No hay que dejarse llevar por la admiración

El otro día “retwiteé” esta igualdad. Me gustó, la enlacé y no le di más importancia.

(1+3)/(5+7) = (1+3+5)/(7+9+11)= (1+3+5+7)/(9+11+13+15)= ... = 1/3

Al día siguiente volví a verla y esta vez sí la analicé y me di cuenta de que era algo trivial:

Los numeradores son sumas de impares, y por tanto equivalen a n². Los denominadores equivalen a duplicar el número de elementos de arriba y después restárselos, es decir (2n)²-n² = 3n². Simplificamos y nos da un tercio. Se acabó el misterio y la admiración. Tenía que dar 1/3 tomes los elementos que tomes.

¿Lo quieres más fácil? Estudia estas dos imágenes

En la primera figura el numerador 1+3+5+7+9 como un cuadrado en el que cada número impar viene representado por el mismo color (un gnomon), adosado a la suma 11+13+15+17+19, también formado por gnomones de distinto color hasta completar un cuadrado de 100.

En la segunda hemos separados los cuatro cuadrados, con lo que se percibe que 1+3+5+7+9 sólo ocupa un cuadrado y 11+13+15+17+19 tres, luego su cociente es 1/3

Un asombro parecido y creo que injustificado produjeron entre algunos amigos mis dos desarrollos sobre los años 2011 y 2012. En el primero la clave estuvo en que por aquellos días yo había estado experimentando con diferencias entre potencias de 2 y números primos.

Vi que 2011=2^11-37. Como recordé que 37=111/3, mi cerebro se llenó de unos, y me vino a la imaginación el desarrollo de la imagen.

Fue una feliz intersección de caminos. Este tipo de curiosidades surge por encuentros entre dos líneas matemáticas.

Con el 2012 me ocurrió algo similar. No me era posible buscar unos de la misma forma, pero al factorizar 2012 apareció el número 503, que por proximidad me hizo pensar en el 504, que a su vez recordaba al factorial de 7. De ahí vino la idea de que 9*8*7=504 y que había que seguir las cifras hasta el cero.

Otro caso de feliz intersección de dos caminos. No hay nada admirable en este desarrollo.

En una entrada anterior de este blog comentábamos la casualidad de que la expresión M=3*5²ⁿ⁺¹+2³ⁿ⁺¹ sea siempre múltiplo de 17, pero con algún truco afortunado no sólo se podía demostrar, sino que era fácil inventarse casos parecidos.

Así que antes de admirarnos debemos analizar las cosas.

¿Qué opinas de esta serie de igualdades?

(1+5)/(1+7)=(1+3+9+11)/(1+3+13+15)=(1+3+5+13+15+17)/(1+3+5+19+21+23)=…

¿Son verdaderas? ¿Se pueden prolongar indefinidamente?¿Cuál es su valor común?

Intenta responder usando técnicas algebraicas y gráficas.

La hoja resuelve problemas de Combinatoria

(Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas 2.X, organizado en esta ocasión por Resistencia Numantina)


Combimaq 2

Sí, eso es posible, dentro de ciertas condiciones. Para ello creamos hace años el programa Combimaq y ahora presentamos su versión 2 para hojas de cálculo. La idea de este programa es resaltar que muchos planteamientos de problemas combinatorios en las enseñanzas medias se pueden reducir al análisis de unas pocas condiciones. Por ejemplo, estudiemos este problema de probabilidades:

Tiramos un dado tres veces consecutivas. ¿Qué probabilidad tiene el suceso de obtener al menos un 6, pero no en primer lugar?

Hemos comenzado con un problema de cierta dificultad para estas edades. Pues bien, para Combimaq 2, el planteamiento se reduce a estas condiciones:

Las cuatro primeras son fáciles de interpretar: Un dado tiene 6 caras, se tira 3 veces ordenadamente y como es un dado, los resultados se pueden repetir (lo de CUENTA lo dejamos por ahora).

Las siguientes comienzan con FAV, luego podemos sospechar que marcan las condiciones favorables para la probabilidad. En efecto, la primera exige que aparezca el 6 y la segunda, algo complicada, que no lo haga en primer lugar. Si descargas la hoja desde Hojamat (versiones Excel y OpenOffice)

http://hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm

observarás que puedes escribir esas condiciones en su rango correspondiente y después pulsar sobre el botón “Máquina”. Obtendrás 216 casos posibles (6*6*6) y 55 favorables (6^3-5^3-6^2 ¿por qué?) y una probabilidad de 0,2546.

