Un capicúa en la meta (2)

Tal como prometí, cuento algún detalle que he descubierto jugando un poco con el algoritmo 196

Llamaré meta al capicúa en el que termina el algoritmo aplicado a un número (semilla) y ruta al conjunto de números que se recorren hasta llegar desde la semilla hasta la meta.

Metas capicúas de dos cifras: Es evidente que los números semilla que desembocan en el mismo capicúa tienen todos la misma suma de cifras y esta es menor que 10. Por ejemplo, 70,61,52,43,34,25,16,7 desembocan en 77=11*(a+b) con a+b<10 n="11*(a+b)">10=11(10m+n)=110m+11n. ¿Quienes llegan al 484?

Metas de tres cifras: Se puede demostrar que sólo son metas los capicúas en los que la cifra del centro es par, como 343, 929, 787,…y por tanto no lo son 232, 878 o 171. Intenta demostrarlo, que no es complicado.

Metas de cuatro cifras: Han de ser múltiplos de 11. Prueba a demostrarlo.

Números ilustres: Los números 495 y 1089, están ambos en la misma ruta que desemboca en el 79497. Además, tienen como meta el 1089 los múltiplos de 198 de tres cifras, y otra curiosidad: Los 10 primeros múltiplos de 1089 llegan todos hasta el 79497.

Si no recuerdas el porqué de que les llame “ilustres” al 495 y al 1089, consulta esta dirección:

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/propuestas/proparit.htm

Ahí te enterarás de que 495 es la constante de Kaprekar para tres cifras. Si elegimos como semilla la constante para cuatro cifras 6174, también tiene como meta 79497, lo que nos confirma que ambos algoritmos están relacionados.

Es curioso que 6174+4716 = 10890 = 1089+9801.

Continuaremos en una próxima entrada con el estudio de los códigos de las funciones INVERTIR_CIFRAS y ESCAPICUA.

Un capicúa en la meta (1)

En el blog “Espejo lúdico”, con fecha 9 de Diciembre de 2008, se ha publicado esta propuesta:

Si a un número se le suma su reverso (por ejemplo 75 + 57) y se hace lo mismo con el resultado, llega un momento en que el resultado es capicúa.

Por ejemplo

75 + 57 =132; 132 +231 = 363

Para un cierto número de dos cifras es necesario repetir este proceso más de 10 veces. ¿Cuál es ese número? […]

El algoritmo propuesto tiene fácil ejecución para quien sepa sumar, pero no es tan simple para una hoja de cálculo como OpenOffice.org Calc. Hay que tener en cuenta que los números se almacenan en formato binario. Por tanto, si no definimos nuevas funciones, no podrá invertir las cifras de un número ni tampoco averiguar si es capicúa o no. Así que necesitamos:

Función INVERTIR_CIFRAS: Debe de actuar sobre un número e invertir el orden de todas sus cifras, devolviéndonos el resultado.

Función ESCAPICUA: Debe averiguar si un número es capicúa o no y devolver, por ejemplo, un 1 si es capicúa y un 0 si no lo es.

En nuestra entrada anterior os invitábamos a crear vuestras propias funciones. Las dos que proponemos hoy son algo complejas, por lo que las desarrollaremos en próximas entregas. Hoy os invitamos a usar el algoritmo para averiguar (para números no muy grandes) cuántos pasos son necesarios para que un número desemboque en un capicúa sumando de forma reiterada su reverso. Se suele nombrar como el algoritmo "196”.

Lo podéis descargar en esta dirección y ver cómo está construido. Una vez descomprimido, al abrirlo te puede pedir "Activar macros". Debes tener un nivel de seguridad Medio (Ver Herramientas - Opciones). Si usas la versión 2, quizás aparezcan decimales en iteraciones largas. Con la versión 3 no he tenido problemas.

Jugando un poco con él se me han ocurrido dos cuestiones para pensar un poco en ellas y ver qué hay publicado en la red:

(a) ¿Se puede establecer alguna relación entre dos números que comparten el mismo capicúa como final del proceso? Por ejemplo, 154, 208 y 109 desembocan en el capicúa 1111. No siempre esa relación es la de tener la misma suma de cifras.

