Propiedades del 2026

 No todos los años publico las propiedades de un año nuevo, porque lo hago en otros medios, pero en este los he terminado ya de compartir, por lo que no viene mal recogerlos aquí. Los números de orden se corresponden con los conjuntos de propiedades publicados cada día. Feliz año nuevo.

1)

2026 es un número semiprimo, pues 2026=2×1013 y es del tipo n²+1, ya que 2026=45²+1. Es el semiprimo número 582 en el orden natural. Si le suprimimos cualquier cifra, sigue siendo semiprimo: 026=2×13, 226=2×113, 206=2×103 y 202=2×101

2026, aunque se diferencia en 1 del cuadrado 45² , sus cuadrados se diferencian en un número primo:     

2026²-45⁴=4104676-4100625=4051, que es primo.     
      

Una escala de cifras ascendente y otra descendente para 2026:

2026=1×2×(34×5×6-7)

2026=9×(8+7+6+54)×3+2-1

2)

2026 es capicúa en tres bases de numeración, 13, 14 y 45:            

2026 (10 = 11, 12, 11 (13 = 10, 4, 10 (14 = 1, 0, 1 (45       

Y concatena N//N+6: 2026=20//26

 Una curiosidad:

2026=INT(LN(5)^16)

2026 se puede formar de estas dos formas con los primeros números primos:

2026=(2+3!+5)×7×(11+13)-(17+19+23+29+31)-37+41-43

2026=2×((3+5)×(7+11+13)×17-19-23-29×(31+37+41))

3)

2026 es el promedio de dos semiprimos consecutivos con él:

2026=2×1013=(2021+2031)/2=(43×47+3×677)/2

También es promedio de dos anteriores y dos posteriores: 2019, 2021, 2031 y 2033

En el año 2026 no podían faltar las cifras simétricas:

2026=2×(1×1001+12)

2026=(3-1)×(0+1)×1013

2026=2021+1+2+0+2

2026=1×2×(505+3+505)×(2-1)

2026 presenta, entre otras, estas sumas de consecutivos:                       

Compuestos: 2026 =505+506+507+508

Enteros: 2026=505+506+507+508

Semiprimos: 2026=237+247+249+253+254+259+262+265

Pares: 2026=1012+1014

 4)

La suma de las funciones SIGMA y PHI en 2026 coincide con la de 2027   

  2026              2027

SIGMA           3042              2028

PHI                 1012              2026

SUMA            4054              4054

SIGMA es la suma de divisores y PHI cuenta los coprimos menores que el número.

 

2026 presenta estas dos generaciones mediante factoriales:

2026=2!×(6!+(5!+4!)×2!+2!)+3!

2026=(6!×2!+2!)×2!-6!-4!-5!+3!

 

2026 es diferencia entre dos números triangulares (tipo N(N+1)/2):

2026=508×509/2-504×505/2

5)

Las funciones PHI y SIGMA que vimos ayer, cumplen en 2026 lo siguiente:

PHI(PHI(2026)+SIGMA(2026))=PHI(1012+3042)=PHI(4054)=2026

 

2026 no es un número intocable, porque equivale a la suma de las partes alícuotas de 2366: 2026=1183+338+182+169+ 91+26+14+13+7+2+1

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/05/regresos-3-numeros-intocables.html)

También lo es de 2510 y 2692.

 
2026 equivale a sumas de tres potencias con algún alto exponente:

2026=35^2+2^9+17^2

2026=37^2+23^2+2^7

2026=37^2+23^2+2^7

2026=37^2+5^4+2^5

2026=43^2+2^7+7^2

 

6)

2026 equivale a nueve sumas de siete cubos cada una:

1+1+27+27+512+729+729

8+27+64+343+343+512+729

8+64+64+216+216+729+729

1+1+8+8+8+1000+1000

1+8+8+64+216+729+1000

1+125+125+216+216+343+1000

8+27+216+216+216+343+1000

1+27+27+64+64+512+1331

1+1+8+8+64+216+1728

 

 

2026 equivale a estas expresiones palindrómicas:

2026=2×3×3×7×7+262+7×7×3×3×2

2026=2+8+2+2002+2+8+2

2026=5+12×8×21+5

2026=2×3×2+2002+2×3×2

2026=3×5×3+22×4×22+3×5×3

2026=131+12×7×21+131

 

