Diferencia de dos cubos igual a una suma

 Caso general

En los cálculos que publico diariamente uso dos funciones para averiguar si un número es suma de cubos o bien diferencia. No se me había ocurrido simultanear ambas propiedades y lo hago ahora.

¿Qué números enteros positivos son suma de dos cubos y simultáneamente diferencia de otros dos, siendo en ambos casos cubos enteros positivos?

Un ejemplo es el 152, que por una parte equivale a 3^3+5^3=27+125, y por otra a 6^3-4^3=216-64.

Con las publicaciones precedentes tenemos acceso a dos funciones que encuentran estas descomposiciones: SUMCUBOS y DIFCUBOS. Las copio a continuación:

Function sumcubos(n)
Dim k, a, m, b
Dim s$

s = "" ‘Contenedor de resultados
m = 0 ‘Contador de soluciones
a = n ^ (1 / 3) ‘Máximo cubo posible
For k = 1 To a
b = n - k ^ 3 ‘Segundo posible cubo
If escubo(b) And k <= b ^ (1 / 3) Then m = m + 1: s = s + " a=" + Str$(k) + " b=" + Str$(Int(b ^ (1 / 3) + 0.0001)) ‘Hay nueva solución
Next k ‘Si no hay solución devuelve “NO”
End Function

Usa nuestra función ESCUBO:

Function escubo(n)

Dim a

a = Int(n ^ (1 / 3) + 10 ^ (-6))

If a * a * a = n Then escubo = True Else escubo = False

End Function

 

La segunda función es algo más complicada, porque la diferencia presenta otro condicionante, y es que la diferencia de cubos ha de ser divisor de N.

 Function difcubos$(n)
Dim k, a, t, m, p
Dim s$

s = "" ‘Contenedor de soluciones
m = 0 ‘Contador de soluciones
For k = 1 To n / 2 ‘La diferencia de bases es divisor de N
If n / k = n \ k Then ‘Criterio de divisibilidad
t = Sqr(n / k / 3) ‘Máximo cubo con esa diferencia
For a = 1 To t
If (a + k) ^ 3 - a ^ 3 = n Then m = m + 1: s = s + " # a=" + Str$(a) + " b=" + Str$(a + k) ‘Existe solución
Next a
End If
Next k
If s = "" Then difcubos = "NO" Else difcubos = ajusta(m) + " " + s
End Function

El que esta segunda función use también el “NO” para cuando no existe solución nos permite simultanear las dos condiciones:

 SUMCUBOS(N)<>”NO” AND DIFCUBOS(N)<>”NO”

 Usamos esta condición en un buscador y nos devolverá la lista de números enteros positivos que son simultáneamente suma y diferencia de dos cubos (también enteros positivos)

 

Están publicados en https://oeis.org/A225908, y es subsecuencia de https://oeis.org/A051347 En esas páginas se llama la atención sobre que estas propiedades permiten descomponer algunos cubos en suma de otros tres. Ya he comentado esta propiedad anteriormente en otras entradas. Por ejemplo, 18^3=16^3+12^3+2^3. Esta igualdad se extrae de los resultados del número 4104.

Si se usa la función TRESCUBOS (no se explica aquí porque usa otras funciones que alargarían esta entrada) con uno de los cubos mayores, se reproducirán algunos resultados. Por ejemplo, con 18^3, si lo descomponemos en suma de tres cubos, daría lugar a

18^3=15^3+6^3+9^3=16^3+6^3+2^3

Si pasamos restando algún sumando, obtendríamos algunos casos de los estudiados. Por ejemplo:

18^3-15^3=9^3+6^3

A continuación estudiaremos algunos casos y propiedades particulares.

Casos particulares de los cubos sumandos

Cubos consecutivos

Los dos cubos que se suman pueden ser consecutivos. Añadiendo algún parámetro a nuestra función se pueden encontrar esos casos particulares. No abundan. Estos son los inferiores a 10^5:

 

En ellos se ha de cumplir que N=(a+1)³+a³=2a³+3a²+3a+1, luego a será un divisor de N-1.

Por ejemplo. 68705-1 se descompone como 2⁵*19*113, y, efectivamente, 32=2⁵ es un divisor suyo, y es la base del cubo menor de la suma.

Cubos de N y N+2

Con el mismo procedimiento obtenemos los primeros casos en los que las bases de los cubos que se suman se diferencian en dos unidades.

