Evidentemente, lo que hay entre dos primos consecutivos son números compuestos, pero puede haber también cuadrados, semiprimos u oblongos, y se pueden contar o sumar. De algunas clases sólo habrá uno o ninguno, como en el caso de los cuadrados, y en otras aparecerán muchos más. Nos entretendremos con esas búsquedas, para ver qué conseguimos.
En primer lugar, un escenario
Para entender mejor lo que sigue, hemos construido una tabla con todos los números del 2 al 997, que puedes extender tanto como desees. Dicha tabla está organizada escribiendo los números primos en una misma columna, y los comprendidos entre cada dos de ellos consecutivos (los llamaremos “entreprimos”), en las columnas siguientes. Algo como esto:
Hemos alojado esta tabla en http://www.hojamat.es/blog/entreprimos.xlsm
De esta forma, cuando deseemos contar, sumar o destacar entreprimos, trabajaremos por filas, lo que en una hoja de cálculo facilita mucho el trabajo. Por ejemplo, con la función CONTAR podemos añadir una columna que nos exprese el intervalo entre dos primos consecutivos. Por eso comenzamos la tabla en la columna D, para poder insertar columnas delante de ella. Observa cómo quedaría la función CONTAR en la columna C:
Como era de esperar, salvo el caso del 2 y el 3, el número de entreprimos es siempre par, y distribuido de forma irregular.
Podíamos haber sumado, y obtendríamos los términos de la sucesión http://oeis.org/A054265
0, 4, 6, 27, 12, 45, 18, 63, 130, 30, 170, 117, 42, 135, 250, 280, 60, 320, 207, 72,… como puedes observar en la imagen, en la que hemos usado la función SUMA.
En la página enlazada http://oeis.org/A054265 se te propone una fórmula para estas sumas. Es fácil de entender. Si llamamos P(N) al primo número N es claro que el número de entreprimos entre P(N) y P(N+1) es P(N+1)-P(N). Pero es trivial que forman una progresión aritmética, luego se pueden sumar mediante la fórmula clásica
Que en este caso sería (P(N+1)-1+P(N)+1)*(P(N+1)-P(N)+1)/2, es decir:
Por ejemplo, entre 23 y 29 la suma de compuestos sería (23+29)*(29-23+1)/2=26*5=130, como se comprueba en la tabla.
Número de entreprimos
Para recuentos posteriores, es útil disponer de una fórmula para contar los entreprimos inferiores a un primo dado. Recordamos que existe una función PI(x), o p(x) con x real, que cuenta los primos menores o iguales a un número dado. En lenguajes de programación se podrá expresar como PrimePi(x) en el Wolfram Language, primepi(x), en PARI o nuestra PRIMHASTA para hoja de cálculo. Es evidente que el número de entreprimos hasta N se calculará restando N y PRIMEPI(N), para así eliminar los primos. En PARI podíamos definir esta función:
entreprimos(n)=n-primepi(n)
Con este código contamos los entreprimos de la tabla-escenario propuesta:
entreprimos(n)=n-primepi(n)
{print(entreprimos(997))}
Si lo ejecutas te devolverá 829, aunque en la tabla hay 828. Esto es porque cuenta el 1.
Si deseas contar entre dos primos puedes usar esta otra función:
entreprimos2(m,n)=n-primepi(n)-m+primepi(m)
Por ejemplo, para m=31 n=53 nos devuelve el valor 17, que puedes comprobar en la tabla
Usaremos más adelante estas funciones en cálculos de densidades de ciertos tipos de entreprimos. Finalizamos aquí para no mezclar los temas con los de la siguiente entrada.
