lunes, 27 de febrero de 2023

Números doblemente triangulares

Se llaman así a aquellos números triangulares cuyo orden es también triangular. Los designaremos como DT. Si un número triangular de orden N se define como N(N+1)/2, en estos números, N también es triangular, por ejemplo m(m+1)/2, con lo que, sustituyendo queda:

DT(m)=(m(m+1)/2)(m(m+1)/2+1)/2=m(m+1)(m2+m+2)/8

Esta es la fórmula utilizada en su publicación en OEIS:

Como un número triangular es suma de los primeros números consecutivos, estos doblemente triangulares han de equivaler a una suma de ese tipo en el que el número de sumandos sea triangular. Esto se visualiza muy bien en el triángulo de Floyd:

1

2   3

4   5   6

7   8   9   10

11 12 13 14 15

Si se van sumando los números fila a fila nos resultarán, 1, 6, 21, 55, 120,…los doblemente triangulares.

Para generarlos con hoja de cálculo basta crear una columna con los primeros números naturales, otra paralela con los triangulares  y, por último, copiar la fórmula de la segunda en otra tercera:

La última fórmula se incluye para aclarar, pero en la hoja coincide con la segunda con órdenes distintos. Así:

Se observa que las dos columnas poseen la misma fórmula. Por eso estos números son doblemente triangulares.

Relación con números combinatorios

Como también los números triangulares de orden N equivalen al número combinatorio C(N+1,2), que cuenta el número de pares de elementos de un conjunto de cardinal N+1, sin repetición, el número doblemente triangular contará el “número de pares de pares”. Así, se puede expresar también como

En lenguaje de hoja de cálculo tendríamos:

DT(N)=COMBINAT(COMBINAT(N+1;2)+1;2)

Escribe en una hoja =COMBINAT(COMBINAT(12;2)+1;2) y te resultará 2211, el número doblemente triangular de orden 11.

Colores en un cuadrado

Esta idea de “pares de pares” la visualiza Wikipedia en las formas de colorear las diagonales de un cuadrado si se consideran iguales las que surgen de rotaciones o simetrías. En la imagen figuran los pares de colores arriba y a la izquierda, mientras los “pares de pares” figuran en el centro:

 

 

Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Doubly_triangular_number

Este esquema de colores se puede reproducir con nuestra herramienta Cartesius,

(http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

si representamos las combinaciones de colores con números de dos cifras. El planteo puede ser el siguiente:

Combinamos pares de pares, representando los colores por 11, 12,…33 y exigiendo que sea creciente cada arreglo para que no se repitan los pares (de pares). El resultado es:


En la parte derecha de la hoja se reflejará el total, el número doblemente triangular 21.


En OEIS se propone esta otra fórmula con números combinatorios:

 DT(n)=3*(n+2)*(n+1)*n*(n-1)/24+n(n+1)/2=n(n+1)(n2+n+2)/8

Esta igualdad se verifica muy bien en WolframAlpha:


https://www.wolframalpha.com/

También Mitch Harris, Oct 17 2006 y Bruce J. Nicholson proponen esta otra expresión con números combinatorios:

También se puede verificar algebraicamente. Antes hemos sustituido los números combinatorios por su expresión respecto a n:

https://www.wolframalpha.com/

Aportación nuestra

Para n>=2, a(n) es la suma de dos números triangulares de esta forma:

DT(n)=T(n(n+1)/2)=T(n)+T((n^2+n-2)/2)

Esto es debido a la identidad:

n*(n+1)*(n^2+n+2)/8=n*(n+1)/2+(n^2+n-2)*(n^2+n)/8)

También la hemos verificado en https://www.wolframalpha.com/

La idea nos surgió al descubrir las coincidencias con la sucesión de números triangulares que son suma de triangulares. Puedes consultar nuestra entrada

https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/04/sumandos-con-el-mismo-caracter-que-la.html

Así, por ejemplo, 21=6+15, 55=10+45, 120=15+105,…

En realidad, no es necesario acudir al Álgebra. La siguiente imagen representa muy bien esta descomposición:

En ella observamos que el triangular 21, de orden 6 (también triangular) se convierte en otro triangular al separarle el lado. Por tanto, 21 es la suma de dos triangulares, su lado, que es 6 y el triangular residual, 15.

Con sus fórmulas:

6*7/2=3*4/2+5*6/2

 

 

 

miércoles, 15 de febrero de 2023

Propiedades compartidas con el doble

Hace poco descubrí que el número 15561 y su doble, 31122, comparten la propiedad de ser ambos suma de dos cubos enteros positivos:

15561=17^3+22^3 y 31122=15561*2=11^3+31^3

¿Ocurrirá esta casualidad en otros números? ¿Habrá más coincidencias entre un número y su doble? Estas cuestiones las desarrollaremos hasta que la falta de interés o el espacio aconsejen parar.

