El catering perezoso

El título es la traducción literal de la sucesión “Lazy Caterer's Sequence” publicada en https://oeis.org/A000124 con el título Central polygonal numbers, que se refiere al máximo número de porciones que se puede obtener en una tarta si la sometemos a n cortes. Su referencia a los números de Hogben, ya tratados en este blog

(https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/11/numeros-de-hogben.html)

 me ha llevado a estudiarla, sólo en los aspectos que trata normalmente este blog.

Fórmula de la sucesión

Si solo nos interesan los números máximos de piezas resultantes, deberemos suponer que cada corte posee intersección con todos los anteriores, evitando paralelismos, por lo que se cumplirá que c(n+1)=c(n)+n. Como c(1)=2, ya que el primer corte produce dos piezas, es fácil ver que la sucesión será: 2, 2+2,2+2+3, 2+2+3+4 ,… pero en OEIS se considera siempre c(0), que aquí sería 1 (ningún corte), por lo que resultaría al final 1, 2, 4, 7, 11, 16, …, que es la publicada.

El hecho de que la suma de los primeros números naturales sea un número triangular, n(n+1)/2, nos da directamente la fórmula de estos números:

En la imagen vemos la generación de c(4), porque de los tres cortes existentes, el cuarto produce 4 nuevos, y el resultado es 4*5/2+1=11

Si la fórmula de c(n) es n(n+1)/2+1, la de c(n-1) será, desarrollando (n²-n+2)/2, y podemos identificar el numerador con un número de Hogben aumentado en una unidad. Esto relaciona las dos sucesiones, pues si añadimos una unidad a la Hogben y dividimos entre 2 nos resulta la que estamos estudiando.

Si emparejamos índices, se comprueba esta relación:

Hogben:             1, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43,  57, 73, 91

Lazy Caterer's:       1, 2, 4,  7,  11, 16,  22,  29, 37, 46

(13+1)/2=7, (21+1)/2=11,  (31+1)/2=16, …

Los números de Hogben, según es fácil de demostrar, se generan con la recurrencia h(n+1)=h(n)+2n, ajustando bien el índice inicial. Es otra forma de razonar la relación entre las dos sucesiones.

Si repasamos mi estudio de estos números, podemos descubrir que los c(n) son la cuarta parte de la suma de dos de h(n)  diferenciados en dos órdenes:

2=(1+7)/4, 4=(13+3)/4, 7=(21+7)/4, 11=(31+13)/4, …

Los primeros términos de la sucesión c(n) son:

1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, 46, 56, 67, 79, 92, 106, 121, 137, 154, 172, 191, 211, 232, 254, 277, 301, 326, 352, 379, …

https://oeis.org/A000124

Basta aplicar la formula a los primeros números naturales para conseguirla.

Algunas curiosidades

En la página citada se proponen varias propiedades y curiosidades, pero sin desarrollar. Estudiaremos algunas.

Todo proceso en el que el término enésimo produzca el siguiente al sumarle n puede interpretarse como número del tipo C(n).

Un ejemplo que se propone que el de contar los términos de la expresión (x+y)*(x²+y²)*(x³+y³)*...*(xⁿ+yⁿ).

For n >= 1 a(n) is the number of terms in the expansion of (x+y)*(x^2+y^2)*(x^3+y^3)*...*(x^n+y^n). - Yuval Dekel (dekelyuval(AT)hotmail.com), Jul 28 2003

La justificación es la siguiente: Los primeros términos la cumplen, porque c(0)=1, c(1)=2 y c(2)=4, como fácilmente se comprueba. Los siguientes deberán incrementar los términos en n elementos, porque, por ejemplo, la expresión segunda x³+x²y+xy²+y³ se convertiría en x³*(x³+x²y+xy²+y³)+y³*(x³+x²y+xy²+y³), aparentemente ocho términos, pero se pierde uno al sumar los dos términos del tipo x³y³, con lo que se suman sólo tres términos, quedando 7, que es c(3). Lo vemos con wxMaxima:

         ratsimp((x+y)*(x^2+y^2)*(x^3+y^3));

     y^6+x*y^5+x^2*y^4+2*x^3*y^3+x^4*y^2+x^5*y+x^6

Siete términos, c(3)=7

Se razonaría de igual forma para grado 4. Lo comprobamos:

         ratsimp((x+y)*(x^2+y^2)*(x^3+y^3)*(x^4+y^4));

y^10+x*y^9+x^2*y^8+2*x^3*y^7+2*x^4*y^6+2*x^5*y^5+2*x^6*y^4+2*x^7*y^3+x^8*y^2+x^9*y+x^10