Es sencillo demostrar que aquí la base del cubo menor ha de ser divisor de N-8, como ocurre con 16120, en el que (16120-8)/19=848

Cubos de base prima

Para finalizar, se adjuntan los tres primeros resultados para el caso en el que las bases de los cubos que se suman sean números primos. Se acumulan las exigencias y es normal que resulten pocos resultados.

 

 Versión en PARI

Para quienes deseen practicar con este lenguaje, se inserta a continuación un código que devuelve las soluciones entre1 y 5000. Es interesante estudiar el uso de vectores para devolver las soluciones:

 

sumadoscubos(n)=my(i=1,m,v=[0,0]);while(i<=n^(1/3),m=n-i^3;if(ispower(m,3)&&m<=i^3,v=[i,m^(1/3)]);i+=1);v

difcubos(n)=my(k,t,a,v=[0,0]);for(k=1,n,if(n%k==0,t=sqrt(n/k/3);for(a=1,t,if((a+k)^3-a^3==n,v=[a+k,a]))));v

for(m=1,5000,u=difcubos(m);t=sumadoscubos(m);if(u<>[0,0]&&t<>[0,0],print(m," Suma ",t," Diferencia ",u)))

 

Resultado:

 

 

 

 

Palíndromos triples

 El día 26 de marzo de 2021 publiqué esta igualdad de tipo palindrómico:

26321=16*5*61+16561+16*5*61

La triple repetición simétrica de las cifras 16561 es muy atractiva, e invita a descubrir casos similares. En principio se pueden considerar dos variantes de la cuestión. La primera seguiría el modelo del ejemplo, con un número impar de cifras y un capicúa central. Como ocurre en 125=1*2*1+121+1*2*1. La segunda consistiría en un esquema que prescinda de ese elemento central en cada sumando, como es el caso de 261=9*9+99+9*9.

La construcción de una lista con los primeros números que se siguen un esquema de este tipo no es difícil. La lista de los primeros del tipo AB*C*BA+ABCBA+AB*C*BA es la siguiente:

 

Con paciencia y una calculadora se puede ir construyendo. Lo interesante es descubrir soluciones para otro rango distinto, en el que el orden natural no ayude mucho. La siguiente tabla, a partir del número 50000, demuestra que los resultados no son ya tan previsibles:

Observamos que el algoritmo no mantiene el cero a la izquierda en 52405, porque Excel lo suprime por defecto. Es preferible corregirlo manualmente a tenerlo previsto en la programación. Es el precio por usar hojas de cálculo.

 

Función “PALINTRI”

Para construir un algoritmo adaptado a nuestra búsqueda, parece conveniente fijar como datos de entrada un número N, que es el que se quiere representar así, y dos parámetros, ka y kb, que representarían el número de cifras de cada elemento del esquema. Si uno de ellos es nulo, produciría variantes, como las dos que se han presentado en el párrafo anterior. Si kb=0 se entenderá que no hay elemento central.

La fijación del número de cifras parece aconsejable, porque aparecen más ejemplos de los previstos. Por ejemplo, con cinco cifras, dos cifras para los elementos laterales y una para el central, aparecen 416 ejemplos, desde 13229=12*2*21+12221+12*2*21 hasta 99974=64*6*46+64646+64*6*46. Incluso existen dos números que presentan dos soluciones:

46006=41*4*14+41414+41*4*14=26*6*62+26662+26*6*62
97925=58*4*85+58485+58*4*85=39*8*93+39893+39*8*93        

La organización de la búsqueda se basará en la variable a1, que representará a la parte lateral, con su simétrico a2, y su número de cifras ka. Así, en el ejemplo anterior a1=58, a2=85 y ka=2. Exigiremos que a1 sea distinto de a2 si tienen al menos dos cifras, para evitar trivialidades.

Procederemos de la misma forma con la parte central, llamando b a su valor, con la condición de que sea capicúa, y kb a su número de cifras. En el ejemplo b=4 y kb=1.

Con estas variables, y en sistema de numeración decimal, el valor de N quedaría:

N=2*a1*a2*b+a2+b*10^ka+a1*10^(ka+kb)

En el ejemplo:

97925=2*58*85*4+85+4*100+58*1000

En esta expresión nos basaremos para construir el algoritmo.

Para evitar búsquedas inútiles deberemos contar con que 2ka+kb  es una buena cota inferior para las cifras de N.

Si b=1 y kb=0 porque no se usa término central, la expresión se simplifica mucho:

N=(2*a1+1)*a2+a1*10^ka

Como ejemplo, 3804=23*32+2332+23*32 y se cumple:

3804=(2*23+1)*32+23*100=1504+2300=3804

Si integramos las dos expresiones en una misma función, su código será algo más largo de lo habitual, pero merece la pena.

 Versión en Excel

Las ideas anteriores están plasmadas en la siguiente función. Se han integrado las dos versiones del problema. La división se basa en si kb es mayor que cero o no:

Function palintri$(n, ka, kb)’Parámetros N y número de cifras
Dim kn, a1, a2, b, m, c, b1, aa1
Dim s$, t$ 

s = ""’Contenedor de resultados
c = 0 ’Contador de resultados

If kb > 0 Then ‘Caso con elemento central
If kb = 1 Then b1 = 1 Else b1 = 10 ^ (kb - 1) + 1 ‘Origen de búsquedas
For b = b1 To 10 ^ kb – 1 ‘Cifras centrales
If escapicua(b) Or kb = 1 Then ‘La variable b ha de ser capicúa
If ka = 1 Then aa1 = 1 Else aa1 = 10 ^ (kb - 1) + 1’ Origen de a
For a1 = aa1 To 10 ^ ka – 1 ‘Búsqueda de a
a2 = cifrainver(a1) ‘Simétrico de a
If a1 <> a2 Or ka = 1 Then ‘Condición algebraica
m = 2 * a1 * a2 * b + a2 + b * 10 ^ ka + a1 * 10 ^ (ka + kb)
If m = n Then ‘Hay solución
c = c + 1 ‘Se comunica solución
t = ajusta(a1) + "*" + ajusta(b) + "*" + ajusta(a2)
s = s + " ## " + t + "+" + ajusta(a1) + ajusta(b) + ajusta(a2) + "+" + t
End If
End If
Next a1
End If
Next b

Else ‘ Segunda variante, sin elemento central

If ka = 1 Then aa1 = 1 Else aa1 = 10 ^ (ka - 1) + 1
For a1 = aa1 To 10 ^ ka – 1 ‘Proceso similar
a2 = cifrainver(a1)
If a1 <> a2 Or ka = 1 Then
m = (2 * a1 + 1) * a2 + a1* 10 ^ ka
If m = n Then
c = c + 1
t = ajusta(a1) + "*" + ajusta(a2)
s = s + " ## " + t + "+" + ajusta(a1) + ajusta(a2) + "+" + t
End If
End If
Next a1
End If
If s <> "" Then s = ajusta(c) + " : " + s Else s = "NO"
palintri = s

End Function

En un buscador jugaremos con los parámetros para conseguir los resultados adecuados. Por ejemplo, estos son los primeros números de 4 cifras del tipo A*A’+AA’+A*A’

Persiste el problema del 0 inicial que suprime Excel, pero se entiende bien.

De igual forma, se detectan los números del tipo A*BB*A’+ABBA’+A*BB*A’:

 

VERSION PARI (para la primera variante)

Si deseamos más rango de soluciones puede ser útil la versión en PARI. La hemos diseñado para que devuelva sólo a1 y b, porque el resto se completa fácilmente. Su código es

ori(k)=my(m=1);if(k>1,m=10^(k-1)+1);m

simetrico(n)=eval(concat(Vecrev(Str(n))))

palind(n)=n==simetrico(n)

palintri1(n,ka,kb)=my(a1,a2,v=[ka,kb],b,m,es=0);for(b=ori(kb),10^kb-1,if(palind(b)||kb==1,for(a1=ori(ka),10^ka-1,a2=simetrico(a1);if(a1<>a2||ka==1,m=2*a1*a2*b+a2+b*10^ka+a1*10^(ka+kb);if(m==n,v[1]=a1;v[2]=b;es=1;print(n," es ",v[1],", ",v[2]))))))

for(i=10000,20000,if(palintri1(i,2,1),print(i)))

 

Basta cambiar la última línea según nuestras preferencias. Tal como está, repetiría la búsqueda efectuada con Excel. Este es un fragmento:

 

 

Por ejemplo, 16537=14*2*41+14241+14*2*41

 

VERSION PARI (para la segunda variante)

ori(k)=my(m=1);if(k>1,m=10^(k-1)+1);m

simetrico(n)=eval(concat(Vecrev(Str(n))))

palind(n)=n==simetrico(n)

palintri2(n,ka)=my(a1,a2,v=[ka,ka],m,es=0);for(a1=ori(ka),10^ka-1,a2=simetrico(a1);if(a1<>a2||ka==1,m=(2*a1+1)*a2+a1*10^ka;if(m==n,v[1]=a1;v[2]=a2;es=1;print(n," es ",v[1],", ",v[2]))));es

for(i=1000,9999,if(palintri2(i,2),print1("")))

 

 

Coinciden los resultados con los de Excel. Por ejemplo, 3613=16*61+1661+16*61

 

Con más cifras

 

Finalizamos con ejemplos que presentan más cifras en su desarrollo. Todos ellos se podrían encontrar realizando bucles para sus componentes, pero aquí se prefieren funciones para poder elegir el rango de búsqueda de N, y no los de sus componentes.

 

Seis cifras del tipo AB*CC*BA+ABCCBA+AB*CC*BA:

 

 

Comprobamos uno: 173173=12*88*21+128821+12*88*21

Es curioso que el resultado sea una concatenación de 173 consigo mismo.

 

Con cinco cifras y tres centrales

 

Este es un rango de soluciones obtenidas con Excel:

 

Así podríamos seguir.

 

Bases, índices y resultados anagramáticos

En la entrada anterior se buscaron números con cifras simétricas, en los que bases, índices u órdenes también fueran simétricos, como los cubos 1334633301=1101^3 y 1033364331=1011^3, que son simétricos y también sus bases.

Ahora ampliaremos las condiciones y, en lugar de exigir simetría, buscaremos números anagramáticos (con las mismas cifras). Un ejemplo sería el par de cuadrados 130²=16900 y 310²=96100. No son simétricos en sus cifras, pero sí poseen las mismas.

Si en la anterior búsqueda se usaba la función propia de este blog CIFRAINVER, en esta nueva será útil CIFRAS_IDENTICAS, que determina si dos números poseen las mismas cifras con frecuencias idénticas, de forma que los repetidos en uno también lo estén en el otro. Se puede estudiar su codificación en la entrada de este blog https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/consecutivos-con-las-mismas-cifras.html.

En el caso de las cifras simétricas, cada número sólo se podía corresponder con su simétrico, pero en este caso pueden existir múltiples soluciones anagramáticas, por lo que deberemos introducir un contador de soluciones.

Usaremos la función ANA_ANA para investigar este caso:

Function ana_ana$(n)
Dim i, m
Dim s$

s = ""  ‘Contenedor de soluciones
m = 0  ’Contador
For i = 1 To n – 1 ‘Aquí usamos la función para cubos
If cifras_identicas(n, i) And cifras_identicas(n ^ 3, i ^ 3) Then m = m + 1: s = s + " # " + Str$(i) ‘Si son anagramáticos, se publica
Next i
If s = "" Then s = "NO" Else s = ajusta(m) + " # " + s
ana_ana = s
End Function

Esta función, tal como está, busca el caso de cubos anagramáticos. Un sencillo cambio en la línea que contiene la función CIFRAS_IDENTICAS la habilita para otros casos. El resultado es:

 

Observamos que el número 1100 presenta dos soluciones. Es posible que esta sucesión no esté publicada.

Caso de cuadrados

Si cambiamos los cubos por cuadrados en la función ANA_ANA obtenemos

 

Como ocurre con otros tipos, aquí pueden aparecer varias soluciones, como en 210 y 310. Es que la condición de igualdad de cifras es menos restrictiva que la de simetría.

Números primos

En el caso de los números primos bastará incluir en la función ANA_ANA la función PRIMNUM(N) o PRIME(N). Resultan bastantes ejemplos por rango, siendo el primero el par (37, 73) de Sheldon, que ya estudiamos en la entrada anterior. Lo que ocurre ahora es que, al ser la condición menos exigente, se obtienen más resultados. En hoja de cálculo el proceso se hace lento, pero en PARI la velocidad de proceso es aceptable.

La siguiente tabla se ha confeccionado con los resultados de PARI. Se han ordenado de esta forma: Índice 1, Primo 1, Índice 2, Primo 2.

I1,   P1,   I2,   P2

21, 73, 12, 37
163, 967, 136, 769
423, 2927, 342, 2297
474, 3361, 447, 3163
821, 6311, 218, 1361
823, 6323, 382, 2633
921, 7211, 912, 7121
1053, 8423, 1035, 8243
1642, 13901, 1426, 11903
1765, 15107, 1756, 15017

En el lenguaje PARI es muy sencillo detectar números anagramáticos.

