Números con cifras crecientes o decrecientes (2)

Comenzamos las búsquedas donde las dejamos en la entrada anterior, con los cubos.

Cubos con cifras decrecientes

Mediante un proceso similar se pueden encontrar los cubos perfectos que presentan cifras decrecientes (en sentido amplio). En PARI vale todo lo explicado, pero hay que sustituir vecsort(digits(m)), por vecsort(digits(m),,4), que ordena las cifras en sentido contrario.

En este caso sí aparecen infinitos cubos, pero la conjetura que se deduce de ellos es distinta:

Cubos: 0, 1, 8, 64, 1000, 8000, 64000, 1000000, 8000000, 64000000, 1000000000, 8000000000, 64000000000, 1000000000000, 8000000000000, 64000000000000, 1000000000000000, 8000000000000000, 64000000000000000, 1000000000000000000, 8000000000000000000, 64000000000000000000, 1000000000000000000000,…

Conjetura: Todos los cubos con cifras decrecientes (en sentido amplio) en base10 pertenecen a uno de estos tipos: 0, 10^k, 8*10^k, 64*10^k, con k entero mayor o igual a cero.

Como la anterior, la hemos verificado hasta 10^24, por lo que también queda abierta hasta que se encuentre un contraejemplo.

Como curiosidad, por si a alguien le interesa, se reproduce el código de nuestra función CIFRAS_DECRECIENTES, que no requiere más explicaciones:

Función en VBASIC

Public Function cifras_decrecientes(n) As Boolean

Dim j, l

Dim c As Boolean

l = numcifras(n)

c = True

If l > 1 Then

j = l

While j >= 2 And c

If cifra(n, j) < cifra(n, j - 1) Then c = False

j = j - 1

Wend

End If

cifras_decrecientes = c

End Function

Por dar variedad al tema, no repetiremos algunos ejemplos tratados en la entrada anterior. Podemos buscar otros tipos. Por ejemplo, los primos. En Vbasic de Excel puedes usar nuestra función ESPRIMO, muy usada en nuestras publicaciones. Puedes buscar en Google ESPRIMO Roldán hoja. Si solo escribes ESPRIMO te aparecen unos productos informáticos. Con ella y CIFRAS_DECRECIENTES, puedes buscar los primeros ejemplos de primos con cifras decrecientes (en sentido amplio):

2, 3, 5, 7, 11, 31, 41, 43, 53, 61, 71, 73, 83, 97, 211, 311, 331, 421, 431, 433, 443, 521, 541, 631, 641, 643, 653, 661, 733, 743, 751, 761, 773, 811, 821, 853, 863, 877, 881, 883, 887, 911, 941, 953, 971, 977, 983, 991, 997

Los tienes en http://oeis.org/A028867. En esa página figura una versión en PARI de la búsqueda que es mejorable. Proponemos mejor esta otra:

ok(n) = digits(n) == vecsort(digits(n),,4) && isprime(n)

for(i=2,10^3,if(ok(i),print1(i,", ")))

La comprobamos en la página de PARI/GP:

Números de Fibonacci con cifras decrecientes

Otro ejemplo interesante es el de los números de Fibonacci, porque parece que dan lugar también a una sucesión finita:

1, 2, 3, 5, 8, 21, 55, 610, 987

Para hoja de cálculo podemos usar nuestra función ESFIBO, que determina si un número es de Fibonacci o no.

Public Function esfibo(n) As Boolean 'Devuelve verdadero si N es de Fibonacci

Dim f As Boolean

Dim a

f = False

a = 5 * n * n + 4

If escuad(a) Then f = True

a = 5 * n * n - 4

If escuad(a) Then f = True

esfibo = f

End Function

Se basa en popular criterio para saber si un número pertenece a la sucesión de Fibonacci. Lo puedes consultar en Gaussianos:

https://www.gaussianos.com/algunas-curiosidades-sobre-los-numeros-de-fibonacci/

Si aplicamos esta función ESFIBO con CIFRAS_DECRECIENTES llegaremos al resultado presentado.

