jueves, 2 de febrero de 2023

Concatenación bilateral de cifras (2)

 Extensión a otros tipos de números

En la anterior entrada creábamos números primos adosando a un número cualquiera la misma cifra bilateralmente, tantas veces como fuera necesario hasta conseguir un número primo. Ahora realizaremos estudios similares, pero buscando otro tipo de números.

 Cuadrados

Los cuadrados terminan en 0, 1, 4, 5, 6 y 9. Podríamos investigar la concatenación bilateral a un cuadrado en lugar de a un primo. Bastaría sustituir ESPRIMO por ESCUAD, función muy usada en este blog, o issquare en PARI. Las funciones son las mismas, pero con ese pequeño cambio. Para no cansar, adjuntaremos los primeros ejemplos que vayamos encontrando.

En una primera investigación observamos que no existen muchas soluciones, y que es preferible restringir nuestro estudio a un solo dígito, pues ese es el caso más frecuente, según se observa en esta primera tabla exploratoria:


Hemos encontrado las extensiones 121, 676 y 484, además de las triviales.

Parece conveniente diseñar una función nueva, a la que llamaremos extencuad, que añada a un número la misma cifra tanto a la izquierda como a la derecha. Para Excel podría ser esta:

Function extencuad(n)

Dim i, j, k, p, m

Dim s$

Dim c(5)

 

 

s = ""

If escuad(n) Then extencuad = "NO": Exit Function

‘No tenemos en cuenta los que ya son cuadrados

p = numcifras(n)

c(1) = 1: c(2) = 4: c(3) = 5: c(4) = 6: c(5) = 9 ‘Posibles cifras

For i = 1 To 5

m = 10 ^ (p + 1) * c(i) + 10 * n + c(i) ‘Se añaden cifras

If escuad(m) Then s = s + "#" + Str$(m)

Next i

If s = "" Then s = "NO"

extencuad = s

End Function

 

En la siguiente tabla se recogen los primeros ejemplos de concatenación bilateral a cuadrado. Aparecen algunos capicúas, como 12321, y una solución doble en 62:

 


En http://oeis.org/A305719 están publicadas las raíces cuadradas, ordenadas, de los resultados de la segunda columna, además de otros ejemplos:

A305719              Numbers whose squares have the same first and last digits.                   

1, 2, 3, 11, 22, 26, 39, 41, 68, 75, 97, 101, 109, 111, 119, 121, 129, 131, 139, 141, 202, 208, 212, 218, 222, 225, 235, 246, 254, 256, 264, 303, 307, 313, 319, 321, 329, 331, 339, 341, 349, 351, 359, 361, 369, 371, 379, 381, 389, 391, 399, 401, 409, 411, 419, 421, 429, 431, 439, 441,

Estos números permiten su emparejamiento con los de la primera columna, resultando una función – inútil y dependiente de la base 10 – en la que sería un reto averiguar su sentido. Parecería aleatoria:



Los cuadrados con la primera cifra igual a la última también se pueden conseguir en PARI. Basta con este código:

exten(n)={my(s=digits(n));issquare(n)&&(s[1]==s[#s])}

for(i=100,10^5,if(exten(i),print1(i,", ")))

Obtendremos esta lista, idéntica a la de Excel, pero ordenada:

121, 484, 676, 1521, 1681, 4624, 5625, 9409, 10201, 11881, 12321, 14161, 14641, 16641, 17161, 19321, 19881, 40804, 43264, 44944, 47524, 49284, 50625, 55225, 60516, 64516, 65536, 69696, 91809, 94249, 97969

El único punto difícil de entender es el de (s[1]==s[#s]). En realidad, s es el conjunto de cifras de n, #s el número de ellas, y, por tanto, s[1]  es la primera cifra y s[#s] la última.

Terminamos con el hecho de que en números menores de un millón solo existe la solución doble del 62.