Basta exigir vecsort(digits(m))==vecsort(digits(n)), de fácil comprensión: “Si ordenamos las cifras de ambos números nos resulta el mismo vector”.

Con este código se obtienen resultados fácilmente en la web de PARI

ok(m,n)=vecsort(digits(m))==vecsort(digits(n))&&vecsort(digits(prime(n)))==vecsort(digits(prime(m)))&&n%10<>0&&m%10<>0
for(i=2,2000,for(j=2,i-1,if(ok(i,j),print(i,", ",prime(i),", ",j,", ",prime(j)))))

 

Números triangulares

En el caso de soluciones simétricas no era fácil encontrar un ejemplo con números triangulares. Veamos si sólo buscamos anagramáticos. Usaremos la fórmula de los triangulares, N(N+1)/2.

Tal como era de esperar, aparecen muchas más soluciones. Estas son las primeras:

Con estos ejemplos ya estamos preparados para emprender otras búsquedas, como oblongos, de Fibonacci, potencias enteras y otros más que se nos ocurran.

 

Bases, índices y resultados simétricos

Es ya muy popular la propiedad del “primo de Sheldon”, de la serie televisiva “Big Bang Theory”, y es que 73 es un número primo, y si invertimos sus cifras, 37 también es primo. A esto se le une que 73 es el primo número 21 y 37 es el número 12. Es decir, dos números de un tipo son simétricos y sus índices, bases u órdenes también lo son.

Hemos usado la propiedad de ser primo, pero en los cuadrados abundan ejemplos similares. Así, 12 y 21 son simétricos y sus cuadrados, 144 y 441, también. Un ejemplo más difícil de encontrar es el de números triangulares: El triangular de orden 24662 es 304119453 y el de orden simétrico 26642  es su simétrico 354911403. No se encuentra un ejemplo más pequeño, salvo con números capicúas.

En estas búsquedas, a fin de evitar trivialidades, descartaremos los números capicúas o palindrómicos. En los cálculos a efectuar será muy útil la función CIFRAINVER, explicada en la entrada

https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/04/relaciones-entre-numeros-con-cifras.html. 

Las búsquedas que se efectúen aquí serán complementos de algunas contenidas en esa entrada.

Búsqueda con números primos

El ejemplo del 37 y el 73 se puede extender a otros primos. Bastará con exigir que sean simétricos y que sus números de orden también lo sean. Necesitaremos la función PRIME(N), que no está implementada en hojas de cálculo. Se puede sustituir por nuestra PRIMNUM(N), que devuelve el primo número N:

Public Function primnum(n)
Dim p, c, i

 c = 0: i = 2
While c < n
If esprimo(i) Then c = c + 1: p = i
i = i + 1
Wend
primnum = p
End Function

Usa nuestra función ESPRIMO, muy usada en este blog.

Con ellas basta buscar que

m=cifrainver(n) and primnum(m)=cifrainver(primnum(n))

El resultado será que 73 y 37 son los únicos resultados a nivel elemental. Si se añade la propiedad de que 7*3=21, se ha demostrado que no existen más ejemplos.

Búsqueda con cuadrados

Aquí la condición para Excel y Calc sería

m=cifrainver(n) and m^2=cifrainver(n^2)

El resultado, bastante conocido es

La columna de cuadrados está publicada en https://oeis.org/A064021

Para quienes quieran reproducir la búsqueda sin usar funciones especiales, se adjunta a continuación un código en PARI:

ok(m,n)=n==eval(concat(Vecrev(Str(m))))&&n^2==eval(concat(Vecrev(Str(m^2))))&&n%10<>0&&m%10<>0
for(i=2,300,for(j=2,i-1,if(ok(i,j),print(i,", ",i^2,", ",j,", ",j^2))))

Está preparado para buscar hasta 300, dato que se puede cambiar sin problemas. Su resultado sería similar al anterior:

 

Números triangulares

Ya se anunció al principio que estos ejemplos son escasos. Bastará cambiar en las funciones la expresión m^2 por m*(m+1)/2 y al igual con n.

Efectuada la búsqueda, el único par encontrado, inferior a 10^5 es el referido:

Al mismo resultado se llega con PARI:

En OEIS, https://oeis.org/A279084, están publicados los resultados sin desechar los capicúas.

