jueves, 21 de enero de 2021

Terna pitagórica en la que el perímetro es múltiplo de uno de los catetos.

Hace unas semanas tuve ocasión de estudiar la terna pitagórica (9, 40, 41) y me llamó la atención el hecho de que la medida del cateto 9 dividía al perímetro 9+40+41=90. Me pregunté si existían muchos números con esa propiedad. Aquí tenéis mis búsquedas y razonamientos.

Al principio creí que sería un hecho más bien extraordinario, pero después de las primeras búsquedas me di cuenta de que existen muchos casos de este tipo, aunque son más abundantes aquellos en los que el perímetro no es múltiplo de ninguno de los catetos.

Solo tiene interés estudiar las ternas primitivas, en las que los tres lados son primos entre sí, porque si se cumple en una primitiva, también se cumplirá en sus derivadas, porque tanto el perímetro como los lados se multiplican por el mismo número, con lo que el carácter de múltiplo se conserva.

La primera terna en la que se cumple esto es la (3, 4, 5). Su perímetro es 12, y es múltiplo de 3 y 4.

La siguiente es (5, 12, 13), porque P=5+12+13=30, que es múltiplo de 5 (pero no de 12)

La primera terna en la que no se cumple es la (20, 21, 29), ya que el perímetro es 70, que no es múltiplo ni de 20 ni de 21.

Sospechamos, pues, que ninguno de los dos casos contrarios es excepcional.

Función de búsqueda

Hay dos formas de construir ternas primitivas. Una de ellas es la tradicional de buscar expresiones del tipo (2mn, m2-n2, m2+n2) con m y n primos entre sí y paridad distinta. Esta forma la dejamos para más adelante. Hemos visto que el algoritmo correspondiente no gana mucha velocidad.

(Ver este procedimiento en  https://es.wikipedia.org/wiki/Terna_pitag%C3%B3rica)

La otra forma es la que no usa esa teoría. Para una posible hipotenusa n, se descompone su cuadrado, si es posible, en suma de otros dos cuadrados enteros, y si las bases son primas entre sí y además el perímetro es múltiplo de uno al menos de los catetos, se cumplirá lo exigido. Lo plasmaremos en VBasic de Excel y más tarde en PARI.

Para Excel podemos usar la siguiente función de tipo texto. Su nombre recuerda cómo iniciamos la entrada, con un cateto 9 que dividía al perímetro 90.

Public Function cateto_div_terna$(n) 'n es la hipotenusa de la terna estudiada

Dim a, b, c, p, j, k

Dim s$

Dim noes As Boolean

 

a = n ^ 2 ‘Descomponemos n^2 en dos cuadrados

j = 1

b = 1: c = a - 1

s$ = ""

noes = True

j = 1 ‘Es la base del primer cuadrado

While j < n And noes

b = j ^ 2: c = a - b

If escuad(c) Then ‘Segundo cuadrado posible

k = Sqr(c)

p = n + j + k ‘Perímetro

If (p Mod j = 0 Or p Mod k = 0) And mcd(mcd(j, k), n) = 1 Then noes = False: s$ = Str$(n) + Str$(j) + Str$(k) + Str$(p)

‘La condiciones son que p sea múltiplo de j y de k y que todos sean primos entre sí.

Si se cumplen se recoge la solución en s$.

End If

j = j + 1

Wend

cateto_div_terna = s

End Function

 

Con esta función no es difícil recorrer números, quedarnos con la hipotenusa y reconstruir la terna. Aquí tienes las primeras soluciones:

Si continuamos buscando, llegaremos a una lista más extensa:

5, 13, 17, 25, 37, 41, 61, 65, 85, 101, 113, 145, 181, 197, 221, 257, 265, 313, 325, 365, 401, 421, 481, 485, 545, 577, 613, 677, 685, 761, 785, 841, 901, 925, 1013, 1025, 1105, 1157, 1201, 1297, 1301, 1405, 1445, 1513, 1601, 1625, 1741, 1765, 1861, 1937, 1985, 2113, 2117, 2245, 2305, 2381, 2501, 2521, 2665, 2705, 2813, 2917, 2965, 3121, 3137,

 La versión en PARI es una simple traducción de la de Excel. 

ok(k)={my(a=k^2,j=1,b=1,c=a-1,l,p, m=0);while(j<k&&m==0,b=j^2;c=a-b;if(issquare(c),l=sqrtint(c);p=k+j+l;if((p%j==0||p%l==0)&&gcd(gcd(j,l),k)==1,m=1));j+=1);m}

for(i=1,2000,if(ok(i),print1(i,", ")))

Su resultado coincide, como era de esperar, con el obtenido en Excel:


Hemos recorrido listas de ternas primitivas para seleccionar las que cumplen lo exigido, y se llega al mismo listado.