Este blog es un complemento natural de mi página http://www.hojamat.es. Por ello, se dedicará a los temas numéricos tratados con Hoja de Cálculo y a la estructura y prestaciones de esta. Su nivel será elemental o medio, y su orientación lúdica e investigadora.
lunes, 22 de febrero de 2016
viernes, 12 de febrero de 2016
Volvemos a los números "arolmar" (3) Coincidencias
Proseguimos hoy el estudio y curiosidades que presentan nuestros números arolmar, aquellos libres de cuadrados en los que la media de sus factores primos es también un número primo. Esta es la tercera entrada de la serie. Puedes leer previamente las dos anteriores. Para ello busca en este mismo blog la etiqueta "Números AROLMAR"
Los números arolmar pueden presentar otras características, pertenecer a otro tipo de números. Por definición, no pueden ser primos ni cuadrados, pero sí, por ejemplo, triangulares. Aquí tienes los primeros números arolmar que también son triangulares:
(En la tabla figura el número n, su orden como triangular y sus factores)
Entre ellos hay pocos semiprimos, ya que se pueden necesitar más factores para construir una expresión del tipo n(n+1)/2. Un caso especial es el 231, que es triangular de orden también triangular.
Como ser triangular aquí es una mera casualidad, no aparecen muchos. Inferiores a 10000 sólo hay los diez de la tabla.
También pueden ser pentagonales:
O hexagonales:
Otra causalidad es que un arolmar pertenezca a la sucesión de Fibonacci. Entre los inferiores a 25000 sólo hemos encontrado estos dos, el 21, de orden 8 y el 987, de orden 16.
Existen también palindrómicos
33
393
505
565
949
969
1221
1441
5885
Y también hipotenusas de ternas pitagóricas:
N Catetos
85 13 , 84
105 63 , 84
145 17 , 144
195 48 , 189
205 45 , 200
265 23 , 264
445 84 , 437
Parecerá que deben ser múltiplos de 5, pero no es necesario. El siguiente en la lista es el 493.
Con estos ejemplos vemos que los números arolmar están entremezclados con los de otros tipos, compartiendo términos con muchos de ellos. La principal causa de esto es su relativa abundancia y su tendencia casi lineal (ver la primera entrada de esta serie http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2015/12/volvemos-los-numeros-arolmar-1-historia.html), que los aproxima a otros que presentan tendencias distintas.
Números arolmar interprimos
En la entrada anterior (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2016/01/volvemos-los-numeros-arolmar-2.html) presentamos pares de números arolmar gemelos entremezclados con primos gemelos. Esto nos anima a buscar interprimos, es decir, números que son media aritmética entre dos números primos consecutivos. Ya señalamos que la abundancia de los números arolmar propicia que aparezcan bastantes situaciones que planteemos. Esta es una de ellas. Basta ver la tabla para darse cuenta de la abundancia de los números arolmar interprimos:
Comprueba con algunos casos que los números primos son consecutivos y que su media es el número arolmar.
Un número arolmar, por definición, produce un número primo como media de sus divisores primos. Así tendríamos una generación de primos a partir de dos de ellos consecutivos. Esto no es más que una curiosidad, pero muy atractiva. Tienes un ejemplo en la imagen siguiente:
Es evidente que esta generación sólo tiene lugar si los dos primos tienen como media un número arolmar. Lo destacable, y eso lo hemos visto en anteriores entradas, es que los números arolmar relacionan números primos con otros fácilmente. En la siguiente entrada veremos más.
Dobles interprimos
Recientemente hemos publicado la sucesión de dobles interprimos (https://oeis.org/A263674), aquellos que son media de dos primos consecutivos y también del anterior y el posterior a ese par. Por ejemplo, es doble interprimo el 9, porque 9 = (7+11)/2 = (5+13)/2, con 5, 7, 11, 13 primos consecutivos. También entre ellos figuran algunos arolmar:
Estos son los primeros que aparecen. Hemos incluido sus factores y media prima, así como los cuatro primos consecutivos de los que el arolmar es media de dos en dos (y por tanto, también de los cuatro). Se observa que no existe relación aparente entre la media prima y los valores y diferencias entre los cuatro primos consecutivos. Era de esperar.
¿Existen arolmar equilibrados?
