Regresos 14 – (2) Bases de cuatro cubos con suma cero

 En la anterior entrada estudiamos las sumas de cubos cuyas bases suman cero. En esta otra ampliaremos el estudio a cuatro cubos.         

Sumas con cuatro cubos

Algunas consideraciones relativas a las sumas de tres cubos cuyas bases suman cero son válidas para el caso de las sumas de cuatro cubos. La más importante es la de que el número que equivale a la suma de cubos ha de ser múltiplo de 6.

Distinguiremos dos casos, según sean los signos de las bases de los cubos.

Dos positivos y dos negativos

Si el esquema de los cuatro cubos es el de dos positivos y dos negativos, se puede intentar un estudio algebraico no muy complicado. Llamamos k a la suma de las dos bases positivas, y a ellas, p y k-p. Igualmente, podemos llamar –r y r-k a las negativas. Quedaría, pues, el valor de N como

N=p³+(k-p)³-r³-(k-r)³

N=p³+k³-p³-3k²p+3kp²-r³-k³+r³+3k²r-3kr²

N=-3k²p+3kp²+3k²r-3kr²=3k²(r-p)+3k(p²-r²)=3k(k(r-p)+(p-r)(p+r))

N=3k(p-r)(p+r-k)

Llegaríamos a una situación similar a la del caso de tres cubos, pero con un parámetro más. Por ejemplo:

30=6^3+4^3-5^3-5^3, y p=6, k=10, k-p=4, r=5 y k-r=5

30=3*10*(6-5)*(6+5-10)=30*1*1=30

30 también es igual a 4³+1³-3³-2³, y queda

30=3*5*(4-2)(4+2-5)=3*5*2*1=30

Esto abre camino a una función similar a la usada para tres cubos, pero con tres bucles de búsqueda en lugar de dos. El número N también ha de ser múltiplo de 6, porque k(p-r)(p+r-k) siempre es par.

Podemos usar esta función:

Function cubossum4$(n)
Dim p, q, r, k
Dim s$

s = ""
If n Mod 6 <> 0 Then cubossum4 = "NO": Exit Function
For k = 2 To n / 2
If n / k = n \ k Then
For p = 1 To k / 2 - 1
q = k - p
For r = 1 To k / 2
If n = 3 * k * (p - r) * (p + r - k) Then s = s + " # " + ajusta(p) + "^3+" + ajusta(q) + "^3-" + Str$(r) + "^3-" + Str$(k - r) + "^3"
Next r
Next p
End If
Next k
If s = "" Then s = "NO"
cubossum4 = s
End Function

No necesita comentarios, porque es similar a las anteriores.

Con ella conseguimos un listado de soluciones, todas ellas con dos cubos positivos y dos negativos:

Un cubo positivo y tres negativos

El otro caso de cuatro cubos presentaría este otro esquema

N=(p+q+r)³-p³-q³-r³

Esto obliga a que N sea par, pues así es para todos los juegos de paridad de p, q y r.

También es múltiplo de tres, ya que desarrollando esa diferencia llegamos a

N=3x²y+3x²z+3xy²+6xyz+3xz²+3y²z+3yz²

En este caso no es seguro que algún parámetro sea divisor de N, por lo que la búsqueda recorrerá más números. Sí ocurrirá que x, y, z serán menores que N/3.

Podemos usar esta función:

Function cubossum3(n)

Dim i, j, k

Dim s$

s = ""

If n Mod 6 <> 0 Then cubossum3 = "NO": Exit Function

For i = 1 To n / 3

For j = 1 To i

For k = 1 To j

If (i + j + k) ^ 3 - i ^ 3 - j ^ 3 - k ^ 3 = n Then

s = s + "## " + Str$(i + j + k) + "^3-" + Str$(i) + "^3-" + Str$(j) + "^3-" + Str$(k) + "^3"

End If

Next k

Next j

Next i

If s = "" Then cubossum3 = "NO" Else cubossum3 = s

End Function

 

También en este caso dispondremos de bastantes resultados:

Hemos avanzado en la tabla hasta descubrir soluciones múltiples.

 

Caso general

 Si no nos apetece el estudio algebraico, podemos usar tan solo que las bases sean, en valor absoluto, menores que N/3

Buscaremos tres cubos de base entera cuya suma se aproxime a N. A las tres bases de esa suma le añadiremos otra que con ellas forme suma cero. Si los cuatro cubos suman N, habremos resuelto la búsqueda. Parece lento, pero no es tanto como se podría esperar.

