Tres potencias enteras no negativas

En el desarrollo de mis cálculos sobre el año 2025 llegué a esta identidad:

2025²=36⁴+18⁵+9⁶

Al releerla se me ocurrió averiguar qué números admiten una descomposición en tres potencias enteras no negativas (admitiendo el 1 y el 0) y cuáles no. Por ejemplo, 72 se puede descomponer de seis formas:

72=2⁵+2⁵+2³=6²+3³+3²=6²+2⁵+2²=6²+6²+0¹=2⁶+2²+2²=2⁶+2³+0¹

Es evidente que el cero figura para poder considerar también las sumas de dos potencias, como 72=2⁶+2³, o de una para los números que sean potencias perfectas.

Otros números, como 7 y 23 no admiten esta descomposición. En unas primeras búsquedas se puede sospechar que estos números son más escasos. Lo iremos viendo.

Búsqueda de soluciones

Esta búsqueda no supone ninguna complicación. Se resuelve con dos bucles, uno para la primera potencia y otro para la segunda, porque la tercera se encuentra restando.

Hemos usado una función para Excel, siguiendo el espíritu de este blog, pero usa una función propia, ESPOTENCIA 

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/numeros-consecutivos-con-una-suma-del.html). 

También sustituye la función STR$ por la función AJUSTA, que funciona mejor. No obstante se incluirá su código aquí, porque a continuación se traducirá a PARI, con lo que todos los lectores podrán experimentar con ella.

Function trespotencias$(n)
Dim i, j, k, p1, p2, p3, m
Dim s$ 

s = "" ’Contenedor de la solución
m = 0 ’Contador de soluciones
For i = 0 To n ‘Bucle para la primera potencia
p1 = espotencia(i) ‘Devuelve el exponente
If p1 > 0 Then
For j = 0 To i ‘Bucle para la segunda potencia
p2 = espotencia(j)
If p2 > 0 Then
k = n - i – j ‘Tercera potencia
p3 = espotencia(k)
If k <= j And p3 > 0 And k >= 0 Then
 ‘Los tres sumandos son potencias. Lo que sigue construye la solución
m = m + 1
s = s + " ## " + ajusta(Int(i ^ (1 / p1) + 0.000001)) + "^" + ajusta(p1) + "+"
s = s + ajusta(Int(j ^ (1 / p2) + 0.000001)) + "^" + ajusta(p2) + "+"
s = s + ajusta(Int(k ^ (1 / p3) + 0.000001)) + "^" + ajusta(p3)
End If
End If
Next j
End If
Next i
If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " : " + s
trespotencias = s
End Function

 Con esta función podemos descomponer los primeros números:

Observamos que el 7 no admite esta descomposición.

Tal como el autor esperaba, al llegar a números mayores se incrementa el número de soluciones:

Volvemos a encontrar un número que no presenta soluciones, el 87. De hecho, experimentalmente van desapareciendo estos números sin solución. Estos son los primeros:

Están publicados en https://oeis.org/A113505 y al llegar al número  26375 se puede conjeturar que es posible que no aparezcan más. Suele ocurrir en casos similares.

A113505

Numbers not the sum of at most three perfect powers (A001597).

7, 15, 23, 87, 111, 119, 167, 335, 1391, 1455, 1607, 1679, 1991, 25887, 26375

a(16), if it exists, is larger than 10^8. - Giovanni Resta, May 07 2017

Para los lectores que deseen experimentar, se incluye nuestra versión en PARI.

u=100;for(i=0,u,if(ispower(i)||i<2,for(j=0,i,if((ispower(j)||j<2)&&(ispower(u-i-j)||u-i-j<2)&&j>u-i-j&&u-i-j>=0,print(i,", ",j,", ",u-i-j)))))

La variable u se rellena con el número a descomponer, en el ejemplo, 100

Observamos que admite tres sumas con sumandos que son potencias.