Llamaremos arolmar equilibrados a aquellos que son media de otros consecutivos con ellos y de la misma clase (también arolmar).
Sí existen, y son estos:
En ellos el número arolmar del centro es media entre los dos extremos, que también son arolmar. Vemos, por ejemplo, la terna 2245, 2255 y 2265. Es evidente que el central es media de los otros dos. En la siguiente tabla los analizamos:
Los tres son compuestos, libres de cuadrados y media prima, luego 2255 es un arolmar equilibrado. Como en curiosidades anteriores, la media prima resultante no ha de tener ninguna relación aparente con la terna que elijamos.
Entre ellos figurarán las ternas de gemelos, cousin o sexy.
Arolmar abundantes
Al ser los arolmar números libres de cuadrados parece que no habrá muchos entre ellos que sean abundantes, es decir, que sus divisores propios presenten una suma mayor que el número dado, o bien que sigma(n)>2n (https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_abundante)
Efectivamente, hasta el 33495 no aparece ningún arolmar abundante. En la siguiente tabla están contenidos los primeros, junto con su descomposición factorial, el cociente sigma(n)/n y la media prima:
Llama la atención que todos contienen como factores 3, 5, 7 y 11 o 13, y que, por tanto, la media prima sea también relativamente pequeña. Parece ser que la existencia de primos pequeños propicia que existan más divisores y su suma aumente hasta sobrepasar 2n. Dejamos esta cuestión para otro momento.
Podríamos seguir buscando coincidencias con otros tipos de números, pero parece quedar claro que rara es la propiedad que no está presente en algún término de nuestra sucesión.
Los números arolmar pueden presentar otras características, pertenecer a otro tipo de números. Por definición, no pueden ser primos ni cuadrados, pero sí, por ejemplo, triangulares. Aquí tienes los primeros números arolmar que también son triangulares:
(En la tabla figura el número n, su orden como triangular y sus factores)
Entre ellos hay pocos semiprimos, ya que se pueden necesitar más factores para construir una expresión del tipo n(n+1)/2. Un caso especial es el 231, que es triangular de orden también triangular.
Como ser triangular aquí es una mera casualidad, no aparecen muchos. Inferiores a 10000 sólo hay los diez de la tabla.
También pueden ser pentagonales:
O hexagonales:
Otra causalidad es que un arolmar pertenezca a la sucesión de Fibonacci. Entre los inferiores a 25000 sólo hemos encontrado estos dos, el 21, de orden 8 y el 987, de orden 16.
Existen también palindrómicos
33
393
505
565
949
969
1221
1441
5885
Y también hipotenusas de ternas pitagóricas:
N Catetos
85 13 , 84
105 63 , 84
145 17 , 144
195 48 , 189
205 45 , 200
265 23 , 264
445 84 , 437
Parecerá que deben ser múltiplos de 5, pero no es necesario. El siguiente en la lista es el 493.
Con estos ejemplos vemos que los números arolmar están entremezclados con los de otros tipos, compartiendo términos con muchos de ellos. La principal causa de esto es su relativa abundancia y su tendencia casi lineal (ver la primera entrada de esta serie http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2015/12/volvemos-los-numeros-arolmar-1-historia.html), que los aproxima a otros que presentan tendencias distintas.
Números arolmar interprimos
En la entrada anterior (http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2016/01/volvemos-los-numeros-arolmar-2.html) presentamos pares de números arolmar gemelos entremezclados con primos gemelos. Esto nos anima a buscar interprimos, es decir, números que son media aritmética entre dos números primos consecutivos. Ya señalamos que la abundancia de los números arolmar propicia que aparezcan bastantes situaciones que planteemos. Esta es una de ellas. Basta ver la tabla para darse cuenta de la abundancia de los números arolmar interprimos:
Comprueba con algunos casos que los números primos son consecutivos y que su media es el número arolmar.
