Sucesiones completas

En esta entrada abordaré un tema interesante, y es el de la posibilidad de que los elementos de una sucesión de números naturales, finita o infinita, generen otros números, a partir de sumas, con o sin repetición.

Ya traté ese tema en algunas entradas antiguas, como

https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/02/frobenius-y-los-mcnuggets.html

“Frobenius y los mcnuggets”, en la que trataba el problema de las monedas necesarias para alcanzar una cantidad y el número de Frobenius.

https://hojaynumeros.blogspot.com/2012/11/descomposicion-de-un-numero-segun-una.html

En esta entrada se trataba de generar un número a partir de una lista de ellos.

En ambos casos las sucesiones eran finitas, y al sumar los elementos se podían repetir los sumandos.

También se relacionaba algo con lo que pretendo presentar ahora, la entrada sobre algoritmos voraces o codiciosos:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2024/09/algoritmos-codiciosos-para-sumas.html

Sucesión completa

Desarrollaré aquí el tipo de sucesión más eficaz para generar todos los números naturales, el de sucesión completa.

Una sucesión de números naturales se llama completa cuando cualquier otro número natural se puede escribir como suma de elementos de esa sucesión sin repetir ninguno.

El ejemplo básico más popular es el de las potencias de 2, que da lugar al sistema binario de representación de los números. En efecto, la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, … permite representar cualquier número como suma de algunos términos, sin repetición. La forma de conseguirlo es similar a la de los algoritmos codiciosos que traté en la entrada referenciada más arriba.

Vemos un ejemplo: representar el número 53:

Buscamos el término de la sucesión más cercano a 53 y menor que él, que es el 32, tomamos nota y restamos: 53-32=21. Reiteramos: 21-16=5, 5-4=1, con lo que obtenemos 53=32+16+4+1, que da lugar a la representación binaria 110101.

Este ejemplo nos abre camino para caracterizar las sucesiones completas. Podemos dar tres condiciones para que una sucesión sea de este tipo:

·    El primer término ha de ser 1, a₁=1

·   Aunque no es imprescindible, pero sí algo operativo, la sucesión debe presentar un orden creciente.

·    Si llamamos s_n a la suma de los n primeros términos de la sucesión, se debe cumplir: s_n-1 ≥ a_n-1 para todo n ≥ 1

La primera condición es imprescindible para poder generar todos los números y que los algoritmos tengan parada. Por ejemplo, los números pares no son completos, pues nunca pueden generar un impar.

La segunda se incluye para que tengan sentido los algoritmos.

La tercera es fundamental, porque garantiza que se pueda avanzar en descubrir sumandos hasta llegar, si es necesario al 1.

Seguimos el proceso del 53 visto más arriba. Dado el número N, deberemos encontrar el mayor elemento de la sucesión que sea menor que N, en el ejemplo 32. La diferencia 21 se ha de poder tratar del mismo modo, con lo que s_n-1 ha de ser suficiente para ello, es decir, s_n ≥ a_n-1. Piénsese en el caso 63, en el que 63-32=31, y debe poder ser generado por los elementos anteriores, es decir por s_n-1, y de ahí la condición s_n ≥ a_n-1.

Si no se cumple esta condición, la sucesión no es completa. Por ejemplo, la sucesión de potencias de cuatro, 1, 4, 16, 64, …no la cumple, y, por ejemplo, no puede generar el número 70, porque 70-64=6, y 6 no se puede formar con 1 y 4. Aquí la suma 1+4+16 no es suficiente.

La sucesión de potencias de 2 la cumple, porque s_n=2ⁿ-1, y da lugar a la representación binaria. Esto se logra porque no se admiten repeticiones en los sumandos. También es minimal, pues si eliminamos un término de ella, habrá números naturales que no se puedan representar. Por ejemplo, si elimino el 4, no podré representar el 6. Otra característica es que la representación es única, algo que no se contempla en las definiciones.

Existe una condición suficiente que puede sustituir a la tercera, y es que 2a_k ≥ a_k+1 para k≥1. El ejemplo de las potencias de 2 la cumple, pero falta ver su suficiencia. Lo razonamos con el ejemplo del N=53. La primera operación fue buscar el término menor que 53 más cercano a él, y fue el 32. Restamos y nos resultó 21 para proseguir. Lo vemos en general:

N estará entre a_k y a_k+1, pero a_k+1 estará entre a_k y 2a_k, luego tendremos: a_k ≤ N ≤ a_k+1 ≤ 2a_k. Restando a_k se verificará:

0 ≤ N - a_k ≤ a_k

Por tanto, la siguiente diferencia (en el ejemplo, el 21) será menor que a_k, y se podrá seguir el algoritmo con un término menor, hasta llegar a 1.

Ejemplo reciente

En una entrada anterior vimos la sucesión “catering perezoso”, formada por los términos de fórmula

Sus primeros términos son 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, …https://oeis.org/A000124

Es evidente que cumple 2a_k ≥ a_k+1.

2a_k - a_k+1 = 2(k(k+1)/2+1)-(k+1)(k+2)/2-1 = (k+1)(k-(k+2)/2)+1 =(k+1)(k/2-1)+1, y esta diferencia es positiva o cero para k>1

Podemos afirmar que esta sucesión es completa, como se afirma en la página en la que está publicada. Según esto, cualquier número natural es suma de algunos de sus términos tomados sin repetición. He efectuado sencillas comprobaciones con mi hoja de cálculo partlista

 (Ver https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#reprenum)

He elegido el número 62 al azar, y deseo generarlo con los términos de esta sucesión 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37. He concretado en la hoja que no se repitan sumandos, y me ha devuelto estos resultados:

No es de extrañar que resulten siete soluciones, porque en estos procesos no tiene que existir solución única.

 
Sucesión de Fibonacci

Esta sucesión es claramente completa. Basta recordar que es creciente y en ella a_k+1 = a_k+a_k-1, luego a_k+1 < a_k+a_k = 2a_k, que es condición suficiente para la completitud.

Existe una descomposición basada en esta propiedad, y es la de Zeckendorf, que consiste en ir restando a un número N el mayor número de Fibonacci posible. Es interesante, y acudo a ella con frecuencia. Puedes profundizar en el tema leyendo mi entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/09/representacion-de-zeckendorf.html y descubrir en qué consiste la multiplicación de Fibonacci.

Por ejemplo, esta es la representación de Zeckendorf del número 75:

75 = F(10)+F(7)+F(5)+F(3) = 55+13+5+2

No es el único desarrollo. Con nuestra herramienta Cartesius (https://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius) se puede conseguir otro. Estas son las condiciones:

xrango=5 

xt=1..55    

xt=filtro(fibonacci)    

suma=75  

creciente 

no repite  

Y este el resultado:

Nos devuelve el ya conocido, 2+5+13+55, que es el desarrollo minimal, pero nos ofrece otro: 75=34+21+13+5+2

Números primos con la unidad

Si a la sucesión de números primos le adjunto a(1) = 1, resulta una sucesión completa. Es creciente, comienza en 1 y cumple que 2p(k) ≥ p(k+1). Esta afirmación se basa en el Postulado de Bertrand, que afirma, entre otras formulaciones, esta desigualdad. Por ejemplo, con la hoja partlista, podemos generar el número 35 con esta sucesión, y resulta:

Es evidente que esta descomposición da lugar a muchas soluciones distintas.

Se pueden encontrar más ejemplos de sucesiones completas, pero con estos se comprende bien el concepto. Otros que he encontrado son demasiado particulares y no son muy interesantes.

 

Propiedades del 2026

 No todos los años publico las propiedades de un año nuevo, porque lo hago en otros medios, pero en este los he terminado ya de compartir, por lo que no viene mal recogerlos aquí. Los números de orden se corresponden con los conjuntos de propiedades publicados cada día. Feliz año nuevo.