 

Otro ejemplo

Triangulares

La extensión a triangulares de forma bilateral se resuelve como la de los cuadrados. Basta cambiar las posibles terminaciones de cifras, que ahora son 1, 3, 5, 6 y 8. En esta tabla figuran los primeros ejemplos:



Si en PARI sustituimos issquare(n) por issquare(8*n+1) nos resultarán soluciones triangulares ordenadas.

exten(n)={my(s=Vec(Str(n)));issquare(8*n+1)&&(s[1]==s[#s])}

for(i=100,10^5,if(exten(i),print1(i,", ")))

171, 595, 666, 1081, 1431, 1711, 1891, 3003, 3403, 5565, 5995, 6216, 6786, 8128, 8778, 10011, 10731, 11781, 12561, 13041, 13861, 15051, 15931, 16471, 17391, 18721, 19701, 33153, 34453, 38503, 39903, 52975, 54285, 54615, 55945, 59685, 60726, 61776, 63546, 66066, 67896, 69006, 83028, 85078

No tienen que coincidir con las anteriores, porque, por ejemplo, 3003 procedería de 00 y eso no lo hemos considerado. Estas sí están ordenadas.

Como ejemplos basta con estos. Ya tenemos una base para emprender otras búsquedas distintas.

 

 

miércoles, 25 de enero de 2023

Concatenación bilateral de cifras (1)

 Extensión a un número primo

En esta entrada modificaremos algunos números mediante la concatenación de cifras a ambos lados de las suyas propias, y de forma simétrica. Como es un tema muy amplio, con muchas posibilidades, iniciaremos el estudio con algunas de ellas, y terminaremos cuando sea claro que se ha perdido interés.

Ya en otra entrada estudiamos la duplicación de unidades manteniendo el mismo tipo de número (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/09/sigue-el-mismo-tipo-al-duplicar-las.html)

Conversión en primo mediante una cifra repetida

Si tomamos un número cualquiera, como el 14622, existe la posibilidad de convertirlo en primo adosándole cualquiera de las cifras impares 1, 3, 7 o 9. En este ejemplo tendríamos estas primeras posibilidades con la cifra 1:

1146221

1111146221111

111111462211111

1111111111111111111146221111111111111111111

Estos cuatro números son primos.

En este caso no hemos descubierto una prolongación a primo con las cifras 3 o 9. La razón es que 14622 es múltiplo de 3, y al adosarle la cifra 3 o la 9 no puede ser primo.

Con la cifra 7 hemos intentado hasta 400 concatenaciones, sin que resulte un número primo. Esto nos dice que el proceso es más complejo de lo que pudiera parecer en un principio, pues puede ocurrir que no haya solución a nuestro alcance con una cifra impar concreta.

Como pueden existir comportamientos muy distintos con las cuatro cifras 1, 3, 5 y 7, sería útil diseñar una función con dos parámetros, uno el número que deseemos prolongar y otro la cifra que adosemos. Para Excel podría valer esta:

Function extenprimo$(n, c)

Dim i, j, k, p, m

Dim s$

s = ""

If esprimo(n) Then extenprimo = Str$(n): Exit Function

m = n

For i = 1 To 12

p = numcifras(m)

m = 10 ^ (p + 1) * c + 10 * m + c ‘Adosa cifras bilateralmente

If esprimo(m) Then s = s + "#" + Str$(m)

Next i

If s = "" Then s = "NO"

extenprimo = s

End Function

 

Esta función devuelve una cadena de texto con todas las soluciones posibles. Los parámetros son, el número n y la cifra c, y el resultado es el mismo número si es primo, un “NO” si no se encuentra solución o una lista de soluciones encontradas.

Aquí tienes ejemplos de estos casos:

Un gran problema del uso de la hoja de cálculo es que a partir de unos valores pasa los resultados a notación científica, con lo que se pierden cifras y se anula la utilidad del proceso. Por eso, en la función, solo se llega a doce cifras.

La solución a esto es cambiar a programas o lenguajes que usen todas las cifras posibles, pero entonces el fallo puede estar en la detección de primos. Por ejemplo, PARI, a partir de 2^64, sustituye la función isprime por ispseudoprime, que para otras tareas puede valer, pero en esta introduce una falta de seguridad en la finalización del proceso. Consecuencia de esto es que nos tendremos que mover con objetivos lúdicos, y no teóricos. Lo que afirmemos será siempre una conjetura, sin valor teórico.

La traducción de la función a PARI puede ser:

exten(n,c)={my(i,p,k=0,m=n);while(k==0&&i<200,p=#digits(m);m = 10 ^ (p + 1) * c + 10 * m + c;if(ispseudoprime(m),k=m);i=+1);k}

Aquí llegamos a 200 cifras, pero podrían ser más, siempre que usemos ispseudoprime.