En estos casos de sucesiones finitas hay que avanzar bastante para plantear una conjetura. Por eso debemos pasar a PARI, que llega más lejos en sus cálculos:

ok(n) = digits(n) == vecsort(digits(n),,4) && (issquare(5*n^2+4) || issquare(5*n^2-4))

for(i=2,10^6,if(ok(i),print1(i,", ")))

Hasta 10^6 devuelve los mismos resultados que la hoja de cálculo, salvo el 1, que se da por supuesto:

Le hemos exigido algo más, que llegue a 10^8, y no ha aparecido ningún ejemplo más.

Podemos intentar generar los números de Fibonacci según su definición. Con este otro algoritmo hemos recorrido los 10^4 primeros con el mismo resultado:

m=1;n=1;for(i=1,10^4,p=m+n;m=n;n=p;if(digits(p) == vecsort(digits(p),,4),print1(p,", ")))

En la sucesión  A273046, el colaborador  Charles R Greathouse IV, llega a la misma conclusión de que es probable que no existan más ejemplos.

Es interesante que en una misma cuestión hayamos presentado tres sucesiones finitas. Es una especie de probabilidad decreciente, de tal forma que, al crecer mucho los números, la misma tiende a cero, perdiendo la posibilidad de aparición de ejemplos nuevos. Como esto es solo una explicación no matemática, se quedarán en conjeturas.

Números de Bouncy

Son aquellos números tales que sus cifras no son crecientes ni decrecientes. Como siempre queda la duda de si hablamos de orden en sentido amplio o estricto, diremos que, en el segundo caso, están publicados en http://oeis.org/A152054, con orden estricto. Probemos con el orden amplio. Bastará unir las funciones que hemos usado (para crecientes y para decrecientes) mediante las conectivas lógicas NOT y AND:

NOT CIFRAS_CRECIENTES(N) AND NOT CIFRAS_DECRECIENTES(N)

Como era de esperar, casi todos los números aparecen:

101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 120, 121, 130, 131, 132, 140, 141, 142, 143, 150, 151, 152, 153, 154, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197

No obtenemos números de una o dos cifras porque todos son crecientes o decrecientes en sentido amplio. Existirán diferencias entre los dos tipos de orden, como por ejemplo con el número 1133 que no es creciente en sentido estricto, pero sí lo es en el amplio.

En OEIS, para evitar ambigüedades, al amplio lo identifican como nonincreasing o nondecreasing.

Son tantos estos números que no merece la pena dividirlos entre los distintos tipos.

Números con cifras crecientes o decrecientes (1)

En este estudio nos dedicaremos a cuestiones derivadas del orden de las cifras de un número. Serán desarrollos sin mucha trascendencia, pues tan solo se pretende efectuar ejercicios de creación de funciones o de búsquedas. Al igual que nos ocurrió en otros desarrollos, en este comenzaremos con distintos tipos de números y sus propiedades respecto al orden de sus cifras, y seguiremos investigando con temas afines hasta constatar que pierden interés.

En todas las cuestiones deberemos concretar el tipo de orden, que puede ser creciente, en sentido amplio, con cifras repetidas, o en sentido estricto, en el que no se permiten cifras consecutivas iguales. Igualmente, en el orden decreciente también usaremos los dos sentidos. Como el tema es amplio, daremos preferencia a las cifras crecientes.

Tipos de números y orden de sus cifras

Están publicadas muchas sucesiones que relacionan tipos de números con sus cifras. Unos ejemplos:

Triangulares con cifras crecientes (sentido amplio)

Están publicados en http://oeis.org/A234848:

0, 1, 3, 6, 15, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 136, 378, 666, 1128, 1225, 1378, 2278, 2346, 2556, 5778, 12246, 13366, 22366, 22578,…

Aprovechamos esta sucesión para presentar nuestra función en VBasic destinada a detectar este tipo de orden creciente:

Function cifras_crecientes(n) As Boolean

Dim j, l

Dim c As Boolean

l = numcifras(n) ‘Cuenta las cifras del número

c = True

If l > 1 Then ‘Si tiene una cifra, no lo estudiamos

j = l

While j >= 2 And c

If cifra(n, j) > cifra(n, j - 1) Then c = False ‘Si una cifra rompe el orden, no es creciente (se estudia de derecha a izquierda)

j = j - 1

Wend

End If

cifras_crecientes = c

End Function

 

La función NUMCIFRAS se define como

Function numcifras(n)

Dim nn, a

a = 1: nn = 0

While a <= n

a = a * 10: nn = nn + 1

Wend

numcifras = nn

End Function

 

Y la función CIFRA como

Function cifra(m, n)

Dim a, b

If n > numcifras(m) Then

  cifra = -1

  Else

  a = 10 ^ (n - 1)

  b = Int(m / a) - 10 * Int(m / a / 10)

  cifra = b

  End If

End Function

Vemos que extrae las cifras en el orden desde las unidades hasta las decenas, centenas…

Con estas funciones es fácil encontrar los triangulares que tienen sus cifras en orden creciente amplio. El criterio sería

ESTRIANGULAR(N) AND CIFRAS_CRECIENTES(N)

La primera función la hemos usado mucho. Puedes usar la búsqueda estriangular( hoja en Google. Exige que 8*n+1 sea cuadrado.

El resultado sería:

Es evidente que coincide con lo publicado. Esto solo ha sido la comprobación de que nuestra función está correctamente diseñada.

En PARI la detección de cifras crecientes es brevísima. Basta plantear

digits(m)==vecsort(digits(m))

Es una solución muy ingeniosa, porque viene a decir que las cifras actuales coinciden con las cifras ordenadas. Si se desea orden estricto, sin repeticiones, ha de incorporarse el parámetro 8 de esta forma: vecsort(digits(m,,8))

Por ejemplo, con esta línea encuentras los triangulares con cifras en orden creciente estricto:

for(i=0,10^3,if(digits(i)==vecsort(digits(i),,8)&&issquare(8*i+1),print1(i,", ")))

Usamos los triangulares como introducción a las técnicas adecuadas. Si deseas practicar o profundizar puedes consultar estas sucesiones:

http://oeis.org/A028864: Primos con cifras crecientes.

http://oeis.org/A028820: Ídem cuadrados.

http://oeis.org/A273045: Números de Fibonacci.

Como los números oblongos, del tipo N(N+1) son olvidados fácilmente, los rescataremos aquí:

Oblongos con cifras crecientes

Un número oblongo es el doble de un triangular, luego si en estos 8*n+1 ha de ser cuadrado, en los oblongos lo será 4*n+1. En esto se basa nuestra función ESOBLONGO, y con ella podemos investigar en Excel junto a CIFRAS_CRECIENTES. El resultado es

Con PARI podemos llegar más lejos:

0, 2, 6, 12, 56, 156, 1122, 2256, 4556, 11556, 111222, 445556, 11112222, 44455556, 222233556, 1111122222, 4444555556, 111111222222, 444445555556, 11111112222222, 44444455555556, 1111111122222222, 4444444555555556, 111111111222222222,

Primera versión: generar los oblongos a partir del 2, sumando luego 4, 6, 8. 10. El inconveniente es que hay que partir siempre del 2, no se puede iniciar, por ejemplo en 10^10. Es muy rápido al principio, pero luego ralentiza.

m=2;k=2;while(m<10^8,if(digits(m)==vecsort(digits(m)),print1(m,", "));k+=2;m+=k)

Lo hemos probado en https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

 

Segunda versión: construir m(m+1) y después aplicar el criterio. Es más lento, porque tiene que multiplicar en cada caso

 for(i=10^3,10^7,m=i*(i+1);if(digits(m)==vecsort(digits(m)),print(m)))

Lo hemos probado con GP/PARI CALCULATOR con este resultado, que comprende los valores incluidos para m, 10^3 a 10^7: 