Y ahora, pandigitales con resultado 2026:

2026=(1024-8-3)×(9-7)×(6-5)

2026=3+7×(6+5+4+2)×(8+9)×(1+0)

2026=4×3×(8+5)×(6+7)-2×1+9×0

 

7)

Hoy me dedicaré a los desarrollos de una sola cifra para 2026, comenzando del 1 al 3:

2026=(1111-111+11+1+1)×(1+1)

2026=(2×22+2)×2×22+2

2026=(3×3^3+3-3×3)×3^3+3/3

 

2026 expresado con monocifras de 4, 5 y 6:

2026=(4+4)×(4^4)-4!+(4+4)/4

2026=(5!+5+5+5)×(5+5+5)+5/5

2026=6!+6!+6!-66-66-(6+6)/6

 

Por último, las cifras 7, 8 y 9 generan el 2026

2026=(7!-77+7)/7+777+77×7

2026=8!/(8+8)-8×8×8+8+8+(8+8)/8

2026=((999+9)×(9+9)+9)/9+9

 

8)

2026 se genera con la siguiente recurrencia:

 

a(0)=a(1)=0, a(2)=2; y para n >= 3, a(n) = a(n-1) + 4×a(n-3)           

Visto en https://oeis.org/A122946     

Comprobado con una columna de Excel.

 

2026 es un número feliz, porque reiterando la suma de los cuadrados de sus cifras se llega a la unidad:

2^2+0^2+2^2+6^2=44

4^2+4^2=32

3^2+2^2=13

1^2+3^2=10

1^2+0^2=1                                                 

 

2026 es hipotenusa de una terna pitagórica y cateto en otra. Este segundo ha costado encontrarlo:

Como hipotenusa: 2026^2=90^2+2024^2

Como cateto: 2026^2=1026170^2-1026168^2

 

9)

Visto en https://oeis.org/A350130:    

Si a 2026 le aplicamos la función X^2+1 reiteradamente seis veces resulta otro número terminado en 2026          

Lo he comprobado con PARI, pero no cabe aquí.   

 

Como tantos números, 2026 también participa en una igualdad entre fracciones egipcias:

1/2026=1/2022-1/1024143

 

2026 se puede expresar con tres cuadrados con signo. Estas son algunas posibilidades:

2026=11^2+193^2-188^2          

2026=9^2+197^2-192^2

2026=154^2-9^2-147^2 

2026=150^2-5^2-143^2 

2026=117^2+1^2-108^2

                                                          

10)

2026 es divisor del número de Fibonacci de orden 2028. Posee muchas cifras. Se puede comprobar en PARI con el código          

k=fibonacci(2028)/2026 

print(k-truncate(k))          

 

Resultará un cero.

 

2026 es promedio de dos cuadrados  :

2026=(44^2+46^2)/2      

O bien 2026=44^2+44×2+2       

Y también 2026=22×44+23×46 

 

2026 es suma de cinco elementos de la sucesión de Fibonacci:  2026=F(17)+F(14)+F(9)+F(7)+F(5)=1597+377+34+13+5

 

11)

2026 es la suma de los cuadrados de los primeros números libres de cuadrados, desde 1 hasta 21:

2026=1^2+2^2+3^2+5^2+6^2+7^2+10^2+…19^2+21^2

 

2026 es suma de los cuadrados de dos números triangulares:           

2026=T(1)^2+T(9)^2=(1×2/2)^2+(9×10/2)^2          

 

2026 equivale sumas de cuadrados con primos y también con capicúas

2026=3^2+2017=15^2+1801=27^2+1297=33^2+937

2026=39^2+505=42^2+262=45^2+1 

 

12)

2026 es suma del número primo de orden 215 con el semiprimo que tiene el mismo orden

2026=PRIMO(215)+SEMIPRIMO(215)=1319+707=1319+7×101

No ha sido fácil encontrarlos

 

Todo número es suma, a lo más, de tres números triangulares. En el caso del 2026 pueden ser:

2026=10+2016=595+1431=1+990+1035=3+253+1770=6+190+1830

 

Según el teorema de Javier Cilleruelo, todo número es suma de tres capicúas o menos. En el 2026 he elegido una pequeña muestra:

2026=8+1221+797=9+686+1331=9+1331+686=11+464+1551=11+1551+464=22+343+1661

Con ellos termina mi bienvenida al 2026.