 

Function cubossum0(n)

Dim i, j, k, h

Dim s$

 

s = ""

If n Mod 6 <> 0 Then cubossum0 = "NO": Exit Function

'Usamos tres bucles para las tres primeras bases i, j y k

For i = -n / 3 To n / 3

For j = i To n / 3

For k = j To n / 3

h = -i - j - k 'h será la cuarta base para suma nula

If i ^ 3 + j ^ 3 + k ^ 3 + h ^ 3 = n And h >= k Then 'Se cumple la condición

s = s + "# " + Str$(i) + ", " + Str$(j) + ", " + Str$(k) + ", " + Str$(h)

End If

Next k

Next j

Next i

If s = "" Then cubossum0 = "NO" Else cubossum0 = s

End Function

 Con esta función obtenemos todas las soluciones al problema, las más frecuentes, del tipo de dos cubos positivos y dos negativos, el resto, como el 108, con un solo cubo positivo e, incluso, casos de tres cubos, cuando uno de ellos resulte nulo. Estos son los primeros resultados:

 

Con esto finalizamos las búsquedas

 

Regresos 14 – (1) Bases de tres cubos con suma cero

Hace unos años publiqué en este blog un estudio sobre las sumas de cubos cuyas bases suman cero. Lo restringí a las sumas de tres cubos.

Releyendo la entrada he visto que le sobra mucho material y que algunos aspectos de la cuestión no están bien explicados. Regresamos a ella para completarla y quitarle cuestiones poco interesantes.

Comenzaba así:

Otro estudio más que se basa en mis cálculos en Twitter (@connumeros). El día 22/3/2020 publiqué:

22320 se puede representar mediante dos sumas de cubos cuyas bases suman 0:

22320=(-16)^3+(-15)^3+31^3, con 31+(-15)+(-16)=0

22320 =(-60)^3+(-2)^3+62^3 y 62+(-2)+(-60)=0

No son muchos relativamente los números que cumplen una propiedad similar. Comenzaremos con aquellos que presenten suma de cubos cuyas bases sumen cero al menos una vez. El primero es el 6, que se puede representar como 6=2^3+(-1)^3+(-1)^3, con 2+(-1)+(-1)=0

Función adecuada

Todo el planteamiento del problema se basa en que N sea entero positivo, pues el caso contrario es equivalente en su planteamiento. Para que la suma de bases sea cero y la de cubos positiva deberá existir un cubo positivo y dos negativos, pues en ese caso la base del positivo será la suma de las los negativos, es decir, que el esquema de la suma sería (p+q)^3-p^3-q^3. Cualquier otro planteamiento daría suma no nula o negativa.

Para la búsqueda que sigue es preferible llamar p a la base del cubo positivo y a las negativas -q y –(p-q). Cualquier otra nomenclatura también nos serviría. Así que trabajaremos con el esquema  N=p³-q³-(p-q)³, con p>q

Si partimos de esa igualdad, desarrollando, N=p³-q³-(p³-3p²q+3pq²-q³)=3p²q-3pq²=3pq(p-q). Equivale a afirmar que N es el triple del producto de los valores absolutos de las bases de los cubos

Esta expresión 3pq(p-q) nos servirá para construir una parada en la búsqueda, exigiendo que 3pq(p-q)<=N para cada valor de p y q y que en el caso de la igualdad haga finalizar la búsqueda. Es más rápido así. También nos indica que N ha de ser múltiplo de 6, ya que pq(p-q) es siempre par.

Versión para Excel

La siguiente función actúa sobre un número natural y devuelve una cadena de texto, que puede estar vacía o contener la primera solución que se encuentre. Este es su listado:

Function cubossum(n)
Dim i, j, a
Dim es
Dim s$

If n Mod 6 <> 0 Then cubossum = "": Exit Function ‘Da salida si no es múltiplo de 6
es = False ‘Parará el proceso si se encuentra solución
i = 1  ‘Contador para la variable p
s = ""  ‘Cadena de texto para el resultado
a = 0 ‘Contendrá la suma de cubos
While a <= n And Not es ‘Se para si se llega a n o se encuentra una suma
j = 1 ‘Contador de la variable q
While j < i And Not es
a = 3 * i * j * (i - j) ‘Expresión buscada
If a = n Then es = True: s = s + Str$(j) + Str$(i) ‘Se encuentra solución
j = j + 1
Wend
i = i + 1
Wend
cubossum = s
End Function

