martes, 24 de mayo de 2011

Fórmulas que atraen primos

Quienes somos aficionados a los números aprendemos pronto que no hay fórmulas elementales que engendren números primos, a pesar de que muchas mentes valiosas las buscaron. No obstante, hay fórmulas que, al aplicarlas, sus resultados presentan más probabilidad de ser primos que los elegidos al azar. Podemos pensar en las fórmulas clásicas, que después resultaron fallidas, como n2 + n + 17 y n2 - n + 41.

Si engendramos un conjunto de números con estas fórmulas y contamos los primos, nos resulta un nivel destacable. Lo hemos programado con hoja de cálculo, obteniendo:
Para n2 + n + 17:
Números primos en los primeros 500 resultados: 213, con una proporción del 43%
Números primos en los primeros 500 naturales: 95, un 19%
Para n2 - n + 41:
Números primos en los primeros 500 resultados: 326, con una proporción del 65%

¡Quienes inventaron estas fórmulas no iban muy descaminados!

Acabo de leer otra en Futility Closet: x2 – 2999x + 2248541 produce 80 primos desde x = 1460 a 1539.

En realidad, todas estas fórmulas y otras similares están contenidas como diagonales en la Espiral de Ulam. En esta dirección puedes divertirte un poco con algunas consideraciones sobre ella:
http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/propuestas/rutas/htm/ulam.htm

La imagen representa el conjunto de los resultados de n2 + n + 17 en dicha espiral. Los números primos son los elementos de color verde, que son los que predominan.

Como ejercicio y tema de reflexión propondremos otra fórmula que aumenta bastante la probabilidad de encontrar primos entre sus resultados:

Toma dos números a y b primos entre sí y mayores que 2. Con ellos forma la expresión (a-1)*(b-1)-1 ¿Qué podemos decir de los factores primos de esa expresión?

Cuando lo averigües intenta generar muchos pares del tipo a y b y cuenta cuántos primos se engendran con la fórmula. Unas veces se producirán y otras no:

Si a=39 y b=55, primos entre sí, resulta (39-1)(55-1)-1 = 2051 que no es primo, sino semiprimo.
Pero si a=15 y b=64, resulta 881 que sí es primo.

¿Será alta la proporción? ¿Por qué?

Te dejamos unas estadísticas para convencerte. Hemos elegido pares de coprimos y les hemos aplicado esta fórmula. Después comparamos con la lista de números naturales, mediante la función “primos hasta N”

Cota para a y b
Pares resultantes
Primos encontrados
Proporción
Proporción en naturales
50
700
362
0,52
0,18
100
2895
1265
0,44
0,14
200
11933
4416
0,37
0,12

Se comprueba que la proporción es del orden del triple de la usual entre números no sometidos a ninguna fórmula.

Queda para tu estudio la causa de esto.

Si cambiáramos la expresión (a-1)*(b-1)-1 por (a-1)*(b-1)+1 las estadísticas siguen siendo buenas, aunque del orden del doble de lo normal. Otra cuestión que puedes intentar explicar.

Cota para a y b
Pares resultantes
Primos encontrados
Proporción
Proporción en naturales
50
700
362
0,52
0,18
100
2895
1265
0,44
0,14
200
11933
4416
0,37
0,12

En vista de estos resultados nos podíamos animar a buscar primos gemelos con las dos expresiones y compararlos con la función “Primos gemelos hasta N”. También es destacable el incremento de la proporción.

Cota para a y b
Pares resultantes
Primos encontrados
Proporción
Proporción en naturales
50
700
362
0,52
0,18
100
2895
1265
0,44
0,14
200
11933
4416
0,37
0,12


Si se te ocurren otras expresiones similares nos lo puedes contar.

lunes, 16 de mayo de 2011

Calculadora matricial

Ahora que comienzan los exámenes de fin de curso, vendrá muy bien disponer de una calculadora que realice las operaciones matriciales básicas, a fin de comprobar nuestros (a veces pesados) cálculos. El proyecto Hojamat os la ofrece, implementada en hoja de cálculo, tanto para Excel como para Calc.

Con ella podréis realizar

* Operaciones de sumar, restar y multiplicar matrices.
* Cálculo del determinante y la inversa de una matriz.
* Gestión de dos memorias y de las copias subsiguientes.
* Realización de operaciones lineales entre filas de una matriz.
* Edición de pequeñas rutinas de cálculo (similares a macros)

Un manual en PDF explica estas operaciones y desarrolla varios ejemplos prácticos resueltos con esta calculadora.