La siguiente imagen recoge parte del resultado para el año 2025:

La abundancia de resultados reafirma la sospecha de que los elementos sin solución serán limitados.

Estudio con nuestra herramienta Cartesius

Esta hoja de Excel, “Cartesius”, permite combinar muchas posibilidades, y resulta adecuada para esta cuestión. Se puede programar con estas condiciones:

Se interpretan como que buscamos tríos de potencias con suma 2025. Se consigue el resultado siguiente, compuesto por 28 resultados:

 

Tal como se sugirió al principio, esta búsqueda no es complicada, y produce un incremento tan grande de resultados que es razonable la conjetura de que a partir de cierto número, todos los enteros presentarán esta descomposición.

 

 

Diferencia de potencias con la misma base es un cuadrado

Existen muchos números con la propiedad de que dos potencias sucesivas de los mismos se diferencian en un cuadrado. Por ejemplo, 

26¹¹- 26¹⁰=59406880², o 5⁵- 5⁴=50². 

Parece un problema complicado, pero no lo es, como veremos.

La propiedad que buscamos se puede expresar como N^k+1=N^k+m², o bien

N^k(N-1)=m²

Para que se cumpla esto es necesario que  la potencia tenga exponente par y que N-1 sea cuadrado, por ser N y N-1 primos entre sí, lo que no permite construir un cuadrado entre ambos. Es la única forma de que la diferencia de potencias sea cuadrada, y en ellas, la menor ha de ser par y la mayor impar. Es muy sencillo razonar que la condición también es suficiente. Por tanto:

El conjunto de números que cumplen la condición pedida coincide con los que son del tipo n²+1

Están publicados en https://oeis.org/A002522

Los hemos estudiado en dos entradas de este blog:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/10/regresos-5-un-cuadrado-y-una-unidad-1.html y la siguiente, así como en otra más antigua.

En la siguiente tabla figuran las primeras soluciones al problema. La primera columna es la lista de las bases (números tipo n²+1) y en la segunda las soluciones de diferencias de potencias. En primer lugar figura la potencia mayor (k+1) y después la base del cuadrado que es diferencia entre las potencias. Como era de esperar, se obtienen infinitas soluciones (todas las potencias impares de exponente k+1)

 

Por ejemplo, 82⁷-82⁶=4962312²

Esta lista se puede construir con nuestro Buscador de Naturales (https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador) aprovechando que N²(N-1) ha de ser cuadrado, como caso particular de la identidad previa:

Se observa que en la segunda columna figuran las raíces de la diferencia de potencias, y todas son enteras.

Según la entrada nuestra sobre este tema, estos números no pueden tener factores primos p que no admitan -1 como resto cuadrático módulo p. Son estos:

3, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 103, 107, 109, 113, 127,…

Esta exigencia no actúa sobre el cuadrado diferencia, ya que este puede poseer factores primos de N-1, según la primera identidad de esta entrada. Por ejemplo, el primer cuadrado de la tabla, 222, es múltiplo de 3, y 520 lo es de 13.

En realidad, m² puede poseer los factores primos de N y también de N-1. Por ejemplo, para N=82, el cuadrado correspondiente, 738, se descompone como 2*3²*41. Entre ellos, 2 y 41 son divisores de 82 y 3² lo es de 82-1=3⁴

Caso particular

Un caso interesante es el de las potencias cubo y cuadrado, pues resulta del mismo la descomposición de un cubo en dos cuadrados.

Por ejemplo, para N=65, se cumplirá

65³=65²+520²

Más particular

En el caso de que un término de la lista sea del tipo 4n²+1, obtendríamos más cuadrados. Por ejemplo,

37^3=12^2+35^2+222^2

Obtendríamos una descomposición de un cubo en tres cuadrados.

