Semiprimos con plantilla

(Ver entradas anteriores sobre números semiprimos)

Los semiprimos del tipo N=pq admiten otros condicionamientos, a los que llamaremos “plantillas”. Por ejemplo, semiprimos del tipo p(p+4). Los de tipo p(p+2), producto de dos primos gemelos, se estudian en otra parte de esta publicación.

N=p(p+4)

Los pares de primos p y p+4 son llamados “cousin” en inglés. En nuestro idioma, lo de “primos primos” no suena bien, pero así se designan en la Wikipedia.

Búsqueda directa

Con el Buscador hemos organizado las condiciones de forma que las soluciones caen en la segunda columna:

Al ser 4 la diferencia entre los dos factores, ambos serán del tipo 4k+1 o bien del 4k+3. En el primer caso, el semiprimo se podrá descomponer en dos sumas de cuadrados, como le ocurre al 12317=109*113, que admite estas dos:

12317=94^2+59^2=101^2+46^2

En los otros casos, como el 4757, no admitirán descomponerse en suma de dos cuadrados, por ser sus factores del tipo 4k+3.

Ayuda algebraica

Para encontrar el valor de p de forma directa nos basamos en dos desigualdades:

N=p(p+4)=p²+4p<p²+4p+4=(p+2)²

N=p(p+4)=p²+4p>p²+2p+1=(p+1)²

Según esto, p será la parte entera de la raíz cuadrada de N menos una unidad:

Por ejemplo, lo aplicamos a 16637, con el lenguaje de las hojas de cálculo:

p=ENTERO(RAIZ(16637)-1)=127, lo que es correcto, porque 16637=127*131

Esto nos permite reconocer semiprimos del tipo p(p+4) sin tener que recorrer los posibles divisores de N. Basta encontrar p, exigir que p y p+4 sean primos y que su producto sea igual a N.

Con este procedimiento hemos averiguado en un tiempo de cálculo razonable, que entre 1000000 y 1100000 solo existe un semiprimo de este tipo:

1022117=1009*1013

Más álgebra

Aún podemos concretar mejor las búsquedas de estos semiprimos. Con este desarrollo lo aclararemos muy bien:

N=pq=p(p+4)=p²+4p

Es fácil ver, según esto, que N+4 es un cuadrado, luego para buscar N podemos restringirnos a los números que equivalen a k²-4 para un valor adecuado de k. Así que, en cualquier búsqueda nos dedicaremos a aquellos números de este tipo, con el consiguiente ahorro de tiempo. Además, si escribimos la equivalencia como p²+4p-N=0, podemos hallar p de forma directa. Sería:

Al ser 4+N cuadrado, la solución es entera, como era de esperar.

Esto simplifica la búsqueda, pues comenzamos por exigir que 4+N sea cuadrado perfecto. Después calculamos p con la fórmula anterior, y bastará exigir que tanto p como p+4 sean primos.

Así lo hemos efectuado en esta búsqueda, en el intervalo (10000,50000):

Como era de esperar, las soluciones coinciden con las obtenidas con otros métodos.

Prescindimos del cuadrado

Si lo que nos interesa es conseguir una lista de soluciones a partir de la unidad, podemos prescindir del carácter de cuadrado de N+4, ya que podemos crear una variable k=1 e irle sumando los impares en cada paso, con lo que se irán construyendo los cuadrados, pues 1+3=4, 4+5=9, 9+7=16,…

Así lo hemos construido en PARI, y nos devuelve, por ejemplo, todas las soluciones menores que 10^6 de forma casi instantánea en su aplicación GP/PARI CALCULATOR, y con cierta rapidez en su web

 https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

El código es

k=1;d=3;tope=10^6;while(k<=tope,k=k+d;n=k-4;p=-2+sqrtint(k);if(isprime(p)&&isprime(p+4),print(k-4,", ",p,", ",p+4));d+=2)

El tope, fijado en 10^6, se puede cambiar según sean nuestros objetivos. Los primeros resultados son:

 

Caso general

Los razonamientos útimos sobre el tipo de semiprimo p(p+4) se generalizan fácilmente a N=p(p+2k). Nos limitamos a traducirlos:

N ha de ser del tipo m²-k², para un valor de m adecuado. Expresado de otra forma, N+k² ha de ser cuadrado, y al tener raíz cuadrada entera, nos permite despejar p:

Después de este cálculo, basta exigir que tanto p como p+2k sean primos.

Como ejemplo, buscamos todos los semiprimos del tipo p(p+12) entre 10000 y 50000:

 

Por último, estos serían los primeros de seis cifras del tipo p(p+20):

 

 Ha sido entretenido el estudio. Lo dejamos aquí.

Otras plantillas

El tema de plantillas de tipo polinómico es muy extenso, por lo que sólo estudiaremos algunas más como ejemplo.

N=p(2p+1)

Comenzamos con el Buscador para ir iniciando el estudio con algo intuitivo.

Los semiprimos aparecen en la columna de Detalles.

Es claro que p es un primo de Sophie Germain y 2p+1 un primo seguro.

Están publicados en

 https://oeis.org/A156592:

10, 21, 55, 253, 1081, 1711, 3403, 5671, 13861, 15931, 25651, 34453, 60031, 64261, 73153, 108811, 114481, 126253, 158203, 171991, 258121, 351541, 371953, 392941, 482653

Todos estos semiprimos son números triangulares de orden par. La razón es que se pueden escribir como 2n(2n+1)/2=T(2n).

Esta propiedad nos facilita el trabajo, porque un criterio previo sería que N fuera triangular, y tenemos un criterio adecuado, y es que 1+8N sea un cuadrado. En realidad, si no se conociera este criterio, aparecería de forma natural con alguna manipulación algebraica. En efecto, se cumplirá siempre que

2p²+p-N=0

Despejamos p y resulta:

 

Luego para identificar estos números hay que comenzar con que 1+8N sea cuadrado y el numerador múltiplo de 4.

Todo este desarrollo se justifica porque para manejar números grandes no sería eficiente comenzar por la unidad, como hemos procedido con el Buscador, sino que es más útil calcular el valor de p si se cumplen las condiciones.

Así que debemos proceder por verificar los criterios, el de que 1+8N sea cuadrado y el que el valor de p sea entero (en realidad, basta con lo segundo, pero así queda más claro). Después verificaríamos si tanto p como p+2k son primos:

En Vbasic exigiríamos

D=1+8N
P=(-1+RAIZ(D))/4
ESCUAD(D) AND ESENTERO(P)

Después vendría el que tanto P como 2P+1 sea primos.

Procediendo así, obtenemos los mismos resultados que con el Buscador:

Es cierto que este método es muy útil para búsquedas de números grandes. En la imagen puedes consultar el primer semiprimo de este tipo a partir de 10^6:

Plantilla general

Con el ejemplo de los primos de Sophie Germain nos basta para entender el procedimiento adecuado si el segundo primo es función lineal del primero.

Para una plantilla general del tipo N=p(ap+b) ya sabemos cómo proceder:

Planteamos ap²+bp-N=0

Despejamos p:

 

Exigimos que p sea entero, lo que implica que el discriminante sea cuadrado. Si esto se cumple, verificamos que tanto p como ap+b sean primos.

Por ejemplo, buscamos semiprimos de la forma

N=p(3p+2)

Abrimos camino con el Buscador:

 

La ecuación de segundo grado en p sería, en este caso,

3p²+2p-N=0

El discriminante 4+12N ha de ser cuadrado

La solución de la ecuación p ha de ser entera y número primo, así como 3p+2

Con esas condiciones podemos encontrar los semiprimos pedidos:

Hemos realizado la búsqueda entre 50000 y 100000:

 

 

Semiprimos vecinos de cuadrados

Los semiprimos vecinos de cuadrados, es decir, del tipo n²+1 y n²-1, presentan propiedades interesantes. A los números de este tipo, sean o no semiprimos, les hemos dedicado algún estudio. Por ejemplo, en un regreso reciente:

https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/10/regresos-5-un-cuadrado-y-una-unidad-1.html

Usaremos algún resultado procedente del mismo en el caso particular de los semiprimos.

Semiprimos del tipo n²+1

En primer lugar, localizaremos los primeros semiprimos del tipo n²+1. Usaremos el Buscador de Naturales, que da una imagen bastante clara:

En la imagen se percibe que todos los semiprimos son del tipo N=pq, libres de cuadrados, y es lógico, porque no existen cuadrados que sean números consecutivos.

Era de esperar que ya estuvieran publicados

(ver https://oeis.org/A144255)

En esa página de OEIS se destaca que el menor factor primo de N ha de ser estrictamente menor que n²+1. Además, no todos los números primos pueden ser factores de n²+1.

En la entrada relacionada más arriba se da un listado de ellos. Copiamos unos párrafos:

Según la definición de resto cuadrático, si un compuesto del tipo C=n²+1 tiene un divisor primo p, -1 deberá ser resto cuadrático módulo p, tal como vimos en el caso de los primos. Esto es muy importante, porque ningún número compuesto n²+1 podrá ser múltiplo de p si este no admite resto -1. Sería el caso de 23: ningún elemento de la sucesión http://oeis.org/A002496 será múltiplo de 23.

En la sucesión http://oeis.org/A070303 figuran aquellos primos que no pueden ser divisores de un compuesto del tipo n2+1:

3, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 103, 107, 109, 113, 127,…

Así que, por ejemplo, ningún número múltiplo de 7 puede convertirse en cuadrado al restarle una unidad.

Si recorremos los semiprimos de este tipo comprobaremos que los primos de esta lista no figuran entre sus factores. Son, de hecho, los primos del tipo 4k+3. Sólo los primos del tipo 4k+1 y el 2 pueden ser factores del semiprimo n²+1.

Estos primos del tipo 4k+1 (y el 2) se descomponen en suma de dos cuadrados de forma única, lo que se transmite al semiprimo producto, que se podrá expresar como (a²+b²)(c²+d²). Como curiosidad, hemos construido esos productos para los primeros casos:

Como el semiprimo también es una suma de cuadrados, hemos creado una operación entre tres sumas del mismo tipo.

 Semiprimos del tipo n²-1

En este caso, la única descomposición de un semiprimo deberá ser (n-1)(n+1), es decir, primos gemelos. Si buscamos las primeras soluciones obtendremos:

Tal como era de esperar, todos los factores son primos gemelos. Como este par sigue el tipo 6k-1 y 6k+1 a partir del 5 y 7, el semiprimo presentará el tipo 36k²-1 a partir del 35. También podemos afirmar que el cuadrado “vecino” del semiprimo es múltiplo de 36.

Igualmente, todos los semiprimos serán congruente con 8 (o con -1) módulo 9, y la suma de sus cifras tendrá la misma propiedad. Por ejemplo, en 656099 se cumple que 6+5+6+0+9+9=35, que es congruente con 8 módulo 9.

En la página https://oeis.org/A037074 podemos encontrar varias curiosidades sobre estos números, pero ninguna es de gran trascendencia.

 

 

Números que no son

En esta entrada recorreremos algunos números que no cumplen alguna propiedad especial. No nos detendremos en los obvios, como que los impares no son múltiplos de 2 o que los compuestos son los que no son primos. Como el tema es muy amplio, elegiremos algunos casos interesantes sin extendernos demasiado.

