot.com/2008/11/un-cuadrado-ms-una-unidad.html). Después se amplió algo, pero como es un tema interesante, regresamos a él con nuevas ideas y materiales

 

En este regreso estudiaremos números tipo n²+1 según su naturaleza. Lo normal es comenzar con los que son primos

Primos del tipo n²+1

Con cualquier buscador, exigiendo que un número sea primo y de la forma n²+1 obtendremos una lista con los primeros números de ese tipo. Por ejemplo, con Excel nos resultaría

En la tabla figuran los primos P y los valores de n tales que P=n²+1. Hemos usado nuestra función ESPRIMO y la condición de que P coincida con la parte entera de su raíz cuadrada incrementada después en una unidad, o bien que sea cuadrado P-1. Es lógico que el valor de n sea par, salvo el primer caso P=1.

Otra forma de caracterizarlos es que su función PHI (indicatriz de Euler) sea un cuadrado, ya que PHI(N) cuenta los coprimos con N menores que él incluido 1, y en los números primos PHI(P)=P-1, y de ahí que sea un cuadrado en este caso.

Estos números están publicados en http://oeis.org/A002496, y según una conocida conjetura, forman una sucesión infinita

(Ver mi documento “Conjeturas” en http://www.hojamat.es/publicaciones/conjeturas.pdf)

Salvo el caso de 2, todos serán de la forma 4K+1, por ser n par y, según el Teorema de Navidad de Fermat, se descompondrán en suma de cuadrados de forma única. Así que, además de la suma n²+1², no existirá otra similar. Efectivamente, si ampliamos la tabla anterior con nuestra función ESSUMACUAD, obtenemos un resultado único:

N²+1 y los restos cuadráticos

Otra forma de ver la igualdad P=n²+1 es considerar que -1 es un resto cuadrático de P. Puedes estudiar los restos cuadráticos en mi documento de Teoría de las congruencias (http://www.hojamat.es/sindecimales/congruencias/teoria/teorcong.pdf)

Para cada número primo impar P, los números menores que él se dividen en Restos cuadráticos, si son restos de un cuadrado, y No restos cuadráticos, si no existe un cuadrado que presente un resto con ese valor módulo P.

Nuestra hoja de cálculo Congruencias2, (descargable desde http://www.hojamat.es/sindecimales/congruencias/herramientas/herrcong.htm) clasifica los posibles restos en Restos (cuadráticos) y No restos. Por ejemplo, para el 17, que es igual a 4²+1, el -1 (en este caso equivalente a 16) sí figura como resto cuadrático. Lo vemos en la imagen:

En la figura el 16 (-1) como resto, y el 4 (en rojo) como raíz cuadrada.

Los primos como el 23, que no figuran en nuestro listado, no poseerán -1 como resto cuadrático (en este caso 22):

Vemos que el 22 (o su equivalente -1) figura entre los no restos, por lo que 23 no tiene la forma n²+1, como era de suponer.

Estas consideraciones son triviales para el caso de números primos, pero serán útiles más adelante en el apartado de números compuestos.

Compuestos del tipo n²+1

Otras veces n²+1 es  un compuesto, como 26 o 50. En ese caso la figura cuadrada se puede convertir en un rectángulo al añadirle un cuadradito más, pues se formaría uno de 2 por 13 o de 5 por 10 o 2*25.

Podíamos afirmar que estos compuestos son aquellos en los que n²+1 se puede convertir en un rectángulo de lados enteros.

Según la definición de resto cuadrático, si un compuesto del tipo C=n²+1 tiene un divisor primo p, -1 deberá ser resto cuadrático módulo p, tal como vimos en el caso de los primos. Esto es muy importante, porque ningún número compuesto n²+1 podrá ser múltiplo de p si este no admite resto -1. Sería el caso de 23: ningún elemento de la sucesión http://oeis.org/A002496 será múltiplo de 23.

En la sucesión http://oeis.org/A070303 figuran aquellos primos que no pueden ser divisores de un compuesto del tipo n²+1:

3, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 103, 107, 109, 113, 127,…

Así que, por ejemplo, ningún número múltiplo de 7 puede convertirse en cuadrado al restarle una unidad.

Son aquellos que poseen la forma 4k+3, y no equivalen a una suma de cuadrados.

Lo puedes comprobar con este pequeño programa en PARI:

for(i=1,10^6,if(issquare(i*7-1),print(i)))

Al ejecutarlo descubrimos que no imprime nada, dentro del primer millón de primeros múltiplos de 7.

Resumiendo:

        Los restos cuadráticos clasifican, respecto a  expresiones del tipo n²+1, a los números primos en tres clases:

•        Primos que no dividen a este tipo de expresiones: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43,…En la descomposición factorial de cuadrados más una unidad no figurarán estos números primos. Son los que presentan la forma 4N+3
•       Números primos que sí son factores de expresiones del tipo n²+1: 2, 13, 29, 41, 53,…Se corresponden con los primos de la forma 4N+1. Por ejemplo, 5²+1=26=2*13
•      Por último, los que se pueden expresar como n²+1: 5, 17, 37, 101, 197,… que son un subconjunto de los anteriores.

Así, por ejemplo, se dan estas descomposiciones: 32²+1=5²*41; 57²+1=2*5³*13; 211²+1=2*113*197=2*113*(14²+1)

Los números de la forma n²+1 tienen una propiedad muy elegante, y es que son divisores de otros números similares, y además, su cociente también es del tipo n²+1, es decir, que para todo n, existen m y p tales que (n²+1)(m²+1)= p²+1. En efecto, basta tomar m=n-1 y p=n²-n+1: