Si engendramos un conjunto de números con estas fórmulas y contamos los primos, nos resulta un nivel destacable. Lo hemos programado con hoja de cálculo, obteniendo:
Para n2 + n + 17:
Números primos en los primeros 500 resultados: 213, con una proporción del 43%
Números primos en los primeros 500 naturales: 95, un 19%
Para n2 - n + 41:
Números primos en los primeros 500 resultados: 326, con una proporción del 65%
¡Quienes inventaron estas fórmulas no iban muy descaminados!
Acabo de leer otra en Futility Closet: x2 – 2999x + 2248541 produce 80 primos desde x = 1460 a 1539.
http://hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/propuestas/rutas/htm/ulam.htm
La imagen representa el conjunto de los resultados de n2 + n + 17 en dicha espiral. Los números primos son los elementos de color verde, que son los que predominan.
Como ejercicio y tema de reflexión propondremos otra fórmula que aumenta bastante la probabilidad de encontrar primos entre sus resultados:
Toma dos números a y b primos entre sí y mayores que 2. Con ellos forma la expresión (a-1)*(b-1)-1 ¿Qué podemos decir de los factores primos de esa expresión?
Cuando lo averigües intenta generar muchos pares del tipo a y b y cuenta cuántos primos se engendran con la fórmula. Unas veces se producirán y otras no:
Si a=39 y b=55, primos entre sí, resulta (39-1)(55-1)-1 = 2051 que no es primo, sino semiprimo.
Pero si a=15 y b=64, resulta 881 que sí es primo.
¿Será alta la proporción? ¿Por qué?
Te dejamos unas estadísticas para convencerte. Hemos elegido pares de coprimos y les hemos aplicado esta fórmula. Después comparamos con la lista de números naturales, mediante la función “primos hasta N”
Cota para a y b | Pares resultantes | Primos encontrados | Proporción | Proporción en naturales |
50 | 700 | 362 | 0,52 | 0,18 |
100 | 2895 | 1265 | 0,44 | 0,14 |
200 | 11933 | 4416 | 0,37 | 0,12 |
Se comprueba que la proporción es del orden del triple de la usual entre números no sometidos a ninguna fórmula.
Queda para tu estudio la causa de esto.
Si cambiáramos la expresión (a-1)*(b-1)-1 por (a-1)*(b-1)+1 las estadísticas siguen siendo buenas, aunque del orden del doble de lo normal. Otra cuestión que puedes intentar explicar.
Cota para a y b | Pares resultantes | Primos encontrados | Proporción | Proporción en naturales |
50 | 700 | 362 | 0,52 | 0,18 |
100 | 2895 | 1265 | 0,44 | 0,14 |
200 | 11933 | 4416 | 0,37 | 0,12 |
En vista de estos resultados nos podíamos animar a buscar primos gemelos con las dos expresiones y compararlos con la función “Primos gemelos hasta N”. También es destacable el incremento de la proporción.
Cota para a y b | Pares resultantes | Primos encontrados | Proporción | Proporción en naturales |
50 | 700 | 362 | 0,52 | 0,18 |
100 | 2895 | 1265 | 0,44 | 0,14 |
200 | 11933 | 4416 | 0,37 | 0,12 |
Si se te ocurren otras expresiones similares nos lo puedes contar.