Media contraarmónica entera

 

 Al cociente (a²+b²)/(a+b) se le suele llamar media contraarmónica de a y b (Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Contraharmonic_mean). Si a y b son enteros (estudiaremos solo  los positivos) podemos preguntarnos si esta media es también entera.

En la página direccionada más arriba podrás descubrir que esa media y la media armónica son equidistantes de la media aritmética, siendo la armónica la de menor valor. Lo expresamos:

Si resta cada una de la anterior observarás que esa diferencia equivale a

La tercera es la media armónica, que es el inverso de la media aritmética de los inversos de a y b. Puedes estudiarla en 

https://es.wikipedia.org/wiki/Media_arm%C3%B3nica

Lo repasamos con un ejemplo, a=30, b=20. Los valores de estas medias serían:

Contraarmónica: (30²+20²)/(30+20)=26 (hemos elegido el ejemplo con valor entero)

Aritmética: (30+20)/2=25

Armónica: 2*20*30/(20+30)=24

Hemos comprobado que los tres valores son equidistantes.

También cumplen unas proporciones interesantes. Si llamamos mc a la contraarmónica y mh a la armónica se cumple:

En el ejemplo, 30/20=3/2; (30-24)/(24-20)=(26-20)/(30-26)=6/4=3/2

Puedes repasar estas proporciones en el documento 

https://oeis.org/A210494/a210494.pdf

 

Media contraarmónica entera para un a dado y b máximo

Ya podemos entrar en el estudio que nos hemos propuesto, y es investigar para qué pares la media contraarmónica es entera. Como para cada valor de a pueden existir varias soluciones para b, nos vamos a dedicar tan solo a los valores de b que sean máximos, pero menores que a.

En principio, encontrar esos pares de valores no parece complicado. La siguiente función nos lo facilita. La idea es recorrer, para cada n, el mayor valor de k que cumpla esa condición. Buscamos el mayor porque puede abrir rutas hacia otras cuestiones, y porque suelen aparecer varias soluciones. Hemos cambiado la notación de a y b a n y k, para destacar que lo trataremos todo como una propiedad de n.

Public Function divsumapote(n)

Dim k, a

a = 0

For k = 1 To n - 1

If (n ^ 2 + k ^ 2) Mod (n + k) = 0 Then a = k

Next k

divsumapote = a

End Function

 

El interés de este algoritmo está en la quinta línea. En primer lugar nos preguntamos If (n ^ 2 + k ^ 2) Mod (n + k) = 0, o dicho de otra forma, si se cumple la media contraarmónica de n y k es entera. En ese caso le damos a la variable a el valor de k correspondiente, pero como el bucle de cálculo continúa, ese valor de a llegará lo más alto posible, devolviéndonos así el máximo valor de k. Si ese valor es 0, el número n elegido no cumple esa condición.

Con esta función hemos encontrado los primeros valores de n y k que tienen su media contraarmónica entera:

Los valores de n ya están publicados, aunque con una orientación diferente, en http://oeis.org/A005279

6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 117, 120, 126, 130, 132,…

Por ejemplo, 42 y 30 figuran en nuestra tabla porque

Mc(42,30)=(42²+30²)/(42+30)=37

Si esta media es entera, la armónica también lo será. Se puede demostrar con este desarrollo:

Si el primer miembro es entero, el último término también lo será, y resulta que se trata de la media armónica. En el ejemplo:

Si 37 es entero, la media armónica será 42+30-37=35, también entero.

Así que si la media contra armónica es entera, también lo será la armónica (y a la inversa), con lo que la aritmética será entera o un  racional con denominador 2.

Por ejemplo, con 45 y 36, las medias son: mc=(45²+36²)/(45+36)=41, mh=2*45*36/(45+36)=40 y ma=(45+36)/2=40,5=81/2

 Si 2ab/(a+b) es entero h, será 1/h=(a+b)/2ab=1/2b+1/2a

Esta expresión relaciona tres fracciones egipcias unitarias.