Estudio teórico

Tras la búsqueda a ciegas podemos plantearnos un estudio más profundo. Nos basaremos en la clásica fórmula de generación de ternas primitivas:

(2mn, m2-n2, m2+n2) con m y n coprimos y de distinta paridad.

En ese caso el perímetro P tendrá la fórmula P=2mn+m2-n2+ m2+n2=2m(m+n)

Se pueden dar tres casos:


1) El perímetro es múltiplo del cateto par

2m(m+n)/(2mn)=(m+n)/n=m/n+1

Al ser m y n coprimos y de distinta paridad, para que sea múltiplo ha de ser n=1 y m=2r, con lo que hipotenusa será m2+n2=4r2+1.

El perímetro será 4r+4r2+1+4r2-1=8r2+4r=4r(2r+1) y pertenecerá a http://oeis.org/A033586 y la diferencia entre hipotenusa y cateto mayor será de dos unidades.

Puedes verificar que todas las soluciones en las que el perímetro es múltiplo del cateto impar tienen esta forma. Así ocurre con el ejemplo con el 17, que forma la terna (8, 15, 17), en la que 17=4*22+1, el perímetro es 8+15+17=40, que es múltiplo de 8.

Por tener esta expresión, las hipotenusas correspondientes pertenecerán a http://oeis.org/A053755 y las primeras serán 5, 17, 37, 65, 101, 145, 197, 257, 325, 401,…


2) El perímetro es múltiplo del cateto impar

En ese caso hay que estudiar el cociente 2m(m+n)/(m2-n2)=2m/(m-n)=2+2n/(m-n), lo que obliga a que 2n/(m-n) sea entero. El denominador m-n ha de ser impar, luego ha de dividir a n y n/(m-n)=t será entero. Se deduce que n=(m-n)t; n(t+1)=m*t; n/t=m/(t+1)=k, lo que lleva a que k=1, pues en caso contrario, m y n no serían primos entre sí. Por tanto queda que n=t y m=t+1, es decir, que m y n son consecutivos. La hipotenusa quedaría como (n+1)^2+n^2.

Esto ocurre en el ejemplo del principio de esta entrada, (9, 40, 41): 41=52+42, 9=52-42; 40=2*4*5, y 41+40+9=90 es múltiplo del cateto impar.

Las hipotenusas de este tipo pertenecen a http://oeis.org/A001844

La terna quedará: (2mn, m2-n2, m2+n2)=(2n2+2n, 2n+1, 2n2+2n+1) y serán consecutivos la hipotenusa y un cateto

El perímetro será 2(n+1)(2n+1) y pertenecerá a http://oeis.org/A002939

Estos dos casos cubren toda la sucesión de hipotenusas que estamos estudiando.

Esto da lugar a otra función alternativa más rápida:

Public Function cateto2_div_terna(n) 'Da la hipotenusa para que el perímetro sea divisible

Dim b, c, j, k, a

Dim es As Boolean

 

j = 1

a = j ^ 2

es = False

While a < n And Not es

b = n - a

If escuad(b) Then ‘Se descompone n en suma de dos cuadrados

c = Sqr(b)

If c < j And (c = 1 And a Mod 2 = 0 Or Abs(j - c) = 1) Then es = True ‘Las dos condiciones

End If

j = j + 1: a = j ^ 2

Wend

cateto2_div_terna = es

End Function

 

Es interesante la intersección entre los dos casos:


3) El perímetro es múltiplo de los dos catetos

Es el caso del 5 y del 145, que cumplen las dos condiciones estudiadas. Es decir, en ellos se dará que

4r2+1=(n+1)^2+n^2

5=4*12+1=22+12

145=4*62+1=92+82

Desarrollando y despejando 4r2 tenemos: n2+2n+1+n2-1=2(n2+n) ha de ser un cuadrado (que será par con seguridad) y la hipotenusa una unidad mayor. Aquí tienes los primeros:


Resultan ser elementos de
http://oeis.org/A076218, pero con una definición alternativa.

 Si te gustan las ecuaciones diofánticas, puedes plantear lo siguiente:

 (n+1)2+n2=4r2+1; 2n2+2n+1=4r2+1; 4n2+4n+2=8r2+2; (2n+1)2-8r2=1.

 Esta es una ecuación de Pell, y la puedes resolver con nuestra hoja de cálculo

 http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/hoja/pell.xls

 


 Los valores de X serán, según lo visto más arriba, iguales a 2n+1. Si les restamos 1 y los dividimos entre 2, resultarán los índices de la tabla de arriba y las soluciones serán del tipo n2+(n+1)2:

 


 Esta tabla completa el estudio, que ha resultado con más base teórica de la que podía pensarse al inicio de las búsquedas.