Podéis descargarlos en:

Calculadora para Excel 2007

Versión para OpenOffice Calc

Manual

La conjetura de Collatz en un Taller de Matemáticas

(Esta es nuestra contribución al Carnaval de Matemáticas 2.4 coordinado en esta ocasión por seispalabras)


Ideas para el aula

Después de leer una entrada sobre la conjetura de Collatz en el blog Matemáticas educativas he recordado las investigaciones escolares que realicé hace años con unos alumnos de Taller de Matemáticas. He buscado la hoja de trabajo y la comparto hoy debidamente adaptada por si fuera útil a alguien. Mi recuerdo es muy positivo, pues incluso un alumno aventajado se inventó un teoremita que ahora no puedo recordar.

Nivel 1 – Oservación

Un misterio matemático

En esta primera fase el objetivo es que todo el alumnado, individualmente, por parejas o grupos, entienda bien de qué va la conjetura de Collatz.  Se puede organizar al final de una clase y pedirles que reflexionen en casa y traigan algún resultado o comentario.

Recomendamos que se use la calculadora o el cálculo mental y que trabajen por parejas, para que uno teclee y otro tome nota.

Texto

El fenómeno que vas a ver ahora tiene intrigados a los matemáticos y no saben explicar las razones del mismo. Consiste en el siguiente juego:


Piensa un número entero, por ejemplo el 11
  •  Ahora, si es  par, lo divides por 2 y si es impar lo multiplicas por 3 y le sumas 1
  •  Repite el cálculo anterior con el número que salga y así con el siguiente y con el siguiente...hasta… que observes algo.


Comenzamos:   11 es impar, luego  11   ==>  11*3+1 = 34
                         34 es   par, luego  34    ==>   34/2   = 17
                         17 es impar, luego  17   ==>  17*3+1 = 52
                         52 es   par, luego  52   ==>  52/2   =26
¿Cuál es el final de estas sucesiones? Prueba con varios números

Nivel 2: Exploración

Cúspides y órbitas

Esta segunda parte se puede organizar con hoja de cálculo y una PDI para la presentación de la tarea. Consiste en automatizar el trabajo creando una columna con los términos de la sucesión recurrente. Se deja una celda preparada para el número inicial (semilla) y después se extiende hacia abajo la fórmula de recurrencia. Sería deseable construir un gráfico sobre unos 100 términos de la sucesión.

Texto

Lo que calculamos ayer se hizo un poco pesado. Se lo pediremos al ordenador. Abre la hoja de cálculo Calc, reserva una celda para la semilla y a partir de la celda que está debajo de ella extiende esta fórmula. Cuando escribimos An-1 nos referimos a la celda de arriba


=SI(RESIDUO(An-1;2)=0; An-1/2; 3*An-1+1)


(Lo de RESIDUO significa “resto de dividir”. Si vale cero es que es par. En Excel debes escribir RESTO)
Extiende la fórmula hacia abajo hasta un total de 100 o 200 celdas (si necesitas más sigues extendiendo). Escribe un número como semilla en la primera celda y crea un gráfico lineal con esta columna de números


Debe quedarte así:


Explica qué ha ocurrido: ¿Cómo termina siempre la sucesión aunque cambies la semilla?


Cambia la semilla a tu gusto, con un número entero positivo. Siempre ocurrirá lo mismo: acabará en 1.


Lo que acabas de descubrir ocurre para todos los números enteros, pero nadie sabe todavía la razón.


Muchos matemáticos intentan demostrarlo sin éxito. (Al menos al escribir este texto).


El conjunto de los números que se recorren cuando haces este juego se llama  Órbita. Para ver la órbita de un número dado, lo escribes como semilla y rellenas hacia abajo hasta que veas  el primer 1 en la sucesión.


Por ejemplo, el 11 tiene una órbita de 15 números 11,34,17,52,....,4,2,1. Compruébalo.


Llamaremos  cúspide absoluta de la órbita al punto más alto que tenga. Lo puedes ver muy bien en el gráfico.


El 11 tiene una cúspide de 52, que es el más alto de su órbita. Compruébalo.


Escribe aquí números que produzcan u órbitas muy largas o cúspides muy altas.

Nivel 3 Reflexión

¿Qué viene detrás de cada número?