Once términos, c(4)=11

Otra forma de ver las curiosidades es la relación con técnicas de elegir dos elementos en un conjunto. La propuesta de nuestro compatriota Arregui aprovecha ese detalle:

Number of interval subsets of {1, 2, 3, ..., n} (cf. A002662). - Jose Luis Arregui (arregui(AT)unizar.es), Jun 27 2006

Para fijar un intervalo en el conjunto {1, 2, 3, ..., n} bastará elegir un inicio y un final, pero existen n(n-1)/2 formas de efectuar la elección, y añadimos el intervalo vacío, obtendremos los términos C(n). Por ejemplo, {1} sólo posee el intervalo vacío (), {1, 2} los intervalos (), (1,2), (2,3), (1,3), que son c(2)=4,  {1, 2, 3} tendría estos: intervalos (), (1,2), (2,3), (1,3) (1,4), (2,4), (3,4), en total c(3)=7.

Cualquier otro proceso de este tipo, ajustando los índices, se puede representar con los números c(n)

Termino con dos propiedades triviales:

Numbers m such that 8m - 7 is a square. - Bruce J. Nicholson, Jul 24 2017

En efecto, si T(n) es triangular, 8T(n)+1 es un cuadrado, según una popular propiedad, luego 8C(n)-7=8T(n)+8-7=8T(n)+1, que es un cuadrado.

a(n) is the sum of the first three entries of row n of Pascal's triangle. - Daniel T. Martin, Apr 13 2022

En efecto, los tres primeros términos son 1, n y n(n-1)/2 y su suma 1+(n²-n+2n)/2=1+n(n+1)/2=c(n). Por ejemplo, para n=4 queda 1+4+6=11=c(4)

Recurrencia lineal

Las sucesiones dependientes de cuadrados suelen presentar esta recurrencia: a(n+3) = 3*a(n+2) - 3*a(n+1) + a(n). En nuestro caso los términos iniciales son 1, 2, 4. Con mi herramienta de recurrencias se puede comprobar.

(https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Rellenamos las condiciones iniciales:

Pedimos ver la sucesión:

Como era de esperar, obtenemos C(n)

Como los números de Hogben también dependen de un cuadrado, se obtendrán con una recurrencia idéntica, pero iniciando en 1, 1, 3:

 

Pedimos ver la sucesión y obtenemos H(n):

En nuestra entrada de blog sobre estos números se explica el fundamento de que esta recurrencia sea válida para expresiones de segundo grado.

 

Por una unidad, no son de Fibonacci (2)

En la entrada anterior repasamos las recurrencias lineales no homogéneas, alterando la definición de la sucesión de Fibonacci, ya sea sumando o restando una unidad y cambiando las condiciones iniciales.

En esta segunda entrada restaremos una unidad a la definición clásica, y fijaremos a(1)=1 y a(2)=k, número que variaremos para ver qué ocurre. La recurrencia será a(n)=a(n-1)+a(n-2)-1. Tomaremos k=4 para comenzar. Como en la anterior entrada, generaremos la sucesión directamente en columnas de hoja de cálculo:

Procedemos a encontrar la solución homogénea, y vemos la diferencia entre ambas. Se puede consultar la entrada anterior para seguir este proceso.

Pantalla de la hoja recurre_lineal:

Copio la sucesión de la recurrencia homogénea junto a la obtenida para la no homogénea. Creo una tabla en la que al leer de izquierda a derecha desembocaremos en la expresión definitiva:

En primer lugar figuran los índices de las sucesiones. Aquí comenzamos con 1. Después emparejamos las soluciones homogéneas con las que no lo son, y se puede descubrir que su diferencia es 1-F(0), con lo que quiero expresar que es el número de Fibonacci correspondiente al índice de su fila. En la siguiente columna situamos la solución para la homogénea, deducida de mi hoja recurre_lineal, y, por último, sumo 1-F(0). Al final (ver celda naranja) quedamos con 3F(-1)+1. Por cuestiones de índices, en OEIS usan FIBONACCI(N)+1. Al final da igual donde comencemos.