Con esta función podemos organizar una búsqueda de aquellos números que presentan la descomposición buscada. Los primeros son:

Cada número encontrado viene acompañado del valor de q y el de p. Así, para 210, q=2 p=7, luego 210 = 7³-2³-(7-2)³ = 7³-2³-5³ = 343-8-125 = 210

Un listado más completo es

6, 18, 36, 48, 60, 90, 126, 144, 162, 168, 210, 216, 252, 270, 288, 330, 360, 378, 384, 396, 468, 480, 486, 540, 546, 594, 630, 720, 750, 792, 816, 858, 918, 924, 972, 990, 1008, 1026, 1140, 1152, 1170, 1260, 1296, 1344, 1386, 1404, 1518, 1530, 1560, 1620, 1638, 1656, 1680, 1728, 1800…

Hemos publicado esta sucesión en https://oeis.org/A333821

Todo esto se puede traducir al lenguaje PARI:

ok(n) = {my(i=1,a=0,m=0,j);if(n%6==0,while(a<=n&&m==0,j=1;while(j<i&&m==0,a=3*i*j*(i-j);if(a==n,m=1);j+=1);i+=1)); m}

{for(p=1,2000,if(ok(p),print1(p,", ")))}

Si lo pruebas en https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html obtendrás la lista de los primeros números que cumplen esta descomposición:

6, 18, 36, 48, 60, 90, 126, 144, 162, 168, 210, 216, 252, 270, 288, 330, 360, 378, 384, 396, 468, 480, 486, 540, 546, 594, 630, 720, 750, 792, 816, 858, 918, 924, 972, 990, 1008, 1026, 1140, 1152, 1170, 1260, 1296, 1344, 1386, 1404, 1518, 1530, 1560, 1620, 1638, 1656, 1680, 1728, 1800,…

 

Algoritmo más rápido

En el anterior planteamiento no se aprovecha el hecho de que p, q y p-q son divisores de N/3 y por eso en los bucles de búsqueda se prueban demasiados valores inútiles. En la siguiente versión se consigue más velocidad, y se han añadido al resultado todas las posibilidades de forma más clara, así como el añadido al principio del número de soluciones, Este sería el listado de la nueva función:

Function cubossum2$(n)
Dim p, q, r, m
Dim s$

If n Mod 6 <> 0 Then cubossum2 = "NO": Exit Function
s = " sol: "
m = 0 ‘Nuevo: contador de soluciones
For p = 2 To n / 3
If n / p = n \ p Then ‘Sólo se admite p si es divisor
For q = 1 To p - 1
If n / q = n \ q Then ’ También q ha de ser divisor
r = p – q ‘Tercera base de cubos
‘Prueba para identificar una solución y su incorporación
If n = 3 * p * q * r And r <= q Then m = m + 1: s = s + " # " + ajusta(p) + "^3+(-" + ajusta(q) + ")^3+(-" + Str$(r) + ")^3"
End If
Next q
End If
Next p
s = Str$(m) + s ’Se incorpora el contador de soluciones
cubossum2 = s
End Function

Así quedan las primeras soluciones, con más información que en la función anterior:

 

Ahora se perciben mejor las soluciones múltiples, que serán objeto del siguiente apartado.

Resultados múltiples

Algunos de estos números presentan varias descomposiciones. El primero es 90, que admite las dos sumas 90=5^3-3^3-2^3 y 90=6^3-5^3-1^3. Después le siguen estos:

Si adaptamos a PARI obtenemos un listado más extenso:

90, 630, 720, 1170, 1260, 1386, 2430, 2640, 3024, 3060, 3168, 3366, 3570, 4446, 5040, 5760, 5940, 6210, 6300, 6930, 8910, 9360, 10080, 11088, 11250, 12480, 12870, 12960, 14490, 14742, 16380, 17010, 18018, 18270, 18810, 19440, 19890, 21120, 22140, 22320, 23310, 24192, 24480, 24570, 25344, 25740, 26928, 27360, 27720, 28560, 29700, 30870, 31590, 31920, 34020, 35568, 36630, 37296, 37422, 39330, 40320, 41328, 42120, 42840, 43056, 44460, 45408, 46080, 47250, 47520, 49680,…