 

 

Sumandos con el mismo carácter que la suma

Si manejamos muchos tipos de números, observaremos que no es infrecuente que un número de un tipo sea suma de otros dos que comparten ese tipo con él. Los ejemplos más sencillos son los números pares, en los que es fácil descomponer un par en suma de otros dos (incluido el 0), como 22=10+12. También es clásico el ejemplo de las ternas pitagóricas, en las que un cuadrado (de la hipotenusa) es suma de otros dos cuadrados (los de los catetos), como 5^2=3^2+4^2. El caso más conocido es el de los números de Fibonacci, que son suma de los dos anteriores.

Según el Último Teorema de Fermat, no podemos buscar otros ejemplos con cubos o potencias mayores, así que no trataremos con potencias.

(https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%9Altimo_teorema_de_Fermat)

En este blog solemos manejar frecuentemente números semiprimos, oblongos, triangulares y poligonales. De los primos no hablamos, porque solo cumplirían esto los términos mayores de un par de primos gemelos, como 19=17+2

Realizaremos unas búsquedas y razonamientos sobre algunos de ellos.

Suma de semiprimos

Llamamos semiprimos a los números que son producto de dos factores primos, iguales o diferentes.

Para identificar semiprimos usamos esta función de Excel (creada en este blog)

Public Function essemiprimo(n) As Boolean

Dim a, b, r

Dim es As Boolean

es = False ‘Al principio suponemos que no es semiprimo

a = 2 ‘La variable a recorrerá los números primos

r = Sqr(n)

While a <= r And Not es

b = n / a ‘Dividimos n entre el primo y si el cociente es primo, ya lo tenemos

If esprimo(b) Then es = True

a = primprox(a) ‘Se busca el próximo primo

Wend

essemiprimo = es

End Function

Hemos tenido que crear esta función porque el lenguaje VBasic es algo pobre para estos cálculos. En PARI lo tendríamos más fácil. Basta pedir que bigomega(n)=2. Esta función cuenta factores primos con repetición. Si vale 2, es que n es semiprimo.

Tanto con una como con la otra, tomaremos semiprimos, los descompondremos en dos sumandos y si ambos también son semiprimos,  habremos encontrado un ejemplo.

En Excel usamos la función SUMATIPO que está diseñada para adaptarla a todos los casos que estudiemos en esta entrada. En el listado figura la búsqueda de semiprimos:

Function sumatipo$(n)

Dim i, j

Dim s$

 

s = ""

If essemiprimo(n) Then

i = 4 ‘Primer semiprimo

While i < n And s = ""

If essemiprimo(i) Then

j = n - i

If essemiprimo(j) Then s = Str$(i) + Str$(j) ‘Da la solución si la encuentra

End If

i = i + 1

Wend

End If

sumatipo = s ‘Devolverá un texto con la solución

End Function

 

Esta función devuelve una cadena vacía si no cumple la condición o los dos sumandos si la cumple.

Si organizamos una búsqueda obtendremos el resultado inesperado de que todos los semiprimos se descomponen así salvo cinco (4, 6, 9, 22 y 33 http://oeis.org/A137253)

En efecto, los primeros a partir del 10 se descomponen así:

10=2*5=6+4=2*3+2*2

14=2*7=10+4=2*5+2*2

15=3*5=6+9=2*3+3*3

Puedes reproducir la búsqueda con PARI. Inserta en la página https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html el siguiente código:

sumatipo(n)=my(m=0);if(bigomega(n)==2,i=4;while(m==0&&i<n,if(bigomega(i)==2&&bigomega(n-i)==2,m=1);i+=1));m

for(i=6,200, if(sumatipo(i),print1(i,", ")))

Obtendrás todos los semiprimos salvo 4, 6, 9, 22 y 33:

Si sustituimos sumatipo(i) por bigomega(i)==2&&sumatipo(i)==0 y comenzamos en el 4, obtendremos

Son las cinco excepciones.