Se puede comprobar con PARI:

Observa el código tan simple que figura arriba.

Estos resultados coinciden con los publicados en https://oeis.org/A187893

Lo interesante del proceso que hemos seguido es que es válido para cualquier otro valor de K, y la sucesión vendría dada por (k-1)*FIBONACCI(N)+1

Por ejemplo, para k=3 obtenemos 1, 3, 3, 5, 7, 11, 17, 27, 43, 69, 111, 179, 289, 467, 755, 1221, … que sigue la expresión 2*FIBONACCI(N)+1.

Para k=6 obtenemos 1, 6, 6, 11, 16, 26, 41, 66, 106, 171, 276, 446, … definida por 5*FIBONACCI(N)+1:

for(n=0,20,print1(5*fibonacci(n)+1,", "))

1, 6, 6, 11, 16, 26, 41, 66, 106, 171, 276, 446, 721, 1166, 1886, 3051, 4936, 7986, 12921, 20906, 33826, …

La mayoría de casos para k están sin publicar, como era esperable.

 

Casos más simples

Si las complicaciones de la recurrencia, otra forma de añadir una unidad a la sucesión de Fibonacci es realizarlo una vez esta formada. Nos resultan dos sucesiones sencillas:

Fibonacci más una unidad

Usaré PARI, que nos está viniendo muy bien en este tema:

for(n=0,20,print1(fibonacci(n)+1,", "))

1, 2, 2, 3, 4, 6, 9, 14, 22, 35, 56, 90, 145, 234, 378, 611, 988, 1598, 2585, 4182, 6766, …

Está publicada en https://oeis.org/A001611

En esa página destacan que tres elementos pueden formar triángulo, porque cada uno es menor que la suma de los dos anteriores y mayor que su diferencia. También se afirma que los únicos números primos presentes son el 2 y el 3. Podemos añadir algo más:

Entre los primeros términos sólo hay tres cuadrados: 1, 4 y 9.

for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(a),print1(a,", ")))

1, 4, 9, …

Aparecen cuatro triangulares (observa el código, que se basa en que 8T+1 es cuadrado):

? for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(8*a+1),print1(a,", ")))

1, 3, 6, 378, …

También contamos con oblongos (tipo N(N+1)):

? for(n=0,2000,a=fibonacci(n)+1;if(issquare(4*a+1),print1(a,", ")))

2, 2, 6, 56, 90, …

 

Fibonacci menos una unidad

Con la experiencia adquirida todo es más fácil, y me limitaré a resultados:

? for(n=1,30,a=fibonacci(n)-1;print1(a,", "))

0, 0, 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, 54, 88, 143, 232, 376, 609, 986, 1596, 2583, 4180, 6764, 10945, 17710, 28656, 46367, 75024, 121392, 196417, 317810, 514228, 832039, …

Publicada en https://oeis.org/A000071, donde se desarrollan múltiples propiedades.

Los únicos primos presentes entre los primeros son 2 y 7:

? for(n=1,3000,a=fibonacci(n)-1;if(isprime(a),print1(a,", ")))

2, 7, …

Cuadrados sólo aparecen 0, 1 y 4

Triangulares 0, 1 y 1596

Oblongos 0, 2, 12 y 20.

Hasta aquí llega el recorrido de este tema. El resto se lo dejo a quien me lea.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Por una unidad, no son de Fibonacci (1)

La sucesión de Fibonacci, definida como a(1) = 1, a(2) = 1, a(n) = a(n-1) + a(n-2), da lugar a otras muchas sucesiones que mantienen básicamente la misma fórmula de recurrencia o bien cambian las condiciones iniciales. Hoy nos vamos a dedicar a estudiar aquellas sucesiones definidas mediante a(n)=a(n-1) + a(n-2) ± 1. Respecto a las condiciones iniciales, elegiré aquellas que estén publicadas o alguna otra que sea afín, porque el objetivo no es descubrir ada nnuevo, sino practicar con las herramientas que suelo usar y explicar lo que se descubra.