Hemos comenzado con un problema no trivial para mostrar la potencia de cálculo de la “máquina de combinar”, pero si descargas el Manual de uso

http://hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/Combimaq%202.pdf

Podrás seguir paso a paso la forma de usar la hoja, la sintaxis de las condiciones y numerosos ejemplos de uso. Más adelante publicaremos colecciones de problemas clasificados por dificultad.

No es este el sitio para desarrollar el funcionamiento de la herramienta que proponemos. Por eso sólo resolveremos tres problemas para mostrar las distintas formas de plantear:

¿Cuántos subconjuntos tres elementos extraídos de {A, B, C, D, E, F, G} no contienen la letra B pero sí la A?

El planteo sería

El conjunto tiene 7 elementos y los subconjuntos 3. En los conjuntos no se tiene en cuenta el orden ni se repiten elementos. En las condiciones favorables hemos exigido que aparezca A pero no B. Por último, se ha concretado que lo que se combinan son letras y que sólo deseamos que se vean los casos favorables.

Resultado de todo ese planteamiento es la visión de todos los subconjuntos pedidos, que son 10, porque coinciden con C_5,2

Tiramos al azar diez monedas sobre una mesa. ¿Qué probabilidad existe de que resulten exactamente cinco caras y cinco cruces?

En total son dos elementos, CARA y CRUZ, que se toman 10 veces con orden y repetición. Se declara CARA-CRUZ para que aparezcan los símbolos O y +. En los favorables se exige que la cuenta del primer símbolo sea 5 y por último se elige ver sólo los favorables.

El resultado sería

1024 proviene de 2^10, variaciones con repetición. 252 equivale a las formas de ordenar cinco caras y cinco cruces: 10!/(5!*5!)=252. Así, en contra de la impresión que tienen muchas personas, es una probabilidad más bien pequeña.

Ordenamos de todas las formas posibles las letras de la palabra BARBARA. ¿Cuántas de ellas comienzan y terminan con A?

Este el típico caso de permutaciones con repetición. En estos casos hay que aportar información sobre los símbolos que se combinan y el número de veces que se ha de repetir cada uno, que es lo que llamaremos CUENTA. Hay dos rangos en la hoja en os que se puede escribir esto, y después acudir a la orden de SIMBOLOS para que los lea Combimaq. En nuestro ejemplo sería así:

El resto de la programación de este experimento sería dar como números total y parcial el 7, por ser permutaciones, exigir orden, repetición y cuenta y, por último, la condición para favorables. Quedaría:

Obtendríamos este resultado:

El 210 proviene de 7!/(2!2!3!)=210 y si exigimos que primero y último sean ambos el símbolo A, nos quedaría 5!/(2!2!)=30, luego la máquina ha trabajado bien.

El listado de favorables obtenido es:

Esto es sólo una presentación. Para verlo con más detalle puedes descargar la Guía desde la dirección indicada arriba.

Alfabeto Braille

Ideas para un estudio en clase:

Es difícil motivar los temas de Combinatoria en clase, salvo los de conteos triviales. Los ejemplos usados no siempre son cercanos a la realidad de nuestros alumnos. El estudio del alfabeto Braille puede servir para lograr esa motivación si se le da un enfoque lo más interdisciplinar posible. Enunciamos a continuación algunas ideas aisladas sobre objetivos que se pueden lograr con este alfabeto. Se recomienda el trabajo por grupos.

(1) Búsquedas en Internet:

* Qué es el alfabeto Braille. Cómo se lee:

Tras una breve introducción se inicia una búsqueda libre en Internet con la obligación de recopilar información. Es imprescindible obtener una imagen o varias con letras y números:

Esas imágenes se deben almacenar e imprimir para su posterior estudio.

* Escribir un resumen histórico del alfabeto en no más de 15 ó 20 líneas: 

Con el material almacenado, y pata evitar el uso de un simple copiar y pegar, se exigirá un resumen escrito del nacimiento y utilidad del alfabeto, de no más de 20 líneas. Si algún equipo lo desea puede ampliar el texto con otro documento complementario.

* Completar las búsquedas en la Red

Con otras en el entorno más próximo, como las teclas de los ascensores, una visita a la delegación de la Organización Nacional de Ciegos o cualquier otra cercana al alumnado.

