Oblongos y pitagóricos (3)

La ecuación x²+(x+1)² =y² se puede desarrollar de esta forma: x²+(x+1)² =y²; 2x²+2x+1=y²; (2x+1)² + 1 = 2y² ; (2x+1)² - 2y² = -1, por lo que llamando z=2x+1 desembocamos en una ecuación de Pell con segundo miembro igual a -1

z²-2y² = -1

Utilizamos las hojas de cálculo que presentamos en una entrada anterior

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/pell.ods para Calc
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/pell.xls para Excel

con el resultado que indica la imagen:



en la que valdrán las soluciones correspondientes a -1

Z=1; Y=1; Imposible, pues X sería negativo
Z=7; Y=5 X=3; X+1=4; Y=5
Z=41; Y=29 X=20; X+1=21;Y=29
Z=239;Y=169 X=119; X+1=120; Y=169
Z=1393;Y=985 X=696;X+1=697; Y=985

que coinciden con las propuestas en la anterior entrada dedicada a este tema.

Este método tiene el inconveniente de que depende de la precisión que tenga la hoja de cálculo en los datos con coma flotante, lo que hará que se rompa en algún momento la periodicidad de los cocientes, en este caso el 2. Por ello se puede completar con una fórmula recursiva que obtenga soluciones exactas conociendo las primeras.

En este ejemplo cada elemento de las distintas celdas cumple la fórmula

a_n+2 = 2a_n+1 + a_n

pero como las soluciones aparecen de forma alternada, deberemos reiterar dos veces, y nos quedará:

a_n+4 = 2a_n+3 + a_n+2 = 2(2a_n+2 + a_n+1)+ 2a_n+1 + a_n = 4a_n+2 + 4a_n+1+ a_n = 6a_n+2 - a_n

Con esta fórmula recursiva se van obteniendo las soluciones sin errores a partir de las dos primeras:

Z₀ = 1; Z₂ = 7; Z₂ = 6*7-1 = 41; Z₂ = 6*41-7 =239; …
Y₀ = 1; Y₂ = 5; Y₄ = 6*5-1 = 29; Y₆ = 6*29-5 =169; …

Pero no olvidemos que Z es una variable auxiliar Z=2X+1 y que después debemos despejar X

La siguiente lista de ternas, que coincide con la primera que propuso Girard, se ha obtenido mediante esta técnica

1 0 1
5 3 4
29 20 21
169 119 120
985 696 697
5741 4059 4060
33461 23660 23661
195025 137903 137904
1136689 803760 803761
6625109 4684659 4684660
38613965 27304196 27304197
225058681 159140519 159140520
1311738121 927538920 927538921
7645370045 5406093003 5406093004
44560482149 31509019100 31509019101
259717522849 183648021599 183648021600
1513744654945 1070379110496 1070379110497
8822750406821 6238626641379 6238626641380
51422757785981 36361380737780 36361380737781
299713796309065 211929657785303 211929657785304


Un reto: Fermat propuso una fórmula de recurrencia para generar ternas de este tipo a partir de otras similares. Dada la terna (x,x+1,y), se puede generar otra similar (x’,x’+1,y’)
mediante las fórmulas x’=2x+3y+1 y’=4x+3y+2.

¿Sabrías demostrarlo? ¿Engendra todas las ternas posibles a partir de 3,4,5?

Oblongos y pitagóricos (2)

¿Cómo organizar una búsqueda de soluciones para x²+(x+1)² =y² con hoja de cálculo?

Si no lo pensaste al leer la entrada anterior, ahí van dos propuestas:

Elemental

Rellena una columna con los primeros números naturales consecutivos, y en la columna de su derecha auméntalos en una unidad. Supongamos que has comenzado en las celdas B4 y C4 respectivamente. En ese caso puedes rellenar la celda D4 con la fórmula B4^2+C4^2, y en la E4 una condición que nos devuelva la palabra “Vale” si es cuadrado perfecto:

SI(D4=(ENTERO(RAÍZ(D4))^2; “Vale”;””).

Si usas Excel suprime la tilde de la palabra RAIZ. De esta forma descubriremos las soluciones, con algo de paciencia, tiempo y muchas filas de hoja de cálculo:



Con Basic

La misma idea de construir una lista para X, otra para X+1 y una tercera en la que buscamos los cuadrados perfectos se puede construir en Basic. X lo almacenamos en la variable i, X+1 en la j, y la hipotenusa en k. Una sentencia IF nos presenta las soluciones en las que k es un entero.

Con este código se buscan las soluciones para números inferiores a 1000000.

Sub busquedas
Dim i,j,k
for i=1 to 1000000
j=i+1
k=i^2+j^2
if k=Int(sqr(k))^2 then
msgbox(i)  
msgbox(j)  
msgbox(sqr(k))  
end if
next i  
End Sub

Otro día nos pondremos más serios e intentaremos un estudio algebraico. Si te quieres adelantar…

Oblongos y pitagóricos (1)

Una cuestión que ha dado juego desde los tiempos de Girard y Fermat y que permite recorrer alternativas de cálculo es la siguiente:

De todos los triángulos rectángulos de lados enteros ¿Cuáles cumplen que la diferencia entre los catetos es la unidad?

El primero que la cumple es el popular de lados 3, 4 y 5, pues la diferencia entre 3 y 4 es una unidad. ¿Habrá más? ¿Cómo abordamos el cálculo?