 

 

Sumas de potencias consecutivas

Existen fórmulas para sumar las primeras potencias de números naturales. Son populares las de la suma de potencias con los primeros exponentes. En esta captura de Excel figuran algunas:

Aquí deseamos usar potencias consecutivas, pero que no comiencen necesariamente por la unidad. Si se usa la fórmula correspondiente, el problema se resuelve restando. Por ejemplo, una suma de potencias entre a^k y b^k se encontraría restando la fórmula correspondiente a b y la de a-1, para que se incluya también a. No será ese el camino que se tome aquí, porque deseamos encontrar la suma con un algoritmo que sirva para todos los exponentes. No obstante, dejamos abierta la posibilidad de comprobar algún cálculo.

Nuestro objetivo es más ambicioso, y es encontrar una suma de potencias consecutivas que sea equivalente a otra potencia dada, como en los ejemplos que siguen:

47^3=22^2+23^2+24^2+…+67^2+68^2
6^3=3^3+4^3+5^3
20^3=11^3+12^3+13^3+14^3

Deberemos fijar dos parámetros, el exponente de la potencia resultado de la suma, sea, por ejemplo k, y el de los sumandos, que es igual para todos, y llamaremos h. De esa forma también abarcamos la posibilidad de que el resultado no sea una potencia, salvo la trivial de exponente unidad:

 294 =7^2+8^2+9^2+10^2 (k=1)

A la inversa, deberemos poder descomponer una potencia en suma de números naturales consecutivos, como potencias triviales:

12^5=82943+82944+82945 (h=1)

En la siguiente función usamos tres variables distintas, e integramos los resultados en modo texto:

n: base del total de la suma

k: exponente de n

h: exponente de los sumandos

m: total de sumandos en cada solución. Esta es útil para búsquedas.

Function sumapoteconsec$(n, k, h)
Dim p, s, i, j,m
Dim t$

t = "" ‘Texto vacío para incluir soluciones
p = n ^ k ‘Resultado deseado para la suma
For i = 1 To (n – 2)^(k/h) ‘Tope de búsqueda de sumandos
s = i ^ h ’Primer sumando potencia
j = i
While s <= p
If s = p And j > i Then m=j-i+1:t = t + " #" + ajusta(m)+”: “+Str$(i) + " a " + Str$(j)’Solución con número de sumandos, inicio y final
j = j + 1
s = s + j ^ h ‘Se acumula la suma
Wend
Next i
If t = "" Then t = "NO"
sumapoteconsec = t
End Function

Vemos algunos ejemplos obtenidos con esta función:

SUMAPOTECONSEC(30;1;1)= #5:  4 a 8 #4:  6 a 9 #3:  9 a 11

Significa que el número 30 (elevado a la unidad) es suma de números consecutivos de tres formas diferentes:

#5: 4 a 8 : 30=4+5+6+7+8
#4: 6 a 9 : 30=6+7+8+9
#3: 9  a 11 : 30=9+10+11

SUMAPOTECONSEC(990;1;2)= #5:  12 a 16

El número 990 es igual a la suma de cinco cuadrados:

990=12²+13²+14²+15²+16²

Comprobamos el primer ejemplo de este texto:

SUMAPOTECONSEC(47;3;2)= #47:  22 a 68

Equivale a lo que ya sabíamos:

47^3=22^2+23^2+24^2+…+67^2+68^2

El cubo de 47 es suma de 47 cuadrados consecutivos.

Podríamos comprobarlo en una hoja de cálculo como indicamos en los primeros párrafos, restando la fórmula de la suma de cuadrados en 68 y en 21:

(2*68^3+3*68^2+68)/6-(2*21^3+3*21^2+21)/6=103823=47^3

Versión en PARI

Para quienes deseen llegar a números grandes, se ofrece aquí una alternativa en PARI:

smpc(n,k,h)={my(v=[0,0],p=n^k,s,i,j);for(i=1,(n-2)^(k/h),s=i^h;j=i;while(s<=p,if(s==p&&j>i,v=[i,j];print(v));j+=1;s=s+j^h));v}

print(smpc(540,1,1))

Imprime las soluciones parciales y aparece repetida la final. Se podría corregir este detalle, pero al algoritmo va rápido y no merece la pena suprimirlo.