Tercera versión: Es la más lenta, porque, como en Excel, aplica el criterio de que sea cuadrada la expresión (4*n+1). Lo comprobamos para números no muy grandes en la web de PARI:

ok(n)=digits(n)==vecsort(digits(n))&&issquare(4*n+1)

for(i=0,10^6,if(ok(i),print(i)))

Potencias perfectas con cifras crecientes

En este tipo nos limitaremos a presentar el resultado, para animar a los lectores a intentar reproducirlo. Como pista, en PARI habría que usar la función ispower:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 36, 49, 125, 128, 144, 169, 225, 256, 289, 1156, 1225, 1369, 1444, 4489, 6889, 11236, 11449, 13456, 13689, 27889, 33489, 111556, 112225, 113569, 134689, 146689, 344569, 444889, 2666689, 2778889, 11115556, 11122225, 11135569, 11336689, 11444689, 13446889,…

Cubos

Aquí nos detendremos, porque su número es, al parecer, finito. Sólo se han encontrado los cubos 0, 1, 8, 27 y 125 con cifras crecientes en sentido amplio (en el estricto tendríamos menos posibilidades).

Empleando diversas técnicas y lenguajes, no ha sido posible encontrar más ejemplos de cubos con cifras crecientes, por lo que se puede enunciar la conjetura:

Sólo existen cinco cubos perfectos con sus cifras crecientes en sentido amplio en base 10.

Con hoja de cálculo podemos usar la función ESCUBO junto a la de cifras crecientes. Por el problema de los decimales, no es fácil determinar si un número desconocido es un cubo. Hemos usado esta versión:

Function escubo(n)

Dim a

a = Int(n ^ (1 / 3) + 10 ^ (-6))

If a * a * a = n Then escubo = True Else escubo = False

End Function

Buscamos, por ejemplo, entre 0 y 10^6, y conseguiremos tan solo esos cinco casos:

En PARI se pueden plantear dos puntos de vista: en el primero usar una función que detecte la propiedad directamente en un número cualquiera, y en el segundo se trata de ir construyendo los cubos uno a uno y esperar a que se cumpla la condición en uno de ellos.

Función directa

ok(n)=digits(n)==vecsort(digits(n))&&ispower(n,3)

Se entiende fácilmente con lo explicado con anterioridad. Esta función, aplicada a un número natural, indica si es un cubo (ispower(n,3)) y si sus cifras crecen (digits(n)==vecsort(digits(n)).

Es muy directa y sencilla, pero resulta bastante lenta, por tener que probar todos los números, sean cubos o no.

Construcción de cubos

Para encontrar cubos es preferible construirlos desde 0. Esto es lo que efectúa esta otra variante:

for(i=0,1000,m=i^3;if(digits(m)==vecsort(digits(m)),print1(m,”, “)))

Es tres veces más veloz que la función anterior, porque la variable m siempre será un cubo. He aquí el resultado:

Hemos llegado de varias formas hasta 10^24, sin detectar otro cubo con cifras crecientes, por lo que podemos dar por cierta la conjetura hasta que alguien descubra un contraejemplo.

Lo dejamos aquí por hoy. En la siguiente entrada estudiaremos algunos ejemplos con cifras decrecientes.

Sumas de Goldbach, Lemoine y otras (2)

Se estudiaron en la entrada anterior las sumas de Lemoine, en las que los números impares superiores a 5 se descomponen como p+2q, siendo p y q primos. Si 2q lo sustituimos por q-1+q+1, podremos preguntarnos por la posibilidad de que q-1 y q+1 sean los primos (en este caso gemelos), en lugar de q. Es prácticamente el mismo problema, pero más exigente. Existen más números dobles de primos que parejas de primos gemelos. Para estudiar estas sumas bastará modificar ligeramente la función que usamos para las sumas de Lemoine (ver la entrada anterior), pero modificando alguna de las líneas del código. Puede ser esta:

Function sumlemoine00(n)

Dim i, j, m

Dim s$

s = ""