En nuestra entrada https://hojaynumeros.blogspot.com/2019/02/suma-y-diferencia-de-fracciones.html dedicamos muchas líneas para demostrar que el denominador de una fracción egipcia unitaria que es diferencia de otras dos del mismo tipo debía tener dos divisores d y e tales que d<e<2d. Por tanto, eso le debe ocurrir a 2a, ya que

Esto explica que en la sucesión que hemos descubierto para a se defina así en OEIS: “Numbers having divisors d,e with d < e < 2*d”

Por ejemplo, 42 posee los divisores 6 y 7 que cumplen 6<7<6*2.

Esto también explica el hecho de haber encontrado números primos entre los valores de a ni ninguna de sus potencias.

 

Pertenencia de los números hexagonales

Estos números se obtienen con la fórmula H(n)=n(2n-1). Esto nos garantiza que cumplen la condición del párrafo anterior. En efecto, si repasamos los dos listados, el de números hexagonales (http://oeis.org/A000384) y el de los números que hemos obtenido (http://oeis.org/A005279) se tendrá:

Hexagonales( sin el cero y el 1): 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496,

Nuestros: 6, 12, 15, 18, 20, 24, 28, 30, 35, 36, 40, 42, 45, 48, 54, 56, 60, 63, 66, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 84, 88, 90, 91, 96, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 117, 120, 126, 130, 132, 135, 138, 140, 143, 144, 150, 153,

Hemos destacado en negrita los hexagonales dentro de la otra sucesión.

Lo podemos ver de forma algebraica: H=n(2n-1) forma un par con K=(n-1)(2n-1) y queda:

Efectivamente, es un entero. Por ejemplo:

45=5*(2*5-1) es hexagonal y K=(5-1)(2*5-1)=36

La media mc sería (45²+36²)/(45+36)=41, que coincide, como hemos visto, con 5²+(5-1)²

 

Simulaciones - La distribución binomial

Continuamos la serie de entradas sobre simulaciones de distribuciones estadísticas. Hoy llegamos a la distribución binomial. Como en toda la serie, y ese es uno de sus objetivos, usaremos la hoja de cálculo Simulador. Aunque la hayas descargado en otra ocasión, es conveniente que lo vuelvas a hacer, pues se le han añadido nuevas prestaciones, como la imitación de la máquina de Galton con probabilidad prefijada.

Se encuentra en las direcciones

Versión Excel: http://www.hojamat.es/estadistica/tema1/open/simulador.xslm

Versión LibreOffice: 

http://www.hojamat.es/estadistica/tema1/open/simulador.ods

y la puedes descargar para tu uso.

Distribución binomial

 Esta importante distribución se aplica a pruebas repetidas de la ley de Bernouilli

 (http://hojaynumeros.blogspot.com/2018/12/simulaciones-experimento-de-bernouilli.html) 

con las siguientes condiciones:

a) Se realizan experimentos repetidos del tipo Bernouilli, n en total.

b) La probabilidad p permanece constante en todos ellos

c) Cada experimento es independiente del resultado anterior.

Llamamos a n el número de intentos. Estamos interesados en estudiar el número de veces que aparece el suceso A (éxito). A su número de ocurrencias le llamaremos número de éxitos.

Por tanto la ley binomial se aplicará cuando repetimos un experimento cumpliendo las condiciones a), b) y c) establecidas y deseamos estudiar el número de éxitos que obtendremos. Son de este tipo las tiradas múltiples de monedas, de dados, de ruleta, ...

La probabilidad de obtener r éxitos en n intentos se demuestra que equivale a

En  ella el paréntesis es el número combinatorio n sobre r. Del hecho de que esta fórmula sea muy similar a la del Binomio de Newton proviene el nombre de binomial.

La media (esperanza matemática) de esta distribución viene dada por

y su varianza por

Consecuencia de esta es una fórmula que nos será muy útil, y es la de su desviación típica, que viene dada por

La distribución binomial de probabilidad p y número de intentos n se representa generalmente por B(n,p)

Puedes completar su estudio en

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial

Uso de la hoja Simulador

 Comenzamos con un ejemplo, para estudiar la forma de plantear una simulación de este tipo. Habrá que concretar algunos parámetros, al igual que se hizo en simulaciones anteriores.