Solución para smpc(540,1,1)

Solución para smpc(47,3,2), que fue nuestro primer ejemplo:

Confirma que el cubo de 47 es la suma de los cuadrados que van del 22² a 68².

Un ejemplo para confirmar:

smpc(29008,1,5)

¿Por qué ese número?

Vemos la solución:

Resulta que es la suma de las primeras siete potencias quintas. Es así porque el número 29008 lo hemos obtenido aplicando la fórmula presentada al principio de la entrada:

S=(2*7^6+6*7^5+5*7^4-7^2)/12=29008.

Ejemplos concretos

Cubos que son suma de cubos

Acudimos a PARI, que es más rápido, para comprobar que 1155 posee esa propiedad:

k=1155;print(smpc(k,3,3))

Nos da que 1155^3 es igual a la suma de todos los cubos comprendidos entre 291^3 y 339^3

Consultar https://oeis.org/A097811)

Este resultado no se podría haber descubierto razonablemente con cálculo manual. Lo hemos comprobado con hoja de cálculo.

Cuadrados que son suma de cubos

Al efectuar una búsqueda de todos los casos, aparecen, entre otros, los números triangulares, por la conocida fórmula

Si buscamos los ejemplos de esta propiedad, encontraremos todos los números triangulares ordenados por su orden. En la siguiente imagen descubrimos que aparecen otros, como el 204, que no son triangulares. Son aquellos en los que la suma de cubos no comienza en 1³:

Podemos crear un listado con los números cuyo cuadrado es suma de cubos pero que no son triangulares:

Como era de esperar, ninguna suma de cubos comienza con 1³

Cubos que son suma de cuadrados

Este ejemplo es bastante conocido, pero con nuestras funciones podemos encontrar otros.

47^3=22^2+23^2+…+68^2

Este sería un buen ejemplo:

13156^3=2277044900416 es la suma de todos los cuadrados comprendidos entre 17354² y 22930²

Podemos usar la fórmula para sumar cuadrados, como comprobación:

22930*22931*(22930*2+1)/6-17353*17354*(17353*2+1)/6

Otras igualdades

Podemos usar lo aprendido para encontrar más igualdades en las que una potencia sea igual a la suma de varias otras potencias consecutivas. Esta es una muestra de lo encontrado con los primeros números como bases.

6^3=3^3+4^3+5^3
6^4=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3
13^4=119^2+120^2
20^3=11^3+12^3+13^3+14^3

 

Potencias equidistantes de cuadrados

En uno de mis cálculos habituales me encontré hace unas semanas con esta igualdad doble:

16124=307^2-5^7
16124=5^7-249^2

Lo interesante de ella es que significa que 5^7 equidista de dos cuadrados, 249^2 y 307^2. Por eso, la función que usaremos más adelante la hemos llamado ENTREDOS, porque investigaremos qué potencias son promedio de dos cuadrados, o, lo que es equivalente, equidistantes de ellos.

Búsqueda ordenada

Para una potencia dada, deberemos recorrer todos los cuadrados inferiores a ella, sumar a la potencia la diferencia entre los dos números, y averiguar si resulta un cuadrado. Por ejemplo, 3125=5^5. Le extraemos la raíz cuadrada entera, y resulta 55. A partir de ese número k, vamos descendiendo valores, elevándolos al cuadrado. Para cada cuadrado k², encontramos la diferencia D=3125-k². Esa diferencia la sumamos a 3125, y deberá resultar un cuadrado entero.

 El esquema podría ser el siguiente: 

Vamos descendiendo valores hasta que la suma sea cuadrada. En la imagen observamos que unas soluciones son 45 y 65. En efecto:

3125-45²=1100 y 65²-3125=1100, luego 5^5 equidista de 45² y 65².