Las cuestiones que se desarrollan a continuación están pensadas para un alumnado de 13 a 18 años. Por ello la mayoría pueden resultar fáciles.

Texto

Cuando el número aumente (porque lo hayamos multiplicado por 3 y añadido 1) diremos que ha dado un paso ascendente (una subida), y cuando disminuya (por haberlo dividido entre 2) diremos que ha sido descendente (una bajada).


Reflexiona:

(Se añaden las soluciones, que evidentemente se borrarían en caso de ser usado esto con alumnos)

(a) Detrás de cada número sólo se asciende una vez (o ninguna) y después se baja. Puedes verlo en el gráfico, nunca hay dos tramos de subida distintos ¿Por qué ocurre esto? 

Solución: porque si N es impar, 3N+1 es par

(b) Hay números, como el 48, que producen muchos tramos de bajada seguidos: 48, 24, 12, 6, 3…y comienza a subir ¿Cómo puedes saber con antelación cuántas veces va a bajar?

Solución: Descomponemos el número en factores primos y leemos el exponente de 2

(c) Ciertos números, como el 15, producen una subida, una bajada y otra subida: 15, 46, 23, 70… ¿Puedes encontrarles una fórmula?

Solución: Todos los números impares son o del tipo 4N+1 o bien 4N+3.  Si es del primer tipo, su siguiente será 3(4N+1)+1=12N+4, que es múltiplo de 4 y producirá dos bajadas, luego no nos vale ese tipo. Si es del otro tipo se tendrá 3(4N+3)+1= 12N+10, que a su vez bajará a 6N+5, que por ser impar subirá a 3(6N+5)+1=18N+16.

(d) ¿Puede ser cúspide cualquier número?

Solución: Ha de ser igual a un impar multiplicado por 3 con un 1 añadido, luego será del tipo N=3(2k+1)+1=6k+4 Los números que no sigan ese modelo 6k+4 no podrán ser cúspides.

(e) ¿Qué tienen de particular estos números?: 5, 21, 85, 341, 1365, 5461, … en este proceso que estamos estudiando?

Solución: Son las entradas impares a una sucesión totalmente descendente a 1. Tienen la fórmula (2n-1)/3 con n par. Y una pregunta para profesores: ¿Por qué n no puede ser impar?

Con estas cuestiones y otras que te inventes puedes experimentar con sucesiones de Collatz en clase. Que te diviertas.

lunes, 9 de mayo de 2011

Números AROLMAR


En nuestra entrada “Primos en todas partes” publicada el pasado mes de Febrero se introducía la secuencia

21, 33, 57, 69, 85, 93, 105, 129, 133, 145, 177, 195,…

En  ella los términos tienen todos sus factores primos distintos (son números libres de cuadrados) y el promedio de esos factores es un número primo.

Por ejemplo 195=3*5*13, y el promedio es (3+5+13)/3 = 21/3 = 7, es primo.

Posteriormente se publicó esta secuencia como la número A187073 de OEIS.

Nuestro colaborador y amigo Rafael Parra Machío encontró idónea esta secuencia para  cifrados en criptosistemas. Para ello introdujo un nuevo punto de vista, fijándose más en el número primo resultante de la media y estudiando el mínimo producto resultante de los posibles sumandos primos.

Le agradezco haber titulado su estudio como “Números AROLMAR” con las siglas de mi nombre y apellidos. Es una satisfacción presentar aquí su extraordinario trabajo mediante la descarga del mismo en formato PDF. Creo que merece la pena leerlo con detenimiento.


Espero que lo disfrutéis.

viernes, 6 de mayo de 2011

Parte cuadrada y parte libre (Solución)

Los primeros números en los que la parte cuadrada es una unidad mayor que la parte libre son:


12, 240, 1260, 20592, 38220, 65280, 104652, 159600, 233772, 809100, 1047552, 1335180, 1678320, 2083692, 2558400, 3109932, 7308912, 8500140...

(Secuencia A189883 de OEIS propuesta por este blog)

Puedes crear una columna en una hoja de cálculo que contenga los números del tipo n2-1 para n>1: 3, 8, 15, 24, 35, 48 y quedarte con aquellos cuya parte cuadrada sea 1. Después los multiplicas por su siguiente. Así, 35 está libre de cuadrados. Lo multiplico por 36 y me resulta una de las soluciones, 1260. Resulta rápido.