 

lunes, 11 de enero de 2021

Media contraarmónica entera

 

 Al cociente (a2+b2)/(a+b) se le suele llamar media contraarmónica de a y b (Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Contraharmonic_mean). Si a y b son enteros (estudiaremos solo  los positivos) podemos preguntarnos si esta media es también entera.

En la página direccionada más arriba podrás descubrir que esa media y la media armónica son equidistantes de la media aritmética, siendo la armónica la de menor valor. Lo expresamos:

Si resta cada una de la anterior observarás que esa diferencia equivale a


La tercera es la media armónica, que es el inverso de la media aritmética de los inversos de a y b. Puedes estudiarla en 

https://es.wikipedia.org/wiki/Media_arm%C3%B3nica

Lo repasamos con un ejemplo, a=30, b=20. Los valores de estas medias serían:

Contraarmónica: (302+202)/(30+20)=26 (hemos elegido el ejemplo con valor entero)

Aritmética: (30+20)/2=25

Armónica: 2*20*30/(20+30)=24

Hemos comprobado que los tres valores son equidistantes.

También cumplen unas proporciones interesantes. Si llamamos mc a la contraarmónica y mh a la armónica se cumple:


En el ejemplo, 30/20=3/2; (30-24)/(24-20)=(26-20)/(30-26)=6/4=3/2

Puedes repasar estas proporciones en el documento 

https://oeis.org/A210494/a210494.pdf

 

Media contraarmónica entera para un a dado y b máximo

Ya podemos entrar en el estudio que nos hemos propuesto, y es investigar para qué pares la media contraarmónica es entera. Como para cada valor de a pueden existir varias soluciones para b, nos vamos a dedicar tan solo a los valores de b que sean máximos, pero menores que a.

En principio, encontrar esos pares de valores no parece complicado. La siguiente función nos lo facilita. La idea es recorrer, para cada n, el mayor valor de k que cumpla esa condición. Buscamos el mayor porque puede abrir rutas hacia otras cuestiones, y porque suelen aparecer varias soluciones. Hemos cambiado la notación de a y b a n y k, para destacar que lo trataremos todo como una propiedad de n.

Public Function divsumapote(n)

Dim k, a

a = 0

For k = 1 To n - 1

If (n ^ 2 + k ^ 2) Mod (n + k) = 0 Then a = k

Next k

divsumapote = a

End Function

 

El interés de este algoritmo está en la quinta línea. En primer lugar nos preguntamos If (n ^ 2 + k ^ 2) Mod (n + k) = 0, o dicho de otra forma, si se cumple la media contraarmónica de n y k es entera. En ese caso le damos a la variable a el valor de k correspondiente, pero como el bucle de cálculo continúa, ese valor de a llegará lo más alto posible, devolviéndonos así el máximo valor de k. Si ese valor es 0, el número n elegido no cumple esa condición.

Con esta función hemos encontrado los primeros valores de n y k que tienen su media contraarmónica entera:


Los valores de n ya están publicados, aunque con una orientación diferente, en http://oeis.org/A005279

6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 117, 120, 126, 130, 132,…

Por ejemplo, 42 y 30 figuran en nuestra tabla porque

Mc(42,30)=(422+302)/(42+30)=37

Si esta media es entera, la armónica también lo será. Se puede demostrar con este desarrollo:


Si el primer miembro es entero, el último término también lo será, y resulta que se trata de la media armónica. En el ejemplo:

Si 37 es entero, la media armónica será 42+30-37=35, también entero.

Así que si la media contra armónica es entera, también lo será la armónica (y a la inversa), con lo que la aritmética será entera o un  racional con denominador 2.

Por ejemplo, con 45 y 36, las medias son: mc=(452+362)/(45+36)=41, mh=2*45*36/(45+36)=40 y ma=(45+36)/2=40,5=81/2

 Si 2ab/(a+b) es entero h, será 1/h=(a+b)/2ab=1/2b+1/2a

Esta expresión relaciona tres fracciones egipcias unitarias.

En nuestra entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/02/suma-y-diferencia-de-fracciones.html dedicamos muchas líneas para demostrar que el denominador de una fracción egipcia unitaria que es diferencia de otras dos del mismo tipo debía tener dos divisores d y e tales que d<e<2d. Por tanto, eso le debe ocurrir a 2a, ya que


Esto explica que en la sucesión que hemos descubierto para a se defina así en OEIS: “Numbers having divisors d,e with d < e < 2*d”

Por ejemplo, 42 posee los divisores 6 y 7 que cumplen 6<7<6*2.

Esto también explica el hecho de haber encontrado números primos entre los valores de a ni ninguna de sus potencias.

 

Pertenencia de los números hexagonales

Estos números se obtienen con la fórmula H(n)=n(2n-1). Esto nos garantiza que cumplen la condición del párrafo anterior. En efecto, si repasamos los dos listados, el de números hexagonales (http://oeis.org/A000384) y el de los números que hemos obtenido (http://oeis.org/A005279) se tendrá:

Hexagonales( sin el cero y el 1): 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496,

Nuestros: 6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 117, 120, 126, 130, 132, 135, 138, 140, 143, 144, 150, 153,

Hemos destacado en negrita los hexagonales dentro de la otra sucesión.