Este proceso es fácilmente automatizable. Lo hemos efectuado en esta función:

Function entredos$(n)
Dim i, r, a, b
Dim s$

s = "" ‘La solución se expresa como texto
If espotencia(n) > 1 Then ‘Es potencia no trivial
r = Int(Sqr(n)) ‘Primer valor a ensayar
i = r - 1
While i > 0 And s = "" ‘Descendemos valores de cuadrados
b = n - i ^ 2 ‘Diferencia entre potencia y cuadrado
a = n + b ‘A la potencia le sumamos la diferencia
If escuad(a) Then b = Sqr(a): s = s + "  " + Str$(i) + " , " + Str$(b)
‘Hemos encontrado una solución
i = i - 1
Wend
End If
entredos = s ‘Si no hay solución, la respuesta está vacía
End Function

La función ESPOTENCIA la hemos publicado en https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/numeros-consecutivos-con-una-suma-del.html

Estas son las primeras soluciones con potencias no triviales:

Es fácil comprobar cualquiera de ellos, por ejemplo, 125=5^3, potencia no trivial, y se cumple que 125=(9²+13²)/2.

Para poder manejar con comodidad potencias y exponentes grandes, hemos preparado la versión en PARI.

entredos(n)={my(r=truncate(sqrt(n)),i=r-1,a,b,v=0,w=0);if(ispower(n),while(i>0&&v==0&&w==0,b=n-i^2;a=n+b;if(issquare(a),v=i;w=truncate(sqrt(a)));i=i-1));concat(v,w)}
for(i=1,1400,if(entredos(i)<>[0,0],print(i,", ",ispower(i),", ",entredos(i))))

En ella se busca hasta 1400 para que coincida el resultado con la tabla anterior:

Estudio teórico

Las potencias de la tabla no aparecen por casualidad, sino que han de tener una estructura muy determinada. Es especialmente interesante su estudio porque en un principio hemos ignorado las soluciones múltiples para el par de cuadrados, y veremos que se pueden tener previstas si se conoce la descomposición factorial de esas potencias.

Para entender mejor qué suponen estas búsquedas, basta enfocar al doble de esas potencias, porque así el problema es muy tratable. En efecto, si p^k es el promedio entre dos cuadrados, a² y b², significa que 2p^k ha de poderse descomponer en suma de dos cuadrados, y ese problema está resuelto desde Fermat y Gauss. Nos basaremos para nuestro estudio en la fórmula propuesta por Gauss para contar las descomposiciones posibles de un número en dos cuadrados.

Conviene leer nuestra entrada de blog https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/10/en-cuantas-sumas-de-cuadrados-2-de-5.html

En ella se comenta la fórmula de Gauss para averiguar en cuántas sumas de cuadrados se puede descomponer un número. Copiamos un párrafo de esa entrada:

“Estas propiedades se resumen en un criterio que no vamos a desarrollar aquí, y es que sólo se pueden descomponer en cuadrados los números en los que los factores primos del tipo 4n+3 figuren en su descomposición con exponente par. Gauss fue más allá en esa sección 182, pues dio una fórmula para contar el número de formas diferentes en las que se descompone un número en suma de dos cuadrados con base no negativa:

donde ES significa “mínimo entero igual o superior” y los factores que le siguen se corresponden con los exponentes de los factores del tipo 4n+1 aumentados en una unidad. La fórmula, como advierte Gauss, sólo es válida si los factores del tipo 4n+3 forman un cuadrado perfecto.”

En este caso, el factor 2 de 2p^k no influye, por lo que el criterio se puede aplicar a la potencia que equidista de dos cuadrados. En efecto, si descomponemos factorialmente esas potencias, obtenemos:

Todas las soluciones poseen factores primos que son, o bien del tipo 4k+1, o el 2, o el tipo 4k+3 elevado a una potencia par, como ocurre en el 900, que hemos destacado en rojo.

Esto nos da un criterio fiable para saber si una potencia no trivial puede equidistar de dos cuadrados.

