Números refactorizables

Estudiando el número 2025 se descubre que tiene 15 divisores, y que este número 15 es divisor de 2025. Por eso, cumple la definición de número refactorizable o “tau”, porque si llamamos función TAU al número de divisores de N, en estos números se cumple que N/TAU(N) es un entero. En el caso de 2025 se cumple que 2025/15=135.

Un número se llama refactorizable o tau si es múltiplo del número de sus divisores.

Para descubrir si un número es de este tipo, habrá que calcular TAU y efectuar el cociente N/TAU(N) para analizar si es entero.

El cálculo de TAU es bastante simple:

TAU(N)=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_k), donde a₁, a₂, …a_k son los exponentes de los factores primos de N.

Si no se desea descomponer el número en factores primos se puede usar la función que publicamos en https://hojaynumeros.blogspot.com/search?q=tau%28

Con esta condición y un buscador se obtienen los primeros números refactorizables:

Están publicados en https://oeis.org/A033950

De entrada nos damos cuenta de que el único número primo de este tipo es el 2, porque todos los demás son impares, y no pueden ser múltiplos del número de sus divisores, que es 2.

Algo parecido ocurre con las potencias de primos, en las que el cuadrado posee tres divisores, luego el único cuadrado de primo refactorizable es 9=3². Del mismo modo se puede razonar que 8 es el único cubo de primo que cumple la definición. Podemos ampliar la condición a números del tipo p^p-1, como 625.

Un número impar refactorizable no puede tener un número par de divisores. En la fórmula TAU(N)=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_k) todos los factores deberán ser impares, y, por tanto, todos los a_i pares, por lo que N deberá ser un cuadrado:

Sólo los números impares que son cuadrados pueden ser refactorizables.

En la lista de refactorizables no hay números libres de cuadrados salvo 1 y 2. La razón es sencilla: si N no contiene cuadrados, todos sus factores primos estarán elevados a la unidad, luego su número de divisores será TAU(N)=2*2*2*2*2…=2ⁿ y esto obliga a que N contenga al cuadrado de 2, salvo 1 y 2

Todos los números refactorizables, salvo 1 y 2, contienen un cuadrado entre sus divisores.

Refactorizables consecutivos

Existen números consecutivos que son ambos refactorizables. Con nuestros buscadores se llega fácilmente a los primeros pares:

En https://oeis.org/A114617 puedes consultar una lista más amplia.

Se ha demostrado que no existen ternas de consecutivos entre los números de este tipo entre los que poseen pocas cifras. Las condiciones con tan exigentes que se ha dejado su no existencia como conjetura, ya que no se han encontrado ternas entre 1 y 10⁵³.

Conjuntos de cuatro o más consecutivos no pueden existir, porque habría entre ellos dos números impares, que deberían ser cuadrados y presentar una diferencia menor que 5, y eso no es posible.

Podemos plantearnos diferencia 2:

Esta sucesión está inédita.

Otras variantes de la cuestión

Podemos investigar los cocientes N/TAU(N) en sus casos particulares.

Entre los primeros números refactorizables tenemos:

Sólo el 1 y el 2 presentan cociente 1.

Sólo el 8 y el 12 son el doble de su número de divisores.

Los números 9, 18 y 24 son el triple de su función TAU.

Otros casos:

Podemos formar una tabla con los siguientes posibles cocientes:

Cociente    Encontrados

4                  36
5                  40, 60
6                  72
7                  56, 84
8                  80, 96
9                  108
10                180
11                88, 132
12                240

 A la vista de estos resultados queda clara una propiedad:

Todos los números del tipo 12p, con p primo impar, son refactorizables, y el cociente N/TAU(N) es exactamente p.

Es fácil demostrarlo. Al ser TAU una función multiplicativa tendremos TAU(12p)=TAU(12)TAU(p)=6*2=12, porque 12 y p son primos entre sí, luego el cociente pedido será p.

(Ver mi publicación Funciones multiplicativas https://www.hojamat.es/publicaciones/multifun.pdf)

¿De qué tipo es el cociente N/TAU(N)?