Coincidencia en suma de cubos

Para encontrar números con la misma propiedad que el 15561 deberemos investigar, en primer lugar, qué números son suma de dos cubos enteros positivos. Es de esperar que sean muchos, y los encontraremos (en hoja de cálculo) con esta función:

Public Function sumadoscubos$(n) ‘Construye un texto

Dim i, r, t, w

Dim s$

s = "" ‘Si no hay solución, variable s queda vacía

r = Int(n ^ (1 / 3)) ‘Tope para la búsqueda

For i = 1 To r ‘Búsqueda del primer cubo

t = n - i ^ 3 ‘Posible segundo cubo

w = t ^ (1 / 3)

If escubo(t) And t > 0 Then s = s + Str$(i) + ", " + Str$(t ^ (1 / 3)) ‘Si es un cubo positivo, tenemos solución

Next i

sumadoscubos = s

End Function

Con ella obtenemos los primeros números que son suma de cubos:


No hemos impedido que aparezcan dos soluciones simétricas, porque eso simplifica el algoritmo.

Hemos usado nuestra función ESCUBO

Function escubo(n)

Dim a

a = Int(n ^ (1 / 3) + 10 ^ (-6))

If a * a * a = n Then escubo = True Else escubo = False

End Function

Estos números están publicados en http://oeis.org/A003325

Si ahora exigimos que el doble de esos números también presente la misma propiedad, obtendremos este listado:

También están publicados estos números, y entre ellos figura 15561, que nos ha servido de ejemplo inicial.


En esta dirección de OEIS no se usa PARI, por lo que incluimos una propuesta:

doscubos(n)={my(i=1,t,s=0,r=truncate(n^(1/3)));while(i<=r&&s==0,t=n-i^3;if(ispower(t,3)&&t>=1,s=1);i+=1);s}
es(n)=doscubos(n)&&doscubos(2*n)
for(i=1,10^5,if(es(i),print1(i,", ")))

Si usamos la página web de PARI/GP obtendremos la misma sucesión:


Coincidencia con cuadrados de primos

Esta búsqueda es algo más complicada, porque hay que buscar dos cuadrados y además sus bases deberán ser números primos. Lo hemos intentado con esta función de VBA Basic, que determina los números que son suma de dos cuadrados de primos:

Public Function sumadoscuad_prim$(n)

Dim i, r, t, w, m

Dim s$

s = "" ‘Inicio de la solución

m = 0 ‘Inicio del contador

r = Sqr(n) ‘Tope de búsqueda

i = 2 ‘Primer primo

While i < r

t = n - i ^ 2 ‘Posible segundo cuadrado

w = Sqr(t)

If escuad(t) And esprimo(w) And i <= w Then m = m + 1: s = s + " # " + Str$(i) + ", " + Str$(w) ‘Encuentra una solución

i = primprox(i) ‘Siguiente primo

Wend

If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " # " + s

sumadoscuad_prim = s

End Function


Están publicadas en http://oeis.org/A045636

Si ahora añadimos la condición de que también el doble de N sea suma de dos potencias de primos, resulta que solo encontramos dos ejemplos, 29 y 845:


Por si el no encontrar más se debiera a una carencia de la hoja de cálculo, hemos traducido esta búsqueda a PARI:

doscuadprim(n)={my(i=2,t,s=0,r=sqrtint(n));while(i<=r&&s==0,t=n-i^2;if(issquare(t)&&isprime(sqrtint(t)),s=1);i=nextprime(i+1));s}

es(n)=doscuadprim(n)&&doscuadprim(2*n)

for(i=1,10^4,if(es(i),print1(i,", ")))

Hemos insertado este código en la página oficial de PARI con el mismo resultado:


Hemos probado más allá de 10^6 sin obtener más resultados.

 Coincidencia en suma de triangulares

Esta búsqueda es más fácil que la anterior. Basta sustituir en la función de cubos de los primeros párrafos ESCUBO por ESTRIANGULAR, y algún detalle más, pero no se encuentran soluciones a la cuestión propuesta entre los números


Otros ejemplos

Con sumandos pertenecientes a la sucesión de Fibonacci resultan demasiadas soluciones, lo que le resta interés.

Con oblongos no se encuentran tampoco entre los primeros números.

Con primos, por la Conjetura de Goldbach, nos resultarían todos los números pares.

Lo dejamos aquí.

jueves, 2 de febrero de 2023

Concatenación bilateral de cifras (2)

 Extensión a otros tipos de números

En la anterior entrada creábamos números primos adosando a un número cualquiera la misma cifra bilateralmente, tantas veces como fuera necesario hasta conseguir un número primo. Ahora realizaremos estudios similares, pero buscando otro tipo de números.