* Sería conveniente que alguna frase de los documentos producidos se escribiera en Braille

(2) Para repasar Combinatoria: 

* Conteo en la celda básica de 2 por 3.

Por los procedimientos que cada grupo elija, se debe llegar al total de 2^6=64 símbolos posibles. Si se ve conveniente, se puede interpretar el resultado como total de conjuntos, o variaciones de (0,1) o combinaciones de seis casillas tomadas de uno en uno, de dos en dos,…

* Repaso del producto cartesiano: 

Investigación de los prefijos, Número total de símbolos usando prefijos: 64*64=4096. Estudio especial de los números del 0 al 9. ¿Siguen alguna pauta de orden? Investigar.

(3) Para trabajar con Hoja de Cálculo: 

Se puede confeccionar un traductor de símbolos Braille a letras. Para no complicar el trabajo se puede restringir el estudio a la célula básica sin prefijos. Se podría dividir el diseño en tres etapas:

(a) Traducir el esquema de seis puntos a un número binario

En la imagen se ha preparado, ajustando altura y anchura de las celdas, la célula básica del alfabeto en el rango B2:C4. Como punto se ha usado la letra “o”, pero puede servir cualquier otro.

La traducción a binario se consigue con la función SI. Copiamos a continuación la fórmula implementada en E2, que se ha extendido después al rango E2:F4:

=SI(B2="o";1;0)

Por último, se han asignado los valores 32, 16, 8, 4, 2 y 1 a cada una de las seis celdas. En el ejemplo se ha seguido el orden E2, F2, E3, F3, E4 y F4, para llegar a la fórmula

=E2*32+F2*16+E3*8+F3*4+E4*2+F4

Con ella conseguimos la traducción del símbolo Braille a un código comprendido entre 0 y 63 (64 posibilidades)

(b) Traducir el binario a símbolo Braille

Esta es la parte más pesada del trabajo, y por eso se aconseja el trabajo en equipo. Ahora, para cada letra se generará el código numérico correspondiente y se confeccionará una tabla de traducción. Mientras unos escriben los símbolos Braille en el primer rango otros toman nota del código generado y unos terceros van confeccionando la tabla traductora. Si se ve que falta tiempo, se pueden considerar sólo las diez o quince primeras letras.

Se pueden organizar en una tabla de dos columnas. Por dar comodidad al resto del diseño, situaremos a la izquierda el código y a su derecha la letra correspondiente:

32    a
40    b
48    c
52    d
36    e
56    f
60    g

(c) Traducción de código numérico a símbolo

Una vez confeccionada la tabla, que la suponemos situada en el rango B8:C24, por ejemplo, bastaría con usar la función BUSCARV para que consiguiéramos la escritura del símbolo a la derecha del código en la celda K4:

=BUSCARV(H4;B8:C14;2)

En la imagen puedes ver completa la traducción de la letra c:

(4) Trabajos complementarios

Para atender a la diversidad y al trabajo voluntario individual, se pueden proponer también:

* Traductor para números
* Estudio e interpretación de los prefijos
* Búsqueda de información sobre el Braille Unicode
* Concurso de microrelatos en Braille.
* Cualquier otro trabajo propuesto por el alumnado

La Grecia clásica

Este blog va de números y hoja de cálculo, pero a veces es un imperativo tratar temas de más amplitud cultural. En estos tiempos de predominio del poder del dinero y de la adoración de los juguetes electrónicos se echa de menos el estudio reposado de nuestra cultura clásica.

Nuestro colaborador Rafael Parra Machío, preocupado, según sus palabras, por el deterioro de la actual comunidad griega y el olvido de lo que fue su civilización, ha rescatado un estudio suyo sobre la historia de la Civilización Griega.

Deseamos ofrecerlo en estos primeros días del año como un recordatorio de la necesidad de la vuelta a las fuentes en estos tiempos de desconcierto.