Tiramos 100 veces tres monedas. ¿En cuántas de ellas esperamos obtener tres caras?

La distribución binomial contiene decisiones automáticas en el Simulador, por lo que sólo hay que fijarle los siguientes parámetros:

·        Número filas y columnas: 100 filas y una columna (en este caso)

·        Tipo de simulación: Binomial (usa el desplegable)

·        Número de intentos: Lo escribes como parámetro A. En este caso son 3.

·        Probabilidad: Se escribe como parámetro B. Si deseas usar fracciones, escribe delante el signo =. Así, en el ejemplo escribiríamos =1/2.

El resto de parámetro lo rellena la hoja.

En la imagen observamos que ha fijado el número de intervalos en 4, para contar con el 0.

Los parámetros que no cambian se ignoran, como por ejemplo, 2 y 77.

Pulsamos sobre el botón “Simulación” y obtenemos los resultados de la simulación:

Número de veces en el que resultan tres caras:

Nos resultan 11 veces. Repetimos simulación y obtenemos 14, 16, 13, 14, 9, 17,…Esta variabilidad confirma lo peligroso de obtener conclusiones con solo 100 repeticiones. La simulación siempre es orientativa, pero se debe efectuar con más ensayos.

En este caso binomial también se pueden consultar los intervalos en la segunda hoja. Escribimos como extremos a y b el mismo número esperado de caras, 3, en la primera columna y nos devuelve el número de casos obtenido. En la imagen no aparece el 11, sino 16, porque corresponde a otra simulación:

Estudio con funciones de hoja de cálculo

Otra forma de responder a la cuestión es mediante las funciones estadísticas de Excel y Calc. Aquí estaría indicada DISTR.BINOM.N(X;N;P;Tipo) En ella escribimos los parámetros siguientes:

·        X es el punto en el que deseamos consultar la distribución, el resultado que esperamos. En este caso sería x=3, porque esperamos tres caras.

·        N es el número de intentos, que aquí también es 3.

·        P representa la probabilidad, que en monedas es 0,5

·        Tipo indica si la distribución es acumulada o no. Si su valor es 1, la distribución es acumulada y con 0 sin acumular. En el ejemplo deseamos no acumular. Sólo nos interesa el caso de 3 caras.

La escribimos en una celda y obtenemos: DISTR.BINOM.N(3;3;0,5;0)=0,125

Luego para 100 tiradas, el valor esperado sería 12,5. En la simulación obtuvimos 11, 14, 16, 13, 14, 9, 17,…Esto da idea de la variabilidad que presenta nuestra simulación.

Póquer con dados

En el juego familiar de póker con cinco dados, obtendremos póquer cuando cuatro de ellos marquen un mismo valor. Estudiaremos el caso en el que aparezcan en la primera tirada, sin comodín y sin acudir a otras tiradas, un póquer de reyes, por ejemplo. Se considera un suceso difícil. Lo simulamos:

·        Tipo: Binomial

·        Parámetro A: 5 dados

·        Parámetro B: Probabilidad 1/6 (lo escribimos como =1/6 y obtendremos 0,1666…)

·        Repeticiones: 500

Con ese número de repeticiones, no resultan en la simulación ni póquer de reyes ni repóquer:

Las frecuencias del 4 y el 5 son nulas, luego nuestra intuición de que son sucesos improbables no iba descaminada. Sobre el 500 escribimos un 2, para obligar a repetir la simulación dos veces.

Esta vez, con 1000 intentos sí se ha conseguido un póquer de reyes en una de las tiradas:

Aquí hemos trabajado con un solo valor en el resultado (reyes), pero el póquer puede salir con cualquier valor, lo que, al ser sucesos disjuntos, multiplicaría por 6 la probabilidad, pero es tan pequeña, que la simulación vale para darnos una idea de su dificultad.