Una unidad más

En primer lugar, estudiaré a(n) = a(n-1) + a(n-2) + 1, con a(1) = 0 y a(2) = 2. (Ver https://oeis.org/A001610)

Con una hoja de cálculo se construyen perfectamente las sucesiones definidas por recurrencia. Escribimos a(1), en la celda de abajo a(2), y en las siguientes la fórmula de recurrencia. No hay más dificultad. Es conveniente situar a su izquierda una columna de índices. Por ejemplo, en este caso obtendríamos:

Coinciden los términos con los publicados en https://oeis.org/A001610

0, 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5777, 9348, 15126, 24475, 39602, 64078, 103681, 167760, …

Recurrencia lineal no homogénea

Si deseamos profundizar algo más sobre esta sucesión es conveniente tratarla como recurrencia no homogénea. En estos casos se suele resolver la homogénea y después tratar aparte el sumando no lineal, que aquí sería el 1.

La parte homogénea se resuelve mediante la ecuación característica. La base teórica la tienes en cualquier texto o página web, como

https://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_recurrencia

Poseo una herramienta descargable para resolver estas ecuaciones con las limitaciones propias de una hoja de cálculo

 (https://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2)

Le suministro los datos de la parte homogénea del problema, que aquí sería la de números de Fibonacci con las condiciones iniciales 0 y 2.

Pulso el botón Resolver para ver la ecuación característica:

La hoja de cálculo no es simbólica, por lo que hay que saber interpretar estos coeficientes en función del número áureo o de la raíz cuadrada de 5:

Aparecen dos soluciones reales, que dan lugar a la expresión de más abajo:

Sería:

Esta fórmula daría lugar a la parte homogénea, que nos da la sucesión que presenta la herramienta usada:

La parte no homogénea es un 1, y según la teoría, habría que someterla a las mismas condiciones que la homogénea, y después encontrar el coeficiente adecuado.

En nuestro caso esta es la situación:

Valores de la homogénea:   0  2  2  4  6  10  16  26  42

Valores encontrados:           0  2  3  6 10  17  28  46 75

Diferencias:                          0  0  1  2  4  7  12  20 33

Las diferencias equivalen a los números de Fibonacci clásicos menos una unidad, y las soluciones de la homogénea son el doble de los mismos de Fibonacci con un índice una unidad menor. Con esta consideración nos liberamos de cálculos algebraicos.

Así, la solución buscada por recurrencia se puede expresar de esta forma, que da el valor directamente:

A(n)=2*F(n-1)+F(n)-1=F(n+1)+F(n-1)-1

Podríamos expresarlo en función de la raíz de 5 en una fórmula demasiado larga. Es preferible expresarla usando la función FIBONACCI(N). Así se puede encontrar con PARI:

 for(i=1,40,a=2*fibonacci(i-1)+fibonacci(i)-1;print1(a,", "))

La web de PARI (https://pari.math.u-bordeaux.fr/gpwasm.html), nos ofrece las mismas soluciones que las publicadas en OEIS, que en las fórmulas incluyen F(n+2)+F(n)-1, porque suelen usar el 0 como primer índice. En la programación en PARI,  G. C. Greubel usa una expresión similar a la obtenida aquí.

0, 2, 3, 6, 10, 17, 28, 46, 75, 122, 198, 321, 520, 842, 1363, 2206, 3570, 5777, 9348, 15126, 24475, 39602, 64078, 103681, 167760, 271442, 439203, 710646, 1149850, 1860497, 3010348, 4870846, 7881195, 12752042, 20633238, 33385281, 54018520, 87403802, 141422323, 228826126, …

Se descubren varios números primos en el listado. Podemos modificar nuestra búsqueda para encontrarlos:

for(i=1,100,a=2*fibonacci(i-1)+fibonacci(i)-1;if(isprime(a),print1(a,", ")))

Estos serían los primeros números primos:

2, 3, 17, 103681, 10749957121, 115561578124838522881

No he encontrado cuadrados, pero si se encuentran números que son una potencia más una unidad:

10, 17, 28, 122, 842, 5777, 39602, 271442, 1860497, 12752042, 87403802, …

Este ha sido un estudio que abre caminos a otras técnicas matemáticas. Es sólo un inicio para quienes deseen profundizar. En la siguiente entrada se completará con algún caso más.