Cuadrado

Hemos buscado cocientes cuadrados y descubriendo que son frecuentes:

Están publicados en https://oeis.org/A145450

Triangular

Es similar a la anterior sucesión, pero no está publicada:

Primos

Ya se demostró que todos los enteros de tipo 12p con p primo impar, tienen como cociente p, pero pueden que existan más ejemplos. Los hemos buscado y resulta que los del tipo 8p con p primo e impar también son refactorizables, ya que, al ser 8 y p primos entre sí, TAU(8p)=TAU(8)*TAU(p)=4*2=8, luego el cociente es p.

Además de estos casos existen otros números refactorizables con cociente primo, pero sólo hemos encontrado el 9 y el 18, con cociente 3.

 

 

Sumas de potencias consecutivas

Existen fórmulas para sumar las primeras potencias de números naturales. Son populares las de la suma de potencias con los primeros exponentes. En esta captura de Excel figuran algunas:

Aquí deseamos usar potencias consecutivas, pero que no comiencen necesariamente por la unidad. Si se usa la fórmula correspondiente, el problema se resuelve restando. Por ejemplo, una suma de potencias entre a^k y b^k se encontraría restando la fórmula correspondiente a b y la de a-1, para que se incluya también a. No será ese el camino que se tome aquí, porque deseamos encontrar la suma con un algoritmo que sirva para todos los exponentes. No obstante, dejamos abierta la posibilidad de comprobar algún cálculo.

Nuestro objetivo es más ambicioso, y es encontrar una suma de potencias consecutivas que sea equivalente a otra potencia dada, como en los ejemplos que siguen:

47^3=22^2+23^2+24^2+…+67^2+68^2
6^3=3^3+4^3+5^3
20^3=11^3+12^3+13^3+14^3

Deberemos fijar dos parámetros, el exponente de la potencia resultado de la suma, sea, por ejemplo k, y el de los sumandos, que es igual para todos, y llamaremos h. De esa forma también abarcamos la posibilidad de que el resultado no sea una potencia, salvo la trivial de exponente unidad:

 294 =7^2+8^2+9^2+10^2 (k=1)

A la inversa, deberemos poder descomponer una potencia en suma de números naturales consecutivos, como potencias triviales:

12^5=82943+82944+82945 (h=1)

En la siguiente función usamos tres variables distintas, e integramos los resultados en modo texto:

n: base del total de la suma

k: exponente de n

h: exponente de los sumandos

m: total de sumandos en cada solución. Esta es útil para búsquedas.

Function sumapoteconsec$(n, k, h)
Dim p, s, i, j,m
Dim t$

t = "" ‘Texto vacío para incluir soluciones
p = n ^ k ‘Resultado deseado para la suma
For i = 1 To (n – 2)^(k/h) ‘Tope de búsqueda de sumandos
s = i ^ h ’Primer sumando potencia
j = i
While s <= p
If s = p And j > i Then m=j-i+1:t = t + " #" + ajusta(m)+”: “+Str$(i) + " a " + Str$(j)’Solución con número de sumandos, inicio y final
j = j + 1
s = s + j ^ h ‘Se acumula la suma
Wend
Next i
If t = "" Then t = "NO"
sumapoteconsec = t
End Function

Vemos algunos ejemplos obtenidos con esta función:

SUMAPOTECONSEC(30;1;1)= #5:  4 a 8 #4:  6 a 9 #3:  9 a 11

Significa que el número 30 (elevado a la unidad) es suma de números consecutivos de tres formas diferentes:

#5: 4 a 8 : 30=4+5+6+7+8
#4: 6 a 9 : 30=6+7+8+9
#3: 9  a 11 : 30=9+10+11

SUMAPOTECONSEC(990;1;2)= #5:  12 a 16

El número 990 es igual a la suma de cinco cuadrados:

990=12²+13²+14²+15²+16²

Comprobamos el primer ejemplo de este texto:

SUMAPOTECONSEC(47;3;2)= #47:  22 a 68

Equivale a lo que ya sabíamos:

47^3=22^2+23^2+24^2+…+67^2+68^2

El cubo de 47 es suma de 47 cuadrados consecutivos.