Un ejemplo con intervalos

En un bombo de lotería se han introducido 100 bolas, numeradas del 00 al 99, con lo que todas las decenas figuran con 10 elementos. La probabilidad de obtener a ciegas una bola cuyo número comience por 3, será de 10/100=0,1

Imaginemos que 200 personas van sacando 10 bolas con reposición y contando las veces en las que obtienen un 3 en las decenas. ¿Cuántas de ellas esperaríamos que obtengan entre 3 y 10 éxitos?

El planteo sería:

·        Una repetición con 200 filas (200 personas)

·        Número de intentos: 10

·        Probabilidad: 1/10

Preparamos los intervalos de la segunda hoja para contar entre 3 y 10. Iniciamos la simulación y obtenemos:

Nos dan 9 casos, con una frecuencia relativa de 0,045. Fijamos ahora el experimento con 10 repeticiones (parte alta del cuadro de parámetros), pero en este caso el botón de intervalos no nos sirve, porque funciona sobre las filas de la simulación, pero no acumula. Mejor es leer las frecuencias de la tabla y sumar:

Entre 3 y 10 se han obtenido 124+17+3=144, que comparado con 2000 repeticiones nos da una frecuencia relativa de 144/2000=0,072, que parece más ajustada a la realidad que el 0,045 que obtuvimos con una sola tirada.

Podemos acudir a la función DISTR.BINOM.N(). En este caso restaremos la función acumulada en 10 de la acumulada en 2:

DISTR.BINOM.N(10;10;0,1;1)-DISTR.BINOM.N(2;10;0,1;1)=0,07019

Se observa, como era de esperar, que la frecuencia en la simulación repetida (0,072) se acercaba más al valor teórico (0,07019).

Aproximación a la normal

Se sabe que la distribución binomial se acerca a la normal bajo ciertas condiciones. Puedes repasar esta cuestión en 

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution

Normalmente se piensa en la distribución normal cuando el valor de p es cercano a 1/2 y N tiende a infinito, aunque se suele obtener una buena aproximación práctica para N>30. Todo esto es un poco empírico, y se basa en el Teorema de Moivre, que puedes consultar en 

http://www.hojamat.es/estadistica/tema6/teoria/teoria6.pdf

Ahí también se incluyen otros consejos para poder usar esta aproximación. Sólo queda indicar que la distribución normal límite poseería la misma media y desviación típica que la binomial.

Para ilustrar este ajuste, elegimos una binomial de 10 intentos y probabilidad 0,5, la simularemos en 100 filas con 10 repeticiones:

Con estas condiciones la media es 5 y la desviación típica 1,5811. Procedemos a la simulación y obtenemos, efectivamente, un resultado que se aproxima a la distribución normal:

Podemos estudiar el ajuste mediante la función =DISTR.NORM.N(x;M;D;0), que da la frecuencia para un valor dado en la distribución normal de media M y desviación típica D. Hemos incrementado el número de elementos a 1000, dejando en 10 el de repeticiones. A la tabla de frecuencias le hemos añadido esta función de Excel, con el siguiente resultado:

El buen ajuste se puede observar entre la columna de simulación y la de normal. La columna intermedia proviene de la función =DISTR.NORM.N(x;5;1.5811;0) y la última se ha creado multiplicando por N, que aquí es 10000.

Gráficamente se percibe mejor el buen ajuste:

La máquina de Galton como curiosidad

En la nueva versión del Simulador se ha añadido una hoja nueva con el experimento de Galton. Este modelo ya se ofrecía en nuestro curso de Estadística y en otros materiales, pero la nueva versión admite fijar una probabilidad que no tiene que ser necesariamente 1/2. De esta forma se puede visualizar una distribución binomial no centrada en la máquina. Lo puedes ver en esta imagen, correspondiente a p=0,7:

Observamos su sesgo hacia la derecha y su ajuste razonable a la distribución binomial teórica. En el gráfico se observa mejor el ajuste:

Con esto dejamos el tema de la simulación binomial. Se podía extender algo más, pero alargaría el texto.