Un ejemplo es la sucesión que publicamos hace tiempo, sobre números impares que no pueden ser suma de un primo y un par de primos gemelos:

https://oeis.org/A329590

Odd numbers k that cannot be expressed as k = p+q+r, with p prime and (q, r) a pair of twin primes.

1, 3, 5, 7, 9, 33, 57, 93, 99, 129, 141, 153, 177, 183, 195, 213, 225, 243, 255, 261, 267, 273, 297, 309, 327, 333, 351, 369, 393, 411, 423, 435, 453, 477, 489, 501, 513, 519, 525, 537, 561, 573, 591, 597, 603, 633, 645, 657, 663, 675, 687, 693, 705, 711, 723

Puedes estudiar ejemplos y programación para esta sucesión contenidos en esa dirección.

Este es el tipo de “negaciones” de tipo medio que presentamos aquí como ejemplo.

Otro ejemplo de publicación nuestra reciente es el de los números que no pueden ser sumas de divisores de otros (función SIGMA). Copiamos un código PARI que los encuentra:

mfun(n)={my(k=1,a=0,vale=0,f);while(vale==0&&k<n,f=sigma(k);if(f==n,vale=1;a=k);k+=1);a}
for(i=2,40,if(mfun(i)==0,print1(i,", ")))

Resultado: 2, 5, 9, 10, 11, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 33, 34, 35, 37,…

Coincide con lo publicado en https://oeis.org/A007369

Cuestión dependiente de otro número

Lo que hemos efectuado sobre la función SIGMA es un caso de una negativa para un número N en una función que depende de otro K.

Es fácil, mediante un procedimiento similar al que usamos en otras cuestiones, encontrar números que no son el resultado de una función, en este caso SIGMA. Podemos algo así:

Function noes(n) as boolean
Dim k, f, cota
Dim vale As Boolean

'En esta línea concretamos la cota
cota = n
k = 1
vale = False ‘Suponemos que no se cumple lo pedido
While Not vale And k <= cota ‘Buscamos soluciones
'En esta línea concretamos la función
f = sigma(k)
If f = n Then vale = True ‘Si vale=True se detiene la búsqueda
k = k + 1
Wend
noes = Not vale Buscamos que el número no valga
End Function

Con esta función hemos repetido la búsqueda, obteniendo el mismo resultado:

Esta función nos servirá para otras cuestiones, con solo cambiar la línea f=sigma(k) por otra función, y cambiar la cota si es necesario.

Otro ejemplo clásico es el siguiente

Autonúmeros o números colombianos

Son aquellos que no pueden ser iguales a otro número sumado con sus cifras.

Puedes consultar nuestras publicaciones  https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/03/autonumeros-1.html y la siguiente.

En este caso bastará escribir la línea f=k+sumacifras(k). La función sumacifras está explicada en la dirección anterior. Con esto confirmamos cuáles son los primeros autonúmeros:

Están publicados en https://oeis.org/A003052.

Con la función PHI de Euler

Otro caso interesante es el de aquellos números que no pueden ser función PHI de otros, es decir, que PHI(X)=N no tiene solución. Recordamos que PHI cuenta los números menores que X y que son primos con él, incluido el 1. Es evidente que X no será menor que N, lo que puede complicarnos la cota de búsqueda. En estos casos elegiremos cotas altas y estudiaremos los casos particulares. En este ejemplo usaremos cota 10^3 para los primeros números, y nuestra función euler(k), que devuelve el valor de PHI. Procederemos a escribirla en la línea correspondiente del código de la función.

Obtenemos:

Wikipedia en español les llama nototientes, traducción literal del inglés. Están publicados en https://oeis.org/A007617, y ahí puedes descubrir algunas de sus propiedades.

En PARI ya está implementada la función istotient, para números que pueden ser función de Euler de otros. Esto facilita la búsqueda. Por ejemplo, así:

 

En el listado figuran todos los números impares mayores que 1. La razón es que PHI(p^m) es par para p primo, pues aplicando la fórmula

PHI(p^m)=p^m(1-1/p)=p^m-1(p-1), y como el paréntesis es par, lo será todo el producto. Al ser multiplicativa, la función PHI seguirá siendo par para cualquier número.