Podríamos comprobarlo en una hoja de cálculo como indicamos en los primeros párrafos, restando la fórmula de la suma de cuadrados en 68 y en 21:

(2*68^3+3*68^2+68)/6-(2*21^3+3*21^2+21)/6=103823=47^3

Versión en PARI

Para quienes deseen llegar a números grandes, se ofrece aquí una alternativa en PARI:

smpc(n,k,h)={my(v=[0,0],p=n^k,s,i,j);for(i=1,(n-2)^(k/h),s=i^h;j=i;while(s<=p,if(s==p&&j>i,v=[i,j];print(v));j+=1;s=s+j^h));v}

print(smpc(540,1,1))

Imprime las soluciones parciales y aparece repetida la final. Se podría corregir este detalle, pero al algoritmo va rápido y no merece la pena suprimirlo.

Solución para smpc(540,1,1)

Solución para smpc(47,3,2), que fue nuestro primer ejemplo:

Confirma que el cubo de 47 es la suma de los cuadrados que van del 22² a 68².

Un ejemplo para confirmar:

smpc(29008,1,5)

¿Por qué ese número?

Vemos la solución:

Resulta que es la suma de las primeras siete potencias quintas. Es así porque el número 29008 lo hemos obtenido aplicando la fórmula presentada al principio de la entrada:

S=(2*7^6+6*7^5+5*7^4-7^2)/12=29008.

Ejemplos concretos

Cubos que son suma de cubos

Acudimos a PARI, que es más rápido, para comprobar que 1155 posee esa propiedad:

k=1155;print(smpc(k,3,3))

Nos da que 1155^3 es igual a la suma de todos los cubos comprendidos entre 291^3 y 339^3

Consultar https://oeis.org/A097811)

Este resultado no se podría haber descubierto razonablemente con cálculo manual. Lo hemos comprobado con hoja de cálculo.

Cuadrados que son suma de cubos

Al efectuar una búsqueda de todos los casos, aparecen, entre otros, los números triangulares, por la conocida fórmula

Si buscamos los ejemplos de esta propiedad, encontraremos todos los números triangulares ordenados por su orden. En la siguiente imagen descubrimos que aparecen otros, como el 204, que no son triangulares. Son aquellos en los que la suma de cubos no comienza en 1³:

Podemos crear un listado con los números cuyo cuadrado es suma de cubos pero que no son triangulares:

Como era de esperar, ninguna suma de cubos comienza con 1³

Cubos que son suma de cuadrados

Este ejemplo es bastante conocido, pero con nuestras funciones podemos encontrar otros.

47^3=22^2+23^2+…+68^2

Este sería un buen ejemplo:

13156^3=2277044900416 es la suma de todos los cuadrados comprendidos entre 17354² y 22930²

Podemos usar la fórmula para sumar cuadrados, como comprobación:

22930*22931*(22930*2+1)/6-17353*17354*(17353*2+1)/6

Otras igualdades

Podemos usar lo aprendido para encontrar más igualdades en las que una potencia sea igual a la suma de varias otras potencias consecutivas. Esta es una muestra de lo encontrado con los primeros números como bases.

6^3=3^3+4^3+5^3
6^4=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3
13^4=119^2+120^2
20^3=11^3+12^3+13^3+14^3

 

Regresos 12 - El problema del albañil

Este problema consiste en encontrar qué números N poseen un cuadrado N² que sea suma de cubos consecutivos. Se consideran cubos mayores que 1, pues todos los números triangulares poseen cuadrados que son suma de los primeros cubos, según la conocida fórmula 1³+2³+3³+4³+…n³=(n(n+1)/2)², y se desea eliminar un exceso de casos triviales.

Se exige también que el número de cubos sea al menos de tres. Según la página https://oeis.org/A238099, un ejemplo es el de

312^2 = 97344 = 14^3 + 15^3 + ... + 25^3.