Lo podemos ver de forma algebraica: H=n(2n-1) forma un par con K=(n-1)(2n-1) y queda:

Efectivamente, es un entero. Por ejemplo:

45=5*(2*5-1) es hexagonal y K=(5-1)(2*5-1)=36

La media mc sería (452+362)/(45+36)=41, que coincide, como hemos visto, con 52+(5-1)2

 

miércoles, 30 de diciembre de 2020

Resumen de cálculos sobre el año 2021

Esta entrada recoge las propiedades del nuevo año 2021 que hemos publicado en Twitter (@connumeros). Lo solemos incluir en el blog para las personas que no las sigan en esa red social.

 1

Como todos los años, simultaneo algunos cálculos de diciembre con propiedades del próximo año 2021. Comienzo con propiedades simples:

2021 es el producto de dos números primos consecutivos:

2021=43×47

Por tanto, es un número semiprimo libre de cuadrados

 

2021 es un número semiprimo, porque es producto de dos primos, 43 y 47. También son semiprimos los números resultantes de suprimirle una cifra cualquiera:

021=3×7

221=13×17

201=3×67

 

2

 

Si escribimos 2021=43×47 como 2021=(45-2)(45+2) obtendremos una diferencia de cuadrados:

2021=45^2-2^2

 

2021 se genera con el popular polinomio n^2+n+1, que produce valores numéricos primos hasta n=39. En el caso de 2021 es n=44, ya que 2021=44^2+44+41, y, evidentemente, no es primo.

 

3

Es obligado publicar los desarrollos de tipo monocifra para el 2021, pues ya lo he convertido en tradición anual:

Del 1 al 4:

2021=1111+1111-111-111+11+11-1

2021=2222-222+22-2/2

2021=(333+3+3/3)(3+3)-3/3

2021=(444+44+4×4)×4+4+4/4

 

Monocifras del 5 al 9 para el 2021:

2021=(5×5×5+5/5)(5+5+5+5/5)+5

2021=(666+6)(6+6+6)/6+6-6/6

2021=777+777+7×77-77+7-(7+7)/7

2021=88×(8+8+8)-88-88/8+8

2021=999+999+(9+99+99)/9

 

4

En los cálculos diarios no suelo usar mucho las cifras ascendentes y descendentes. Para el 2021, sí:

Ascendentes del 1 al 11

2021=(1+2)(3+4+567+89+10+1)-1

 

Descendentes del 11 al 1

2021=(11+1+0+9)(87+6+5)-4-32-1

 

Más subidas y bajadas de cifras para 2021:

Subida y bajada entre 1 y 9:

2021=(1+2+34+5+6+7)(8+9+8+7+6)-5-43-21

2021=98×(7+6+5+4+3+2+1)-(1+2+3+4+5+6)-78×9

 

5

Productos con subida y bajada por ser semiprimo 2021:

2021=(123+4-5-67-8)×(9+8+7+65-43-2-1)

2021=(123+45-6-7×(8+9))×(8+76+54+3)/(2+1)

2021=((1+23+4)×5-6-78-9)×(8+7+65-4-32-1)

 

Y siete factoriales:

2021=(720+(120+24)×2+2)×2+1

 

6

2021 también se autogenera con sus cifras:

2021=2021+2+0-2×1

2021=2021+2×0×2×1

 

En esta serie para el 2021 no pueden faltar los pandigitales:

2021=(39+4×(6/(2+0!)-1))×(5×8+7)

2021=1+2×5×(97+4)×6/3+8×0

2021=6×(329+8)-1×(4+5-7-0!)

9

A partir de hoy veremos muchas sumas generando 2021

2021 se genera con dos sumas de cuadrados con diferencias simétricas 1 y 25:

2021=(15-1)^2+15^2+(15+25)^2

2021=(31-25)^2+31^2+(31+1)^2

 

Nueve cubos enteros suman 2021:

2021=1^3+1^3+2^3+3^3+4^3+4^3+4^3+4^3+12^3

 

También suma 2021 esta suma simétrica de siete cubos:

2021=1^3+1^3+7^3+11^3+7^3+1^3+1^3

 

Los siete cubos se pueden reducir a seis:

2021=2^3+5^3+5^3+6^3+6^3+11^3

 

10

Tres sumas algebraicas de potencias con exponentes decrecientes generan 2021. Podían ser más.

