Dándole vueltas (1)

Con esta entrada se inicia una serie dedicada a estudiar problemas de tipo medio o superior, generalizándolos o buscando nuevos aspectos o variantes de los mismos.

Partimos hoy de un problema incluido en el libro “Concurso intercentros de Matemáticas”, de Joaquín Hernández y Juan Jesús Donaire.

“Encuentra razonadamente un número positivo “n” tal que la suma de “n” y la suma de sus cifras, resulte ser 379”

No es muy difícil encontrar la solución, 365, aunque el razonamiento debe ser cuidadoso.

¿Sería posible crear un algoritmo que resolviera el problema para cualquier otro número de tres cifras distinto del 379? Por ejemplo, para 832 la solución sería n=821.

El problema radica en que para algunos datos, como 717, existen dos soluciones, que en este caso serían 696 y 705, ya que 696+6+9+6 = 717 y 705+7+0+5=717. Para más complicación, existen datos que no producen ninguna solución, como 222.

Proponemos algunos estudios sobre este problema:

(1) Encontrar un algoritmo que resuelva la cuestión para números de tres cifras (quizás deba tener dos partes). La siguiente imagen recoge uno:

(2) ¿Existirá alguna caracterización para aquellos números que admitan, como 717 o 218, dos soluciones?

(3) ¿Se podrá encontrar, igualmente, alguna condición que cumplan los números que no producen soluciones, como 198 o 266?

Te puede ayudar el estudio de las igualdades del tipo 101X+11Y+2Z = N, y también la construcción de tablas con hoja de cálculo como la que sigue, pero no la construyas de forma manual, sino con las fórmulas adecuadas.

¿En qué terminan los números triangulares?

Ideas para una webquest

“Los números triangulares, expresados en base decimal, no pueden terminar en 2, 4, 7 ó 9”

La metodología de las webquest se adapta muy bien al uso de las hojas de cálculo y a una buena atención a la diversidad. La afirmación anterior constituye un punto de partida que admite la organización de una webquest con distintos itinerarios de aprendizaje según los niveles del alumnado.
Se puede comenzar con la frase de arriba, y organizar una webquest para entender bien su significado y los fundamentos de esa afirmación. Incluimos a continuación algunos pasos que se podrían seguir:

(a) Definición de número triangular

Se puede buscar en páginas fiables, tales como Wikipedia o la misma Hojamat del autor de esta entrada.

(a1) Para el alumnado más aventajado, se sugerirá alguna búsqueda de carácter histórico sobre estos números.
(a2) Los estudiantes con dificultades pueden copiar imágenes de números triangulares y pegarlas en un documento.

(b) Fórmula de los números triangulares

Lo ideal sería que se pudiera deducir en el aula esta fórmua mediante inducción y discusión en grupos con la ayuda del profesorado. Así lo ha conseguido el autor en varias ocasiones, Si no, en las mismas páginas se puede encontrar dicha fórmula.

Una vez conseguida la fórmula T(n)=n(n+1)/2, se construye una tabla de números triangulares con una hoja de cálculo.

(b1) Este paso admite una rama de profundización consistente en buscar en la red propiedades de los números triangulares y experimentarlas con la misma hoja de cálculo. También se puede intentar generarlos por recurrencia: T(n+1) = T(n)+n+1
(b2) Una rama de consolidación del aprendizaje consistiría en aplicar esa fórmula sin el uso del ordenador y reproducir en papel las operaciones que se han efectuado en la hoja de cálculo.

(c) Terminación de los números triangulares

Ya se está en condiciones de comprobar que ningún número triangular termina en 2, 4, 7 ó 9, y, lo más importante, intentar justificarlo mediante la fórmula o razonamiento. Mediante la fórmula T(n)=n(n+1)/2 se puede discutir en qué cifra puede terminar n, después n+1, su producto y, por último, la mitad del mismo. Una tabla de hoja de cálculo podría ser muy útil.

(c1) Una actividad de perfeccionamiento consistiría en usar la propiedad de que “si tomo ocho veces un número triangular y después sumo 1, resulta un cuadrado”. Se estudian las terminaciones de los cuadrados impares, se les quita una unidad y se discute su cociente entre 8.
(c2) Para el alumnado que necesite consolidar lo aprendido, se puede organizar el cálculo de números triangulares grandes para comprobar sus terminaciones.

(d) Presentación de resultados

Todo el trabajo realizado se expone al resto del aula mediante documentos, presentaciones o puestas en común. Si se dispone de una web de centro, se incluye en ella todo el material generado en la webquest.

Con estas ideas, adaptándolas al nivel y características de vuestros estudiantes, podéis diseñar una o dos sesiones de trabajo que pueden resultar interesantes.

Cuadrados en progresión aritmética (II)

Tal como prometimos, intentaremos un análisis algo más profundo sobre el tema de encontrar ternas de cuadrados perfectos que estén en progresión aritmética, tales como 1, 25 y 49, o 4, 100 y 196.

Esto nos da un procedimiento de generación de ternas de cuadrados: Elegimos cualquier entero p y buscamos un número par h cuyo cuadrado sea divisible entre p, y mediante la fórmula (1) calculamos n

Ejemplo: p=5, h=10, n=100/10 + 10 + 5 = 25; (n+h)=35: (n-k)=25-10-5*2=5.

Por tanto, los cuadrados en progresión aritmética buscados son: 25, 625 y 1225.

En la imagen inicial puedes observar una tabla que genera ternas de este tipo de forma sistemática

¿Se te ocurre otro análisis del problema?

Cuadrados en progresión aritmética (I)

No es difícil encontrar ternas de cuadrados perfectos que estén en progresión aritmética, tales como 1, 25 y 49, o 4, 100 y 196. ¿Cómo podríamos encontrar más ternas con una hoja de cálculo? Se podría organizar una tabla de doble entrada con los cuadrados perfectos, y después someter a su media aritmética a una condición ¿Cuál?

En la imagen puedes ver el resultado de una búsqueda similar, en la que se han marcado con un 1 los cuadrados perfectos pertenecientes a una terna como la propuesta. Si te animas a construir un buscador semejante podrás encontrar muchas más ternas. Ponte a prueba: ¿Con qué otros dos cuadrados forma progresión aritmética el número 10404, cuadrado de 102? Si lo encuentras, nos lo puedes comunicar en forma de comentario.

Para concretar las ternas pedidas hemos recurrido a una exploración sistemática. Es una forma válida de trabajar en Matemáticas (así se encuentran los números primos), pero que alguien puede pensar que es algo perezosa. Podríamos aportar un análisis algo más profundo, pero eso será en una próxima entrada.

Cuadrados de bolas

Forma un cuadrado con bolas, situándolas en filas y columnas, las que quieras. Después elimina 10 bolas e intenta reorganizar el resto hasta formar otro cuadrado más pequeño, y verás que resulta imposible, cualquiera que sea el lado del cuadrado que has formado.

Prueba entonces a quitar sólo 6 bolas, y observarás que tampoco puedes formar un cuadrado con las restantes.

Con otros números sí se puede, dependiendo del lado del cuadrado. Por ejemplo, se pueden quitar 7 bolas a un cuadrado de lado 4, y 8 bolas a otro de lado 3.

¿Qué tienen de particular el 6 y el 10 para que ocurra esto?

Descubre más números con un comportamiento similar, o encuentra una propiedad que cumplan todos.

También puedes investigar con una hoja de cálculo, en la que se pueden comparar todos los cuadrados que desees entre sí, sin que nunca aparezca el 6, el 10, y otros que no descubrimos.