Si nuestro interés estuviera en la detección del menor primo, estos inconvenientes no serían tan graves. Esto es lo que hemos introducido en PARI, que detiene el proceso cuando detecta un primo, al que nombramos como E(N). También se puede parar el proceso en Excel.

Al detener el proceso en la primera solución, podremos asignar a cada número un índice K(N) que indique cuantas concatenaciones ha necesitado para llegar a un primo.

Aquí tienes un ejemplo de estos conceptos, con la cifra 1:

Aparecerá un -1 cuando la función no sea capaz de detectar un primo, lo que ocurre en 134, 136, 138 y 140. Obtendremos un 0 si el número ya es primo, y el número de concatenaciones necesarias en el caso de que sí exista solución, como en 132 y 133.

Algoritmo

Una pequeña modificación en las funciones anteriores nos dará fácilmente la función K. En hoja de cálculo puede ser esta:

Function extenprimo(n, c)

Dim i, k, p, m, s

 

s = 0: k = 0

If esprimo(n) Then extenprimo = 0: Exit Function

m = n

i = 1

While i <= 12 And k = 0

p = numcifras(m)

m = 10 ^ (p + 1) * c + 10 * m + c

s = s + 1

If esprimo(m) Then k = 1

i = i + 1

Wend

If k = 0 Then s = -1

extenprimo = s

End Function

 

Si se ha entendido la primera versión, esta no presentará dificultad. Devuelve -1, 0 o un entero positivo según la tabla de más arriba. La hemos reproducido en Excel para cotejar los valores:



Como curiosidad, en la siguiente tabla figuran las frecuencias de los valores de K(N) para los mil primeros números.



La frecuencia más alta corresponde a la prolongación con un solo 1, y la frecuencia 1 es la del número 24, cuya prolongación mínima es 1111111241111111. Lo hemos dado como ejemplo.

En la siguiente tabla comparamos las estadísticas para las cuatro cifras 1, 3, 7 y 9.


Es fácil descubrir en ella la constancia del valor 0, ya que corresponde a los primos y estos no cambian, son 168. También se entiende que las cifras 3 y 9 presentan menos casos, por el problema ya explicado de los múltiplos de 3. Por último, de los que admiten extensiones a primo los más frecuentes son los que solo admiten una.

jueves, 12 de enero de 2023

Semiprimos de la forma n^2+k

 Hay semiprimos que son cuadrados, como 4=2*2 o 9=3*3, pero existen muchos que no lo son, pero que se acercan a uno de ellos. Hoy buscaremos estos semiprimos, intentando, de forma simultánea buscar o descubrir algunas de sus propiedades.

Tipo n2+1

Comenzaremos con unos que ya están publicados, los de tipo n2+1, con lo que practicaremos de cara a los otros casos. Son estos:

A144255              Semiprimes of the form n^2+1.                

10, 26, 65, 82, 122, 145, 226, 362, 485, 626, 785, 842, 901, 1157, 1226, 1522, 1765, 1937, 2026, 2117, 2305, 2402, 2501, 2602, 2705, 3365, 3482, 3601, 3722, 3845, 4097, 4226, 4762, 5042, 5777, 6085, 6242, 6401, 7226, 7397, 7745, 8465, 9026, 9217

(http://oeis.org/A144255)

Al no tener ninguna prisa en la búsqueda, practicaremos varias técnicas.

Buscador de Naturales

En estas semanas estamos ampliando las prestaciones de nuestro Buscador, que tiene décadas de vida y le viene bien un repaso. Es descargable desde http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.htm#buscador

Para encontrar el listado anterior basta con exigir que el número sea semiprimo y que su anterior sea cuadrado. Lo logramos así:

 


La exigencia de ser semiprimo es directa, por lo que solo escribimos SEMIPRIMO, pero la otra se refiere a N-1, y eso supone usar la partícula ES. La tercera condición produce la descomposición factorial de los números encontrados, que es claramente propia de un semiprimo:

Obtenemos los primeros términos copiados más arriba.