El nombre y las condiciones del problema (por ejemplo, que se use el cuadrado del número) vienen de un ejercicio propuesto en un libro de Dudeney:

H. E. Dudeney, Amusements in Mathematics, Nelson, London, 1917, Problem 135.

Lo podemos consultar en https://archive.org/details/amusementsinmath00dude/page/24/mode/1up?view=theater

Su enunciado es un tanto artificioso, pero sirvió de base para estudiar con más profundidad las sumas de cubos consecutivos. El problema, como vemos, está resuelto, pero aquí estudiaremos los algoritmos que lo pueden resolver en una hoja de cálculo.

Hemos catalogado esta entrada como regreso, porque complementa otra nuestra de 2013, https://hojaynumeros.blogspot.com/2013/04/las-sumas-de-cubos-nos-llevan-los.html

En ella estudiábamos las sumas de cubos consecutivos, pero las derivábamos a otras cuestiones, como las ternas pitagóricas. Nos dedicaremos al problema del albañil, pero podremos referirnos a algún resultado contenido en esa entrada de hace años.

Desde hace un tiempo se prefieren en este blog las funciones que devuelven un texto. Son más explicativas y no dificultan búsquedas posteriores si se saben construir. En este caso del problema del albañil adaptaremos específicamente alguna otra función similar. La que presentamos da las soluciones de sumas de cuadrados sólo cuando se excluye el 1 y se exigen al menos tres sumandos. Su código para Excel y Libreoffice Calc es el siguiente:

Function albanil$(n)
Dim i, j, a, n1
Dim s$
Dim novale As Boolean

s = "" ‘Contenedor de la solución
n1 = n ^ 2 ‘Trabajamos con el cuadrado
i = Int(n1 ^ (1 / 3)) ’Máximo cubo contenido en n^2
novale = True ‘Suponemos que no hay solución
While i > 1 And novale ‘Desciende el mayor cubo hasta 2^3
a = i ^ 3 ‘Primera suma de cubos
j = i’Cubo inicial de la suma
While j > 1 And a <= n1 And novale
‘Se llega a la solución de tres cubos o más
If a = n1 And i - j > 2 Then s = s + "Desde" + Str$(j) + " hasta " + Str$(i): novale = False ‘novale ya no es cierto
j = j – 1’Desciende el primer cubo
a = a + j ^ 3’Se incrementa la suma
Wend
i = i – 1’Desciende el último cubo
Wend
If novale Then s = "NO"
albanil = s
End Function

Con esta función y un buscador podemos reproducir la lista publicada de soluciones:

Estos resultados coinciden con los publicados en https://oeis.org/A238099, luego nuestro primer objetivo está cumplido.

Usamos números triangulares

Recordamos la siguiente equivalencia:

Según ella, una suma de cubos que no comience con 1 será equivalente a una diferencia de los cuadrados de dos números triangulares.

Esto nos permite utilizar la diferencia entre los cuadrados de dos números triangulares para identificar las sumas de cubos. Así obtendríamos una variante alternativa a la vista en anteriores párrafos.

Para encontrar los dos números triangulares basta descomponer N en productos de suma por diferencia de dos números, ya que eso equivale a una diferencia de cuadrados. Una vez obtenidos se les exige que sean triangulares y que sus órdenes se diferencien en más de 3 unidades.

Descomponemos N en productos de la misma paridad, N=pq y después definimos a=(p+q)/2 y b=(p-q)/2, con lo que tendríamos los posibles triangulares. Es una técnica que hemos usado a menudo. Después analizamos si son triangulares con las funciones estriangular y ordentriang, muy usadas en este blog.