Se ha usado el código

ok(n) = {my(p,q,r,m=0);if(n%6==0,for(p=2,n/2,if(n%p==0,for(q=1,p-1,if(n%q==0,r=p-q;if(n==3*p*q*r&&r<=q,m+=1)))))); m}

{for(p=1,30000,h=ok(p);if(h>1,print1(p,", ")))}

Destaca el 720 con tres descomposiciones:

720=10^3-6^3-4^3=12^3-10^3-2^3=16^3-15^3-1^3

El primero con 4 es 19440: 19440=30^3+(-18)^3+(-12)^3=36^3+(-30)^3+(-6)^3=48^3+(-45)^3+(-3)^3=81^3+(-80)^3+(-1)^3

Con cinco hemos obtenido el 55440, equivale a estas sumas:  

55440=42^3+(-22)^3+(-20)^3=44^3+(-30)^3+(-14)^3=55^3+(-48)^3+(-7)^3=70^3+(-66)^3+(-4)^3=80^3+(-77)^3+(-3)^3

Lo dejamos aquí, porque nuestros instrumentos de cálculo se ralentizan con números grandes. En la siguiente entrada estudiaremos el caso de cuatro cubos.

Regresos 13 - Diferencia de potencias

En este blog hemos tratado frecuentemente las diferencias de cuadrados y, recientemente, las de cubos. Parecía conveniente intentar una generalización a pares de potencias de cualquier exponente.

Para ello nos basaremos en la conocida fórmula

Para nuestro estudio es preferible expresar la diferencia de potencias como (a+h)^k- a^k

Observamos que se puede extraer factor común la diferencia h:

Expresión de un número N como diferencia de potencias

Si igualamos la anterior expresión a N, llegaremos a una conclusión interesante:

Si un número entero positivo N es expresable como diferencia de potencias, (a+h)^k - a^k, la diferencia h entre las bases ha de ser divisor de N

Esto nos da una base segura para las búsquedas, pero es que, además, con esa fórmula, tal como efectuamos para los cubos (ver mi entrada http://hojaynumeros.blogspot.com/2024/09/diferencias-de-cubos-enteros-positivos.html), obtenemos una cota para el valor de a:

Sería ka^k-1h menor que la diferencia de potencias, o lo que es igual, que N. Así que tendríamos:

Con esta cota y el carácter de divisor de h ya podemos intentar determinar si un número N es expresable o no como diferencia de potencias de exponente dado.

Ya se vio en la entrada enlazada que en el caso de los cubos la acotación era

Una idea sencilla es que si un número es diferencia de dos potencias de exponente k, si lo multiplicamos por otro número b^k obtendremos otro número con la misma propiedad. De aquí deducimos que este tipo de números forma una sucesión infinita para cualquier valor de k, ya que el primero siempre existe.

 Función de búsqueda

Con esta base teórica podemos construir una sencilla función de búsqueda:

Function espotencia_igual(n, k)’Parámetros número y exponente
Dim a, h, tope
Dim s$

s = "" ’Contenedor de soluciones
For h = 1 To n / 2 ‘Posibles valores de h
If n / h = n \ h Then ‘Es divisor
tope = Int((n / k / h) ^ (1 / (k - 1))) ‘Tope calculado para h
For a = 1 To tope ‘Si es diferencia de potencias, se publica
If (a + h) ^ k - a ^ k = n Then s = s + "# " + Str$(a) + ", " + Str$(a + h)
Next a
End If
Next h
If s = "" Then s = "NO"
espotencia_igual = s
End Function

Por ejemplo, para k=4 obtenemos todos los números expresables como b⁴-a⁴ (y por tanto, también como m²-n²) y con divisor diferencia de cuadrados. Igualmente, por el Teorema de Fermat, no existirá entre ellos ninguna cuarta potencia:

Están publicados en https://oeis.org/A147857

En esta sucesión y en las que seguirán sólo podrán aparecer números primos si h=1, según las fórmulas de los primeros párrafos de esta entrada. En este caso de k=4 no aparecerán, porque b⁴-a⁴ es múltiplo de b²-a², que no valdrá 1 para b>a. Ocurrirá lo mismo en todos los casos en los que el exponente sea número compuesto.

