

Este blog es un complemento natural de mi página http://www.hojamat.es. Por ello, se dedicará a los temas numéricos tratados con Hoja de Cálculo y a la estructura y prestaciones de esta. Su nivel será elemental o medio, y su orientación lúdica e investigadora.
La tabla misteriosa
En esta tabla están casi todos los primeros números naturales. Lo que ves es sólo un fragmento de otra mayor que puede tener tantas filas y columnas como deseemos.
(1) ¿Cómo se ha generado esta tabla? Si lo descubres (no es difícil) tendrás las demás respuestas casi resueltas.
(2) En esta tabla no están todos los primeros números. ¿Cuáles faltan? ¿Qué característica comparten? (no cuentes el 1, que es un caso especial)
(3) Por el contrario, algunos de ellos están repetidos. Si prolongásemos la tabla se incrementarían las repeticiones. ¿Qué clase de números están repetidos?
(4) Todos los números de la primera columna se pueden expresar como k(k+2), siendo n natural. ¿Admiten expresiones similares las restantes columnas?
(5) Los números de la misma fila pueden descomponerse en factores del tipo n(k-n), siendo n y k naturales y k constante para la misma fila. ¿Puedes concretarlo más?
(6) ¿Qué podemos afirmar de las diagonales descendentes? La primera está formada por impares, la segunda por múltiplos de cuatro, y, en general, todas son sucesiones aritméticas ¿Por qué?
Ya sabes, acertando la primera, las demás caerán fácilmente.
¿Cuál es el periodo de la fracción 77/23?
Las hojas de cálculo están orientadas a los números decimales y se comportan mal en algunos problemas que necesitan operaciones con números enteros. Así, en la cuestión de obtener el periodo de una fracción, aunque es un problema propio de números racionales, los cálculos se efectúan mediante la división entera tradicional. Así se efectuaba en las aulas cuando no existían las calculadoras.
No es difícil implementar una división entera para obtener los periodos largos que se producen con denominadores que contengan como factores números primos grandes. La idea es usar las funciones COCIENTE y RESIDUO de OpenOffice.org Calc ( Excel no usa la función COCIENTE, pero se puede sustituir por ENTERO(numerador/denominador)).
Por ejemplo, para obtener muchas cifras decimales del cociente 77/23, podemos proceder así: El cociente entre ambos sería COCIENTE(77;23) = 3 (En Excel ENTERO(77/23), que sería la parte entera. El resto se hallaría mediante RESIDUO(77;23)=8.
A continuación podemos imitar la división que efectuábamos en el colegio (“sacar decimales”). Podemos multiplicar el resto 8 por 10 y volver a repetir la operación: COCIENTE(80;23) = 3, que sería la primera cifra decimal. Volvemos a hallar el resto: RESIDUO(80;23) = 11. Y así reiteramos cuantas veces deseemos.
En la imagen puedes estudiar la forma de ordenar estos cálculos
Puedes profundizar en este algoritmo en el archivo de dirección
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/teoria/hojas/granperiod.ods
(Si usas Internet Explorer, el programa puede interpretar como archivo .zip la hoja de cálculo de OpenOffice)
Versión en Excel:
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/teoria/hojas/granperiod.xls