1)

2026 es un número semiprimo, pues 2026=2×1013 y es del tipo n²+1, ya que 2026=45²+1. Es el semiprimo número 582 en el orden natural. Si le suprimimos cualquier cifra, sigue siendo semiprimo: 026=2×13, 226=2×113, 206=2×103 y 202=2×101

2026, aunque se diferencia en 1 del cuadrado 45² , sus cuadrados se diferencian en un número primo:     

2026²-45⁴=4104676-4100625=4051, que es primo.     
      

Una escala de cifras ascendente y otra descendente para 2026:

2026=1×2×(34×5×6-7)

2026=9×(8+7+6+54)×3+2-1

2)

2026 es capicúa en tres bases de numeración, 13, 14 y 45:            

2026 (10 = 11, 12, 11 (13 = 10, 4, 10 (14 = 1, 0, 1 (45       

Y concatena N//N+6: 2026=20//26

 Una curiosidad:

2026=INT(LN(5)^16)

2026 se puede formar de estas dos formas con los primeros números primos:

2026=(2+3!+5)×7×(11+13)-(17+19+23+29+31)-37+41-43

2026=2×((3+5)×(7+11+13)×17-19-23-29×(31+37+41))

3)

2026 es el promedio de dos semiprimos consecutivos con él:

2026=2×1013=(2021+2031)/2=(43×47+3×677)/2

También es promedio de dos anteriores y dos posteriores: 2019, 2021, 2031 y 2033

En el año 2026 no podían faltar las cifras simétricas:

2026=2×(1×1001+12)

2026=(3-1)×(0+1)×1013

2026=2021+1+2+0+2

2026=1×2×(505+3+505)×(2-1)

2026 presenta, entre otras, estas sumas de consecutivos:                       

Compuestos: 2026 =505+506+507+508

Enteros: 2026=505+506+507+508

Semiprimos: 2026=237+247+249+253+254+259+262+265

Pares: 2026=1012+1014

 4)

La suma de las funciones SIGMA y PHI en 2026 coincide con la de 2027   

  2026              2027

SIGMA           3042              2028

PHI                 1012              2026

SUMA            4054              4054

SIGMA es la suma de divisores y PHI cuenta los coprimos menores que el número.

 

2026 presenta estas dos generaciones mediante factoriales:

2026=2!×(6!+(5!+4!)×2!+2!)+3!

2026=(6!×2!+2!)×2!-6!-4!-5!+3!

 

2026 es diferencia entre dos números triangulares (tipo N(N+1)/2):

2026=508×509/2-504×505/2

5)

Las funciones PHI y SIGMA que vimos ayer, cumplen en 2026 lo siguiente:

PHI(PHI(2026)+SIGMA(2026))=PHI(1012+3042)=PHI(4054)=2026

 

2026 no es un número intocable, porque equivale a la suma de las partes alícuotas de 2366: 2026=1183+338+182+169+ 91+26+14+13+7+2+1

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/05/regresos-3-numeros-intocables.html)

También lo es de 2510 y 2692.

 
2026 equivale a sumas de tres potencias con algún alto exponente:

2026=35^2+2^9+17^2

2026=37^2+23^2+2^7

2026=37^2+23^2+2^7

2026=37^2+5^4+2^5

2026=43^2+2^7+7^2

 

6)

2026 equivale a nueve sumas de siete cubos cada una:

1+1+27+27+512+729+729

8+27+64+343+343+512+729

8+64+64+216+216+729+729

1+1+8+8+8+1000+1000

1+8+8+64+216+729+1000

1+125+125+216+216+343+1000

8+27+216+216+216+343+1000

1+27+27+64+64+512+1331

1+1+8+8+64+216+1728

 

 

2026 equivale a estas expresiones palindrómicas:

2026=2×3×3×7×7+262+7×7×3×3×2

2026=2+8+2+2002+2+8+2

2026=5+12×8×21+5

2026=2×3×2+2002+2×3×2

2026=3×5×3+22×4×22+3×5×3

2026=131+12×7×21+131

 

Y ahora, pandigitales con resultado 2026:

2026=(1024-8-3)×(9-7)×(6-5)

2026=3+7×(6+5+4+2)×(8+9)×(1+0)

2026=4×3×(8+5)×(6+7)-2×1+9×0

 

7)

Hoy me dedicaré a los desarrollos de una sola cifra para 2026, comenzando del 1 al 3:

2026=(1111-111+11+1+1)×(1+1)

2026=(2×22+2)×2×22+2

2026=(3×3^3+3-3×3)×3^3+3/3

 

2026 expresado con monocifras de 4, 5 y 6:

2026=(4+4)×(4^4)-4!+(4+4)/4

2026=(5!+5+5+5)×(5+5+5)+5/5

2026=6!+6!+6!-66-66-(6+6)/6

 

Por último, las cifras 7, 8 y 9 generan el 2026

2026=(7!-77+7)/7+777+77×7

2026=8!/(8+8)-8×8×8+8+8+(8+8)/8

2026=((999+9)×(9+9)+9)/9+9

 

8)

2026 se genera con la siguiente recurrencia:

 

a(0)=a(1)=0, a(2)=2; y para n >= 3, a(n) = a(n-1) + 4×a(n-3)           

Visto en https://oeis.org/A122946     

Comprobado con una columna de Excel.

 

2026 es un número feliz, porque reiterando la suma de los cuadrados de sus cifras se llega a la unidad:

2^2+0^2+2^2+6^2=44

4^2+4^2=32

3^2+2^2=13

1^2+3^2=10

1^2+0^2=1                                                 

 

2026 es hipotenusa de una terna pitagórica y cateto en otra. Este segundo ha costado encontrarlo:

Como hipotenusa: 2026^2=90^2+2024^2

Como cateto: 2026^2=1026170^2-1026168^2

 

9)

Visto en https://oeis.org/A350130:    

Si a 2026 le aplicamos la función X^2+1 reiteradamente seis veces resulta otro número terminado en 2026          

Lo he comprobado con PARI, pero no cabe aquí.   

 

Como tantos números, 2026 también participa en una igualdad entre fracciones egipcias:

1/2026=1/2022-1/1024143

 

2026 se puede expresar con tres cuadrados con signo. Estas son algunas posibilidades:

2026=11^2+193^2-188^2          

2026=9^2+197^2-192^2

2026=154^2-9^2-147^2 

2026=150^2-5^2-143^2 

2026=117^2+1^2-108^2

                                                          

10)

2026 es divisor del número de Fibonacci de orden 2028. Posee muchas cifras. Se puede comprobar en PARI con el código          

k=fibonacci(2028)/2026 

print(k-truncate(k))          

 

Resultará un cero.

 

2026 es promedio de dos cuadrados  :

2026=(44^2+46^2)/2      

O bien 2026=44^2+44×2+2       

Y también 2026=22×44+23×46 

 

2026 es suma de cinco elementos de la sucesión de Fibonacci:  2026=F(17)+F(14)+F(9)+F(7)+F(5)=1597+377+34+13+5

 

11)

2026 es la suma de los cuadrados de los primeros números libres de cuadrados, desde 1 hasta 21:

2026=1^2+2^2+3^2+5^2+6^2+7^2+10^2+…19^2+21^2

 

2026 es suma de los cuadrados de dos números triangulares:           

2026=T(1)^2+T(9)^2=(1×2/2)^2+(9×10/2)^2          

 

2026 equivale sumas de cuadrados con primos y también con capicúas

2026=3^2+2017=15^2+1801=27^2+1297=33^2+937

2026=39^2+505=42^2+262=45^2+1 

 