Se pueden encontrar fácilmente los números pares que no son PHI(K) para ningún valor de K. Usaremos PARI:

 

Números no poligonales

Aquí nos referimos a los poligonales no triviales, es decir, que en cada lado figuren dos unidades al menos, porque con una unidad todos los números pueden ser poligonales, como vemos en la imagen, que representa al número 9:

Para estudiar si un número es poligonal no trivial no vale su fórmula general:

Se puede conocer si un número es poligonal o no, porque existe un criterio algebraico. Puedes verlo en mi publicación “Números poligonales” descargable desde http://www.hojamat.es/publicaciones/poligonales.pdf)

 

Con este criterio es fácil construir la función ESPOLIGONAL

Function espoligonal(n, k)
Dim d, e, m

m = 0
d = (k - 4) ^ 2 + 8 * n * (k - 2)
If escuad(d) Then ‘Criterio
m = (k - 4 + Sqr(d)) / 2 / (k - 2)
If esentero(m) Then e = m Else e = 0 ‘Ha de ser entero
End If
espoligonal = e
End Function

Devuelve un cero si no es poligonal, y su número de lados si lo es. Esta función tiene un parámetro k (número de lados), pero con un bucle podemos prescindir de él:

Function esunpoligonal(n) 'detecta poligonales regulares, desechando el caso n, trivial
Dim i, es

If n < 3 Then esunpoligonal = 0: Exit Function
es = 0
i = 3
While i < n And es = 0
If espoligonal(n, i) Then es = i
i = i + 1
Wend
esunpoligonal = es
End Function

Si aplicamos esta función a cualquier número y nos devuelve cero, es porque ese número no puede ser poligonal, salvo el caso trivial. De esta forma podemos encontrar los primeros números no poligonales:

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 14, 17, 19, 20, 23, 26, 29, 31, 32, 37, 38, 41, 43, 44, 47, 50, 53, 56, 59, 61, 62, 67, 68, 71, 73, 74, 77, 79, 80, 83, 86, 89, 97, 98, 101, 103, 104, 107, 109, 110, 113, 116, 119, 122, 127, 128, 131, 134, 137, 139, 140, 143, 146, 149, 151, 152, 157,

Están publicados en https://oeis.org/A090467

Con estos ejemplos podemos entender que basta someter al número a una prueba concreta mediante una función y detectar, si la variable de respuesta es de tipo booleano, si el resultado es FALSO.

Existen muchos más ejemplos de números que “NO SON”. Incluimos otro ejemplo:

No son sumas de cuadrado y primo

Función:

Public Function primomascuad(n) As Boolean 'descompone un número en primo más cuadrado
Dim r, i, p
Dim vale As Boolean

vale = False
r = Sqr(n)
i = 1
While i <= r And Not vale
p = n - i ^ 2
If esprimo(p) Then vale = True
i = i + 1
Wend
primomascuad = vale
End Function

Los primeros números que no cumplen la condición son:

1, 2, 5, 10, 13, 25, 31, 34, 37, 58, 61, 64, 85, 91, 121, 127, 130, 169, 196, 214, 226, 289, 324, 370, 379, 400,…

https://oeis.org/A064233

No seguimos. La lista de ejemplos similares llenaría un libro.

Potencias equidistantes de cuadrados

En uno de mis cálculos habituales me encontré hace unas semanas con esta igualdad doble:

16124=307^2-5^7
16124=5^7-249^2

Lo interesante de ella es que significa que 5^7 equidista de dos cuadrados, 249^2 y 307^2. Por eso, la función que usaremos más adelante la hemos llamado ENTREDOS, porque investigaremos qué potencias son promedio de dos cuadrados, o, lo que es equivalente, equidistantes de ellos.