2021=5^5+5^4-12^3-1^2

2021=4^6+1^4-13^3+11^2

2021=-1^7+5^5+5^4-12^3

 

2021 es suma de tres cuadrados de 17 formas diferentes. Tenemos que seleccionar tres:

2021=16^2+26^2+33^2

2021=17^2+24^2+34^2

2021=22^2+24^2+31^2

 

2021 es suma de cuatro cuadrados de 39 formas diferentes. Seleccionamos algunas.

2021=14^2+15^2+24^2+32^2

2021=14^2+21^2+22^2+30^2

2021=16^2+17^2+24^2+30^2

2021=18^2+22^2+22^2+27^2

 

11

Muchos conjuntos de dígitos simétricos, pero no palindrómicos, pueden generar 2021. Aquí tenemos tres:

2021=(76+2)×26-7

2021=8×304-403-8

2021=73×(24+4)-2-3×7

 

Es posible generar 2021 mediante los primeros números primos. Se puede conseguir de dos formas:

Troceando cifras y manteniendo el orden:

2021=2357-(1+1+1)×(3+17+1+92)+3

Sin trocear, pero alterando el orden natural:

2021=5/(2+3)×(7+23+13)×(17+19+11)

 

12

Con algo de paciencia y llegando hasta el 47, se puede generar 2021 con los primeros números primos, sin alterar las cifras ni el orden:

2021=2×3×5×7×11-13×17-(19+23)(-29+31)+(-37+41)(-43+47)

 

Todos los números naturales se pueden descomponer en suma de tres triangulares (contando el 0). 2021 admite nueve de esas sumas. Destacamos tres:

2021=15×16/2+40×41/2+46×47/2

2021=19×20/2+37×38/2+47×48/2

2021=24×25/2+31×32/2+49×50/2

 

Todos los números naturales también se descomponen en suma de tres capicúas. 2021 admite 28 de esas sumas. Destacamos algunas:

 

2021=9+131+1881

2021=22+888+1111

2021=99+151+1771

2021=111+909+1001

2021=505+515+1001

 

13

 

2021 se descompone de dos formas distintas en suma de cuatro términos de la sucesión de Fibonacci:

2021=F(7)+F(9)+F(14)+F(17)=13+34+377+1597

2021=F(7)+F(9)+F(16)+F(16)=13+34+987+987

 

2021 equivale a 17 sumas, al menos, de cinco cuadrados simétricos cada una. Publicamos tres:

2021=13^2+19^2+31^2+19^2+13^2

2021=7^2+11^2+41^2+11^2+7^2

2021=21^2+23^2+9^2+23^2+21^2

 

14

 

Esto no falta ningún nuevo año. 2021 con las primeras cifras de los números notables:

Con π:

2021=314+1592+653-58×9-7-9

 

Con “e”:

2021=271×8-(2+8+18+2+8)×4+5

 

Con el número áureo:

2021=1618+0+339+88+74-98

 

Con la raíz cuadrada de 2:

2021=1414+21+356+237+3-0!-9

 

Con la raíz cuadrada de 3:

2021=1732+0+(5+0)×(8+0+7×5+6)+88/(7/7×2)

 

Con el número de plata:

2021=2414-21-356-2×3-7-3

https://www.gaussianos.com/el-numero-plateado/

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_plateado

 

Con el número de bronce:

2021=-330+2775-(63+7)×7+3×19+9

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_met%C3%A1lico

 

15

 

La suma de los divisores de 2021, 1+43+47+2021=2112 (función sigma) es capicúa con desarrollo palindrómico:                  

2112=8×33×8

 

2021 es cateto de la terna pitagórica (2021, 180, 2029), ya que 2021^2+180^2=2029^2

 

2021 equivale a una potencia de 2 menos otra potencia de 3

2021=2^11-3^3

 

16

Una propiedad que parece frecuente pero no lo es, y es que si multiplicamos 2021 por su simétrico 1202 resulta un capicúa:

2021×1202=2429242

 

El número 2021 es la suma de todos los pares de primos consecutivos desde 2+3 hasta 89+97:

2021=(2+3)+(3+5)+(5+7)+(7+11)+ … +(79+83)+(83+89)+(89+97)

 

2021 es igual a la suma de los primeros 33 primos más el número 33                       

2021=2+3+5+7+…+127+131+137+33


 

 

 

 

viernes, 18 de diciembre de 2020

Semiprimos de la forma n²+k

 Una forma de obtener ideas para el blog es la de elegir un número al azar y buscarlo en OEIS (http://oeis.org), la Enciclopedia de sucesiones enteras. En una de estas exploraciones aparecieron las relaciones de los números semiprimos con los cuadrados. Me pareció un tema que podía dar juego, y aquí lo tenéis.

Comenzamos con aquellos semiprimos que sobrepasan a un cuadrado en un número k prefijado. Recorreremos algunos casos de k.