 Cuadrados

Los cuadrados terminan en 0, 1, 4, 5, 6 y 9. Podríamos investigar la concatenación bilateral a un cuadrado en lugar de a un primo. Bastaría sustituir ESPRIMO por ESCUAD, función muy usada en este blog, o issquare en PARI. Las funciones son las mismas, pero con ese pequeño cambio. Para no cansar, adjuntaremos los primeros ejemplos que vayamos encontrando.

En una primera investigación observamos que no existen muchas soluciones, y que es preferible restringir nuestro estudio a un solo dígito, pues ese es el caso más frecuente, según se observa en esta primera tabla exploratoria:


Hemos encontrado las extensiones 121, 676 y 484, además de las triviales.

Parece conveniente diseñar una función nueva, a la que llamaremos extencuad, que añada a un número la misma cifra tanto a la izquierda como a la derecha. Para Excel podría ser esta:

Function extencuad(n)

Dim i, j, k, p, m

Dim s$

Dim c(5)

 

 

s = ""

If escuad(n) Then extencuad = "NO": Exit Function

‘No tenemos en cuenta los que ya son cuadrados

p = numcifras(n)

c(1) = 1: c(2) = 4: c(3) = 5: c(4) = 6: c(5) = 9 ‘Posibles cifras

For i = 1 To 5

m = 10 ^ (p + 1) * c(i) + 10 * n + c(i) ‘Se añaden cifras

If escuad(m) Then s = s + "#" + Str$(m)

Next i

If s = "" Then s = "NO"

extencuad = s

End Function

 

En la siguiente tabla se recogen los primeros ejemplos de concatenación bilateral a cuadrado. Aparecen algunos capicúas, como 12321, y una solución doble en 62:

 


En http://oeis.org/A305719 están publicadas las raíces cuadradas, ordenadas, de los resultados de la segunda columna, además de otros ejemplos:

A305719              Numbers whose squares have the same first and last digits.                   

1, 2, 3, 11, 22, 26, 39, 41, 68, 75, 97, 101, 109, 111, 119, 121, 129, 131, 139, 141, 202, 208, 212, 218, 222, 225, 235, 246, 254, 256, 264, 303, 307, 313, 319, 321, 329, 331, 339, 341, 349, 351, 359, 361, 369, 371, 379, 381, 389, 391, 399, 401, 409, 411, 419, 421, 429, 431, 439, 441,

Estos números permiten su emparejamiento con los de la primera columna, resultando una función – inútil y dependiente de la base 10 – en la que sería un reto averiguar su sentido. Parecería aleatoria:



Los cuadrados con la primera cifra igual a la última también se pueden conseguir en PARI. Basta con este código:

exten(n)={my(s=digits(n));issquare(n)&&(s[1]==s[#s])}

for(i=100,10^5,if(exten(i),print1(i,", ")))

Obtendremos esta lista, idéntica a la de Excel, pero ordenada:

121, 484, 676, 1521, 1681, 4624, 5625, 9409, 10201, 11881, 12321, 14161, 14641, 16641, 17161, 19321, 19881, 40804, 43264, 44944, 47524, 49284, 50625, 55225, 60516, 64516, 65536, 69696, 91809, 94249, 97969

El único punto difícil de entender es el de (s[1]==s[#s]). En realidad, s es el conjunto de cifras de n, #s el número de ellas, y, por tanto, s[1]  es la primera cifra y s[#s] la última.

Terminamos con el hecho de que en números menores de un millón solo existe la solución doble del 62.

 

Otro ejemplo

Triangulares

La extensión a triangulares de forma bilateral se resuelve como la de los cuadrados. Basta cambiar las posibles terminaciones de cifras, que ahora son 1, 3, 5, 6 y 8. En esta tabla figuran los primeros ejemplos:



Si en PARI sustituimos issquare(n) por issquare(8*n+1) nos resultarán soluciones triangulares ordenadas.

exten(n)={my(s=Vec(Str(n)));issquare(8*n+1)&&(s[1]==s[#s])}

for(i=100,10^5,if(exten(i),print1(i,", ")))

171, 595, 666, 1081, 1431, 1711, 1891, 3003, 3403, 5565, 5995, 6216, 6786, 8128, 8778, 10011, 10731, 11781, 12561, 13041, 13861, 15051, 15931, 16471, 17391, 18721, 19701, 33153, 34453, 38503, 39903, 52975, 54285, 54615, 55945, 59685, 60726, 61776, 63546, 66066, 67896, 69006, 83028, 85078

No tienen que coincidir con las anteriores, porque, por ejemplo, 3003 procedería de 00 y eso no lo hemos considerado. Estas sí están ordenadas.

Como ejemplos basta con estos. Ya tenemos una base para emprender otras búsquedas distintas.