Con una función de Excel

En este blog usamos a menudo la función ESCUAD para averiguar si un número es cuadrado y ESSEMIPRIMO para detectar los semiprimos. Basta unirlos convenientemente con la partícula AND:

ESSEMIPRIMO(N) AND ESCUAD(N-1)

Con este criterio y un bucle de búsqueda logramos un resultado similar al anterior:

En la tabla comprobamos que N-1 es cuadrado y N es semiprimo.

 

Con el lenguaje PARI

Podemos usar esta función, a la que hemos añadido un bucle de búsqueda:

es(i)={bigomega(i)==2&&issquare(i-1)}

for(i=2,1000,if(es(i),print1(i,", ")))

Escrita en la web de PARI (https://pari.math.u-bordeaux.fr/gp.html) produce el mismo resultado:

A partir de ahora acudiremos a estas tres herramientas, pero dando menos detalles.

 

Propiedades de estos números

Iwaniec probó que existen infinitos números de este tipo.

Es claro que n2+1 no puede ser cuadrado, luego sus factores serán distintos, y el más pequeño será menor que n. A esos factores se les pueden aplicar algunas ideas contenidas en una entrada reciente de este blog 

(ver http://hojaynumeros.blogspot.com/2022/10/regresos-5-un-cuadrado-y-una-unidad-1.html)

En efecto, al ser n2+1 suma de dos cuadrados, sus factores serán el 2 o del tipo 4k+1.

Un cálculo ilustrativo es el de la media geométrica de los dos factores, que, evidentemente, se situará cercana al valor de n. Esta media será la raíz cuadrada del número. Su discrepancia con la media aritmética medirá el nivel de desigualdad entre los dos factores del número semiprimo:

De la misma forma, podemos encontrar semiprimos del tipo n2+2


En este caso los factores no han de ser necesariamente 2 o del tipo 4k+1. Basta comprobarlo en la tabla anterior.

Como curiosidad, estos son los del tipo n2+3:

 Tipo n2-1

Un caso interesante es el de K=-1, es decir, semiprimos del tipo n2-1. En ellos el semiprimo tendrá como factores (n+1)(n-1), o lo que es lo mismo, será producto de dos primos gemelos. Lo puedes comprobar en la siguiente tabla, en la que en la primera columna figuran los semiprimos, en la segunda las raíces de los cuadrados y en la siguiente los primos gemelos con exponente 1:

 

Con esta propiedad figuran estos semiprimos como producto de primos gemelos: en OEIS:

 

A037074              Numbers that are the product of a pair of twin primes.                   

15, 35, 143, 323, 899, 1763, 3599, 5183, 10403, 11663, 19043, 22499, 32399, 36863, 39203, 51983, 57599, 72899, 79523, 97343, 121103, 176399, 186623, 213443, 272483, 324899, 359999, 381923, 412163, 435599, 656099, 675683, 685583

http://oeis.org/A037074

Encontrarlos con nuestras herramientas es fácil:

Buscador de naturales:


No necesita explicación, pues similar al caso anterior. Se distinguen bien los pares de primos gemelos.

Con Excel

Cambiamos la condición a

ESSEMIPRIMO(N) AND ESCUAD(N+1)

En la tabla hemos destacado que la raíz de N+1 es la media aritmética de los dos primos gemelos:

 


Estas propiedades nos garantizan que el conjunto de estos semiprimos es infinito,

Como el par de primos gemelos es siempre del tipo (6k-1, 6k+1), salvo el par (3, 5), los números encontrados tendrán la fórmula (6k)2-1=36k2-1 con lo que n+1 será múltiplo de 36, como es fácil observar en la tabla, que en su tercera columna solo contiene múltiplos de 6, salvo el primero.

Si expresamos el número 36k2-1 como 9(2k)2-1 descubriremos que las soluciones presentan resto -1 módulo 9, o lo que es lo mismo, resto 8. Pero con este módulo el resto es equivalente a sumar las cifras eliminando 9, es decir su raíz digital. Por eso en OEIS se destaca:

Todos los semiprimos encontrados, salvo el primero, poseen raíz digital 8.

Por ejemplo, en 5183 tenemos 5+1+8+3=17 y 1+7=8.