Function estriangular(n) As Boolean
Dim a
a = Int((Sqr(8 * n + 1) - 1) / 2)
If a * (a + 1) = 2 * n Then estriangular = True Else estriangular = False
End Function

Public Function ordentriang(n)
Dim k
If estriangular(n) Then k = Int((Sqr(8 * n + 1) - 1) / 2) Else k = 0
ordentriang = k
End Function

El código de esta función es:

Function albanil2$(n)
Dim i, j, p, q, a, b, n1
Dim s$
Dim novale As Boolean

s = "" ‘Contenedor de la solución
n1 = n ^ 2 ’Trabajamos con el cuadrado
i = 1 ‘Primer divisor
novale = True
While i <= n And novale
If n1 / i = n1 \ i Then ‘Es divisor
j = n1 / i ‘Divisor complementario
If (j - i) Mod 2 = 0 Then ‘Tienen la misma paridad los factores
p = (i + j) / 2: q = (j - i) / 2 ‘Vamos construyendo la diferencia de cuadrados
If estriangular(p) And estriangular(q) Then
a = ordentriang(p): b = ordentriang(q) ‘Son ambos triangulares
If a - b > 3 And b > 1 Then s = s + "Desde" + Str$(b + 1) + " hasta " + Str$(a): novale = False
End If
End If
End If
i = i + 1
Wend
If novale Then s = "NO"
albanil2 = s
End Function

En la entrada a la que regresamos hoy se termina considerando que los dos triangulares de la diferencia de cuadrados y el número N estudiado forman una terna pitagórica, pero este tema es preferible leerlo en la entrada original.

Con esto cumplimos nuestro objetivo, que era sólo algorítmico.

Derivada aritmética

Este original concepto fue presentado por el matemático español José Mingot Shelly en 1911 con el título "Una cuestión de la teoría de los números", trabajo presentado en el Tercer Congreso Nacional para el Progreso de las Ciencias, Granada. Es interesante su biografía, condicionada totalmente por la Guerra Civil española.

Como su nombre indica, esta derivada se basa en una operación similar a la de la derivada de un producto, y aplicada a números naturales. Podemos concretarla de esta forma:

D(0)=D(1)=0 (para completar la definición)
D(p)=1 si p es primo
D(ab)=aD(b)+bD(a) a>1, b>1 (Regla del producto)

Por ejemplo, D(10)=D(2*5)=2D(5)+5D(2)=2*1+5*1=7

Como la definición formal es similar a la de la derivada de una función, podemos extenderla a más factores, a potencias y a todos los números en general.

Así, en un número esfénico N=p*q*r, se tendrá D(N)=p*q+q*r+r*p.

Por ejemplo, D(30)=D(2*3*5)=2*3+3*5+5*2=31

Se generaliza fácilmente a las potencias de primos: D(p^k)=k*p^k-1

D(8)=D(2³)=3*2²=12
D(16)=D(2⁴)=4*2³=32

Veremos que nos conviene expresar la potencia de otra forma:

D(N)=D(p^k)=N*k/p

Caso general

Cualquier número se descompone en productos de potencias de primos. Con lo visto hasta ahora, se puede construir una forma de calcular la derivada aritmética en el caso general. Deberemos ir derivando cada potencia para multiplicarla por el resto de potencias de primos. Según el apartado anterior, cada potencia quedará multiplicada por su exponente y dividida entre su base. Extendemos a todas las potencias y queda:

Lo vemos mejor con un ejemplo:

D(360)=D(2³*3²*5)=360(3/2+2/3+1/5)=852

Estos resultados se pueden comprobar en https://oeis.org/A003415

Es fácil traducir todo esto a una función. En su primera parte es copia de nuestra rutina sacaprimos. Su salida es el conjunto de primos p() y el conjunto de exponentes ex(). A partir de ellos se construye la derivada.

