Quienes usamos a menudo los números poligonales nos encontramos con esta relación de recurrencia de tercer orden:
xn= 3xn-1-3xn-2+xn-3
El origen de esta presencia es que se pueden
generar con ella los números naturales, sus cuadrados y, evidentemente, las
constantes:
Números
naturales
Se pueden generar mediante
x1=1, x2=2,
x3=3, xn= 3xn-1-3xn-2+xn-3
En efecto, aquí xn es n, xn-1, n-1, luego
3(n-1)-3(n-2)+n-3=3n-3-3n+6+n-3=n
Esto demuestra que la recurrencia con estos
coeficientes es verdadera.
Números
cuadrados
En ellos también es válida esta recurrencia.
Lo vemos:
xn+1=(n+1)2=n2+2n+1=xn+2n+1
xn+2=(n+2)2=(n+1)2+2(n+1)+1=xn+1+2n+3
Luego, despejando:
xn+2 - xn+1 = xn+1-
xn +2
xn+2
= 2xn+1- xn +2
De igual forma
xn+3
= 2xn+2- xn+1 +2
Restamos las dos igualdades y agrupamos:
xn+3
- xn+2 = 2xn+2-
xn+1 +2 -2xn+1+ xn -2
Despejando:
xn+3
= 3xn+2 -3xn+1+ xn
Con esto se demuestra la validez de la
recurrencia. Por ejemplo:
112=121=3*102-3*92+82=300-243+64=364-243=121
También nos vale un desarrollo directo:
(n+3)2=3(n+2)2-3(n+1)2+n2=3n2+12n+12-3n2-6n-3+n2
n2+6n+9=n2+6n+9
Identidad que demuestra la recurrencia.
Constantes
Una constante K sometida a esa recurrencia
sigue teniendo el valor de K: 3*K-3*K+K=K
Números oblongos
Siguen la fórmula n(n+1)=n2+n, y
al ser la recurrencia propuesta de tipo lineal, también será válida en esa suma
de un cuadrado con un natural.
Lo podemos comprobar con los primeros
oblongos: 2, 6, 12, 20, 30, 42, …Por ejemplo, 30=3*20-3*12+6=60-36+6=24+6=30
Al tener un número triangular la fórmula
n(n+1)/2=(n2+n)/2, es la mitad de un oblongo, luego admitirá la
misma recurrencia. Lo vemos con un ejemplo tomado de la sucesión de números
triangulares:
1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21, 28 , 36 , 45 , 55,
…
45=3*36-3*28+21=108-84+21=129-84=45
También se generarán de la misma forma,
porque cuadrados, números naturales y constantes lo siguen. Lo vemos con
P(x)=2x2-3x+2:
P(1)=1, P(2)=4, P(3)=11, P(4)=22, P(5)=37,
P(6)=56 y P(7)=79
Observamos que P(7)=3*56-3*37+22=168-111+22=190-111=79
Números poligonales
Todo número poligonal es suma de
triangulares. Basta ver la imagen:
Esta descomposición hace válida la recurrencia en ellos. En mi publicación sobre estos números se incluye una demostración con la fórmula general, que es un polinomio de segundo grado: P(n,k)=((k-2)n2-(k-4)n)/2
https://www.hojamat.es/publicaciones/poligonales.pdf
En esa publicación figuran otras recurrencias
que a veces son más rápidas que la propuesta.
También siguen esta recurrencia los poligonales centrados, de fórmula
POLC(n,k)=(kn2-kn+2)/2 , por ser también polinomio de segundo grado.
Números piramidales
Las sucesiones recurrentes de orden h se
pueden sumar mediante la siguiente fórmula, también recurrente, que procede de
la publicación Sucesiones recurrentes
de A.I.Markushevich – Editorial Mir. La demostración de ella no es difícil,
pero resulta larga para este estudio:
sn+h+1=(1+a1)sn+h+(a2-a1)
sn+h-1+ … +(ah-ah-1) sn+1-ahsn
Si a esta recurrencia que estamos estudiando
le aplicamos la fórmula de la suma, nos permitirá encontrar una recurrencia
para números piramidales, que son sumas de poligonales consecutivos.
Tomamos a1=3, a2=-3 y
a3=1 para aplicarlo a la fórmula de la suma
sn+h+1=(1+a1)sn+h+(a2-a1)
sn+h-1+ … +(ah-ah-1) sn+1-ahsn
sn+4=4sn+3-6sn+2+4sn+1-sn
Lo aplicamos a los números piramidales
pentagonales, 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, ....
550=4*405-6*288+4*196-126=550
Tal como se advirtió en los poligonales, en
este caso existen recurrencias que pueden ser más simples según el tipo de
piramidal.
Piramidales
de más dimensiones
Al igual que se pueden estudiar los
piramidales como suma de poligonales consecutivos, se extiende este proceso a
piramidales de más dimensiones, que son suma de piramidales consecutivos del
orden inferior. Se deja como propuesta de estudio.