 La función parte cuadrada la puedes implementar así:

public function partecuad(n)
dim i,p,a

p=1
for i=1 to sqr(n)
a=i*i
if n/a=n\a then p=a
next i
partecuad=p
end function


lunes, 2 de mayo de 2011

Parte cuadrada y parte libre

Todos los números naturales contienen un cuadrado en alguna de sus descomposiciones factoriales (eventualmente valdría 1) y otro factor libre de cuadrados (quizás también 1).

Así, tendríamos, por ejemplo: 80=42*5, 121=112*1, 90=32*10, 15=12*15

Podemos llamar parte cuadrada PC(N) a la primera y parte libre PL(N) a la segunda (se llama “core” en inglés y podemos traducir por “núcleo”) No se debe confundir con el radical de N, que es el mayor divisor de N que está libre de cuadrados.

Tendremos que:

En un cuadrado perfecto PL(N)=1, en un número libre de cuadrados PC(N)=1 y en el resto de números ambos serán mayores que la unidad. En este caso los podemos llamar cuadrables, porque admiten su representación como un embaldosado de estructura cuadrada (las mismas filas que columnas), o bien como uno rectangular con baldosas cuadradas.

Así, el número 90=32*10 es cuadrable, y admite estas dos estructuras:

Rectangular con baldosas cuadradas


Mismo número de filas y columnas con baldosas rectangulares



Los cuadrados, como el 36, es evidente que admiten estructuras cuadradas con baldosas cuadradas, y tal vez de varias formas. Son totalmente cuadrables.



Por último, los libres de cuadrados solo admitirán estructuras rectangulares con baldosas también rectangulares. No son nada cuadrables.

¿Cómo encontrar la parte cuadrada de un número? Plantéatelo como ejercicio. Si lo deseas programar ten en cuenta que basta encontrar el mayor divisor cuadrado de N. Es evidente que teniendo la parte cuadrada, también tienes la parte libre.

Proponemos una cuestión:

¿Qué números presentan la propiedad de que su parte cuadrada y su parte libre de cuadrados son “casi iguales”, que se diferencian sólo en una unidad? Expresado de otra forma: la media aritmética de ambas partes está muy próxima a la raíz cuadrada de N.

Pueden darse dos casos, o que la parte cuadrada tenga una unidad más que la libre, o que tenga una unidad menos. ¿Cómo buscar esos números?

Caso 1: PC(N)+1=PL(N)

Comenzamos por buscar los números de la forma n2(n2+1) para n>=1: 2 20 90 272 650 1332 2450 4160 6642 10100 14762 20880 28730 38612 50850 65792 83810 105300 130682 160400 194922 234740 280370 332352 391250 457652 532170 615440 708122 810900…

Así nos aseguramos que hemos recorrido todas las posibles partes cuadradas. Después deberemos tachar aquellos en los que n2+1 no esté libre de cuadrados.

2, 20, 90, 272, 650, 1332, 4160, 6642, 10100, 14762, 20880, 28730, 38612, 50850, 65792, 83810, 130682, 160400, 194922, 234740, 280370, 332352, 391250, 457652, 532170, 615440, 708122, 810900, 924482, 1187010, 1337492, 1501850, 1680912, 1875530, 2314962, 2561600…(ver http://oeis.org/A069187)

Entre los tachados está 2450=49*50 y 50 es divisible entre el cuadrado de 5, y 105300=324*325, con 325 divisible también entre 25.

Caso 1: PC(N)=PL(N)+1

Aquí deberíamos buscar los números del tipo n2(n2-1), pero tampoco nos resuelve el problema. Nos resultaría la lista (prescindiendo del 0): 12, 72, 240, 600, 1260, 2352, 4032, 6480, 9900, 14520, 20592, 28392, 38220, 50400,…

 Pero 72=32(32-1) está en la lista y  no cumple la condición: PC(72)=36 y PL(72)=2 y. Ha de ocurrir que (n2-1) sea libre de cuadrados. Esto equivale a que n+1 no sea cuadrado, n-1 tampoco y que n+1 y n-1 no tengan un factor en común. Esta última excluye el caso de n impar, luego la lista queda reducida a
12, 240, 1260, 4032, 9900, 20592, 38220, 65280, 104652, 159600…

Habría que excluir después a 4032, porque n+1 es cuadrado, y a 9900, porque n-1 es cuadrado, y así sucesivamente. Quedarían

12, 240, 1260, 20592, 38220, 65280, 104652, 159600…

¿Sabrías completar hasta unos quince términos?

La solución dentro de unos días.