(b) ¿Qué números capicúas nunca aparecerán como resultado de este algoritmo? Ese parece ser el caso del 212 y el 232.

Si lo descubro os lo contaré. Igualmente, espero vuestros comentarios.

En próximas entregas se explicarán las dos funciones propuestas.

Define tus propias funciones en OpenOffice.org Calc

En ocasiones desearás definir otras funciones además de las que OpenOffice.org Calc te ofrece. Por ejemplo, sería útil una función tal que si se aplica a un número entero positivo devuelva su mayor divisor. Para ello disponemos del lenguaje Basic (de macros) que lleva incorporado Calc. 

A partir de esta entrada iremos explicando en otras sucesivas la forma de implementar algunas funciones. Antes de nada hay que aprender a definirlas en el Editor de Basic.

Editor de Basic

Crea una hoja o abre alguna existente. Para abrir el editor sigue la secuencia: Menú Herramientas > Macros > Organizar macros > OpenOffice.org Basic.

Si es la primera función que defines, busca la carpeta correspondiente al nombre de tu hoja de cálculo (si lo acabas de crear, se llamará Sin Nombre o Sin Título). No señales la otra carpeta Standard, que es más general. Si ya has definido algunas funciones, habrás definido un módulo contenedor. Abre ese módulo.

Si no habías creado ningún módulo, una vez elegida la carpeta, pulsa el botón Nuevo para abrir un nuevo módulo contenedor. Se te ofrecerá el nombre de module1, module2 u otro similar. Acepta el nombre o cámbialo según tu criterio. Al aceptar el nombre se abrirá el editor de macros. Por defecto aparecerá la macro Main, que puedes borrar o ignorar.

Escritura del código

Terminada la secuencia anterior, borra lo que esté escrito de la macro Main y escribe el código de una función:

Debes comenzar con

Function nombre de la función ( argumento )

y terminar con

End function

y entre ambas, el código de la función. En ese código debemos usar el nombre de la función seguida del signo igual y de su definición

Es mejor verlo con un ejemplo:

Function cubo ( numero )

cubo=numero*numero*numero

End function

En el ejemplo, el nombre de la función es cubo, y su argumento numero (lo traduciríamos como "Cubo de un número")

Después volvemos a escribir cubo, el signo igual, y su definición.

Uso de la función

Una vez escrito el código, cierra el Editor de Basic y usa tu función en cualquier celda. En la imagen puedes ver que en B2 se ha escrito un número y en B4 la fórmula =CUBO(B2)

Con esto ya tienes definida la función. 

Con la técnica explicada, esa función sólo estará activa en la hoja de cálculo en la que la has creado, no en otras. Al cerrar la hoja ya no podrás usarla. 

(Continuará)

Resolución con dos teclas

Intentemos resolver el siguiente problema con calculadora u hoja de cálculo:

Encontrar varios números naturales consecutivos cuyo producto sea igual a un número natural N dado.

(a) Con dos números es inmediato: Si sabemos con seguridad que la ecuación x(x+1)=N tiene soluciones enteras, como sería x(x+1)=132, es posible encontrar la solución de la ecuación con las teclas de raíz cuadrada y parte entera. En la hoja de cálculo se usaría =ENTERO(RAÍZ(N)) (En Excel escribe RAIZ sin tilde)

En efecto ENTERO(RAÍZ(132))=11, que es la solución de x(x+1)=132, pues 11*12=132.

La razón de que esto funcione es la desigualdad

 También funciona este procedimiento para x(x+1)(x+2)=N. Así,  la solución de x(x+1)(x+2)=13800 es la parte entera de su raíz cúbica, que en hoja de cálculo se expresaría como =ENTERO(N^(1/3)), y en el ejemplo nos daría la solución 23, y comprobando, 23*24*25=13800.

La razón aquí es una desigualdad similar a la anterior

 

Esta no es trivial. Razónala si así lo deseas.

¿Ocurriría lo mismo con cuatro números consecutivos? Pues no exactamente, pues necesitarías dos teclas y algo más. Quizás el siguiente desarrollo te dé una idea, pero razona o demuestra todo con rigor, que hay alguna dificultad.