Podemos imaginar una función en la que identificamos n como semiprimo le restamos k y vemos si es cuadrado. Por motivos de rendimiento, es preferible pensarlo al revés, que sería averiguar si el número es de la forma n²+k y después comprobar si es semiprimo. Se puede disponer de una función essemiprimo (o, en algunos lenguajes de programación, hacer bigomega(n)=2), pero integraremos esa comprobación en el código general.

Se puede usar una función (semiconcuad(n,k)) construida para Excel o Calc, pero fácilmente trasladable a otros lenguajes. Usaremos en ella la función escuad, que identifica los cuadrados y que puede tener este listado:

Public Function escuad(n) As Boolean

 If n < 0 Then

escuad = False

Else

If n = Int(Sqr(n)) ^ 2 Then escuad = True Else escuad = False

End If

End Function

También usamos la función esprimo que puedes encontrar en cualquier buscador escribiendo “función esprimo hoja”. Se ha usado mucho en este blog, por lo que se puede omitir cualquier explicación sobre ella.

function semiconcuad(n,k) as boolean

dim d,m,r,q

dim noes as boolean

 If not escuad(n-k) or n=1 then semiconcuad=false:exit function

‘Si n-k no es cuadrado o n=1, sale del algoritmo

d=2:noes=true:r=sqr(n) ‘La raíz cuadrada de n es el tope de los divisores propios

while d<=r and noes ‘Se busca si es semiprimo

q=int(n/d) ‘Para cada divisor se busca el complementario

if n=d*q and esprimo(q) and esprimo(d) then noes=false ‘Busca dos factores primos

d=d+1

wend

semiconcuad=not noes ‘Es semiprimo

end function

Caso k=1

Si aplicamos una búsqueda para k=1 resultan estos primeros semiprimos:

10, 26, 65, 82, 122, 145, 226, 362, 485, 626, 785, 842, 901, 1157, 1226, 1522, 1765, 1937, 2026, 2117, 2305, 2402, 2501, 2602, 2705, 3365, 3482, 3601, 3722, 3845, 4097, 4226, 4762, 5042, 5777, 6085, 6242, 6401, 7226, 7397, 7745, 8465, 9026, 9217, 10001

Están publicados en http://oeis.org/A144255

En esa publicación se destaca que sus factores primos serán distintos, porque n²+1 no puede ser cuadrado. Por ejemplo, 26=52+1=2*13.

Las bases de los cuadrados no presentan ninguna pauta aparente: 3, 5, 8, 9, 11, 12, 15, 19, 22, 25, 28, 29, 30, 34, 35, 39,…

Con la función presentada más arriba es fácil encontrar los primeros semiprimos de la forma n²+k. Es útil si deseamos saber si un número cualquiera cumple lo exigido, pero si solo nos interesa el listado, se puede sustituir por una subrutina. La que sigue escribe con rapidez las primeras 50 soluciones para k=1 en la celda 9,9 de la primera hoja:

sub listsemiconcuad() as boolean

 dim d,m,r,q,k

dim res$

dim noes as boolean

 k=1:res$=""

for n=1 to 50

m=n^2+1

d=2:noes=true:r=sqr(m)

while d<=r and noes

q=int(m/d)

if m=d*q and esprimo(q) and esprimo(d) then noes=false:res$=res$+", "+str$(m)

d=d+1

wend

next n

call escribestring(0,8,8,res$)

end sub

 Se obtiene el listado:

10,  26,  65,  82,  122,  145,  226,  362,  485,  626,  785,  842,  901,  1157,  1226,  1522,  1765,  1937,  2026,  2117,  2305,  2402,  2501

 Es interesante el listado en PARI publicado en esa página, pero requiere alguna corrección. Puedes usar este:

 print(select(n->bigomega(n)==2, vector(100, n, n^2+1)))

 Caso K=2

 Con nuestra función semiconcuad, haciendo k=2, es fácil obtener un listado:

 


En la tabla figuran el número semiprimo, la base del cuadrado correspondiente y la factorización del primero. Los semiprimos aquí tampoco serán cuadrados.

 Las bases de los cuadrados en la segunda columna están publicadas en http://oeis.org/A242330

 Con PARI obtenemos estas soluciones en forma de lista

 print(select(n->bigomega(n)==2, vector(100, n, n^2+2)))

 [6, 38, 51, 123, 146, 291, 326, 731, 843, 1227, 1371, 1766, 1851, 2306, 2603, 2811, 2918, 3027, 3602, 4227, 4358, 4763, 5186, 5331, 5627, 6243, 6891, 7058, 7571, 8102, 8651, 9411]

Igualmente, para k=3:

 


Las bases de los cuadrados, 1, 6, 16, 18, 20, 24, … están publicadas en http://oeis.org/A242331. Aquí sí hay una solución cuadrada, el 4, igual a 12+3.