Puedes repasar la raíz digital en https://en.wikipedia.org/wiki/Digital_root

Al ser las funciones PHI  y SIGMA multiplicativas, y ser PHI(p)=p-1 y SIGMA(p)=p+1 en los números primos, si los aplicamos a este caso del producto N=p(p+2) de dos primos gemelos, obtendremos:

PHI(N)=(p-1)(p+2-1)=(p-1)(p+1) SIGMA(N)=(p+1)(p+2+1)=(p+1)(p+3)

La diferencia entre ambas será (p+1)*4=(p+1+p+1)*2=2*(p+p+2),es decir el doble de la suma de los dos primos gemelos. Lo verás en esta tabla:

Resumiendo:

En un producto de primos gemelos, la diferencia entre su número de divisores y el de coprimos menores que él es la suma de los dos primos.

Con estas ideas ya puedes experimentar con otros valores de K, como 4, 9, -4, -9 y otros. Lo dejamos abierto

 

lunes, 2 de enero de 2023

Propiedades del 2023

Durante unos días he ido publicando propiedades del número 2023 en Twitter (@connumeros), y aquí tenéis el listado de las mismas. Feliz entrada de año.

1

Como en años anteriores al llegar estas fechas, sustituimos el estudio de los números diarios por propiedades del año próximo 2023. En otros sitios podréis encontrar propiedades similares o coincidentes. Es normal que se llegue a un mismo resultado desde técnicas distintas.

2

El número 2023 se descompone como 7×17^2. Una buena forma de iniciar sus propiedades es presentar su expresión con forma de palíndromo y cifras consecutivas:

2023=(9+8)×7×(8+9)

Esta es la representación más elegante que he conseguido para el 2023.

3

Otra representación atractiva del año 2023 es

2023=-1+5×9×9×5-1

4

2023 es un número de Niven, y también lo serán 2024 y 2025, porque son múltiplos de la suma de sus cifras:

 2023/(2+0+2+3)=289

2024/(2+0+2+4)=253

2025/(2+0+2+5)=225

5

También estos años 2023, 2024 y 2025 comparten la propiedad de ser múltiplos de un cuadrado:

2023=7×17^2

2024=506×2^2

2025=81×5^2

6

Tenemos otra propiedad compartida por tres años, y es que 2023 es múltiplo de un cuadrado, 2024 de un cubo y 2025 de una cuarta potencia                                                             

2023=17^2×7    

2024=2^3×253  

2025=3^4×25

7

2023 es múltiplo de 7 y la suma de sus cifras también es 7

Además 2023 es múltiplo de la suma de los cuadrados de sus cifras:

2023/(2^2+0^2+2^2+3^2)=119

8

Si a 2023 y a 2024 les sumamos sus factores primos, obtendremos el mismo resultado     

2023 es igual a 7×17^2, y 2023+7+17+17=2064   

2024 es igual a 2^3×11×23 y 2024+2+2+2+11+23=2064   

9

2023 tiene la misma media de primos que 2024                                

2923=7×17^2 y (7+17)/4=12

2024=2^3×11×23 y (2+11+23)/3=12

10

2023 equivale a estas diferencias de potencias no triviales:

2023=68^2-51^2

 2023=148^2-141^2

 2023=2^11-5^2

11

Una curiosidad interesante: 2023 equivale a la suma de los primos consecutivos 139, 149 y 151 tomados con las cifras invertidas:

2023=931+941+151

12

La función PHI(2023)=1632=2^5×3×17 y su función TAU es 24                     

Por otra parte SOPF(2023)=17+7=24                      

Luego TAU(PHI(2023))=SOPF(2023)          

PHI es el número de coprimos inferiores a un número, TAU el número de divisores y SOPF la suma de factores primos sin repetición.

13

2023 es capicúa si lo expresamos en hexadecimal:

2023(10 = 7E7(16

14

Estas son tres de las muchas expresiones pandigitales con resultado 2023:

9×(1+2)(3+4)×(5+6+0)-8×7=2023

 4+(2+9-8)×673+15×0=2023

 (7+6)(9+4)(8+2+3-1+0)-5=2023

15

2023 se forma fácilmente con los nueve primeros primos ordenados:

2023 = (2+3)×(5+7)×(11+13+17)-19×23

Si no están ordenados se necesita uno menos:

2023=3×(5!+2)×7-11×(13+17+19)

16

Tanto siete primos como siete compuestos, ambos consecutivos, suman 2023

Primos: 2023=271+277+281+283+293+307+311                

 Compuestos: 2023=286+287+288+289+290+291+292                   

17

2023 se expresa con varias escalas crecientes de cifras:

Del 1 al 9: 2023=-1×2+(3)×4!×5×6-(7+8)×9

Del 1 al 10: 2023=(12+3!)×4×5×6-(7+8)×9-1-0!