12)

2026 es suma del número primo de orden 215 con el semiprimo que tiene el mismo orden

2026=PRIMO(215)+SEMIPRIMO(215)=1319+707=1319+7×101

No ha sido fácil encontrarlos

 

Todo número es suma, a lo más, de tres números triangulares. En el caso del 2026 pueden ser:

2026=10+2016=595+1431=1+990+1035=3+253+1770=6+190+1830

 

Según el teorema de Javier Cilleruelo, todo número es suma de tres capicúas o menos. En el 2026 he elegido una pequeña muestra:

2026=8+1221+797=9+686+1331=9+1331+686=11+464+1551=11+1551+464=22+343+1661

Con ellos termina mi bienvenida al 2026.

 

 

Divisorial

Llamaremos divisorial de un número al producto de sus divisores, (según OEIS WIKI, sin revisar). Su cálculo es muy sencillo, porque los divisores de N se presentan por pares cuyo producto es N. Por ejemplo, en 45 se da que 45*1=15*3=9*5=45. El producto total, o divisorial, será 45^3=91125.

Si TAU(N) es el número de sus divisores, se tendrá que el número de pares será TAU(N)/2 si TAU es par y (TAU(N)+1)/2 si es impar, porque este último caso se dará en los cuadrados, y la RAIZ(N) se contaría repetida. Por ejemplo, el divisorial de 36 será 36*18*12*9*6*4*3*2*1=10077696, pero si lo ordenamos por pares, la raíz cuadrada estaría repetida:

Nos resultaría un producto seis veces mayor. Habría que suprimir el 6 sobrante, con lo que resultaría ese 6 multiplicado por los pares restantes, que forman TAU(N). Tendríamos 6*36*36*36*36=36^9/2

Por tanto, en el caso par y en el caso impar la fórmula adecuada es

Hemos seguido la nomenclatura usual de π(n) para el divisorial.

En el caso de 45 nos daría 45^6/2=45³=91125

En el caso de 36 existen 9 divisores, luego tendríamos 36^9/2= 10077696.

Los resultados del divisorial no se repiten, es decir, a números distintos les corresponden divisoriales distintos (ver la demostración de T.D. Noe en

http://www.sspectra.com/math/DivisorProduct.pdf)

Encontrar π(n) sin usar la función TAU es muy simple. Basta recorrer los números menores o iguales a N y multiplicar tan solo los divisores. En la práctica solo hay que llegar a N/2 y después multiplicar por N. En Visual Basic puede quedar así:

Function proddivi(n)

Dim p, i

 

p = n ‘Comenzamos el producto con n

For i = 2 To n / 2

If n / i = n \ i Then p = p * I ‘Si es divisor, se multiplica

Next i

proddivi = p

End Function

Con esta función podemos crear la primera tabla de divisoriales:

 

Están publicados en https://oeis.org/A007955

En el lenguaje PARI está implementada la función TAU con el nombre de numdiv, luego el divisorial se puede encontrar con

π(n)=n^(numdiv(n)/2)

En la imagen se ha pedido el valor de los 50 primeros:

 

En color azul figura la instrucción en PARI usada.

Casos particulares

N es primo

En ese caso TAU(N)=2, luego π(n)=n^2/2=n

Es lógico, porque el único producto de divisores es 1*n y el divisorial de n coincide con el número n

Potencia de primo

Si N=p^k, TAU(N)=k+1, porque los divisores serán (1, p, p², … p^k) , luego el divisorial será p^(k+1)/2.

Entre ellos, los divisoriales de cubos de primos serán cuadrados.

Semiprimo no cuadrado

Si N=p*q, con p≠q, poseerá cuatro divisores, 1, p, q y pq, luego TAU(N)=4 y su producto de divisores π(n)=n^4/2=n². Lo vemos en el listado anterior con 6 y 10.