If n Mod 2 = 0 Then sumlemoine00 = "NO": Exit Function

m = 0

i = 2

While m = 0 And i <= n - 8

If esprimo(i) Then

j = (n - i) / 2   ‘Al llegar aquí, se busca un par de primos gemelos

If esprimo(j + 1) And esprimo(j - 1) Then m = m + 1: s$ = s$ + "#" + Str$(i) + "+" + Str$(j - 1) + "+" + Str$(j + 1)

End If  ‘El resto del código es muy similar al de las sumas de Lemoine

i = i + 1

Wend

If s = "" Then s = "NO" Else s = Str$(m) + "--" + s

sumlemoine00 = s

End Function

Al aplicar esta función a los primeros impares, no todos presentan una suma de un número primo con un par de primos gemelos:

3          NO

5          NO

7          NO

9          NO

11        1--# 3+ 3+ 5

13        1--# 5+ 3+ 5

15        1--# 3+ 5+ 7

17        1--# 5+ 5+ 7

19        1--# 7+ 5+ 7

21        1--# 13+ 3+ 5

23        1--# 11+ 5+ 7

25        1--# 13+ 5+ 7

27        1--# 3+ 11+ 13

29        1--# 5+ 11+ 13

31        1--# 7+ 11+ 13

33        NO

35        1--# 11+ 11+ 13

37        1--# 13+ 11+ 13

39        1--# 3+ 17+ 19

41        1--# 5+ 17+ 19

43        1--# 7+ 17+ 19

45        1--# 37+ 3+ 5

47        1--# 11+ 17+ 19

49        1--# 13+ 17+ 19

51        1--# 43+ 3+ 5

53        1--# 17+ 17+ 19

55        1--# 19+ 17+ 19

57        NO

59        1--# 23+ 17+ 19

61        1--# 37+ 11+ 13

Vemos que los de una cifra, el 33 y el 57 no admiten ese tipo de suma. De hecho, la gran mayoría de los impares admite la suma p+q+r con p primo y (q,r) par de primos gemelos.

No es fácil encontrar todos los números que no admiten esas sumas. Los primeros son estos:

1, 3, 5, 7, 9, 33, 57, 93, 99, 129, 141, 153, 177, 183, 195, 213, 225, 243, 255, 261, 267, 273, 297, 309, 327, 333, 351, 369, 393, 411, 423, 435, 453, 477, 489, 501, 513, 519, 525, 537, 561, 573, 591, 597, 603, 633, 645, 657, 663, 675, 687, 693, 705, 711, 723, 729, 753, 771, 783, 789, 801, 807, 813, 825,…

Estaban inéditos y los hemos publicado en

https://oeis.org/A329590 

Para encontrarlos hemos usado el siguiente código PARI:

for(n = 0, 500, m = 2*n+1; v = 0; forprime(i = 3, m-8, j = (m-i)/2; if(isprime(j-1) && isprime(j+1), v = 1)); if(v == 0, print1(m,", ")))

En él recorremos los impares (m=2*n+1) y después los primos. Para cada primo analizamos si existe un par de primos gemelos en la suma. La variable v recoge el éxito (v=1) o el fracaso (v=0) en la búsqueda. Al final se imprimen los números en los que v=0.

Estudio de un número concreto con CARTESIUS

Con un planteo similar al del anterior tema, podemos encontrar fácilmente las descomposiciones del tipo que estudiamos para un número concreto. Por ejemplo, 61 hemos visto que admite 37+11+13.

Usamos ahora

xtotal=2

xt=1..59

xt=filtro(primo)

ES PRIMO(x1+2)

ES x1+x1+2+x2=61

(La condición ES PRIMO no está implementada en el archivo descargable)

Exigimos que x1+2 sea primo (gemelo con x1), y el resto queda casi igual que en el anterior:

Obtenemos:

  

Así que aparece otra solución: 3+5+53=61

Si el número no es muy grande, se puede descomponer con este método. En la imagen vemos las descomposiciones de 121:

En las cinco soluciones los dos primeros sumandos son primos gemelos.