Function derivada(n)
Dim f, a, e, nume, d, s
Dim p(20), ex(20)

‘Extrae primos y sus exponentes

a = n
f = 2
While f * f <= a
e = 0
While a / f = Int(a / f)
e = e + 1
a = a / f
Wend
If e > 0 Then
nume = nume + 1
p(nume) = f
ex(nume) = e
End If
If f = 2 Then f = 3 Else f = f + 2
Wend
If a > 1 Then
nume = nume + 1
p(nume) = a
ex(nume) = 1
End If

‘Fin de la extracción de primos

 s = 0 ‘Factor que multiplica a n
For f = 1 To nume
s = s + n*ex(f) / p(f) ‘Se suman los cocientes n*e/p
Next f
derivada = s
End Function

Hemos dimensionado los primos a 20 distintos, pues la gran mayoría de los números que tratamos tienen menos primos en su descomposición factorial. La misma idea usa la programación en PARI en la página enlazada. Aquí se puede comprobar la diferente potencia entre PARI y VBASIC:

(PARI) A003415(n) = {local(fac); if(n<1, 0, fac=factor(n); sum(i=1, matsize(fac)[1], n*fac[i, 2]/fac[i, 1]))} /* Michael B. Porter, Nov 25 2009 */

Dejamos su análisis como ejercicio lúdico.

Con cualquiera de estas dos herramientas podemos construir una tabla de derivadas aritméticas:

Observamos que todos los números primos tienen derivada 1 por definición, y las potencias de primos siguen la suya propia, como D(8)=D(2³)=3*2²=12

Naturaleza de la derivada aritmética

Siguiendo una costumbre en este blog, destacaremos algunas derivadas aritméticas según su tipo como números, primos, cuadrados, triangulares,…Publicamos a continuación una muestra:

Derivadas primas

Si añadimos a la búsqueda la condición de que la derivada sea prima, obtenemos este listado:

En la primera columna figuran los valores de N, y en la segunda las derivadas primas. Si siguiéramos buscando, observaríamos que muchos valores, como 191, se repiten bastante. Hemos añadido una columna más para comprobar que N es libre de cuadrados. En la página https://oeis.org/A157037 figuran los valores de N, y en ella se razona el porqué de que N no contenga divisores cuadrados.

Derivadas cuadradas

Deberemos en este caso excluir los casos en los que N es primo, pues nos llenarían las tablas con el valor cuadrado 1. Así que buscaremos derivadas cuadradas sólo para valores compuestos de N. El resultado es:

También están publicadas, en concreto en https://oeis.org/A256706

Por ejemplo, D(291)=D(3*97)=1*97+3*1=100=10²

Derivadas triangulares

Si exigimos que la derivada sea un número triangular, se encuentran muchos ejemplos. Estos son los primeros:

Esta sucesión parece estar inédita. El autor del blog no la va a publicar, y autoriza aquí su publicación por parte de otra persona.

Derivada que es potencia no trivial

Entre los valores de las derivadas aritméticas figuran, además de los cuadrados, otras potencias con exponentes mayores. Estos son los primeros valores:

Por ejemplo, D(108)=D(2²*3³)=108(2/2+3/3)=216=6³

También está inédita, aparentemente

Derivada de N igual a N

En la tabla anterior figura que la derivada de 27 es también 27. Buscaremos a continuación si existen más casos similares:

Basta observar la tabla para comprobar cuándo ocurre esto, y qué demostración sencilla es posible. Lo dejamos abierto a nuestros lectores.

Derivada múltiplo del número

Hemos observado derivadas que son iguales o el doble que el número dado. También existen casos en los que es un múltiplo mayor. Estos son los primeros casos:

Según lo explicado hasta ahora, esto ocurre cuando la suma de los cocientes entre los exponentes de los factores primos y ellos mismos es un número entero. Nos fijamos, por ejemplo en el número 6912=2⁸*3³, en el que esa suma es 8/2+3/3=5, y esa es la causa de que su derivada sea un múltiplo con cociente 5.

Esto traslada la cuestión a saber qué números cumplen la propiedad. Es fácil ver que no sólo la suma de esos cocientes ha de ser entera, sino que han de serlo cada uno por separado, pues al ser primos los denominadores no se podrán agrupar en sumas enteras esos cocientes si ellos no lo son.

Divisor propio mayor que la raíz cuadrada

 

Explorando por OEIS, encontré un tipo de números en https://oeis.org/A332269 y me ha apetecido desarrollar el tema mediante nuestras funciones en hoja de cálculo.