Del 1 al 11: 2023=1+2345-6×7×8+9+1+0!+1+1

18

Estas son otras escalas de cifras para el 2023:

Del 10 al 0: 2023=-1-0!+9×(8+7)×(6+5+4)-3!×(2+1)×0

Del 11 al 0: 2023=(1+1+1^0+9+8+7)×(6+5+4)×(3+2)-1-0!

Baja y sube: 2023=9×(8+7+6+5+4)×(3+2+1+2)-(3+4+5+6)-7×(8+9)

19

Así se puede expresar 2023 mediante factoriales:

2023=(6!+(5!+4!)×2!)×2!+3!+1!

2023=(1!+2!)(2!+6!)-5!-4!+0!

2023 =(2!+0!)(2!+6!)-3!×4!+1!

20

2023 con las cifras 1, 2 y 3:

2023=(1111-111+11)(1+1)+1

 2023=2×22×(2×22+2)-2/2

2023=3×(3!^3+3×3)×3-3!/3

21

2023 con las cifras 4, 5 y 6:

2023=(4^4)×(4+4)-4/4-4!

 2023=5×(5×55+5+5+5!)-(5+5)/5

2023=666×6×6/(6+6)+6×6-66/6

22

2023 con las cifras 7, 8 y 9:

2023=777+777+77×7-77+7

 2023=888+(8+8×8)×(8+8)-(8+8)-8/8

 2023=999+999+9+9+9-(9+9)/9

23

2023 equivale de dos formas distintas a una suma de cuadrado con capicúa:

2023=32^2+999

2023=36^2+727

24

2923 es hipotenusa en una terna pitagórica y cateto en tres:

952^2+1785^2=2023^2                                                            

2023^2+2040^2=2873^2                                                                        

2023^2+6936^2=7225^2              

(En esta la hipotenusa es un cuadrado, 7225=85^2)                           

2023^2+17136^2=17255^2         

25

2023 es la suma de los dos catetos de las siguientes siete ternas pitagóricas:

 (88,  1935,  1937) (295,  1728,  1753) (340,  1683,  1717) (595,  1428,  1547) (663,  1360,  1513) (867,  1156,  1445) (931,  1092,  1435)

26

En estas otras ternas pitagóricas, 2023 es suma de hipotenusa y el segundo cateto:

(1785,  224,  1799) (1547,  420,  1603) (1309,  588,  1435) (1071,  728,  1295) (833,  840,  1183) (595,  924,  1099) (357,  980,  1043) (119,  1008,  1015)

27

2023 puede ser generado por sus divisores propios con o sin repetición:

2023=289×(7+119)/(17+1)                          

2023=289/(17+119)×119×(7+1)                 

2023=(119+119)×17-289×7

28

2023 es el total de una suma de 21 números triangulares consecutivos:

2023=2×3/2+3×4/2+…+21×22/2+22×23/2

También lo es de dos triangulares (no consecutivos):

2023=22×23/2+59×60/2

29

Todo número es suma de tres triangulares o menos. El 2023 es igual a 20 sumas de tres, por ejemplo:

2023=24×25/2+34×35/2+47×48/2

 2023=24×25/2+40×41/2+42×43/2

 2023=26×27/2+31×32/2+48×49/2

30

Según el teorema de Javier Cilleruelo, todo número es suma de tres capicúas o menos. En el 2023 podemos destacar:

2023=252+1771

 2923=77+505+1441

2023=88+494+1441

 2023=99+373+1551

31

Esta es la suma de cubos positivos con menos sumandos (cinco) que admite 2023:

2023=2^3+5^3+6^3+7^3+11^3

No se desarrolla con 2, 3 o 4 cubos positivos.