Pares de primos de Sophie Germain

Por último, podemos exigir que dos de los tres primos de la suma sean un par de Sophie Germain, es decir, que sea primo p y también 2p+1, dejando libre el tercer sumando.

En este caso, están bastante equilibrados el conjunto de los que admiten esta descomposición y los que no:

Los primeros que sí la admiten son estos:

9, 10, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 45, 47, 48, 50, 51, 53, 54, 57, 59, 60, 63, 65, 66, 68, 69, 71, 72, 73, 74, 75, 77, 78, 80, 81, 83, 86, 87,…

Por ejemplo, 87 se puede descomponer como:

87=5+11+71=11+23+53=23+47+17

En las tres sumas los dos primeros sumandos son pares de primos de Sofhie Germain.

Los hemos conseguido con Cartesius:

xtotal=2

xt=1..87

xt=filtro(primo)

es primo(2*x1+1)

es x1+2*x1+1+x2=87

Los primeros que no admiten ese tipo de suma son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 16, 22, 25, 28, 31, 32, 34, 40, 42, 43, 46, 49, 52, 55, 56, 58, 61, 62, 64, 67, 70, 76, 79, 82, 84, 85, 88,…

Por ejemplo, estas son las descomposiciones en tres primos del número 43:

3             3             37

3             11          29

3             17          23

5             7             31

5             19          19

7             7             29

7             13          23

7             17          19

11          13          19

13          13          17

En ninguna de ellas aparece una par de primos de Sophie Germain.

Se pueden idear otros condicionamientos con las sumas de Goldbach, pero a ninguna le hemos visto interés. Intenta, por ejemplo, sumas en las que los tres primos formen una progresión aritmética, y llegarás a una trivialidad, y es que coinciden con los triples de los números primos.

Sumas de Goldbach, Lemoine y otras (1)

La conjetura de Lemoine afirma que todo número impar mayor que 5 se puede expresar como la suma p+2q, donde p y q son números primos. Se ha comprobado para N<10^13, y no se ha demostrado cuando escribo esto.

Esta conjetura es más fuerte que la segunda de Goldbach, que afirma que todo número impar mayor que 5 puede expresarse como suma de tres números primos. Aquí no se exige que dos de los primos sean iguales.

Estas dos conjeturas admiten ampliaciones y variantes. Por ejemplo, podemos exigir que dos de los primos sean gemelos, o bien otras más complicadas que podremos tratar si no se alargan las primeras.

En esta entrada estudiaremos las soluciones que presenta cada número impar en estas dos conjeturas.

Sumas de Lemoine

Usaremos una función que cuente o presente todas las sumas del tipo p+2q previstas en la conjetura para un número dado. Comenzaremos presentando las sumas además de contarlas. Para ello usaremos la función:

Function sumlemoine(n)

Dim i, j, m

Dim s$

If n Mod 2 = 0 Then sumlemoine = "NO": Exit Function ‘Si n es par, salimos

m = 0 ‘Contador de soluciones

For i = 2 To n - 4

If esprimo(i) Then ‘Se recorren los primos

j = (n - i) / 2 ‘Se analiza la posible solución para el segundo primo

If esprimo(j) Then m = m + 1: s$ = s$ + "#" + Str$(i) + "+2 *" + Str$(j)

‘Si ambos son primos, se incrementa el contador m y se presentan las sumas

End If

Next i

s = Str$(m) + "--" + s

sumlemoine = s

End Function

Con esta función podemos recorrer un conjunto de números impares y comprobar que todos presentan soluciones del tipo N=p+2q. En la tabla figuran los siguientes a 50

En los valores de la función se lee, en primer lugar, el número de soluciones. Así, vemos que 55 presenta 3 y 57, 7. A continuación se escriben las sumas posibles:

55=17+2*19=29+2*13+41+2*7

Este formato es muy ilustrativo, pero en las estadísticas que vamos a estudiar, es un estorbo. Por eso, iremos modificando el resultado, que una vez será el número de soluciones y, en otras ocasiones, máximo, mínimos o diferencias. Sobre la marcha se irá decidiendo.