Búsqueda ordenada

Para una potencia dada, deberemos recorrer todos los cuadrados inferiores a ella, sumar a la potencia la diferencia entre los dos números, y averiguar si resulta un cuadrado. Por ejemplo, 3125=5^5. Le extraemos la raíz cuadrada entera, y resulta 55. A partir de ese número k, vamos descendiendo valores, elevándolos al cuadrado. Para cada cuadrado k², encontramos la diferencia D=3125-k². Esa diferencia la sumamos a 3125, y deberá resultar un cuadrado entero.

 El esquema podría ser el siguiente: 

Vamos descendiendo valores hasta que la suma sea cuadrada. En la imagen observamos que unas soluciones son 45 y 65. En efecto:

3125-45²=1100 y 65²-3125=1100, luego 5^5 equidista de 45² y 65².

Este proceso es fácilmente automatizable. Lo hemos efectuado en esta función:

Function entredos$(n)
Dim i, r, a, b
Dim s$

s = "" ‘La solución se expresa como texto
If espotencia(n) > 1 Then ‘Es potencia no trivial
r = Int(Sqr(n)) ‘Primer valor a ensayar
i = r - 1
While i > 0 And s = "" ‘Descendemos valores de cuadrados
b = n - i ^ 2 ‘Diferencia entre potencia y cuadrado
a = n + b ‘A la potencia le sumamos la diferencia
If escuad(a) Then b = Sqr(a): s = s + "  " + Str$(i) + " , " + Str$(b)
‘Hemos encontrado una solución
i = i - 1
Wend
End If
entredos = s ‘Si no hay solución, la respuesta está vacía
End Function

La función ESPOTENCIA la hemos publicado en https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/numeros-consecutivos-con-una-suma-del.html

Estas son las primeras soluciones con potencias no triviales:

Es fácil comprobar cualquiera de ellos, por ejemplo, 125=5^3, potencia no trivial, y se cumple que 125=(9²+13²)/2.

Para poder manejar con comodidad potencias y exponentes grandes, hemos preparado la versión en PARI.

entredos(n)={my(r=truncate(sqrt(n)),i=r-1,a,b,v=0,w=0);if(ispower(n),while(i>0&&v==0&&w==0,b=n-i^2;a=n+b;if(issquare(a),v=i;w=truncate(sqrt(a)));i=i-1));concat(v,w)}
for(i=1,1400,if(entredos(i)<>[0,0],print(i,", ",ispower(i),", ",entredos(i))))

En ella se busca hasta 1400 para que coincida el resultado con la tabla anterior:

Estudio teórico

Las potencias de la tabla no aparecen por casualidad, sino que han de tener una estructura muy determinada. Es especialmente interesante su estudio porque en un principio hemos ignorado las soluciones múltiples para el par de cuadrados, y veremos que se pueden tener previstas si se conoce la descomposición factorial de esas potencias.

Para entender mejor qué suponen estas búsquedas, basta enfocar al doble de esas potencias, porque así el problema es muy tratable. En efecto, si p^k es el promedio entre dos cuadrados, a² y b², significa que 2p^k ha de poderse descomponer en suma de dos cuadrados, y ese problema está resuelto desde Fermat y Gauss. Nos basaremos para nuestro estudio en la fórmula propuesta por Gauss para contar las descomposiciones posibles de un número en dos cuadrados.