Vemos un ejemplo:

1368900=170^2, y sus factores primos son 13^2*5^2*3^4*2^2. De ellos, el 3, que es del tipo 4k+3, está elevado a exponente par, los otros, 13 y 5 son del tipo 4k+1, y, finalmente, el 2 no influye. Por eso se sabía con antelación que sería equidistante de dos cuadrados, en este caso son 715716=846^2 y 2022084=1422^2, con la identidad 1368900=(846^2+1422^2)/2.

Soluciones múltiples

Hay que considerar la posibilidad de que una potencia equidiste de más de un par de cuadrados. De hecho, veremos que se dan soluciones múltiples con total seguridad. Para estudiarlas, hemos modificado algo la función ENTREDOS para que nos devuelva, en primer lugar, el número de soluciones. De esa forma, la búsqueda de potencias equidistantes se puede efectuar fijando el número de pares de cuadrados esperados. Hemos organizado una búsqueda para tres pares de soluciones como ejemplo:

Es fácil observar que se cumple la fórmula de Gauss, de emplear la mitad por exceso de los exponentes de los primos tipo 4k+1. En los cuatro ejemplos figura (ha sido algo casual) el factor 5 elevado a 5 o a 6, y no existen factores tipo 4k+3. Tomando la parte entera por exceso de tanto el exponente 5 como del 6 resulta 3, que es el número de pares de cuadrados que hemos conseguido.

Con este criterio seremos capaces de saber el número de pares de cuadrados resultantes sin tener que comprobarlo. Vemos unos ejemplos:

3084588=2^2*3^3*13^4: No debe presentar soluciones, por contener el 3 elevado a potencia impar. En efecto, la función ENTREDOS devuelve un cero:

78125=5^7, luego debe presentar cuatro soluciones, ya que 4 es la mitad por exceso de 7:

Con hoja de cálculo se pueden producir errores de redondeo para números mayores, por lo que es más fiable el razonamiento que la comprobación.

Potencias sucesivas

Finalizamos con una curiosidad, y es que, dada una potencia equidistante de dos cuadrados, todas sus potencias presentarán soluciones, que se podrán ir incrementando al aumentar los exponentes de los factores tipo 4k+1. En la imagen podemos estudiar un ejemplo representativo, que recorre las potencias de 13:

El número de soluciones se va repitiendo, por depender de la mitad por exceso, que coincide en dos exponentes consecutivos.

Alternativa a Faulhaber

 En muchas ocasiones puede interesar sumar las primeras potencias de los números naturales. Están publicados todos los casos populares, como sumas de cuadrados o de cubos, y existe una fórmula, atribuida a Faulhaber, que nos da el resultado para cualquier exponente. En el siguiente recorte de Wikipedia puedes estudiarla.

https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Faulhaber

El problema que tiene esta fórmula para un uso elemental es que requiere conocer los números de Bernouilli.

El procedimiento que explicaremos a continuación es una alternativa para encontrar el valor de la suma de una sucesión de potencias o expresiones polinómicas con Excel o Calc. Se debe tomar como un simple entretenimiento, aunque en algunas situaciones puede resultar útil.

Un ejemplo: Cuadrados de oblongos:

Explicamos el procedimiento con un ejemplo, como sería encontrar una fórmula para la suma de los cuadrados de los primeros oblongos, es decir de la expresión n²(n+1)².

A) Creamos la sucesión:

Con las hojas de cálculo es muy fácil encontrar las primeras sumas de cualquier sucesión. En este caso hemos ido creando columnas para N(N+1), que son los oblongos, sus cuadrados N²(N+1)² y sus sumas sucesivas.

Con esto ya sabemos que la sucesión 4, 40, 184, 584, 1484, 3248, 6384,…es la que requiere una fórmula similar a las de Faulhaber. Para continuar debemos basarnos en dos conjeturas:

1) La fórmula buscada creemos que será de tipo polinómico.