Simulaciones - Distribución normal

Simulación normal

Seguimos hoy la serie de simulaciones que iniciamos en

http://hojaynumeros.blogspot.com/2018/10/simulaciones-distribucion-uniforme-12.html

http://hojaynumeros.blogspot.com/2018/11/simulaciones-distribucion-uniforme-22.html

http://hojaynumeros.blogspot.com/2018/12/simulaciones-experimento-de-bernouilli.html

En esas entradas vimos la distribución uniforme y la de Bernouilli. Hoy lo haremos con la normal.

Nos basaremos en esta también en las prácticas de nuestro curso de Estadística, (http://www.hojamat.es/estadistica/iniestad.htm) adaptándolas al formato de un blog. Usaremos nuestro Simulador implementado para hojas de cálculo, el cual puede sufrir cambios a lo largo de la serie, por lo que se aconseja su recarga en caso de duda.

Distribución normal

Si no recuerdas la distribución normal puedes acudir a la Teoría correspondiente

(http://www.hojamat.es/estadistica/tema6/teoria/teoria6.pdf).

Por ahora basta con saber que siguen esa distribución normal de forma aproximada muchos datos tomados de nuestra vida diaria:

• Magnitudes que dependen de muchas causas independientes, cuyos efectos se suman y cualquiera de ellas aislada tenga efectos despreciables.
• Distribuciones de errores en las medidas.
• Medidas de tipo antropológico (estaturas, pesos, inteligencia...) y biológico (glucemia, nivel de colesterol...)
• Límite de otras distribuciones estadísticas cuando n aumenta.
• Todas ellas producen gráficos con forma de campana de Gauss, más o menos aproximada.

Nuestro simulador puede producir datos aleatorios que sigan esta distribución normal.

Puedes descargarlo para Excel

http://www.hojamat.es/estadistica/tema1/open/simulador.xlsm

Y para LibreOffice Calc

http://www.hojamat.es/estadistica/tema1/open/simulador.ods

Esta herramienta está en desarrollo, por lo que debes ignorar las hojas no terminadas.

La forma más práctica de plantear una simulación de este tipo es la de dar el promedio de los datos y la desviación típica, pero también funciona conociendo el mínimo y el máximo esperados.

Lo vemos con algún ejemplo:

Los de más altura

En un Centro de Enseñanza se han tallado todos los alumnos y alumnas de un nivel, 128 en total y ha quedado como estatura mínima la de 140 cm, y como máxima, 198 cm. Si deseamos seleccionar a aquellas personas con estatura superior a 180 cm. ¿Cuántas esperaremos encontrar?

La teoría estadística puede responder a esta pregunta mediante las propiedades de la distribución normal. Aquí lo intentaremos con el Simulador:

Hemos concretado lo siguiente:

• ·        Distribución normal con decimales (son estaturas) usando máximo y mínimo
• ·        Mínimo 140 y máximo 198
• ·        Una columna de 128 filas (número de alumnos y alumnas)
• ·        Diez intervalos

Procura localizar bien todos esos datos en sus celdas correspondientes. Pulsa el botón “Simulador”.

Con este planteamiento la simulación se aproximará bastante a las medidas reales. Si pasas a la segunda hoja advertirás la forma típica de campana de esta distribución, y que la estatura media es aproximadamente de 169 cm., y la desviación típica cercana a 8. No podemos pretender resultados idénticos a los previstos por la teoría, pero comparando los estadísticos de la simulación con los valores teóricos, vemos que existe una buena aproximación.

La gráfica también tiene forma aproximada de campana, aunque con tan pocos elementos de simulación, nunca seguirá ese tipo teórico:

También, de paso, hemos descubierto que esperaremos unas 12 personas con más de 180 cm. Afinamos esto más. Busca el apartado de Intervalos en la hoja de 

resultados

Con esta tabla podemos contar fácilmente resultados sin tener que recorrerlos. 