En vista de esto, podíamos intentar procedimientos similares para cinco o seis números. Inténtalo, y que no te pierdas con tanto polinomio

Combinado de murciélago

La palabra MURCIELAGO ha sido usada tradicionalmente para la codificación en pequeños comercios, por tener diez letras distintas (5 vocales y 5 consonantes) que se pueden usar para representar las cifras de 0 a 9 en una asignación decidida por cada comerciante: M=0, C=1, E=2, etc.

Sobre ella se pueden plantear muchos problemas de distintos niveles. Aquí hemos elegido unos cuantos:

(a) ¿De cuántas formas se pueden ordenar las letras de MURCIELAGO, de forma que no caigan todas las vocales seguidas? (Se prohíben permutaciones como MRCOAEIULG)

(b) ¿Y si deseamos que nunca aparezcan vocales consecutivas, aunque sólo sean dos? (Deseamos que todas estén separadas)

(c) ¿Y si, por el contrario, deben estar las cinco vocales consecutivas y en su orden natural?

Se pueden inventar más, pero la Combinatoria cansa mucho. Suerte con ellos.

El mayor divisor

Es fácil demostrar que todo número M que venga dado por la expresión 2ⁿ-1 con n natural compuesto, es también compuesto. Lo que no es tan inmediato es calcular su mayor divisor propio. Por ejemplo, el mayor divisor de 2²⁰-1=1048575 es 349525.

¿Qué protocolo de cálculo podríamos seguir para encontrar el mayor divisor de 2ⁿ-1 (n compuesto) con un número pequeño de pasos? No es exactamente un algoritmo, sino una estrategia. Para números grandes se puede complicar, pero para n menor que 100 no debería darnos problema.

Aquí puedes estudiar algunos resultados con valores de n compuestos:

Dos demostraciones propuestas por T. M. Apostol

En el libro “Introducción a la Teoría analítica de números” de T. M. Apostol hemos encontrado dos propuestas de demostración de nivel medio sobre números primos y compuestos:

(a) Demostrar que todo número N mayor que 12 es suma de dos compuestos.
(b) Demostrar que si 2ⁿ+1 es primo, n ha de ser potencia de 2.

En la primera has de darte cuenta del papel que juega el número 12. Quizás debas expresar el número N en forma de binomio.

La segunda recuerda los números de Fermat. Un camino posible es el de abordar el teorema recíproco.

No son excesivamente difíciles.

Un cuadrado conocido a medias

Ideas para el aula

Proponemos una búsqueda ordenada a partir de una cuestión similar a la siguiente:

Encuentra un número entero positivo de tres o cuatro cifras sabiendo que su cuadrado comienza con las cifras 82541…

La idea es resolverlo con calculadora u hoja de cálculo, con lo que la primera reacción, además de una búsqueda bastante larga, es obtener la raíz cuadrada de lo que tenemos, y comenzar con las cifras que nos resulten: raíz(82541)=287.. Pero ¿qué hacemos ahora? ¿irle añadiendo cifras e ir probando? ¿considerar los decimales?...Puede resultar bien, y al final de diez intentos conseguiríamos la solución, 2873, pero es que faltaban dos cifras, y por eso fue fácil. ¿Y si hubieran faltado tres?

El interés del problema, para un alumnado de Enseñanza Secundaria, es que al ignorar a priori cuántas cifras faltan, no sólo debe pensar en la raíz del número dado, sino también en la raíz del número que queda al eliminar una cifra. Lo vemos con este ejemplo:

¿Qué número tiene un cuadrado que comienza por 824… sabiendo que faltan por escribir una, dos o tres cifras?

Probamos el procedimiento anterior: Raíz(824)=28,7

Si faltaran dos cifras, deberíamos probar con números cercanos a 285, 286, 287,…y ninguno de sus cuadrados comienza con 824.

Probamos la hipótesis de que falte una cifra, con lo que deberíamos basarnos en Raíz(82)=9,05, y obtenemos otro fracaso, pues desde 90 a 100 ningún número produce un cuadrado que comience con 824.