Lo podéis descargar en esta dirección

http://hojamat.es/parra/grecia.pdf

Números de Aquiles (3) Damos otra vuelta

Segunda vuelta

Emparedado de Aquiles

El conjunto de divisores de un número de Aquiles N que también sean aquileanos no es vacío, luego tendrá un máximo, eventualmente el mismo N. El de múltiplos también tendrá un mínimo. Para que sea más útil consideraremos el mínimo múltiplo con la condición de que sea distinto de N, y el máximo divisor, si es posible, que también lo sea. Llegaremos así a “emparedar” N, en el sentido que ya le dimos a los “emparedados de cuadrados”, de encerrarlo entre dos congéneres. He aquí los resultados

Cociente	Máx Div. Aq.	Aquiles	Mín. Múlt. Aq.	Cociente	Holgura	Factores
1	72	72	288	4	4	2 2 2 3 3
1	108	108	432	4	4	2 2 3 3 3
1	200	200	800	4	4	2 2 2 5 5
4	72	288	864	3	12	2 2 2 2 2 3 3
1	392	392	1568	4	4	2 2 2 7 7
4	108	432	864	2	8	2 2 2 2 3 3 3
1	500	500	2000	4	4	2 2 5 5 5
6	108	648	1944	3	18	2 2 2 3 3 3 3
1	675	675	2700	4	4	3 3 3 5 5
4	200	800	3200	4	16	2 2 2 2 2 5 5
2	432	864	2592	3	6	2 2 2 2 2 3 3 3
1	968	968	3872	4	4	2 2 2 11 11
9	108	972	1944	2	18	2 2 3 3 3 3 3
1	1125	1125	4500	4	4	3 3 5 5 5
4	288	1152	3456	3	12	2 2 2 2 2 2 2 3 3
1	1323	1323	5292	4	4	3 3 3 7 7
1	1352	1352	5408	4	4	2 2 2 13 13
1	1372	1372	5488	4	4	2 2 7 7 7
4	392	1568	6272	4	16	2 2 2 2 2 7 7
9	200	1800	5400	3	27	2 2 2 3 3 5 5
2	972	1944	3888	2	4	2 2 2 3 3 3 3 3

En negrita hemos destacado los números de Aquiles N, en cursiva, a izquierda su mayor divisor que también es de Aquiles. Para que no deje de existir hemos permitido que no sea un divisor propio. A su derecha el mínimo múltiplo de N  también de Aquiles.

Más a los lados figuran los cocientes entre N y sus “emparedadores”. Si multiplicamos esos cocientes nos dará la “holgura”, el espacio por el que puede mover N antes de llegar al siguiente número de Aquiles.

Finalmente, en la última columna tenemos la explicación de todo, los factores primos de N. Invitamos al cálculo de la holgura manualmente, sin ayuda de hoja de cálculo, para ver cuánto se aprende sobre los números de Aquiles.

Un ejemplo es el número 1800=2*2*2*3*3*5*5=2^3*3^2*5^2. Es de Aquiles porque sus exponentes son primos entre sí y todos mayores que la unidad. Probemos a ir suprimiendo factores: el 2 no podemos suprimirlo, pues se igualarían los exponentes y obtendríamos una potencia. Un 3 o un 5 tampoco, porque daría exponente 1. Luego habrá que probar a suprimir dos factores. Como 2*2 no se puede (¿por qué?), probamos la solución mínima, 3*3, que si deja un divisor igual a 200=2*2*2*5*5=2^3*5^2, que coincide con la tabla. Otra solución sería suprimir 5*5, pero ya nos daría un divisor más pequeño.

Con el múltiplo nos ocurriría lo mismo. Omitimos los pasos. La solución mejor es aumentar un 3 y llegar al múltiplo 5400=2*2*2*3*3*3*5*5=2^3*3^3*5^2. Queda así comprobado que la holgura de 1800 es 27: dos veces el 3 para conseguir el divisor y una vez para el múltiplo.

Puedes intentar razonar la holgura de otros números de la tabla o fuera de ella. Aprenderás mucho.
Si en un número N de Aquiles presenta un mayor divisor propio también de Aquiles, tendrá un cociente por la izquierda equivalente a un número primo (¿por qué?). Los números que tienen esa propiedad son estos:

864 1944, 3888, 4000, 5400, 6912, 9000, 10584, 10800, 10976, 17496, 18000, 21168, 21600, 24696, 25000, 26136, 30375, 31104, 32000, 34992, 36000, 36504, 42336, 42592, 43200, 48600, 49000, 49392, 50000…(los hemos publicado en http://oeis.org/A203662)

En ellos se cumplen dos propiedades que podrías intentar justificar:

El exponente del menor factor primo de cada uno de ellos es mayor que 2.
Todos tienen los mismos factores primos (salvo los exponentes) que su mayor divisor propio.

