Los años jacobeos

Ideas para una webquest

Con motivo del fin del año jacobeo 2010 se ha incluido en la prensa la lista de los próximos años de este tipo. Puede ser una buena ocasión para estudiarlos.

¿Cuál es el intervalo promedio entre dos años jacobeos a lo largo de un siglo o dos?

Con esta pregunta podemos organizar una webquest bastante interesante. Como siempre en este blog, renunciamos a dar detalles de su estructura (Introducción, tarea, proceso, recursos, evaluación, conclusión y autores) para dar tan sólo unas ideas generales:

Relación entre bisiestos y jacobeos

En primer lugar los alumnos deben tener clara la definición de año jacobeo y el porqué de que no aparezcan cada siete años. En lo posible, deberían adivinar los ciclos de 6, 5, 6 y 11 años sin necesidad de navegar por Internet. Este recurso se debería usar para conocer aspectos históricos o para encontrar tablas de años jacobeos.

Para adivinar los distintos ciclos podrían situar los años bisiestos en distintos puntos respecto al último año jacobeo y sacar consecuencias.

Las ideas básicas serían:

• En un año normal el día de la semana de una fecha concreta avanza un día.
• En un año bisiesto avanzan dos días las fechas posteriores a Febrero (nuestro caso).

Debe recurrirse a los restos módulo 7 aunque no se les llame así.

El ciclo 6,5,6,11 debe surgir del trabajo de los grupos de alumnos, y no de la consulta en la Red.

El ciclo de 28 años

Es importante que se descubra que 28=mcm(4,7) juega un papel fundamental en el cómputo de años y la periodicidad que produce. En este momento se puede consultar páginas web adecuadas para resumir lo descubierto. Esta tabla, copiada de la Wikipedia, puede constituir una buena culminación de esta primera parte del estudio.

Intervalo promedio

En la segunda parte se puede plantear el cálculo de la media aritmética de los periodos. Con un poco de trabajo se podrá concluir de que no hay que llegar a un siglo o dos, sino que basta con el ciclo de 28 y que los cálculos pedidos se reducen a M=(6+5+6+11)/4=7, como era de esperar. Así que en términos de promedio, igual da que existan años bisiestos o que no.

Expresión de resultados

Una vez realizado el aprendizaje, se debe exigir una buena expresión de lo aprendido. Se puede realizar, por ejemplo, de alguna de estas formas:

Mediante dos regletas superpuestas. 

Su sola visión nos da la clave:

La regla de arriba se puede ir moviendo adosada a la inferior y así ver como cambia el salto de un día a dos en los bisiestos. Los rótulos de Normal y Bisiesto se pueden sustituir por los números de años: 2011, 2012, …

Mediante una hoja de cálculo

En la siguiente tabla de OpenOffice.org Calc la segunda columna indica el día de la semana (1=domingo) mediante la función DIASEM y la tercera indica si es bisiesto por medio de la función ESAÑOBISIESTO.

Santiago	Día sem.	Bisiesto
25/07/2010	1	0
25/07/2011	2	0
25/07/2012	4	1
25/07/2013	5	0
25/07/2014	6	0
25/07/2015	7	0
25/07/2016	2	1
25/07/2017	3	0
25/07/2018	4	0
25/07/2019	5	0
25/07/2020	7	1
25/07/2021	1	0
25/07/2022	2	0
25/07/2023	3	0
25/07/2024	5	1
25/07/2025	6	0
25/07/2026	7	0
25/07/2027	1	0
25/07/2028	3	1
25/07/2029	4	0
25/07/2030	5	0
25/07/2031	6	0
25/07/2032	1	1
25/07/2033	2	0
25/07/2034	3	0
25/07/2035	4	0
25/07/2036	6	1

Los domingos se han destacado mediante un formato condicional. Se destacan así los ciclos de 5, 6 y 11.

Otras formas de expresión

Se puede recurrir a documentos de texto, presentaciones, dramatizaciones, alguna exposición, páginas web, etc.

Ampliación

¿Qué son las clases de restos módulo 7?
¿Cuándo se rompe el ciclo de 28 años?
Aplica todo esto a tu cumpleaños

A modo de mapa conceptual podemos resumir el trabajo propuesto:

¿En qué terminan los números triangulares?

Ideas para una webquest

“Los números triangulares, expresados en base decimal, no pueden terminar en 2, 4, 7 ó 9”

La metodología de las webquest se adapta muy bien al uso de las hojas de cálculo y a una buena atención a la diversidad. La afirmación anterior constituye un punto de partida que admite la organización de una webquest con distintos itinerarios de aprendizaje según los niveles del alumnado.
Se puede comenzar con la frase de arriba, y organizar una webquest para entender bien su significado y los fundamentos de esa afirmación. Incluimos a continuación algunos pasos que se podrían seguir:

(a) Definición de número triangular

Se puede buscar en páginas fiables, tales como Wikipedia o la misma Hojamat del autor de esta entrada.

(a1) Para el alumnado más aventajado, se sugerirá alguna búsqueda de carácter histórico sobre estos números.
(a2) Los estudiantes con dificultades pueden copiar imágenes de números triangulares y pegarlas en un documento.

(b) Fórmula de los números triangulares

Lo ideal sería que se pudiera deducir en el aula esta fórmua mediante inducción y discusión en grupos con la ayuda del profesorado. Así lo ha conseguido el autor en varias ocasiones, Si no, en las mismas páginas se puede encontrar dicha fórmula.

Una vez conseguida la fórmula T(n)=n(n+1)/2, se construye una tabla de números triangulares con una hoja de cálculo.

(b1) Este paso admite una rama de profundización consistente en buscar en la red propiedades de los números triangulares y experimentarlas con la misma hoja de cálculo. También se puede intentar generarlos por recurrencia: T(n+1) = T(n)+n+1
(b2) Una rama de consolidación del aprendizaje consistiría en aplicar esa fórmula sin el uso del ordenador y reproducir en papel las operaciones que se han efectuado en la hoja de cálculo.

(c) Terminación de los números triangulares

Ya se está en condiciones de comprobar que ningún número triangular termina en 2, 4, 7 ó 9, y, lo más importante, intentar justificarlo mediante la fórmula o razonamiento. Mediante la fórmula T(n)=n(n+1)/2 se puede discutir en qué cifra puede terminar n, después n+1, su producto y, por último, la mitad del mismo. Una tabla de hoja de cálculo podría ser muy útil.

(c1) Una actividad de perfeccionamiento consistiría en usar la propiedad de que “si tomo ocho veces un número triangular y después sumo 1, resulta un cuadrado”. Se estudian las terminaciones de los cuadrados impares, se les quita una unidad y se discute su cociente entre 8.
(c2) Para el alumnado que necesite consolidar lo aprendido, se puede organizar el cálculo de números triangulares grandes para comprobar sus terminaciones.

(d) Presentación de resultados

Todo el trabajo realizado se expone al resto del aula mediante documentos, presentaciones o puestas en común. Si se dispone de una web de centro, se incluye en ella todo el material generado en la webquest.

Con estas ideas, adaptándolas al nivel y características de vuestros estudiantes, podéis diseñar una o dos sesiones de trabajo que pueden resultar interesantes.