31-1

2023 equivale a muchas sumas algebraicas de tres cuadrados. Estas son algunas de ellas:

2023=81^2-67^2-7^2

2023=72^2-56^2-5^2

2023=68^2-51^2+0^2

2023=57^2-35^2-1^2

2023=51^2-23^2-7^2

31-2

Todo número es igual a una suma de a lo más cuatro cuadrados. Estos son algunos ejemplos para 2023:

2023=31^2+23^2+23^2+2^2

2023=31^2+27^2+18^2+3^2

2023=31^2+31^2+10^2+1^2

2023=33^2+22^2+21^2+3^2

2023=33^2+27^2+14^2+3^2

 

32

Y estas son algunas de las sumas de cubos enteros que admite 2023:

2023=(-609)^3+320^3+578^3

2023=(-385)^3+(-228)^3+410^3

2023=(-16)^3+14^3+15^3

2023=(-9)^3+2^3+14^3

33

Estos seis números, sumados con potencias de sus cifras, generan el 2023

1997+1+9+9+7=2023

 2015+2+0+1+5=2023

 1915+1^2+9^2+1^2+5^2=2023

 1931+1^2+9^2+3^2+1^2=2023

 1286+1^3+2^3+8^3+6^3=2023

 1315+1^4+3^4+1^4+5^4=2023

34

2023 equivale a dos sumas distintas de números de Fibonacci:                                  

 2023=F(3)+F(7)+F(9)+F(16)+F(16)=2+13+34+377+1597                                  

 2023=F(3)+F(7)+F(9)+F(14)+F(17)=2+13+34+987+987                                    

La primera es su representación de Zeckendorf

35

2023 es el total de tres sumas de tres números pentagonales cada una:                  

 2023=P(2)+P(8)+P(36)=5+92+1926                         

 2023=P(12)+P(21)+P(28)=210+651+1162                             

 2023=P(20)+P(21)+P(23)=590+651+782                

36

2023 también equivale a tres sumas de tres números hexagonales cada una                                       

2023=H(1)+H(2)+H(32)=1+6+2016                                          

2023=H(5)+H(13)+H(29)=45+325+1653                                 

2023=H(6)+H(6)+H(31)=66+66+1891                                     

37

Comenzamos el uso de cifras de números importantes. El primero, π:

2023=(3+1+4!)×(1+5+9+2^6)-(5+3+5+8)×9

2023=314×(1+5)+92+6×5+3×5+(8-9)×(7-9)

38

El número 2023 con las cifras del número “e”:

2023=2718-(2+81)×8-28+4+5-9+0!-4

2023=(2+71+8+2^8)/(1^8×2)×(8+4)+(5-9)/(0-4)

39

El 2023 se acompaña de las cifras del número áureo

2023=1618+0+339+8×8+7+4-9

Y las de las raíces cuadradas de 2 y de 3:

2023=1414+2×(1+356)-23-73-0-9

 2023=1732+(0+50+8^0+7)×5-6×8/8+7

40

Usamos las cifras de los números de plata y bronce y, como final, el de Hardy-Ramanujan repetido:

Plata: 2023=2414-21-356-2-3-7-3+0!

Bronce: 2023=33×0!×(2+7)×7-5-6-3-(7+7)×3

1729: 2023=1729+(17+2)(9+1+7)-29

41

Existen muchas sumas algebraicas de potencias con exponentes decrecientes con resultado 2023. Estas son algunas:

2023=-3^5+7^4-6^3+9^2

2023=-3^5+7^4-5^3-10^1

2023=-3^5+3^4+13^3-12^1

2023=6^4+9^3+3^2-11^1

42

2023 es el resultado de una suma cíclica de productos de tres primos:

2023=251×5+5×3+3×251

43

2023 es un número poligonal de 98 lados, cada uno con longitud 7, según se desprende de este cálculo:

2023=7×(7×(98-2)-(98-4))/2

44

2023 es el lado mayor de un triángulo heroniano escaleno, en el que lados y área tienen medida entera. Sin embargo, la altura sobre 2023 no lo es:

Lados del triángulo: (2023, 1073, 954)

 Área: 64260

Altura: 63,5294

45

Además del ya presentado (9+8)×7×(8+9), 2023 equivale a muchos palíndromos. Estos son los más simples:

2023=181+1661+181

2023=999+5×5+999

2023=2×8+1991+8×2

2023=8×8×8+999+8×8×8

2023=9×9×9+565+9×9×9