Por último, probamos con tres cifras más. En teoría deberíamos probar desde 2850 a 2880, por ejemplo, y con paciencia llegaríamos a 2872^2=8248384

Para no alargar esta entrada, en la dirección

http://www.hojamat.es/sindecimales/aula/iniaula.htm#buscacuad

hemos ampliado la cuestión con una serie de consideraciones sobre el uso en el aula propuesto

Un cuadrado más una unidad

Los números de la forma n²+1 con n natural tienen un atractivo especial: un cuadrado que se estropea por añadirle un elemento más. ¿Qué hacer con esta figura? A veces da lugar a un número primo, como 17, 37 o 101, y otras a un compuesto, como 50 o 26 Este es el de la figura, que se puede convertir en un rectángulo de 2 por 13.

Lo que es seguro es que estos números nunca serán múltiplos de 3, ni de 4, y tampoco de 7, pero sí pueden serlo de 17 (13^2+1=170=17*10) o de 13 (21^2+1=442=13*34)

¿De qué depende eso? Puedes abordarlo sin especiales conocimientos de teoría de números, con el uso de una hoja de cálculo. Si prefieres profundizar, te servirá de ayuda saber que esto está relacionado con los restos cuadráticos.

La tabla misteriosa

La tabla misteriosa

En esta tabla están casi todos los primeros números naturales. Lo que ves es sólo un fragmento de otra mayor que puede tener tantas filas y columnas como deseemos.

(1) ¿Cómo se ha generado esta tabla? Si lo descubres (no es difícil) tendrás las demás respuestas casi resueltas.

(2) En esta tabla no están todos los primeros números. ¿Cuáles faltan? ¿Qué característica comparten? (no cuentes el 1, que es un caso especial)

(3) Por el contrario, algunos de ellos están repetidos. Si prolongásemos la tabla se incrementarían las repeticiones. ¿Qué clase de números están repetidos?

(4) Todos los números de la primera columna se pueden expresar como k(k+2), siendo n natural. ¿Admiten expresiones similares las restantes columnas?

(5) Los números de la misma fila pueden descomponerse en factores del tipo n(k-n), siendo n y k naturales y k constante para la misma fila. ¿Puedes concretarlo más?

(6) ¿Qué podemos afirmar de las diagonales descendentes? La primera está formada por impares, la segunda por múltiplos de cuatro, y, en general, todas son sucesiones aritméticas ¿Por qué?

Ya sabes, acertando la primera, las demás caerán fácilmente.

Conjuntos numéricos idénticos

En algunas cuestiones resulta útil decidir de forma automática si dos conjuntos numéricos son idénticos o no. Por ejemplo, en las tablas de multiplicar de los cuerpos finitos, como Z/Z7, es interesante descubrir si

(a) No existen elementos repetidos en ninguna fila o columna

(b)  Los elementos de las distintas filas son los mismos.

Si escribimos los dos conjuntos en una hoja de cálculo, en filas paralelas, deberemos comprobar cuatro hechos para decidir si los conjuntos son idénticos o no:

 (1)   No existen elementos repetidos en el primer conjunto 

(2)   Tampoco se repiten los del segundo

(3)   Todo elemento del primero ha de pertenecer al segundo

(4)   Todo elemento del segundo ha de pertenecer al primero.

 

Las cuatro cuestiones las resuelve la función CONTAR.SI. Recorremos todo el primer conjunto y mediante esta función contamos las veces que figuran en el segundo. Si esos valores son mayores que 1, es que existen repetidos en el segundo conjunto, y si es 0, es que falta alguno. Lo deseable, pues, es que todos los contadores presenten el valor 1. 

Procedemos de la misma forma, contando las veces que los elementos del segundo conjunto figuran en el primero, y también han de valer 1. Para evitar problemas en las siguientes operaciones que explicaremos, a las celdas vacías también se le debe asignar un 1.

¿Cómo resumimos la situación? Multiplicamos todos los contadores del primer conjunto, y nos ha de resultar la unidad. Ocurrirá lo mismo con el producto de los del segundo, por lo que si multiplicamos ambos productos, obtendremos un criterio para decidir si los dos conjuntos son idénticos: el que el producto final tenga el valor de 1.