Conviene leer nuestra entrada de blog https://hojaynumeros.blogspot.com/2010/10/en-cuantas-sumas-de-cuadrados-2-de-5.html

En ella se comenta la fórmula de Gauss para averiguar en cuántas sumas de cuadrados se puede descomponer un número. Copiamos un párrafo de esa entrada:

“Estas propiedades se resumen en un criterio que no vamos a desarrollar aquí, y es que sólo se pueden descomponer en cuadrados los números en los que los factores primos del tipo 4n+3 figuren en su descomposición con exponente par. Gauss fue más allá en esa sección 182, pues dio una fórmula para contar el número de formas diferentes en las que se descompone un número en suma de dos cuadrados con base no negativa:

donde ES significa “mínimo entero igual o superior” y los factores que le siguen se corresponden con los exponentes de los factores del tipo 4n+1 aumentados en una unidad. La fórmula, como advierte Gauss, sólo es válida si los factores del tipo 4n+3 forman un cuadrado perfecto.”

En este caso, el factor 2 de 2p^k no influye, por lo que el criterio se puede aplicar a la potencia que equidista de dos cuadrados. En efecto, si descomponemos factorialmente esas potencias, obtenemos:

Todas las soluciones poseen factores primos que son, o bien del tipo 4k+1, o el 2, o el tipo 4k+3 elevado a una potencia par, como ocurre en el 900, que hemos destacado en rojo.

Esto nos da un criterio fiable para saber si una potencia no trivial puede equidistar de dos cuadrados.

Vemos un ejemplo:

1368900=170^2, y sus factores primos son 13^2*5^2*3^4*2^2. De ellos, el 3, que es del tipo 4k+3, está elevado a exponente par, los otros, 13 y 5 son del tipo 4k+1, y, finalmente, el 2 no influye. Por eso se sabía con antelación que sería equidistante de dos cuadrados, en este caso son 715716=846^2 y 2022084=1422^2, con la identidad 1368900=(846^2+1422^2)/2.

Soluciones múltiples

Hay que considerar la posibilidad de que una potencia equidiste de más de un par de cuadrados. De hecho, veremos que se dan soluciones múltiples con total seguridad. Para estudiarlas, hemos modificado algo la función ENTREDOS para que nos devuelva, en primer lugar, el número de soluciones. De esa forma, la búsqueda de potencias equidistantes se puede efectuar fijando el número de pares de cuadrados esperados. Hemos organizado una búsqueda para tres pares de soluciones como ejemplo:

Es fácil observar que se cumple la fórmula de Gauss, de emplear la mitad por exceso de los exponentes de los primos tipo 4k+1. En los cuatro ejemplos figura (ha sido algo casual) el factor 5 elevado a 5 o a 6, y no existen factores tipo 4k+3. Tomando la parte entera por exceso de tanto el exponente 5 como del 6 resulta 3, que es el número de pares de cuadrados que hemos conseguido.

Con este criterio seremos capaces de saber el número de pares de cuadrados resultantes sin tener que comprobarlo. Vemos unos ejemplos:

3084588=2^2*3^3*13^4: No debe presentar soluciones, por contener el 3 elevado a potencia impar. En efecto, la función ENTREDOS devuelve un cero:

78125=5^7, luego debe presentar cuatro soluciones, ya que 4 es la mitad por exceso de 7:

Con hoja de cálculo se pueden producir errores de redondeo para números mayores, por lo que es más fiable el razonamiento que la comprobación.

Potencias sucesivas

Finalizamos con una curiosidad, y es que, dada una potencia equidistante de dos cuadrados, todas sus potencias presentarán soluciones, que se podrán ir incrementando al aumentar los exponentes de los factores tipo 4k+1. En la imagen podemos estudiar un ejemplo representativo, que recorre las potencias de 13:

El número de soluciones se va repitiendo, por depender de la mitad por exceso, que coincide en dos exponentes consecutivos.

Primos cubanos

Se llaman así (Cunningham (1923)) aquellos números primos que son iguales a una diferencia de cubos consecutivos. Lo de “cubano” viene de cubo, no de Cuba. No es un nombre afortunado, pero así quedó. Al ser los cubos consecutivos, se da por supuesto que X es entero.

No es que sean muy interesantes, pero nos permitirán analizar su búsqueda y estudiar variantes de la definición.