Un número arolmar, por definición, produce un número primo como media de sus divisores primos. Así tendríamos una generación de primos a partir de dos de ellos consecutivos. Esto no es más que una curiosidad, pero muy atractiva. Tienes un ejemplo en la imagen siguiente:
Es evidente que esta generación sólo tiene lugar si los dos primos tienen como media un número arolmar. Lo destacable, y eso lo hemos visto en anteriores entradas, es que los números arolmar relacionan números primos con otros fácilmente. En la siguiente entrada veremos más.
Dobles interprimos
Recientemente hemos publicado la sucesión de dobles interprimos (https://oeis.org/A263674), aquellos que son media de dos primos consecutivos y también del anterior y el posterior a ese par. Por ejemplo, es doble interprimo el 9, porque 9 = (7+11)/2 = (5+13)/2, con 5, 7, 11, 13 primos consecutivos. También entre ellos figuran algunos arolmar:
Estos son los primeros que aparecen. Hemos incluido sus factores y media prima, así como los cuatro primos consecutivos de los que el arolmar es media de dos en dos (y por tanto, también de los cuatro). Se observa que no existe relación aparente entre la media prima y los valores y diferencias entre los cuatro primos consecutivos. Era de esperar.
¿Existen arolmar equilibrados?
Llamaremos arolmar equilibrados a aquellos que son media de otros consecutivos con ellos y de la misma clase (también arolmar).
Sí existen, y son estos:
En ellos el número arolmar del centro es media entre los dos extremos, que también son arolmar. Vemos, por ejemplo, la terna 2245, 2255 y 2265. Es evidente que el central es media de los otros dos. En la siguiente tabla los analizamos:
Los tres son compuestos, libres de cuadrados y media prima, luego 2255 es un arolmar equilibrado. Como en curiosidades anteriores, la media prima resultante no ha de tener ninguna relación aparente con la terna que elijamos.
Entre ellos figurarán las ternas de gemelos, cousin o sexy.
Arolmar abundantes
Al ser los arolmar números libres de cuadrados parece que no habrá muchos entre ellos que sean abundantes, es decir, que sus divisores propios presenten una suma mayor que el número dado, o bien que sigma(n)>2n (https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_abundante)
Efectivamente, hasta el 33495 no aparece ningún arolmar abundante. En la siguiente tabla están contenidos los primeros, junto con su descomposición factorial, el cociente sigma(n)/n y la media prima:
Llama la atención que todos contienen como factores 3, 5, 7 y 11 o 13, y que, por tanto, la media prima sea también relativamente pequeña. Parece ser que la existencia de primos pequeños propicia que existan más divisores y su suma aumente hasta sobrepasar 2n. Dejamos esta cuestión para otro momento.
Podríamos seguir buscando coincidencias con otros tipos de números, pero parece quedar claro que rara es la propiedad que no está presente en algún término de nuestra sucesión.
lunes, 1 de febrero de 2016
Los interprimos (2)
En la anterior entrada estudiamos los números interprimos, que son media de dos primos consecutivos. Entre ellos había cuadrados y triangulares. Veremos ahora otros tipos.
Otros interprimos
Oblongos
Un oblongo puede ser también interprimo. Los primeros son estos:
6, 12, 30, 42, 56, 72, 240, 342, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 870, 1056, 1190, 1482, 1722, 1806, 2550, 2652, 2970, 3540, 4422, 6320, 7140, 8010, 10302, 12656, 13572, 14042, 17292, 18360, 19182, 19460, 20022, 22952,…
Esta sucesión estaba inédita y la hemos publicado en https://oeis.org/A263676
Por su propia definición, todos son pares. Si estudiamos sus restos respecto al 6, veremos que sólo pueden ser 0 y 2, es decir, todos los oblongos de esta sucesión han de tener la forma 6k o bien 6k+2. La razón es que los primos son todos del tipo 6k+1 o 6k+5. Intenta encontrar sus medias y verás que nunca pueden ser del tipo 6k+4.