Puedes estudiar este proceso en los apuntes interactivos contenidos en http:/www.hojamat.es, en concreto la hoja grupos.ods.

Dándole vueltas (2)

Hoy le damos vueltas a un problema leído en el blog http://problemate.blogspot.com/

El fósil de un número

(Fase provincial de Alicante de la XIX Olimpiada Matemática, 2008)

Dado un número natural N, se multiplican todas sus cifras. Se repite el proceso con el resultado obtenido, hasta obtener un número de una cifra únicamente; a ese número se le llama el fósil de N. Por ejemplo, el fósil de 327 es 8. Hallar el mayor número natural, con todas sus cifras distintas, cuyo fósil sea impar.

La solución la puedes leer en

http://solumate.blogspot.com/2008/09/el-fsil-de-un-nmero.html,

y nosotros le daremos unas vueltas a la idea de “fósil” de un número.

(1) ¿Tienen fósil todos los números naturales?

Te lo puedes plantar en dos pasos:

(a) El algoritmo de multiplicar todas las cifras produce una sucesión estrictamente decreciente y llega a términos de una cifra.

(b) Sólo los números de una cifra son invariantes en el proceso.

(2) Construye un algoritmo de hoja de cálculo tal que dado un número natural,encuentre su fósil. Puedes restringirlo sólo a números de tres o cuatro cifras, pero ten en cuenta que si disminuye el número de cifras no pueden aparecer ceros, que arruinarían el cálculo. En el algoritmo de la imagen, cuando disminuye el número de cifras aparece la unidad, para no desvirtuar el producto.

Prueba entonces a quitar sólo 6 bolas, y observarás que tampoco puedes formar un cuadrado con las restantes.

Con otros números sí se puede, dependiendo del lado del cuadrado. Por ejemplo, se pueden quitar 7 bolas a un cuadrado de lado 4, y 8 bolas a otro de lado 3.

¿Qué tienen de particular el 6 y el 10 para que ocurra esto?

Descubre más números con un comportamiento similar, o encuentra una propiedad que cumplan todos.

También puedes investigar con una hoja de cálculo, en la que se pueden comparar todos los cuadrados que desees entre sí, sin que nunca aparezca el 6, el 10, y otros que no descubrimos.

Una propuesta del Espejo lúdico

En la entrada del blog "Espejo lúdico" (http://espejo-ludico.blogspot.com/) de fecha 18 de agosto de 2008, se presenta la siguiente propuesta:

Aprovechando las cifras

Buscar números tales que entre su cuadrado y su cubo se utilicen todas las cifras (del 0 al 9) y una sola vez cada una.
Por supuesto, si ya lo conoces, te agradecemos que no lo reveles, y también se agradecen tanto razonamientos para encontrarlos como el no uso de Hoja de Cálculo.
Adaptado de "Nuevos divertimentos matemáticos" de Mariano Mataix

Podríamos darle la vuelta a esta propuesta, y en lugar de aconsejar que no se use la hoja de cálculo, promover su uso, y de manera más fuerte, exigiendo que sea la propia hoja, sin ayuda nuestra, quien encuentre la solución. Evidentemente, en ese caso el objetivo es algorítmico, y no los razonamientos matemáticos que pedía el Espejo Lúdico.

¿Te atreves a crear una "trampa automática" en la que caigan los números que cumplan la condición exigida?

Para conseguirlo puedes plantear las siguientes operaciones de hoja de cálculo

(1) El cuadrado y el cubo del numero a probar se descomponen en cifras, una por celda (zona verde de la imagen). Es el primer problema a resolver.
(2) Se construye una tabla con las cifras del 0 al 9 y se cuenta el número de veces que cada una aparece tanto en el desarrollo en cifras del cuadrado como del cubo. (zona amarilla)
(3) La celda de "Se cumple" o "No se cumple" examina los contadores, y si todos presentan el valor 1 (¿cómo se averigua eso en una sola operación?) da por válido el número.
(4) Se va probando, de forma manual o automática (mediante un bucle con ayuda de macros) en un rango de búsqueda, y se espera a que aparezca el número probado como válido. Esto ocurre muy pronto.

¿Te atreves a construir algo similar?