2) Intuiremos de alguna forma qué grado puede tener ese polinomio. Esta segunda no es tan importante, pero nos ayudará en el siguiente paso.

B) Aplicamos la interpolación de Newton:

La búsqueda de una fórmula polinómica que resuma un conjunto de valores es una interpolación. Disponemos de una hoja de cálculo que encuentra esa fórmula para los valores 1, 2, 3, 4,…mediante la interpolación de Newton:

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#newton

(Ver https://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_polin%C3%B3mica_de_Newton)

Este método se adapta bien a la estructura de Excel y Calc. En nuestra hoja basta escribir los primeros términos y observar las diferencias que se producen. Conviene usar todos los que entren en el esquema (máximo 7). Si se conoce el grado del polinomio, se pueden usar menos. Esta sería la situación para el caso de cuadrados de oblongos:

Observamos que la diferencia sexta ya es 0, con lo que el grado del polinomio será cinco, como se ve en los coeficientes de abajo, que son seis.

Estos coeficientes actúan sobre los polinomios 1, (x-1), (x-1)(x-2), (x-1)(x-2)(x-3),…y esa es la mayor dificultad de esta interpolación, porque el resultado en este caso sería

4+36*(x-1)+54*(x-1)*(x-2)+74/3*(x-1)*(x-2)*(x-3)+4*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)+1/5*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)

(Ya se han simplificado los coeficientes)

C) Desarrollamos el polinomio interpolador:

Este resultado podría ser descorazonador, pero para su simplificación contamos con los programas CAS ((Computer Algebra System) En este blog se suele usar la Calculadora Wiris, gratuita y extendida en la enseñanza.

https://calcme.com/a

Copiamos nuestra monstruosa fórmula en ella y pulsamos sobre el signo =

Ya hemos conseguido el objetivo: la suma de los cuadrados de los oblongos sigue la fórmula x⁵/5+x⁴+5/3x³+x²+2/15x

Sustituimos el polinomio en la tabla para comprobar

Luego la fórmula queda:

La podemos factorizar con Wiris:

Estas son las etapas del proceso. Nos basamos en Excel y Calc, en nuestra hoja de interpolación y en un CAS. En la mayoría de los casos obtendremos el polinomio adecuado. Puede que el grado requerido sea mayor, con lo que habría que ampliar el esquema de cálculo, pero ese trabajo es algo complejo.

Repetimos el trabajo con oblongos, Lo dejamos con redacción escueta:

Sumas de oblongos

Debemos buscar una fórmula para 2, 8, 20, 40, 70, 112, …

Interpolamos

Observamos que son nulas las diferencias a partir de la cuarta, luego obtendremos un polinomio de tercer grado. Sería este

2+6*(x-1)+3*(x-1)*(x-2)+1/3*(x-1)*(x-2)*(x-3)

Con wiris

Factorizando con la misma calculadora:

Luego es el doble del combinatorio C(x+2,3), como puede verse en http://oeis.org/A007290

En este caso nos hemos limitado a comprobar, porque esta suma ya está resuelta.

Como un ejemplo del uso de esta fórmula puedes distraerte con mi entrada

http://hojaynumeros.blogspot.com/2018/09/suma-de-numeros-oblongos-consecutivos.html

 

Suma de potencias cuartas

Por último, reproduciremos una de las fórmulas más conocidas de Faulhaber, la que suma potencias cuartas.

(Fuente: Wikipedia)

Seguimos los pasos sugeridos.

Construimos la sucesión:

Como sabemos que el grado de la fórmula de Faulhaber es 5, interpolaremos con al menos seis elementos.

Interpolación

A partir de los coeficientes de abajo construimos el polinomio:

1+16*(x-1)+65/2*(x-1)*(x-2)+55/3*(x-1)*(x-2)*(x-3)+7/2*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)+1/5*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)*(x-5)

Simplificamos con Wiris

Si reducimos todo a denominador 30, coincidirá con la fórmula de Faulhaber correspondiente.