Potencias de primo no triviales
Las potencias de un primo aparecen en muchas cuestiones sobre números. Tampoco faltan entre los interprimos. Los primeros son estos:
4, 9, 64, 81, 625, 1681, 4096, 822649, 1324801, 2411809, 2588881, 2778889, 3243601, 3636649, 3736489, 5527201, 6115729, 6405961, 8720209, 9006001, 12752041, 16056049, 16589329, 18088009, 21743569, 25230529, 29343889, 34586161, 37736449, …
Los más abundantes son los cuadrados de primos, como puedes comprobar en la lista.
Se pueden engendrar en PARI (nosotros los hemos comprobado con hoja de cálculo) mediante este código:
{for(i=1,10^10,if(isprimepower(i)>1&&i==(precprime(i-1)+nextprime(i+1))/2,write1("final.txt",i,", ");print(i)))}
Hemos publicado esta sucesión en https://oeis.org/A263675
La función isprimepower es muy útil, pues da el posible exponente de la potencia de primo que buscamos. Como deseamos que dicha potencia no sea trivial, exigimos que el valor de la función sea mayor que 1. Es muy curiosa la lista de potencias en base pequeña que son interprimas. Las más destacadas son:
Potencias de 2
4, 64, 4096, 75557863725914323419136, 3064991081731777716716694054300618367237478244367204352,…
Por ejemplo, 75557863725914323419136=2^76 es interprimo entre 75557863725914323419121 y 75557863725914323419151. Es una simple curiosidad, pero impresiona que hayamos podido llegar a encontrar estos ejemplos.
Potencias de 3
9, 81, 387420489, 3486784401, 7509466514979724803946715958257547, 147808829414345923316083210206383297601, 11433811272836884826665874049685357613602127080237382571153151471568389249023393608050222706416077770721, 448892491307036257313398359006707643432387469456810160991926368303464199896097475113561830407152947942076292623881529083368591747123618100530770752056321305926194706763551153705251146130442138394723337920866081218864301061606664140464321,
Potencias de 5
5, 625, 32311742677852643549664402033982923967414535582065582275390625, 161558713389263217748322010169914619837072677910327911376953125,
Una buena cuestión, que daríamos por verdadera, es si existen infinitas potencias de este tipo.
Dobles interprimos
A los interprimos, que son media entre dos primos consecutivos, les podíamos exigir que también lo fueran respecto al anterior y al siguiente primo de ese par. Es decir, que dados cuatro primos consecutivos p, q, r y s, exista un número N tal que N=(p+s)/2 y N=(q+r)/2. Esto se cumplirá cuando q-p = s-r, lo cual no quiere decir que los cuatro estén en progresión aritmética.
Un ejemplo: 600 es doble interprimo, porque está en el centro de los cuatro primos consecutivos 593, 599, 601 y 607, cumpliéndose que 600 = (599+601)/2 = (593+607)/2.
No es difícil encontrarlos, y no son escasos. Los primeros que aparecen son:
9, 12, 15, 18, 30, 42, 60, 81, 102, 105, 108, 120, 144, 165, 186, 195, 228, 260, 270, 312, 363, 381, 399, 420, 426, 441, 462, 489, 495, 552, 570, 582, 600, 696, 705, 714, 765, 816, 825, 858,…
(Los publicamos en https://oeis.org/A263674)
A primera vista todos parecen ser múltiplos de 2 o 3, pero, como nos ocurrió con una propiedad similar, esa afirmación es falsa. El primer contraejemplo es 2405, doble interprimo entre 2393, 2399, 2411 y 2417.
Otros interprimos
Oblongos
Un oblongo puede ser también interprimo. Los primeros son estos:
6, 12, 30, 42, 56, 72, 240, 342, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 870, 1056, 1190, 1482, 1722, 1806, 2550, 2652, 2970, 3540, 4422, 6320, 7140, 8010, 10302, 12656, 13572, 14042, 17292, 18360, 19182, 19460, 20022, 22952,…
Esta sucesión estaba inédita y la hemos publicado en https://oeis.org/A263676
Por su propia definición, todos son pares. Si estudiamos sus restos respecto al 6, veremos que sólo pueden ser 0 y 2, es decir, todos los oblongos de esta sucesión han de tener la forma 6k o bien 6k+2. La razón es que los primos son todos del tipo 6k+1 o 6k+5. Intenta encontrar sus medias y verás que nunca pueden ser del tipo 6k+4.