En los ejemplos de más arriba, los sumandos semiprimos comparten algún factor. Casi todos los semiprimos se pueden descomponer en sumandos con los cuatro factores distintos, como por ejemplo 95, que se descompone como 21+74=3*7+2*37, y los cuatro factores primos 3, 7, 2 y 37 son todos distintos.

Hay una forma de encontrarlos con PARI:

sumatipo(n)=my(m=0);if(bigomega(n)==2,i=4;while(m==0&&i<n,if(omega(i)==2&&omega(n-i)==2&&omega(i*(n-i))==4,m=1);i+=1));m

for(i=4,250, if(sumatipo(i),print1(i,", ")))

En esta función sumatipo usamos  omega para exigir que los sumandos sean semiprimos y su producto tenga cuatro factores primos, lo que garantiza que sean los cuatro distintos.

Al aplicarla nos llevamos la sorpresa de que todos los semiprimos a partir de 85 pueden descomponerse de esa forma. Los semiprimos que no lo admiten son

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 58, 62, 82.

Es solo una conjetura.

Suma de triangulares

Si en la función sumatipo sustituimos essemiprimo por estriangular, podremos encontrar los números triangulares (tipo N(N+1)/2) que se descomponen en suma de otros dos triangulares. La función estriangular se basa en que si n es triangular, 8n+1 es cuadrado (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2009/12/suma-de-tres-numeros-triangulares.html)

Basándonos en esa propiedad, la función puede tener este código:

Public function estriangular(n) as boolean

dim a

a = Int(sqr(8*n+1))

if a*a=8*n+1 then estriangular = true else estriangular = false

end function

 

Hecha la sustitución obtenemos los triangulares que son suma de otros del mismo tipo:

6, 21, 36, 55, 66, 91, 120, 136, 171, 210, 231, 276, 351, 378, 406, 496, 561, 666, 703, 741, 820, 861, 946, 990, 1035, 1081, 1176, 1225, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653, 1711, 1770, 1891, 1953, 2016, …

Están publicados en http://oeis.org/A089982

Por ejemplo, 1326=465+861, y los tres son triangulares

Cuando un número m es suma de dos triangulares se cumple que todos los factores primos de 4m+1 son del tipo 4k+1, porque ese número es suma de dos cuadrados al menos. En efecto, se puede plantear:

Esto equivale a

Es decir

Para que un número admita esta descomposición  ningún factor primo suyo puede ser del tipo 4k+3, luego 8m+2 lo cumplirá, y también su mitad 4m+1, ya que el 2 no influye en esa posibilidad.

Por otra parte, en los números triangulares la expresión 8m+1 es un cuadrado, luego 8m+2 es igual a otra suma de cuadrados distinta de la anterior, y sus factores primos del tipo 4k+1 serán al menos dos, e igual le ocurrirá a su mitad 4m+1.

Lo vemos con un ejemplo: 21 es un triangular que se descompone en suma de dos triangulares, ya que 21=15+6, es decir, que 6*7/2=5*6/2+3*4/2, y el valor de 4m+1 es en este caso 85, que se descompone como 85=5*17=(4*1+1)(4*4+1), luego ambos factores primos son del tipo 4k+1 y son dos, con lo que se cumple la consideración indicada en el párrafo anterior. Además, 85=7²+6².

 Suma de oblongos

Esta búsqueda es similar a la anterior, con la sustitución de la expresión 8m+1 (que es un cuadrado en los triangulares) por 4m+1, que tiene una propiedad similar en los oblongos. Corregimos la función sumatipo en este sentido y obtenemos los números oblongos que son suma de dos oblongos:

12, 42, 72, 110, 132, 182, 240, 272, 342, 420, 462, 552, 702, 756, 812, 992, 1122, 1332, 1406, 1482, 1640, 1722, 1892, 1980, 2070, 2162, 2352, 2450, 12, 42, 72, 110, 132, 182, 240, 272, 342, 420, 462, 552, 702, 756, 812, 992, …

Por ejemplo, 462 es oblongo, ya que 462=21*22, y se descompone en 462=42+420, que son ambos oblongos: 42=6*7 y 420=20*21

Este listado lo hemos obtenido con la versión en PARI, que es más rápida.

sumatipo(n)=my(m=0);if(issquare(4*n+1),i=2;while(m==0&&i<n,if(issquare(4*i+1)&&issquare(4*(n-i)+1),m=1);i+=1));m

for(i=4,5000, if(sumatipo(i),print1(i,", ")))

Estos números poseen una propiedad similar a la de los triangulares, y es que si m es uno de ellos, 2m+1 solo tiene factores primos del tipo 4k+1 y al menos dos.