Resultado cuadrado

Si el divisorial es una potencia, encontraremos muchos de ellos que sean cuadrados. Ya hemos visto que aparecen en los cubos de primos y en semiprimos no cuadrados, pero existen más. Estos son los primeros:

 

Entre ellos están los esfénicos, números del tipo p*q*r con los tres primos distintos. En ellos los divisores son: 1, p, q, r, pq, pr, rq y pqr, es decir ocho divisores, luego el producto de divisores será una potencia cuarta, también cuadrada.

En  https://oeis.org/A048943 puedes consultar un razonamiento más completo.

Resultado cúbico

Es fácil razonar que las quintas potencias de un primo poseen un divisorial que será un cubo, ya que π(n)=n^(5+1)/2=n³

También producen un cubo los números, como el 12, que tienen la forma pq², pues TAU(n)=(1+1)(2+1)=6, luego π(n)=n^6/2=n³

Estos son los primeros:

Puedes buscar más casos particulares, que no serán complicados de razonar.

Polidivisibles

Un número se llama polidivisible (aquí se limitará el estudio a base 10) cuando al recorrer sus cifras de izquierda a derecha, las dos primeras forman un múltiplo de 2, las tres primeras, de 3, las cuatro de 4, y así sucesivamente. Por ejemplo, 126006 es polidivisible, porque 12=2*6, 126=3*42, 1260=4*315, 12600=5*2520, 126006=6*21001. Se supone que no se han escrito ceros a la izquierda, o lo que es lo mismo, que la primera cifra es no nula.

Puedes comprobar la afirmación de Wikipedia de que 381654729 es polidivisible.

Si se entiende bien el troceado de cifras, no es difícil crear una función que determine si un número es polidivisible. Propongo esta para VBasic de Excel, fácilmente traducible a otros lenguajes:

Function polidivisible(n) As Boolean ‘Devuelve verdadero o falso

Dim m, i, t

Dim es

 

 

m = numcifras(n)’Función contenida en mi blog “Números y hoja de cálculo”. Es fácil de copiar.

If m < 2 Then polidivisible = False: Exit Function ‘Caso de una cifra

i = 2 ‘Número de cifras primeras a considerar

es = True ‘Suponemos que sí es polidivisible

While i <= m And es ‘Recorremos las primeras cifras

t = Int(n / potencia(10, m - i)) ‘Trozo de cifras

If t / i <> t \ i Then es = False ‘Ha de ser múltiplo de su número de cifras

i = i + 1

Wend

polidivisible = es

End Function

Esta función te devuelve VERDADERO si el número es polidivisible. Con ella y un buscador podemos encontrar los primeros números polidivisibles. En la lista se descubren los comprendidos entre 100 y 200:

102, 105, 108, 120, 123, 126, 129, 141, 144, 147, 162, 165, 168, 180, 183, 186, 189

Los puedes comprobar en https://oeis.org/A144688. Allí se les llama “magic”. Su definición sugiere que si un número es polidivisible, también lo son los trozos de cifras que nos han servido para la definición. Eso ocurre con 20445, que 20, 204 y 2044 también son polidivisibles. Más adelante estudiaremos el proceso contrario, extender un polidivisible a más cifras.

 

Versión en PARI

Excel no es útil para números enteros de muchas cifras, ya que pasa automáticamente al formato científico. Por ello es conveniente el uso de una función en PARI. La de arriba se traduce fácilmente a esta otra:

k=381654729

polidivisible(n)={my(m=#digits(n),i=2,es=1,t);while(es==1&&i<=m,t=truncate(n/10^(m-i));if(t%i<>0,es=0);i+=1);es}

print(polidivisible(k))

Escribimos un valor de k en la primera línea y nos devolverá un 1 si k es polidivisible o un 0 si no lo es. Lo he probado en la web de PARI:

Nos devuelve un 1 porque 381654729 sí es polidivisible.