Casi todos los caminos nos llevan a una ecuación diofántica de segundo grado, pero hay que ver cuál y cómo resolverla. También podemos intentar una búsqueda con hoja de cálculo.

Quizás fuera prudente comenzar con esta última posibilidad. Si lo intentas descubrirás al menos estas soluciones:

3, 4 y 5
20, 21 y 29
119, 120 y 169
696, 697 y 985
4059, 4060 y 5741
23660,23661 y 33461
137903, 137904 y 195025

En la siguiente entrada propondremos la organización de una posible búsqueda por si no se te ocurre nada.

Ecuación de Pell

Se llama ecuación de Pell (por error, porque Pell no la estudió) a la ecuación diofántica cuadrática X² - DY² = 1, con X e Y variables enteras y D número entero positivo no cuadrado perfecto.

Existe una variante con el segundo miembro -1 que se resuelve de forma similar, con algunas restricciones, y también se consideran los casos en los que se trate de cualquier número entero.

En su resolución hay que distinguir dos problemas:

Primera solución

Una primera solución no es difícil de encontrar en general.

(a) Puedes acudir a un simple tanteo entre cuadrados perfectos. Por ejemplo, una solución de X² - 6Y² = 1 es X₀=5 Y₀=2. Con una hoja de cálculo no es tarea muy complicada.

(b) Las fracciones continuas también son útiles en la resolución de esta ecuación. Basta para ello desarrollar la raíz cuadrada de D mediante ellas y, según vimos en una entrada anterior, aprovechar la periodicidad del desarrollo. En el caso de la ecuación de Pell basta tomar las reducidas anteriores a la finalización del primer periodo.

En la imagen observarás que la solución X₀=5,Y₀=2 aparece antes del final del primer periodo [2,4] en el desarrollo por fracciones continuas. Después siguen otras: X=49, Y=20, X=485, Y=198, etc.

En nuestro modelo de hoja de cálculo que recomendamos más abajo basta escribir el valor de D y el segundo miembro +1 ó -1 y la hoja se encarga de desarrollar la raíz cuadrada de D mediante fracciones continuas:

(c) En el documento recomendado al final de esta entrada puedes estudiar estos y otros métodos muy útiles.

Siguientes soluciones

Según la teoría del anillo  Q(R), siendo R la raíz cuadrada de D (no lo desarrollaremos aquí), las primeras soluciones, escritas como 

constituyen una unidad del anillo, y también lo serán todas sus potencias, por lo que las siguientes soluciones provendrán de los desarrollos de las expresiones

agrupando después los términos que no contienen el radical como valor de Y y los que sí lo contienen como valor de X. Este método puede ser fatigoso, por lo que es mejor ir obteniendo las distintas soluciones por recurrencia. En efecto, de la anterior consideración se deduce que

O bien, separando términos:

Estas son las fórmulas que hemos usado en la hoja de cálculo.

Puedes consultar la búsqueda de la primera solución por fracciones continuas y la recurrencia para las siguientes en las hojas de cálculo

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/pell.ods para Calc
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/pell.xls para Excel

Por ejemplo, intenta resolver esta cuestión: ¿Qué cuadrado perfecto de diez cifras, al quitarle una unidad se puede descomponer en cinco cuadrados perfectos idénticos?

Nuestro colaborador Rafael Parra Machío nos ha facilitado un documento muy interesante sobre la ecuación de Pell, en el que podrás consultar otros métodos de resolución, como el que usa aritmética modular, y también algunos detalles históricos y teóricos que no hemos incluido aquí.

Lo puedes descargar desde la dirección http://www.hojamat.es/parra/pell.pdf

Teoría de las fracciones continuas

Si te han interesado los temas que hemos desarrollado (con la brevedad propia de un blog) sobre fracciones continuas, te ofrecemos un documento que expone la teoría de una forma sistemática y muy bien presentada.

Es un trabajo que nos ha enviado nuestro colaborador y amigo Rafael Parra Machío, que ya ha publicado comentarios muy interesantes en este blog.

Lo podéis descargar desde la dirección

http://www.hojamat.es/parra/fraccon.pdf

¡Buen aprendizaje!

Fracciones continuas (3) - Ecuaciones diofánticas

Una aplicación importante de las fracciones continuas y sus reducidas es la de resolver ecuaciones diofánticas lineales del tipo Ax+By=C, en las que C es múltiplo del MCD de A y B (que son las que poseen solución). Quiere esto decir que A,B y C se pueden simplificar hasta conseguir que MCD(A,B)=1. En lo que sigue supondremos que esto se cumple.

Efectivamente, en una entrada anterior se vio que la diferencia entre dos reducidas consecutivas equivalía a una fracción de numerador la unidad y de denominador el producto de sus denominadores. Esta propiedad también se cumple entre la última reducida y la fracción dada.

Vemos cómo se aprovecha esta propiedad para resolver la ecuación.

Sea, por ejemplo, la ecuación 244X+108Y=112.

Simplificamos: 61X+27Y=28, con MCD(61,27)=1

Buscamos las reducidas de la fracción 61/27 y elegimos la última 9/4



Y se cumplirá, según la propiedad citada, que 61*4-27*9=1, luego 4 y -9 serán las soluciones de 61X+27Y=1. Bastará multiplicar por el término independiente 28 para obtener una solución: X=4*28 = 112 e Y=-9*28 = -252

Las demás soluciones se obtienen mediante las paramétricas.

X=112-27t
Y=-252+61t

Si se desean soluciones positivas deberemos ajustar el parámetro t