Por ejemplo, 72 es oblongo (8*9) y suma de oblongos, 42 (6*7) y 30 (5*6), y en este caso 2*72+1=145 tiene como factores primos 5 y 29, ambos del tipo 4k+1.

Sus índices, aunque con otra orientación, están publicados en http://oeis.org/A012132

 

Otros poligonales

Hemos estudiado los números triangulares y no hemos considerado los cuadrados porque este caso es propio de las ternas pitagóricas (https://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica).

Pasamos entonces a los números pentagonales, ya estudiados este año aquí.

https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/numeros-pentagonales-1.html

https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/numeros-pentagonales-2.html

Si lees estas entradas comprobarás que el criterio para ver si un número P es pentagonal consiste en que ha de ser cuadrado 1+24P. Si en la función sumatipo uso la función explicada en ellas ordenpentagonal, basta pedir que no sea nula para que aparezcan los primeros casos.

Son estos:

Estos números están publicados en http://oeis.org/A136117

Números hexagonales

Se tratan igual que los pentagonales, siguiendo las funciones definidas en las entradas de este blog dedicadas a ellos.

El resultado es

Publicados en http://oeis.org/A133215

Aquí paramos el estudio.

Media contraarmónica entera

 

 Al cociente (a²+b²)/(a+b) se le suele llamar media contraarmónica de a y b (Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Contraharmonic_mean). Si a y b son enteros (estudiaremos solo  los positivos) podemos preguntarnos si esta media es también entera.

En la página direccionada más arriba podrás descubrir que esa media y la media armónica son equidistantes de la media aritmética, siendo la armónica la de menor valor. Lo expresamos:

Si resta cada una de la anterior observarás que esa diferencia equivale a

La tercera es la media armónica, que es el inverso de la media aritmética de los inversos de a y b. Puedes estudiarla en 

https://es.wikipedia.org/wiki/Media_arm%C3%B3nica

Lo repasamos con un ejemplo, a=30, b=20. Los valores de estas medias serían:

Contraarmónica: (30²+20²)/(30+20)=26 (hemos elegido el ejemplo con valor entero)

Aritmética: (30+20)/2=25

Armónica: 2*20*30/(20+30)=24

Hemos comprobado que los tres valores son equidistantes.

También cumplen unas proporciones interesantes. Si llamamos mc a la contraarmónica y mh a la armónica se cumple:

En el ejemplo, 30/20=3/2; (30-24)/(24-20)=(26-20)/(30-26)=6/4=3/2

Puedes repasar estas proporciones en el documento 

https://oeis.org/A210494/a210494.pdf

 

Media contraarmónica entera para un a dado y b máximo

Ya podemos entrar en el estudio que nos hemos propuesto, y es investigar para qué pares la media contraarmónica es entera. Como para cada valor de a pueden existir varias soluciones para b, nos vamos a dedicar tan solo a los valores de b que sean máximos, pero menores que a.

En principio, encontrar esos pares de valores no parece complicado. La siguiente función nos lo facilita. La idea es recorrer, para cada n, el mayor valor de k que cumpla esa condición. Buscamos el mayor porque puede abrir rutas hacia otras cuestiones, y porque suelen aparecer varias soluciones. Hemos cambiado la notación de a y b a n y k, para destacar que lo trataremos todo como una propiedad de n.

Public Function divsumapote(n)

Dim k, a

a = 0

For k = 1 To n - 1

If (n ^ 2 + k ^ 2) Mod (n + k) = 0 Then a = k

Next k

divsumapote = a

End Function

 

El interés de este algoritmo está en la quinta línea. En primer lugar nos preguntamos If (n ^ 2 + k ^ 2) Mod (n + k) = 0, o dicho de otra forma, si se cumple la media contraarmónica de n y k es entera. En ese caso le damos a la variable a el valor de k correspondiente, pero como el bucle de cálculo continúa, ese valor de a llegará lo más alto posible, devolviéndonos así el máximo valor de k. Si ese valor es 0, el número n elegido no cumple esa condición.