K=-1

 Este caso es interesante, porque en él el semiprimo equivale a n2-1=(n+1)(n-1) lo que nos lleva a que sus factores son primos gemelos, y por tanto el semiprimo pertenecerá a http://oeis.org/A037074

 Los primeros serán:

En la factorización de la derecha aparecen claramente los pares de primos gemelos.

Los números de la segunda columna, bases de los cuadrados correspondientes, será, pues, los promedios de los pares de primos gemelos.

 

Se puede plantear algo similar para los cubos, buscando semiprimos de la forma n3+k, pero está casi todo publicado y no tiene interés añadido. Lo dejamos aquí.

miércoles, 9 de diciembre de 2020

Los números de Pell

Se llaman así a los denominadores del desarrollo en fracciones continuas de la raíz cuadrada de 2. Como este algoritmo no suele ser muy conocido, remitimos a nuestras entradas referidas a él. Como fueron varias, es preferible que consultes el resumen Números y hoja de cálculo II en su capítulo “Las olvidadas fracciones continuas”. Lo puedes descargar desde

http://www.hojamat.es/publicaciones/hojanum2.pdf

En esa publicación podrás repasar lo más importante de estas fracciones, que sirven para aproximar tanto los números racionales como los irracionales. En este último caso, si son cuadráticos, los coeficientes de dichas fracciones son periódicos, detalle muy importante, porque nos permite realizar iteraciones. Vemos todo esto a continuación:

Raíz de 2 en forma de fracción continua

Copiamos a continuación la introducción al capítulo que hemos enlazado:

Llamamos fracción continua a la expresada de esta forma:

donde a es entero y b, c…son enteros positivos llamados cocientes. Toda fracción ordinaria se puede expresar de esta forma, y todo número irracional admite aproximaciones mediante desarrollos de este tipo. Las fracciones continuas se usan cuando se desea manejar un representación de los números reales independiente del sistema de numeración (salvo en la expresión de los cocientes).

Como hemos indicado más arriba, en el caso de irracionales cuadráticos los cocientes son periódicos. Lo intentamos ver con la raíz cuadrada de 2 y una calculadora:

1,4142135623731 = 1+0,4142135623731 = 1+1/2,414213562 = 1+1/(2+0,414213562) = 1+1(2+1/2,414213562) = 1+1(2+1/2+0,414213562) = …

Aunque de forma aproximada, ya vemos la periodicidad. De hecho, la fracción continua de la raíz cuadrada de 2 es


Si se interrumpe el desarrollo, que es infinito y periódico y se calcula el valor de lo truncado obtendremos las llamadas reducidas. No vamos a reproducir aquí la teoría, porque nuestro interés está en los denominadores de esas reducidas. Desde hace mucho tiempo se sabe que tanto los cocientes como las reducidas se calculan a partir del algoritmo de Euclides para obtener el M.C.D. Dejamos por ahora el fundamento de todo esto, porque lo que nos va a interesar es la obtención de los números de Pell por recursión.

Podemos usar nuestra hoja de cálculo fraccont.xlsm para reproducirlo todo (descargable desde http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#fraccont)

Reproducimos el resultado que da para la raíz cuadrada de 2:

En la parte izquierda hemos escrito los decimales de la raíz cuadrada de 2, (=RAIZ(2)). La línea de arriba contiene los cocientes de la fracción continua, que, como vemos, es periódica salvo el primero. Debajo están escritas las reducidas, que son fracciones que se aproximan al valor de la raíz de 2, según puedes observar en la fila verde de abajo.

De toda esta teoría nos interesan los valores de los denominadores (lo demás lo puedes ignorar): 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378,…Estos son los llamados “Números de Pell”.

Se puede demostrar que la generación de estos números se obtiene por recursión mediante un antiguo algoritmo llamado de “los cumulantes”. Compruébalo:

P1=1,  P2=2,  P3=2*P2+P1=2*2+1=5,  P4=2*P3+P2=2*5+2=12,…

Pn=2*Pn-1+Pn-2

Aquí comienza verdaderamente el tema:

Llamaremos números de Pell a aquellos números enteros obtenidos mediante esta definición por recursión:

P1 = 1,  P2 = 2,  Pn = 2*Pn-1 + Pn-2

Los primeros son: 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832, 1136689, 2744210, 6625109, 15994428, 38613965, 93222358, 225058681, 543339720, 1311738121, 3166815962, 7645370045,…

Están publicados en http://oeis.org/A000129

Los puedes reproducir mediante la recursión, pero podemos usar otra herramienta que ofrece Hojamat.es sobre las sucesiones recurrentes.