Otros tipos

Con números oblongos, tipo N(N+1), no se han encontrado ejemplos a nivel elemental, y tampoco para pentagonales.

Para cubos, existen ejemplos, pero en algunos de ellos el número de cifras es alto, y hay que acudir a PARI:

Están publicados en https://oeis.org/A035124

Por último, al probar con cuadrados de primos, se obtienen bastantes resultados entre los primeros números:

No parece que estén publicados. El autor no lo hará.

 

Números de Lösch

Estos números son aquellos que se pueden representar como

N=x²+xy+y², con x  e y números enteros. Como X e Y pueden tener distinto signo, una definición alternativa es la de pueden escribirse como N=x²-xy+y².

Aparecen como las normas de los números enteros de Eisenstein, pero no seguiremos por ahí porque es un tema de números complejos. Estos números son cerrados para la operación de multiplicar, por lo que si m y n pertenecen a este tipo, también lo serán mn, m^k y n^k.

Al poder ser x o y iguales a cero, estos números presentarán algunos subtipos. Por ejemplo, entre ellos estarán el cero y todos los cuadrados enteros, si elegimos y=0 o y=-x. Esto demuestra que existen infinitos números de este tipo.

Todos son positivos o nulos, porque N se puede escribir de esta otra forma (Zak Seidov, Jan 20 2009), que es evidentemente positiva o nula:

N=(y+x/2)²+3*(x/2)²=y²+xy+x²/4+3x²/4=x²+xy+y²

Podemos buscarlos con una función muy sencilla:

Function tipolosch(n)

Dim x, y, a As Integer

Dim s$

s = "" ‘Contenedor de valores de X e Y

a = Sqr(n)’Cota para X e Y

For x = -a To a ‘Bucle para X

For y = -a To a ‘Bucle para Y

If x ^ 2 + x * y + y ^ 2 = n Then ‘Condición a cumplir

s = s + " # X=" + Str$(x) + " Y=" + Str$(y) ‘Nueva solución

End If

Next y

Next x

If s = "" Then s = "NO"

tipolosch = s

End Function

Con esta función detectamos en un buscador los números que permiten valores enteros para X e Y, y que, por tanto son Lösch. Al intentarlo vemos, por una parte que son frecuentes y, por otra, que las soluciones aparecen en conjuntos equivalentes (salvo los signos) que complican un poco la visión del resultado:

Observamos que las soluciones no caben en la imagen a veces, pero que son parecidas. Esta función es buena para descubrir muchas posibilidades para pocos números. Si sólo nos interesa saber si un número es de Lösch o no, es preferible esta otra, que detiene el proceso cuando se detecta una solución:

Function tipolosch2(n)
Dim x, y, a As Integer
Dim s$
Dim noes As Boolean

s = ""
a = Sqr(n)
x = -a
noes = True ‘Introducimos esta variable de detención
While x <= a And noes ’Sustituimos FOR-NEST por WHILE-WEND
y = -a
While y <= a And noes
If x ^ 2 + x * y + y ^ 2 = n Then
noes = False ‘Solución y parada
s = s + " # X=" + Str$(x) + " Y=" + Str$(y)
End If
y = y + 1
Wend
x = x + 1
Wend
If s = "" Then s = "NO"
tipolosch2 = s
End Function

De esta forma queda una tabla con menos información y más clara. Estos son los primeros números de este tipo:

Estos valores están publicados en https://oeis.org/A003136

Se razona fácilmente que entre ellos el 75% serán impares y el 25% pares, porque esta posibilidad necesita que ambos, x e y sean pares.

Casos particulares

Si X=Y, la expresión de estos números es sumamente sencilla, pues equivale a 3K² y, en efecto, pertenecen a este tipo, 3, 12, 27, 48,…como se puede comprobar en las tablas que hemos insertado. Por la propiedad multiplicativa, también pertenecerán a este tipo los de la forma 3^hk², como el 36

Otro caso interesante se produce cuando Y=1, ya que el número quedaría como X²+X+1=(X+1)²-X y crearía la subsucesión 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73,…En https://oeis.org/A353887 están publicados los que son libres de cuadrados, y se afirma que la sucesión es infinita.

Si tomamos Y=-1 nos resultan números poligonales, que no estudiaremos por la extensión de sus propiedades, aunque sea un tema importante en este blog. Puedes consultar https://oeis.org/A002061