Con esta función hemos encontrado los primeros valores de n y k que tienen su media contraarmónica entera:

Los valores de n ya están publicados, aunque con una orientación diferente, en http://oeis.org/A005279

6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 117, 120, 126, 130, 132,…

Por ejemplo, 42 y 30 figuran en nuestra tabla porque

Mc(42,30)=(42²+30²)/(42+30)=37

Si esta media es entera, la armónica también lo será. Se puede demostrar con este desarrollo:

Si el primer miembro es entero, el último término también lo será, y resulta que se trata de la media armónica. En el ejemplo:

Si 37 es entero, la media armónica será 42+30-37=35, también entero.

Así que si la media contra armónica es entera, también lo será la armónica (y a la inversa), con lo que la aritmética será entera o un  racional con denominador 2.

Por ejemplo, con 45 y 36, las medias son: mc=(45²+36²)/(45+36)=41, mh=2*45*36/(45+36)=40 y ma=(45+36)/2=40,5=81/2

 Si 2ab/(a+b) es entero h, será 1/h=(a+b)/2ab=1/2b+1/2a

Esta expresión relaciona tres fracciones egipcias unitarias.

En nuestra entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/02/suma-y-diferencia-de-fracciones.html dedicamos muchas líneas para demostrar que el denominador de una fracción egipcia unitaria que es diferencia de otras dos del mismo tipo debía tener dos divisores d y e tales que d<e<2d. Por tanto, eso le debe ocurrir a 2a, ya que

Esto explica que en la sucesión que hemos descubierto para a se defina así en OEIS: “Numbers having divisors d,e with d < e < 2*d”

Por ejemplo, 42 posee los divisores 6 y 7 que cumplen 6<7<6*2.

Esto también explica el hecho de haber encontrado números primos entre los valores de a ni ninguna de sus potencias.

 

Pertenencia de los números hexagonales

Estos números se obtienen con la fórmula H(n)=n(2n-1). Esto nos garantiza que cumplen la condición del párrafo anterior. En efecto, si repasamos los dos listados, el de números hexagonales (http://oeis.org/A000384) y el de los números que hemos obtenido (http://oeis.org/A005279) se tendrá:

Hexagonales( sin el cero y el 1): 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496,

Nuestros: 6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 117, 120, 126, 130, 132, 135, 138, 140, 143, 144, 150, 153,

Hemos destacado en negrita los hexagonales dentro de la otra sucesión.

Lo podemos ver de forma algebraica: H=n(2n-1) forma un par con K=(n-1)(2n-1) y queda:

Efectivamente, es un entero. Por ejemplo:

45=5*(2*5-1) es hexagonal y K=(5-1)(2*5-1)=36

La media mc sería (45²+36²)/(45+36)=41, que coincide, como hemos visto, con 5²+(5-1)²

 

Suma y diferencia de fracciones egipcias unitarias

Recordamos que una fracción egipcia unitaria es aquella de numerador igual a la unidad. Una fracción egipcia en general es una suma de varias fracciones egipcias unitarias.

Puedes consultar

https://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n_egipcia

https://www.gaussianos.com/fraccion-egipcia/

Lo que nos interesa en esta entrada es encontrar sumas o diferencias de dos fracciones de este tipo unitarias, cuyo resultado también sea unitario. En concreto, deseamos encontrar tres valores enteros positivos a, b y c tales que

Simultáneamente estudiaremos su correspondiente expresión como diferencia:

Un ejemplo clásico es 1/2=1/3+1/6, o bien 1/3 = 1/2 - 1/6

Existe una solución trivial para cada valor de a y es que

Para evitar esa solución supondremos que b>c en 

 (podría ser a la inversa, pero llamamos b al mayor de los dos).

Es evidente que 1/a es mayor que 1/b y 1/c, luego a<b y a<c. Como hemos supuesto que b es el mayor, tendremos la doble desigualdad a<c<b.