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2

En la hoja “Segundo orden” podemos escribir los datos de esta recursión: 1 y 2 como elementos iniciales de los números de Pell así como 2 y 1 como coeficientes de la fórmula de recursión. Quedaría así:


Si le das al botón
Ver sucesión obtendrás los primeros números de Pell:

Si bajas a celdas inferiores podrás encontrar la ecuación característica, que es la fórmula que devuelve los números de Pell sin necesidad de recursión. La hoja nos devuelve esta ecuación:

X(n)= .85355*( 2.41421)^n+ .14645*(-.41421)^n)

Está escrita con decimales, pero puedes comprobar fácilmente que coincide con la que te dará  cualquier publicación:



Si le das un valor entero positivo a n, con la fórmula se obtendrá Pn. A partir de ella se deduce que el cociente entre dos números de Pell consecutivos se acerca al valor del número de plata:

La razón es que al crecer n el segundo sumando tiende a 0. Lo comprobamos con nuestra herramienta recurre2.xlsm:

 


La recurrencia también es útil para investigar si un número cualquiera es de Pell o no. Como el proceso es bastante rápido, bastará usar esa recurrencia desde P(1)=1 y P(2)=2 hasta llegar al número dado. Si el proceso pasa por él, será de Pell y, si lo sobrepasa, no lo será. Lo hemos plasmado en esta función:

Función ESPELL

Public Function espell(n)

Dim a, b, c

Dim es As Boolean

 

If n = 1 Or n = 2 Then espell = True: Exit Function ’ Si es 1 o 2, hemos terminado

a = 2: b = 5: es = False ‘Iniciamos en P(3)=5 y es=false (lo normal es que no sea tipo Pell)

While b <= n

If b = n Then es = True ‘Si pasa por el número, será de tipo Pell

c = a + 2 * b: a = b: b = c ‘Recurrencia

Wend ‘Si sobrepasa al número, no es de Pell

espell = es

End Function

 

Puedes probarla con números que sabes que son del tipo Pell y otros que no lo sean, para ver su funcionamiento.

Si conoces el lenguaje PARI, puedes usar esta otra, que es idéntica, pero de estructura más compacta:

espell(n)={my(a=2,b=5,c,m=0);while(b<=n,if(b==n,m=1);c=a+2*b;a=b;b=c);m||n==1||n==2}


Son soluciones de ecuaciones de Pell

Lo que sigue es sólo una ventana a otro tema. Si no te interesan las ecuaciones de Pell, ignóralo. Si ya tienes una idea, esto te servirá para repasar o avanzar.

Los valores P2n son soluciones de la ecuación de Pell x2-2y2=1

Hemos usado nuestra hoja

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell

En ella hemos a D el valor 2 y hemos pedido soluciones para que el segundo miembro valga 1:

Observamos que las soluciones para Y son los números de Pell de índice par.

Los valores P2n-1 son soluciones de la ecuación de Pell x2-2y2=-1

En efecto, para el -1 resultan los números de Pell de índice impar 5, 29, 169,…


Aquí lo dejamos, ya que era una idea para profundizar.

 

Los números de Pell y las ternas pitagóricas

Los números de Pell nos sirven para descubrir catetos de una terna pitagórica primitiva que se diferencien en una unidad. Para ello recordemos que las ternas se formaban mediante estas tres expresiones: (2mn, m2-n2, m2+n2), con m y n coprimos y de distinta paridad. Si los dos catetos se diferencian en una unidad se cumplirá que m2-n2=2mn+1. Hemos escrito 1, pero también resultan casos con el -1

Convertimos m2-n2=2mn+1 en (m-n)2-2n2=1 ( o a -1)

Por tanto, m-n y n serán soluciones de la ecuación de Pell contenidas en las tablas de arriba.

Tomemos, por ejemplo, las soluciones 99 y 70. Calculamos:

m-n=99, n=70, m=169, m2-n2= 23661 y 2mn=2*169*70=23660, y son consecutivos.

Vemos otro: m-n=17, n=12, m=29 y m2-n2=697 y 2mn=696.

Los valores de m y n resultan ser números de Pell consecutivos.

 

¿Pueden ser de otro tipo los números de Pell?

Si combinamos nuestra función ESPELL vista más arriba con otras del mismo tipo como ESCUAD, ESPRIMO, ESOBLONGO o ESTRIANGULAR, podemos saber si un número de Pell puede pertenecer a otro tipo. Aquí tienes algunos resultados:

Primos

Sí existen números de Pell que son primos. Los primeros son 2, 5, 29, 5741,…Sus índices han de ser primos también. Puedes profundizar en estas páginas:

https://mathworld.wolfram.com/PellNumber.html

http://oeis.org/A086383

Cuadrados

Sólo son de Pell y cuadrados estos dos: el 1 y el 169

Triangulares

Ocurre algo similar, que el 1 es el único número de Pell triangular

Oblongos

Hemos encontrado 2 y 12 y no parece haber más.

Semiprimos

Hemos encontrado 169=13*13, 985=5*197, 1136689=137*8297, 6625109

Con esto tienes una idea básica de lo que son los números de Pell y algunas de sus propiedades.