Según un comentario de OEIS, no figuran cuadrados en esta sucesión. Hemos visto alguna demostración similar y resulta larga y complicada.

Para k=5 obtenemos:

Al ser el exponente primo impar, sí pueden figurar primos en esta sucesión, para h=1. Los primeros son estos:

 

Tal como se comentó ya, el valor de h ha de ser 1, o bien a y b consecutivos.

Están publicados en https://oeis.org/A121616 , y ahí se sugiere el nombre de primos “pentan”, por analogía con los primos “cubanos”, ya estudiados en este blog.

También figuran cuadrados, como 7744=88^2=6^5-2^5.

Así podríamos seguir con otros valores de exponentes.

Versión en PARI

Sabemos que las hojas de cálculo no pueden manejar bien los números grandes. Para ello son mejores otras herramientas, como el lenguaje PARI. Hemos creado una rutina que devuelve las formas, si existen, de expresar un número como diferencia de potencias en varios casos de exponentes. En el ejemplo lo hemos aplicado al número 7744 y exponentes en un rango de 3 a 20, pero todo eso se puede cambiar.

n=7744;for(k=3,20,for(h=1,n/2,if(n%h==0,tope=(n/h/k)^(1/(k-1));for(a=1,tope,if((a+h)^k-a^k==n,print("# n=",n," k=",k," a=",a," b=",a+h))))))

Nos devuelve algo ya conocido:

 

 Nos indica que 7744 se expresa con exponente 5 como diferencia 6⁵-2⁵.

Si no nos importa dejar a nuestro equipo varios minutos calculando, podemos investigar todo un rango de números, con esta otra versión:

for(n=1000,2000,for(k=4,20,for(h=1,n/2,if(n%h==0,tope=(n/h/k)^(1/(k-1));for(a=1,tope,if((a+h)^k-a^k==n,print("# n=",n," k=",k," a=",a," b=",a+h)))))))

Aquí le hemos añadido al código un bucle entre 1000 y 2000, con este resultado:

Destaca el número 1023, y es fácil adivinar la razón. 

 

Sumas de potencias consecutivas

Existen fórmulas para sumar las primeras potencias de números naturales. Son populares las de la suma de potencias con los primeros exponentes. En esta captura de Excel figuran algunas:

Aquí deseamos usar potencias consecutivas, pero que no comiencen necesariamente por la unidad. Si se usa la fórmula correspondiente, el problema se resuelve restando. Por ejemplo, una suma de potencias entre a^k y b^k se encontraría restando la fórmula correspondiente a b y la de a-1, para que se incluya también a. No será ese el camino que se tome aquí, porque deseamos encontrar la suma con un algoritmo que sirva para todos los exponentes. No obstante, dejamos abierta la posibilidad de comprobar algún cálculo.

Nuestro objetivo es más ambicioso, y es encontrar una suma de potencias consecutivas que sea equivalente a otra potencia dada, como en los ejemplos que siguen:

47^3=22^2+23^2+24^2+…+67^2+68^2
6^3=3^3+4^3+5^3
20^3=11^3+12^3+13^3+14^3

Deberemos fijar dos parámetros, el exponente de la potencia resultado de la suma, sea, por ejemplo k, y el de los sumandos, que es igual para todos, y llamaremos h. De esa forma también abarcamos la posibilidad de que el resultado no sea una potencia, salvo la trivial de exponente unidad:

 294 =7^2+8^2+9^2+10^2 (k=1)

A la inversa, deberemos poder descomponer una potencia en suma de números naturales consecutivos, como potencias triviales:

12^5=82943+82944+82945 (h=1)

En la siguiente función usamos tres variables distintas, e integramos los resultados en modo texto:

n: base del total de la suma

k: exponente de n

h: exponente de los sumandos

m: total de sumandos en cada solución. Esta es útil para búsquedas.