 

 

 

Propiedades del 2026

 No todos los años publico las propiedades de un año nuevo, porque lo hago en otros medios, pero en este los he terminado ya de compartir, por lo que no viene mal recogerlos aquí. Los números de orden se corresponden con los conjuntos de propiedades publicados cada día. Feliz año nuevo.

1)

2026 es un número semiprimo, pues 2026=2×1013 y es del tipo n²+1, ya que 2026=45²+1. Es el semiprimo número 582 en el orden natural. Si le suprimimos cualquier cifra, sigue siendo semiprimo: 026=2×13, 226=2×113, 206=2×103 y 202=2×101

2026, aunque se diferencia en 1 del cuadrado 45² , sus cuadrados se diferencian en un número primo:     

2026²-45⁴=4104676-4100625=4051, que es primo.     
      

Una escala de cifras ascendente y otra descendente para 2026:

2026=1×2×(34×5×6-7)

2026=9×(8+7+6+54)×3+2-1

2)

2026 es capicúa en tres bases de numeración, 13, 14 y 45:            

2026 (10 = 11, 12, 11 (13 = 10, 4, 10 (14 = 1, 0, 1 (45       

Y concatena N//N+6: 2026=20//26

 Una curiosidad:

2026=INT(LN(5)^16)

2026 se puede formar de estas dos formas con los primeros números primos:

2026=(2+3!+5)×7×(11+13)-(17+19+23+29+31)-37+41-43

2026=2×((3+5)×(7+11+13)×17-19-23-29×(31+37+41))

3)

2026 es el promedio de dos semiprimos consecutivos con él:

2026=2×1013=(2021+2031)/2=(43×47+3×677)/2

También es promedio de dos anteriores y dos posteriores: 2019, 2021, 2031 y 2033

En el año 2026 no podían faltar las cifras simétricas:

2026=2×(1×1001+12)

2026=(3-1)×(0+1)×1013

2026=2021+1+2+0+2

2026=1×2×(505+3+505)×(2-1)

2026 presenta, entre otras, estas sumas de consecutivos:                       

Compuestos: 2026 =505+506+507+508

Enteros: 2026=505+506+507+508

Semiprimos: 2026=237+247+249+253+254+259+262+265

Pares: 2026=1012+1014

 4)

La suma de las funciones SIGMA y PHI en 2026 coincide con la de 2027   

  2026              2027

SIGMA           3042              2028

PHI                 1012              2026

SUMA            4054              4054

SIGMA es la suma de divisores y PHI cuenta los coprimos menores que el número.

 

2026 presenta estas dos generaciones mediante factoriales:

2026=2!×(6!+(5!+4!)×2!+2!)+3!

2026=(6!×2!+2!)×2!-6!-4!-5!+3!

 

2026 es diferencia entre dos números triangulares (tipo N(N+1)/2):

2026=508×509/2-504×505/2

5)

Las funciones PHI y SIGMA que vimos ayer, cumplen en 2026 lo siguiente:

PHI(PHI(2026)+SIGMA(2026))=PHI(1012+3042)=PHI(4054)=2026

 

2026 no es un número intocable, porque equivale a la suma de las partes alícuotas de 2366: 2026=1183+338+182+169+ 91+26+14+13+7+2+1

(ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2022/05/regresos-3-numeros-intocables.html)

También lo es de 2510 y 2692.

 
2026 equivale a sumas de tres potencias con algún alto exponente:

2026=35^2+2^9+17^2

2026=37^2+23^2+2^7

2026=37^2+23^2+2^7

2026=37^2+5^4+2^5

2026=43^2+2^7+7^2

 

6)

2026 equivale a nueve sumas de siete cubos cada una:

1+1+27+27+512+729+729

8+27+64+343+343+512+729

8+64+64+216+216+729+729

1+1+8+8+8+1000+1000

1+8+8+64+216+729+1000

1+125+125+216+216+343+1000

8+27+216+216+216+343+1000

1+27+27+64+64+512+1331

1+1+8+8+64+216+1728

 

 

2026 equivale a estas expresiones palindrómicas:

2026=2×3×3×7×7+262+7×7×3×3×2

2026=2+8+2+2002+2+8+2

2026=5+12×8×21+5

2026=2×3×2+2002+2×3×2

2026=3×5×3+22×4×22+3×5×3

2026=131+12×7×21+131

 

Y ahora, pandigitales con resultado 2026:

2026=(1024-8-3)×(9-7)×(6-5)

2026=3+7×(6+5+4+2)×(8+9)×(1+0)

2026=4×3×(8+5)×(6+7)-2×1+9×0

 

7)

Hoy me dedicaré a los desarrollos de una sola cifra para 2026, comenzando del 1 al 3:

2026=(1111-111+11+1+1)×(1+1)

2026=(2×22+2)×2×22+2

2026=(3×3^3+3-3×3)×3^3+3/3

 

2026 expresado con monocifras de 4, 5 y 6:

2026=(4+4)×(4^4)-4!+(4+4)/4

2026=(5!+5+5+5)×(5+5+5)+5/5

2026=6!+6!+6!-66-66-(6+6)/6

 

Por último, las cifras 7, 8 y 9 generan el 2026

2026=(7!-77+7)/7+777+77×7

2026=8!/(8+8)-8×8×8+8+8+(8+8)/8

2026=((999+9)×(9+9)+9)/9+9

 

8)

2026 se genera con la siguiente recurrencia:

 

a(0)=a(1)=0, a(2)=2; y para n >= 3, a(n) = a(n-1) + 4×a(n-3)           

Visto en https://oeis.org/A122946     

Comprobado con una columna de Excel.

 

2026 es un número feliz, porque reiterando la suma de los cuadrados de sus cifras se llega a la unidad:

2^2+0^2+2^2+6^2=44

4^2+4^2=32

3^2+2^2=13

1^2+3^2=10

1^2+0^2=1                                                 

 

2026 es hipotenusa de una terna pitagórica y cateto en otra. Este segundo ha costado encontrarlo:

Como hipotenusa: 2026^2=90^2+2024^2

Como cateto: 2026^2=1026170^2-1026168^2

 

9)

Visto en https://oeis.org/A350130:    

Si a 2026 le aplicamos la función X^2+1 reiteradamente seis veces resulta otro número terminado en 2026          

Lo he comprobado con PARI, pero no cabe aquí.   

 

Como tantos números, 2026 también participa en una igualdad entre fracciones egipcias:

1/2026=1/2022-1/1024143

 

2026 se puede expresar con tres cuadrados con signo. Estas son algunas posibilidades:

2026=11^2+193^2-188^2          

2026=9^2+197^2-192^2

2026=154^2-9^2-147^2 

2026=150^2-5^2-143^2 

2026=117^2+1^2-108^2

                                                          

10)

2026 es divisor del número de Fibonacci de orden 2028. Posee muchas cifras. Se puede comprobar en PARI con el código          

k=fibonacci(2028)/2026 

print(k-truncate(k))          

 

Resultará un cero.

 

2026 es promedio de dos cuadrados  :

2026=(44^2+46^2)/2      

O bien 2026=44^2+44×2+2       

Y también 2026=22×44+23×46 

 

2026 es suma de cinco elementos de la sucesión de Fibonacci:  2026=F(17)+F(14)+F(9)+F(7)+F(5)=1597+377+34+13+5

 

11)

2026 es la suma de los cuadrados de los primeros números libres de cuadrados, desde 1 hasta 21:

2026=1^2+2^2+3^2+5^2+6^2+7^2+10^2+…19^2+21^2

 

2026 es suma de los cuadrados de dos números triangulares:           

2026=T(1)^2+T(9)^2=(1×2/2)^2+(9×10/2)^2          

 

2026 equivale sumas de cuadrados con primos y también con capicúas

2026=3^2+2017=15^2+1801=27^2+1297=33^2+937

2026=39^2+505=42^2+262=45^2+1 

 

12)

2026 es suma del número primo de orden 215 con el semiprimo que tiene el mismo orden

2026=PRIMO(215)+SEMIPRIMO(215)=1319+707=1319+7×101

No ha sido fácil encontrarlos

 

Todo número es suma, a lo más, de tres números triangulares. En el caso del 2026 pueden ser:

2026=10+2016=595+1431=1+990+1035=3+253+1770=6+190+1830

 

Según el teorema de Javier Cilleruelo, todo número es suma de tres capicúas o menos. En el 2026 he elegido una pequeña muestra:

2026=8+1221+797=9+686+1331=9+1331+686=11+464+1551=11+1551+464=22+343+1661

Con ellos termina mi bienvenida al 2026.