Búsqueda mediante un algoritmo

Siguiendo nuestra metodología habitual, buscaremos soluciones en primer lugar y después las analizaremos. Si deseamos encontrarlas fácilmente, será bueno darle protagonismo a b, para que los valores de a y de c sean menores que él y se pueda acudir a un doble bucle, en el que c recorra (en principio) desde 2 hasta b-1 y a desde 1 hasta b-2. Por tanto b>2. Nos dedicaremos a la diferencia de fracciones, que sabemos que es equivalente a la cuestión de la suma.

Función sumaegipcias(b)

Hemos comenzado la búsqueda mediante la siguiente función que devuelve, para cada b, los valores posibles de a y c. Al ser varias las posibles soluciones, se devolverán en modo texto, para tener una visión global de todas ellas. La función que se presenta más abajo usa el hecho de que el valor de b despejado en la condición general es a*c/(c-a).

Su listado es el siguiente:

Public Function sumaegipcias$(b)

Dim a, c, d

Dim s$

s$ = "" ‘Recibirá las soluciones en modo texto

If b < 3 Then sumaegipcias = "NO": Exit Function

For c = 2 To b – 1 ‘Bucles de búsqueda

For a = 1 To c - 1

d = a * c / (c - a) ‘Fracción que ha de ser entera

If d = Int(d) Then If d = b Then s$ = s$ + "1/" + Str$(a) + "-" + "1/" + Str$(c) + "   "

‘Si es entera y coincide con b, se recoge en s$

Next a

Next c

If s$ = "" Then s$ = "NO" ‘Si la cadena está vacía, es que no hay solución

sumaegipcias = s$

End Function

Aplicada esta función a un conjunto de números, por ejemplo desde el 6 hasta el 15, observamos que no todos admiten esta descomposición:

Sólo la cumplen 6, 12 y 15. El 12 por partida doble. Puedes verificar estas igualdades (escritas como diferencias, pero podrían ser sumas):

1/6=1/2-1/3, 1/12=1/3-1/4, 1/12=1/4-1/6, 1/15=1/6-1/10

Aquí tienes los valores de b entre 1 y 100 que admiten la descomposición pedida:

6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100

Estos valores te pueden dar alguna pista. Reflexionamos sobre ellos:

Escribamos c-a=k, con lo que el cociente b=a*c/(c-a) se convierte en b=(a+k)*a/k. Así lo analizamos mejor.

El denominador b no puede ser primo

En efecto: Al ser entero (a+k)*a/k puede ocurrir:

Si k divide a a: entonces k1=a/k y  b=k1(a+k). b tendría al menos dos factores (si k=a nos encontraríamos con la solución trivial de más arriba, en la que b=2a y que no consideramos)

Si k no divide a a: Llamemos d=MCD(a,k). Ese valor d no puede ser 1, pues entonces k sería primo con a, pero como tiene que dividir a a+k, dividiría a  (a+k)-k=a, lo que llevaría a una contradicción.

Si d>1, se podría simplificar b=(a+k)*a/k entre d, resultando los cocientes a’=a/d y k’=k/d: b=(a+k)*a/k=(a+k)*a’/k’, en el que k’ es primo con a’, luego, por el teorema de Euclides, k’ ha de dividir a (a+k), luego divide a la diferencia a+k-k=a. Así que k’ es un divisor de a. De esa forma b=a’*p, siendo a’>1 (ver el párrafo anterior) y p=(a+k)/k’>1, luego no puede ser b primo.

La diferencia c-a=k es menor que a

De la igualdad b=(a+k)*a/k deducimos b*k=(a+k)*a=c*a, pero sabemos que b>a y b>c, luego la igualdad solo es posible si k<a<c.

Este largo razonamiento nos ha descubierto que, o bien k divide a a, como es el caso en

1/12=1/4-1/6, en el que k=6-4=2 y divide a 4,

o bien unos factores de k dividen a a y otros a a+k, ambos mayores que 1. Sería el caso

1/15=1/6-1/10, en el que k=10-6=4=2*2 y 2 divide a 6 y “el otro” 2 al 10, resultando b=6*10/4=15.

Más adelante daremos una caracterización de estos números.

Otro algoritmo

Esta sección la puedes dejar si no te interesa demasiado la construcción de algoritmos.

Otro planteamiento parte de que  según lo anterior, b*k=c(c+k), hay que buscar  un número tal que si lo multiplico por k, se pueda descomponer en dos factores con diferencia k. Por ejemplo, 12 multiplicado por 2 da 24 que tiene dos factores, 4*6 diferenciados en 2.