La idea es que en muchos números naturales N, un solo divisor propio de N es mayor que su raíz cuadrada, siendo todos los demás menores. Al ser propio, se descarta N, por lo que ese divisor ha de cumplir Sqr(N)<d<N, siendo Sqr la función raíz. Su valor máximo posible será N/2.

Por ejemplo, el número 27 posee como divisores propios 1, 3 y 9, siendo 9 el único divisor propio de 27 que es mayor que la raíz cuadrada de 27=5,19. Con este ejemplo ya tenemos un resultado, y es que los cubos de los números primos presentan esta propiedad.

Su búsqueda con Vbasic de Excel y Calc es bastante sencilla. Se puede desarrollar con esta función:

Function undivisor(n)
Dim k, m, d As Long
Dim r

r = Sqr(n) ’Cálculo de la raíz cuadrada
m = 0 ‘Contador de divisores
k = Int(n / 2) ‘Máximo divisor propio posible
While k > r ‘Contamos divisores mayores que la raíz
If n / k = n \ k Then d = k: m = m + 1
k = k - 1
Wend
‘Si el contador marca m=1 es de ese tipo
If m = 1 Then undivisor = d Else undivisor = 0
End Function

Devuelve un cero si no presenta la propiedad, y el mayor divisor si se cumple. Los primeros números con ella son:

6, 8, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 81, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 122, 123, 125, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 177, 178, 183, 185, 187, 194

Están publicados en https://oeis.org/A332269

En esta tabla observamos el cumplimiento de la condición:

 

En la página enlazada figuran algunos tipos de números con la propiedad pedida:

Semiprimos libres de cuadrados: Si N=pq, con p y q primos y p<q, es lógico que q sea el divisor único pedido. En el listado figuran muchos, como el 14=2*7, y 7 es mayor que la raíz cuadrada de 14.

Cubos y cuartas potencias de primos: En ambos casos se cumple, y el divisor es p² en el primer caso y p³ en el segundo. Así, en 16 el mayor divisor, 8, es el único mayor que la raíz cuadrada de 16, que es 4.

Simplificación

En la referida página de OEIS se incluye un comentario que nos permite simplificar la búsqueda, y es que si Sqr(N)<d<N, y d es único, también lo será N/d, que será divisor, pero que ahora se cumplirá N/d<Sqr(N), lo que nos permite buscar el divisor único entre 2 y Sqr(N).

El desarrollo de la función sería similar al presentado:

Function undivisor2(n)
Dim k, m, d As Long
Dim r

r = Sqr(n)
m = 0
k = 2 ‘Ahora se comienza en el 2, hasta la raíz cuadrada
While k < r ‘El resto se desarrolla igual
If n / k = n \ k Then d = k: m = m + 1
k = k + 1
Wend
If m = 1 Then undivisor2 = d Else undivisor2 = 0
End Function

Como era de esperar, resultan los mismos números:

Profundización

El número de divisores propios mayores que la raíz cuadrada coincide con el de los divisores menores, como vimos más arriba, ya que si D divide a N, también lo divide N/D. Esto nos permite cambiar la condición impuesta por la de que x*y=N tenga una sola solución si x es distinto de y y ambos mayores que la unidad. En ese caso, si x es menor que la raíz cuadrada de N, la otra variable y presentará un valor mayor que ella, con lo que se cumple la condición.

Si analizamos el valor de TAU(N) (número de divisores de N) observaremos que el número de pares x, y es igual a TAU(N)/2 si N es libre de cuadrados, y si (N,1) es un par, sólo deberá existir otro par (D,N/D), por lo que si TAU(N) vale cuatro, como ocurre en  los semiprimos libres de cuadrados p*q, con divisores (1, p, q, pq) y en los cubos de primos (1, p, p², p³), algo que ya se afirmó más arriba.

Si TAU(N) es mayor que 4, sólo se encuentran como ejemplos válidos las potencias cuartas de los números primos.

Ejemplos consecutivos

En la tabla figuran términos consecutivos. En la página de OEIS enlazada figuran varios tipos de números que forman pares de consecutivos. Es una curiosidad digna de leerse.