Un ejercicio muy interesante es tomar los primeros primos 2, 3, 5, … y combinar sus potencias para formar números de Aquiles, procurando que la primera tenga al menos exponente 3, y que al suprimir el factor más pequeño siga resultando un número de Aquiles. Por ejemplo: 2*2*2*2*3*3*3*3*3 es de Aquiles y si suprimimos un 2, queda 2*2*2*3*3*3*3*3, también de Aquiles. Si calculas descubrirás que se trata de 1944, que ya está en la tabla.

La cuestión inversa es mucho más fácil, porque el mínimo múltiplo de un número es su doble. Así que sólo habrá que buscar números de Aquiles cuyo doble también lo sea. Son estos:

432, 972, 1944, 2000, 2700, 3456, 4500, 5292, 5400, 5488, 8748, 9000, 10584, 10800, 12348, 12500, 13068, 15552, 16000, 17496. 18000, 18252... (http://oeis.org/A2036623)

Otro emparedado

Podemos emparedar un número de Aquiles N mediante potencias, una que sea el mínimo múltiplo de N que sea potencia perfecta y el otro el máximo divisor con ese carácter.

Los resultados serían estos

a/d	divipot	Aquiles	Multipot	m/a
2	36	72	144	2
3	36	108	216	2
2	100	200	400	2
2	144	288	576	2
2	196	392	784	2
2	216	432	1296	3
4	125	500	1000	2
2	324	648	1296	2
3	225	675	2025	3
2	400	800	1600	2
4	216	864	1728	2
2	484	968	1936	2
3	324	972	2916	3
5	225	1125	3375	3
2	576	1152	2304	2
3	441	1323	3969	3
2	676	1352	2704	2
4	343	1372	2744	2
2	784	1568	3136	2
2	900	1800	3600	2
6	324	1944	5832	3
2	1000	2000	8000	4
2	1156	2312	4624	2
2	1296	2592	5184	2
3	900	2700	8100	3
2	1444	2888	5776	2
7	441	3087	9261	3
2	1600	3200	6400	2
3	1089	3267	9801	3
2	1728	3456	13824	4
2	1764	3528	7056	2
2	1936	3872	7744	2
3	1296	3888	7776	2
4	1000	4000	8000	2

Es interesante la parte derecha, porque el cociente da una pista sobre los números de Aquiles que pueden estar intercalados, como ocurre con el número 10584. Sólo incluimos la tabla para que puedas analizarla y buscar explicaciones.

	N	Es de Aquiles
1	10584	VERDADERO	2 2 2 3 3 3 7 7
2	21168	VERDADERO
3	31752	VERDADERO
4	42336	VERDADERO
5	52920	FALSO
6	63504	FALSO

Números de Aquiles (2) Damos unas vueltas

Primera vuelta


Jerarquía entre aquileanos

En una entrada anterior definimos los números de Aquiles como números poderosos que no pueden representarse como potencias perfectas y vimos que se podían escribir como N=a²b³ con a y b naturales y mayores que 1.

¿Es posible que algún divisor propio de un número de Aquiles también tenga esa propiedad?

Basta pensar un poco en ello y descubrir que sí es posible: Toma dos números primos entre sí mayores que 1, como el 2 y el 5. Añade a ellos otro que forme un trío de números también primos entre sí (no hace falta que lo sean dos a dos). En nuestro ejemplo podría ser el 6. Con el conjunto 2,5,6 como signatura formamos un número de Aquiles mediante tres primos p,q,r. Así: N=p²q⁵r⁶, Si ahora dividimos entre r⁶, nos quedará p²q⁵, que es divisor propio de N y también es de Aquiles.

Es posible, pero no necesario. De hecho, existen números de Aquiles cuyos divisores propios no son de ese tipo, como el 72. ¿Qué caracteriza a esos números? Vamos a demostrar que son aquellos cuya signatura prima es (2,3), es decir, que son de la forma p²q³ con p y q ambos primos.

Son números de Aquiles minimales los que tienen la forma p²q³ con p y q ambos primos.

Vimos en la anterior entrada sobre este tema que todo número de Aquiles se puede expresar como N=a²b³ con a y b naturales y mayores que 1. Si uno de ellos es compuesto, por ejemplo a, sea a=a’*k con a’ mayor que 1 y N se puede expresar como N=(a’*k)²b³ = (a’²*b³)*k². El paréntesis es un número de Aquiles y divisor de N, luego es necesario que a y b sean primos para que N sea minimal.