Añadiendo un bucle podremos buscar polidivisibles en un rango. En la imagen figuran los primeros a partir de 2000000:

Mentalmente se puede comprobar alguno de ellos.

En https://en.wikipedia.org/wiki/Polydivisible_number puedes encontrar un procedimiento sencillo para extender la definición a cualquier base b.

Extensión de un número polidivisible

Si N lo es, podemos intentar añadirle otra cifra más y probar si también es polidivisible. Si N posee k cifras, el siguiente polidivisible estará entre 10*N y 10*N+9 y deberá ser múltiplo de k+1. Si k no es mayor que 10, siempre existirá un múltiplo en ese rango. En valores superiores no se puede garantizar la extensión.

Uso PARI para garantizar un buen número de cifras:

polidivisible(n)={my(m=#digits(n),i=2,es=1,t);while(es==1&&i<=m,t=truncate(n/10^(m-i));if(t%i<>0,es=0);i+=1);es}

extenpoli(n)={my(g=#digits(n),nn=0,i=0,es=0);while(i<=9&&es==0,nn=i+n*10;if(polidivisible(nn),es=1);i+=1);nn*(es==1)}

print(extenpoli(126006))

En primer lugar, vuelvo a definir la función polidivisible. Después, extenpoli, que, como vemos, recorre una cifra adicional (i+n*10) para encontrar un nuevo polidivisible. Si no lo encuentra, devuelve un cero.

En el caso de 126006 nos devuelve un múltiplo de 7. Lo vemos en la web de PARI:

Sería 1260063 el siguiente polidivisible, divisible entre 7. Si proseguimos, el siguiente resulta ser 12600632, divisible entre 8. Seguirían 126006327, 1260063270, 12600632704, 126006327048. Aquí se detiene la secuencia, porque al añadir otra cifra no se logra un múltiplo de 13.

Todo esto funciona si el primer número es polidivisible con seguridad. Si no, llegaríamos a resultados erróneos. Estas secuencias de extensiones no tienen que ser únicas. Un polidivisible puede dar lugar a dos o más cuando se le añade una cifra, ya que en un rango de 10 puede haber dos o más múltiplos del número de cifras.

Secuencia de extensiones

Si usamos una lista, es posible lograr que PARI nos devuelva el conjunto de extensiones (o uno de ellos). Bastará añadir otra función nueva que descubra extensiones mientras sea posible. Todo el conjunto quedaría así:

polidivisible(n)={my(m=#digits(n),i=2,es=1,t);while(es==1&&i<=m,t=truncate(n/10^(m-i));if(t%i<>0,es=0);i+=1);es}

extenpoli(n)={my(g=#digits(n),nn=0,i=0,es=0);while(i<=9&&es==0,nn=i+n*10;if(polidivisible(nn),es=1);i+=1);nn*(es==1)}

secuenpoli(n)={my(m=n,s=List());while(m<>0,listput(~s,m);m=extenpoli(m));s}

print(secuenpoli(126006))

 

Nos daría el mismo resultado para 126006 en forma de lista:

 

List([126006, 1260063, 12600632, 126006327, 1260063270, 12600632704, 126006327048])

 

Otros ejemplos:

 

N=62765

List([62765, 627654, 6276543, 62765432, 627654321, 6276543210, 62765432103, 627654321036, 6276543210366, 62765432103668])

 

N=180402

List([180402, 1804026, 18040264, 180402642, 1804026420, 18040264209, 180402642096, 1804026420963, 18040264209632])

N=747

List([747, 7472, 74720, 747204, 7472045, 74720456, 747204561, 7472045610, 74720456107, 747204561072])

Ejemplo de los primeros párrafos:

N=381654729

List([381654729, 3816547290, 38165472906, 381654729060, 3816547290608])

Con esto terminamos la introducción a este tipo de números. Quedan muchas curiosidades, que puedes encontrar en las dos webs enlazadas más arriba. Aquí nos quedamos con las que son fácilmente tratables con VBasic y PARI.