Búsqueda directa

Si creamos una columna de números consecutivos, los elevamos al cubo y restamos, si poseemos una función ESPRIMO o ISPRIME, será fácil identificar los primos cubanos. Esta función la puedes consultar en varias entradas de nuestro blog, como, por ejemplo en https://hojaynumeros.blogspot.com/2016/05/palprimos-primos-palindromicos.html

El esquema quedaría así:

En la última columna hemos escrito fórmulas del tipo =SI(ESPRIMO(I4);"Cubano";"")

Si es primo aparecerá la frase “Cubano” y si no, quedará en blanco.

Observamos que los primeros primos cubanos son 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657.

Desarrollo algebraico

Al desarrollar la definición, nos damos cuenta de que el tema es de tipo elemental:

N=(x+1)³-x³=3x²+3x+1

Esto nos lleva a una ecuación de segundo grado:

3x²+3x-(N-1)=0

Para que tenga solución entera, el discriminante, que es fácil ver que equivale a 12N-3, ha de ser cuadrado. De esta forma tendremos el valor de x:

Con este breve estudio tenemos ya forma de encontrar y analizar los primos cubanos. Comenzamos con nuestro Buscador de Naturales (http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador)

Es interesante explicar las condiciones: En primer lugar exigimos que el número sea primo, después, que sea igual a una expresión cuadrática de coeficientes 3, 3 y 1 (3X²+3X+1), y, por último, encontramos el valor de X y lo situamos en la segunda columna con la orden EVALUAR.

En PARI es muy fácil también encontrar estos números. Nos basaremos en la condición de que 12N-3 sea cuadrada, y quedará:

is(n)=isprime(n)&&issquare(12*n-3)
For(i=1,1000,if(is(i) ,print1(i,”, “)))

Lo hemos comprobado en la web oficial de PARI, https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html

Están publicados en https://oeis.org/A002407

A002407    Cuban primes: primes which are the difference of two consecutive cubes.

7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, …

Carácter poligonal

La expresión N=3X²+3X+1 se puede escribir como 6(X(X+1)/2)+1=6T_x+1, es decir, como seis veces un número triangular ´más una unidad, pero esa es la estructura de los números hexagonales centrados. Basta estudiar esta imagen de la Wikipedia para entenderlo

(https://en.wikipedia.org/wiki/Centered_hexagonal_number#:~:text=The%20sequence%20of%20hexagonal%20numbers,%2C%20721%2C%20817%2C%20919. )

Si consultas el listado de estos números hexagonales centrados, observarás que nuestros primos cubanos están incluidos.

A003215              Hex (or centered hexagonal) numbers: 3*n*(n+1)+1 (crystal ball sequence for hexagonal lattice).

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107,…

La expresión N=3X(X+1)+1 también sugiere que equivalen a la unidad más tres veces un número oblongo, del tipo N(N+1). Así, 61 se puede representar como tres rectángulos apilados de dimensiones 4 por 5, más una unidad.

Por otra parte, el primer sumando,

Búsqueda directa del valor de X+1

Podemos dar protagonismo al valor de X+1, base del cubo mayor. En este caso bastaría exigir que fuera primo (X+1)³-X³. Es simple buscar esos valores. Cambiarían de columna en Excel respecto a la búsqueda anterior:

 Hemos llamado N a X+1. Lo hemos decidido así porque los valores de X+1 están publicados en https://oeis.org/A002504:

A002504              Numbers x such that 1 + 3*x*(x-1) is a ("cuban") prime (cf. A002407).

2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 35, 38, 39, 42, 43, 46, 49, 50, 53, 56, 59, 63, 64,…

Se podría pensar en generalizar esta cuestión planteando que la diferencia entre las bases sea un número k mayor que 1, pero en ese caso la diferencia entre cubos sería múltiplo de k y no podría ser primo. Así que la única diferencia entre cubos que puede ser prima es la que existe entre consecutivos.