Número de sumas de Lemoine

Podemos eliminar en la anterior función toda referencia a la cadena de texto s$ y dejar que devuelva solo el número de soluciones. La tabla anterior quedaría así:

De esta forma simplificada se puede crear una lista con los valores en los primeros números impares:

Estos valores ya están publicados en http://oeis.org/A046927

A046927                            Number of ways to express 2n+1 as p+2q where p and q are primes.         

0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 4, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 6, 4, 4, 7, 5, 3, 7, 3, 3, 7, 7, 5, 7, 4, 4, 8, 7, 5, 8, 4, 7, 8, 7, 4, 11, 5, 6, 9, 6, 5, 12, 6, 6, 10, 8, 6, 11, 7, 5, 11, 8, 6, 10, 6, 6, 13, 8, 5, 13, 6, 9, 12, 8, 6, 14, 8, 6, 11, 10, 9, 16, 5, 8, 13, 9, 9, 14, 7, 6, 14

Podemos crear un gráfico que compare el valor de cada impar con el número de sumas de Lemoine que presenta:

Observamos que sigue de forma aproximada una tendencia potencial 0,4562x^0,5892, pero con una correlación no muy fuerte, de R²=0,7014. Esto nos marca una tendencia al crecimiento atenuado en el número de soluciones.

Exploración con CARTESIUS

La obtención de las diversas sumas es un problema combinatorio, y en este tipo de cuestiones puede resultar útil nuestra hoja de cálculo Cartesius

(Descarga desde http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Por ejemplo, por las tablas anteriores sabemos que el número 57 admite siete descomposiciones de Lemoine. Lo comprobamos en Cartesius con este planteo:

xtotal=2

xt=1..55

xt=filtro(primo)

ES 2*x1+x2=57

Podemos traducirlo como que

Se usan dos variables

Ambas variarán entre 1 y 55

Se filtran solo los primos

La suma del doble de la primera con la segunda ha de dar 57

El resultado es el previsto, siete posibilidades:

El primer primo es el que se multiplica por 2. Así, 2*2+53=57, 2*5+47=57,…

Comparación con las sumas de Golbach

Podemos adaptar la función que hemos presentado al recuento de las soluciones para las sumas de Goldbach para impares, formadas por tres números primos. Tal como se afirmó en los primeros párrafos, se obtendrán valores mayores que en los obtenidos a partir de la conjetura de Lemoine.

Se puede usar la siguiente función:

Function sumgoldbach(n)

Dim i, j, m

If n Mod 2 = 0 Then sumgoldbach = 0: Exit Function

m = 0

For i = 2 To n - 4

If esprimo(i) Then

j = 2

While j <= i And j <= n - i

If esprimo(j) And esprimo(n - i - j) And j >= n - i - j Then m = m + 1

j = j + 1

Wend

End If

Next i

sumgoldbach = m

End Function

Con ella podemos contar el número de sumas de Goldbach para cada número impar. Están ya publicadas en http://oeis.org/A054860

A054860                            Number of ways of writing 2n+1 as p + q + r where p, q, r are primes with p <= q <= r.                 

0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 6, 9, 8, 9, 10, 11, 10, 12, 13, 12, 15, 16, 14, 17, 16, 16, 19, 21, 20, 20, 22, 21, 22, 28, 24, 25, 29, 27, 29, 33, 29, 33, 35, 34, 30, 38, 36, 35, 43, 38, 37, 47, 42, 43, 50, 46, 47, 53, 50, 45, 57, 54, 47, 62, 53, 49, 65, 59, 55,…

Evidentemente, el número de sumas de Lemoine es inferior al de las de Goldbach. En esta gráfica hemos hecho coincidir ambas:

La línea azul sigue las sumas de Goldbach y la roja las de Lemoine. Se observa cómo se ampliando la diferencia entre ellas al crecer los números impares. De hecho, esta es la gráfica de los cocientes de ambas sumas:

En las oscilaciones influyen más las sumas de Goldbach, que son más irregulares en su crecimiento.