Function sumapoteconsec$(n, k, h)
Dim p, s, i, j,m
Dim t$

t = "" ‘Texto vacío para incluir soluciones
p = n ^ k ‘Resultado deseado para la suma
For i = 1 To (n – 2)^(k/h) ‘Tope de búsqueda de sumandos
s = i ^ h ’Primer sumando potencia
j = i
While s <= p
If s = p And j > i Then m=j-i+1:t = t + " #" + ajusta(m)+”: “+Str$(i) + " a " + Str$(j)’Solución con número de sumandos, inicio y final
j = j + 1
s = s + j ^ h ‘Se acumula la suma
Wend
Next i
If t = "" Then t = "NO"
sumapoteconsec = t
End Function

Vemos algunos ejemplos obtenidos con esta función:

SUMAPOTECONSEC(30;1;1)= #5:  4 a 8 #4:  6 a 9 #3:  9 a 11

Significa que el número 30 (elevado a la unidad) es suma de números consecutivos de tres formas diferentes:

#5: 4 a 8 : 30=4+5+6+7+8
#4: 6 a 9 : 30=6+7+8+9
#3: 9  a 11 : 30=9+10+11

SUMAPOTECONSEC(990;1;2)= #5:  12 a 16

El número 990 es igual a la suma de cinco cuadrados:

990=12²+13²+14²+15²+16²

Comprobamos el primer ejemplo de este texto:

SUMAPOTECONSEC(47;3;2)= #47:  22 a 68

Equivale a lo que ya sabíamos:

47^3=22^2+23^2+24^2+…+67^2+68^2

El cubo de 47 es suma de 47 cuadrados consecutivos.

Podríamos comprobarlo en una hoja de cálculo como indicamos en los primeros párrafos, restando la fórmula de la suma de cuadrados en 68 y en 21:

(2*68^3+3*68^2+68)/6-(2*21^3+3*21^2+21)/6=103823=47^3

Versión en PARI

Para quienes deseen llegar a números grandes, se ofrece aquí una alternativa en PARI:

smpc(n,k,h)={my(v=[0,0],p=n^k,s,i,j);for(i=1,(n-2)^(k/h),s=i^h;j=i;while(s<=p,if(s==p&&j>i,v=[i,j];print(v));j+=1;s=s+j^h));v}

print(smpc(540,1,1))

Imprime las soluciones parciales y aparece repetida la final. Se podría corregir este detalle, pero al algoritmo va rápido y no merece la pena suprimirlo.

Solución para smpc(540,1,1)

Solución para smpc(47,3,2), que fue nuestro primer ejemplo:

Confirma que el cubo de 47 es la suma de los cuadrados que van del 22² a 68².

Un ejemplo para confirmar:

smpc(29008,1,5)

¿Por qué ese número?

Vemos la solución:

Resulta que es la suma de las primeras siete potencias quintas. Es así porque el número 29008 lo hemos obtenido aplicando la fórmula presentada al principio de la entrada:

S=(2*7^6+6*7^5+5*7^4-7^2)/12=29008.

Ejemplos concretos

Cubos que son suma de cubos

Acudimos a PARI, que es más rápido, para comprobar que 1155 posee esa propiedad:

k=1155;print(smpc(k,3,3))

Nos da que 1155^3 es igual a la suma de todos los cubos comprendidos entre 291^3 y 339^3

Consultar https://oeis.org/A097811)

Este resultado no se podría haber descubierto razonablemente con cálculo manual. Lo hemos comprobado con hoja de cálculo.

Cuadrados que son suma de cubos

Al efectuar una búsqueda de todos los casos, aparecen, entre otros, los números triangulares, por la conocida fórmula

Si buscamos los ejemplos de esta propiedad, encontraremos todos los números triangulares ordenados por su orden. En la siguiente imagen descubrimos que aparecen otros, como el 204, que no son triangulares. Son aquellos en los que la suma de cubos no comienza en 1³:

Podemos crear un listado con los números cuyo cuadrado es suma de cubos pero que no son triangulares:

Como era de esperar, ninguna suma de cubos comienza con 1³

Cubos que son suma de cuadrados

Este ejemplo es bastante conocido, pero con nuestras funciones podemos encontrar otros.

47^3=22^2+23^2+…+68^2

Este sería un buen ejemplo:

13156^3=2277044900416 es la suma de todos los cuadrados comprendidos entre 17354² y 22930²

Podemos usar la fórmula para sumar cuadrados, como comprobación:

22930*22931*(22930*2+1)/6-17353*17354*(17353*2+1)/6

Otras igualdades

Podemos usar lo aprendido para encontrar más igualdades en las que una potencia sea igual a la suma de varias otras potencias consecutivas. Esta es una muestra de lo encontrado con los primeros números como bases.

6^3=3^3+4^3+5^3
6^4=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3
13^4=119^2+120^2
20^3=11^3+12^3+13^3+14^3