Potencias de primo no triviales
Las potencias de un primo aparecen en muchas cuestiones sobre números. Tampoco faltan entre los interprimos. Los primeros son estos:
4, 9, 64, 81, 625, 1681, 4096, 822649, 1324801, 2411809, 2588881, 2778889, 3243601, 3636649, 3736489, 5527201, 6115729, 6405961, 8720209, 9006001, 12752041, 16056049, 16589329, 18088009, 21743569, 25230529, 29343889, 34586161, 37736449, …
Los más abundantes son los cuadrados de primos, como puedes comprobar en la lista.
Se pueden engendrar en PARI (nosotros los hemos comprobado con hoja de cálculo) mediante este código:
{for(i=1,10^10,if(isprimepower(i)>1&&i==(precprime(i-1)+nextprime(i+1))/2,write1("final.txt",i,", ");print(i)))}
Hemos publicado esta sucesión en https://oeis.org/A263675
La función isprimepower es muy útil, pues da el posible exponente de la potencia de primo que buscamos. Como deseamos que dicha potencia no sea trivial, exigimos que el valor de la función sea mayor que 1. Es muy curiosa la lista de potencias en base pequeña que son interprimas. Las más destacadas son:
Potencias de 2
4, 64, 4096, 75557863725914323419136, 3064991081731777716716694054300618367237478244367204352,…
Por ejemplo, 75557863725914323419136=2^76 es interprimo entre 75557863725914323419121 y 75557863725914323419151. Es una simple curiosidad, pero impresiona que hayamos podido llegar a encontrar estos ejemplos.
Potencias de 3
9, 81, 387420489, 3486784401, 7509466514979724803946715958257547, 147808829414345923316083210206383297601, 11433811272836884826665874049685357613602127080237382571153151471568389249023393608050222706416077770721, 448892491307036257313398359006707643432387469456810160991926368303464199896097475113561830407152947942076292623881529083368591747123618100530770752056321305926194706763551153705251146130442138394723337920866081218864301061606664140464321,
Potencias de 5
5, 625, 32311742677852643549664402033982923967414535582065582275390625, 161558713389263217748322010169914619837072677910327911376953125,
Una buena cuestión, que daríamos por verdadera, es si existen infinitas potencias de este tipo.
Dobles interprimos
A los interprimos, que son media entre dos primos consecutivos, les podíamos exigir que también lo fueran respecto al anterior y al siguiente primo de ese par. Es decir, que dados cuatro primos consecutivos p, q, r y s, exista un número N tal que N=(p+s)/2 y N=(q+r)/2. Esto se cumplirá cuando q-p = s-r, lo cual no quiere decir que los cuatro estén en progresión aritmética.
Un ejemplo: 600 es doble interprimo, porque está en el centro de los cuatro primos consecutivos 593, 599, 601 y 607, cumpliéndose que 600 = (599+601)/2 = (593+607)/2.
No es difícil encontrarlos, y no son escasos. Los primeros que aparecen son:
9, 12, 15, 18, 30, 42, 60, 81, 102, 105, 108, 120, 144, 165, 186, 195, 228, 260, 270, 312, 363, 381, 399, 420, 426, 441, 462, 489, 495, 552, 570, 582, 600, 696, 705, 714, 765, 816, 825, 858,…
(Los publicamos en https://oeis.org/A263674)
A primera vista todos parecen ser múltiplos de 2 o 3, pero, como nos ocurrió con una propiedad similar, esa afirmación es falsa. El primer contraejemplo es 2405, doble interprimo entre 2393, 2399, 2411 y 2417.
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