El valor de c sería una solución de la ecuación c²+kc-bk=0, es decir:

De esa forma  el valor de c no se obtiene por búsqueda, sino por cálculo. Lo implementamos como otra función

Public Function sumaegipcias2$(b)

Dim k, c

Dim s$

s$ = ""

If b < 3 Then sumaegipcias2 = "NO": Exit Function

For k = 1 To b - 1

c = (-k + Sqr(k ^ 2 + 4 * b * k)) / 2 ‘Calculamos el valor de c

If c = Int(c) And c + k < b Then s$ = s$ + "1/" + Str$(c) + "-" + "1/" + Str$(c + k) + "   "

Next k

If s$ = "" Then s$ = "NO"

sumaegipcias2 = s$

End Function

Comprobamos que son equivalentes:

Es más rápida de proceso que la anterior.

Otra definición de los números encontrados

El listado de los valores de b está publicado, pero con otra definición distinta

http://oeis.org/A005279

Numbers having divisors d,e with d < e < 2d.

6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 117, 120, 126, 130, 132, 135, 138, 140, 143, 144, 150, 153, 154, 156, 160, 162, 165, 168, 170, 174, 175, 176

Según esto, las soluciones para nuestras diferencias de fracciones egipcias coinciden con aquellos números que poseen dos divisores a y b, en los que a<b<2a, es decir, que uno de ellos está comprendido entre el otro divisor y su doble. Si repasas el listado anterior, todos lo cumplen, e incluso algunos de ellos son producto de dos divisores de este tipo:

6=2*3, 35=5*7, 42=6*7, …

Entre ellos figuran los números oblongos, 6, 12, 20, 30, 42,…del tipo n(n+1), como puedes comprobar.

Demostramos esta equivalencia:

El contrarrecíproco es fácil de razonar. Si no existen estos pares de divisores, a<b<2a, cualquier expresión que construyamos similar a b=(a+k)*a/k, no podría garantizar que k es menor que a, como demostramos más arriba que era necesario.

Al revés, parto de que existen dos divisores de un número N tales que a<b<2a

Podemos suponer que son primos entre sí, pues, en caso contrario, dividimos entre su M.C.D. y seguirán siendo divisores y cumpliendo a<b<2a. Si son primos entre sí, su producto, que sería el M.C.M, no puede ser mayor que N (en ese caso el M.C.M. sería N). Así que a*b<=N.

Para mayor claridad, distinguimos dos casos:

N=a*b

Entonces bastará multiplicar ambos por k=b-a, con lo que tendremos N=a*b=a(a+k)=ak(ak+kk)/k^2, pero k^2 es la nueva diferencia, luego N tiene la forma deseada de a1(a1+k1)/k1

Por ejemplo, 77=7*11 multiplicamos por 4 y queda 1/77=1/28-1/44=(44-28)/(77*16)=16/(77*16)=1/77, y 1/77=1/28-1/44 

70=10*7, diferencia 3, multiplico: 70=30*21/9, luego 1/70=1/21-1/30

N=m*a*b

En este caso el producto de a*b no iguala a N, En ese caso multiplicamos a y b por mk, resultando:

N=mamk(amk+mkk)/mkmk y mkk es la nueva diferencia. Simplificando N=amk(amk+mkk)/mkk, que es del tipo pedido:

Ejemplo: 66 contiene al 2 y al 3, con 2<3<2*2 y se cumple 66=11*2*3. 

Multiplicamos ambos por su diferencia 1 y por m=11, resultando 22 y 33 y queda

66=22(22+11)/11, es decir

1/66=1/22-1/33

84=2*6*7, con 6<7<2*6. El M.C.D(6,7)=1, k=1, m=2, luego multiplicamos por 2*1=2, y queda 12 y 14:

84=12*14/2, luego 1/84=1/12-1/14

También podíamos haber usado 4 y 7, con 4<7<2*4, k=3, m=3, 84=3*4*7, y multiplicamos ambos por 3*3=9, lo que nos llevaría a 1/84=1/36-1/63.

Hemos descubierto esta equivalencia bastante interesante, pues caracteriza cuándo un valor puede ser denominador en una diferencia de fracciones egipcias.