Inversamente, si a y b son primos mayores que 1, los únicos divisores propios de N estarían en este conjunto: 1, a, b, a², b², b³, ab, ab², a²b, ab³, a²b², y ninguno cumple lo exigido a un número de Aquiles.

Según esto, los números de Aquiles minimales  son los contenidos en la secuencia
https://oeis.org/A143610

72, 108, 200, 392, 500, 675, 968, 1125, 1323, 1352, 1372, 2312, 2888, 3087, 3267, 4232, 4563, 5324, 6125, 6728, 7688, 7803, 8575, 8788, 9747, 10952, 11979, 13448...

Esta secuencia de OEIS no recogía en principio el carácter de número de Aquiles minimal, por lo que hemos propuesto su inclusión mediante este comentario:

Every a(n) is an Achilles number (A052486). They are minimal, meaning no proper divisor is an Achilles number. [Antonio Roldán, Dec 27 2011]

A la inversa ¿Qué múltiplos de un número de Aquiles también lo son? En principio, adivinarás que infinitos. Se pueden ir añadiendo potencias de primos de forma que sus exponentes sean primos entre sí en su conjunto.

Proponemos una demostración sencilla: Todo número de Aquiles posee un divisor (no necesariamente propio) que tiene el carácter de número de Aquiles minimal

Ya tenemos una jerarquía completa de divisores y múltiplos de números de Aquiles, que comienzan en los minimales y no están acotados.

Otro día, otra vuelta.

Números y hoja de cálculo III

Otro año más publicamos el resumen de las entradas de este blog aparecidas en el pasado curso.

Mientras contemos con material y nos queden fuerzas para ello, aparecerá un tomo nuevo de la colección en los primeros meses de cada año.

Con el título de Números y hoja de cálculo III se recogen en una sola publicación las entradas del curso 2010-11, revisadas, ampliadas y con soluciones a las cuestiones planteadas. Como en ocasiones anteriores la estructura en capítulos viene dada por el contenido previo. Según esto, no debe tomarse este resumen como un manual, pues no se desarrollan exhaustivamente los temas y se pasa de unos a otros sin ninguna pretensión de orden lógico.

Como en años anteriores se ofrece la descarga gratuita y la compra del ejemplar impreso.

Descarga directa desde Hojamat

http://hojamat.es/publicaciones/hojanum3.pdf

Descarga gratuita y compra de la copia impresa desde Lulu.com

http://www.lulu.com/spotlight/aroldanmart

Números de Aquiles (1)

Un número natural se llama poderoso cuando todos los exponentes de sus factores primos son mayores o iguales a 2. Expresado de otra manera: si N es poderoso y un número p primo divide a N, entonces p² también divide a N.

Esta definición tiene una consecuencia muy curiosa: todos los números poderosos se pueden expresar así: N=a²b³ con a y b naturales. ¿Te atreves a demostrarlo? Antes de que te pongas a ello, recuerda que no hemos dicho que a y b tengan que ser primos.

Los números de Aquiles son números poderosos que no pueden representarse como potencias perfectas, es decir, no equivalen a m^n con m y n naturales. Esto significa que el máximo común divisor de los exponentes ha de ser 1. En efecto, si en la descomposición de un número los exponentes tuvieran un factor común se podría efectuar la siguiente transformación:

Esto convertiría N en una potencia, en contra de lo supuesto.

Por ejemplo, el número 2700 es de Aquiles, porque equivale a 2²*5²*3³. El m.c.d de los exponentes es 1. Son coprimos, aunque no dos a dos.

La descomposición N=a²b³ que vimos más arriba exige que en el caso de los números de Aquiles ni a ni b sean iguales a la unidad.

Los primeros números de Aquiles son

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800,… (http://oeis.org/A052486)

Se han descubierto interesantes propiedades de estos números. Por ejemplo:

* 3087 y 7803 son ambos de Aquiles y sus cifras ordenadas en orden inverso

* Los números de Aquiles consecutivos más pequeños son

5425069447 = 7³ × 41² × 97²
5425069448 = 2³ × 26041²

* Hay números de Aquiles “fuertes”, en los que ellos son de Aquiles y su indicatriz de Euler también.

Son estos:

500, 864, 1944, 2000, 2592, 3456, 5000, 10125, 10368, 12348, 12500, 16875, 19652, 19773,...(https://oeis.org/A194085)

Ya los tienes presentados. Dentro de unos días daremos unas vueltecitas a estos números