Tiene un funcionamiento simple, y es el de escribir en la columna correspondiente (en nuestro caso la primera, porque solo hay una) los extremos entre los que deseamos contar resultados. En nuestro caso serían 180 y 198, que es el máximo. Ahora basta con pulsar el botón Intervalos y nos devolverá la frecuencia absoluta, 14, y la relativa, 0,11 aproximadamente, un 11%.

Repitiendo la simulación han resultado, en varios intentos, 15, 11, 8, 11  y 15, por lo que juzgamos que lo más probable es que nos encontremos con unos 11, lo que nos permitirá organizar un equipo de baloncesto, si ese era el objetivo.

Si conoces algo de la teoría de esta distribución, sabrás que existen funciones y tablas que te devuelven este dato de forma teórica, pero nuestro objetivo estaba en recoger los datos de una simulación, no en prever el resultado. En nuestro caso, y no seguiremos con el tema, la aproximación sería:

1-DISTR.NORM.N(180;169;8,2857;1)=0,092157044

Un poco menor que la obtenida del 11%, en este caso un 9,2%. Así funcionan los resultados en las simulaciones. Nunca esperes aproximaciones destacables.

Un ejemplo con media y desviación típica

Una población de 500 personas con riesgo de diabetes en una ciudad ha presentado un promedio de 106 mg/100ml de nivel de glucosa en sangre y una desviación típica de 8 mg/100ml. Diseñar una simulación para encontrar a partir de qué nivel encontraremos las 50 personas con más riesgo.

Organizamos la simulación, pero usando ahora media y desviación típica:

Obtendremos una columna con 500 niveles de glucosa y una distribución en forma de campana de Gauss.

En nuestra simulación se obtuvieron media y desviación bastante cercanas a las teóricas:

Si ahora deseamos obtener los cincuenta niveles más altos, nos bastará con ordenar la columna G de la primera hoja (de mayor a menor) y observar n qué nivel se encuentra el número 50:

Vemos que hay que comenzar por el nivel 116,4 para así poder seleccionar los 50 posibles pacientes con más riesgo. Si repites la simulación varias veces podrás quedarte con una media más aproximada.

También podemos trabajar con los intervalos cambiando el mínimo hasta obtener un resultado aproximado de 50 personas. En otra simulación nos da un tope de un nivel de 114 o 115:

Como en el caso anterior, se puede acudir a la teoría:

INV.NORM(0,9;106;8)=116,25

Hemos tomado de probabilidad 0,9 porque los 50 en una simulación de 500 representa un 10% superior y un 90% inferior. Nuestra simulación se queda un poco corta.

Medidas válidas

En una medición con mucho riesgo de errores se ha decidido rechazar aquellas medidas que se alejen de la media más de una desviación típica y media. Supongamos que en mediciones anteriores resultó una media de 65 y una desviación típica de 8. ¿Qué número aproximado de mediciones debemos efectuar para garantizarnos 200 medidas catalogadas como válidas, si la distribución en la población se puede considerar normal?

De nuevo acudimos a una simulación. Según los datos que nos dan, las medidas válidas estarán entre 65-3*8/2 y 65+3*8/2, es decir, entre 53 y 77. Comenzamos una simulación de 250 mediciones y concretamos 14 intervalos.

Observamos, de forma aproximada, que habría que desechar unas 10 medidas inferiores y unas 15 superiores, lo que nos daría 250-10-15=225 medidas válidas.

Esta observación se confirma también con intervalos:

Probamos con 230 simulaciones, pare ver si nos acercamos a 200 válidas.

Después de la simulación hay que desechar 16+18=34, con lo que nos quedamos cortos, 196. Subimos y bajamos el número de simulaciones y 230 parece quedar en la media, luego es aconsejable usar muestras de 230 medidas.

Esto ha sido una especie de juego. Si acudimos a la distribución normal teórica, descubriremos que el porcentaje esperado de medidas que se alejen más de 3/2 de desviación típica por un lado es de 0,066807201. Por los dos lados será 0,133614403, y restando de 1, el porcentaje de medidas válidas sería 0,866385597. Dividimos 200 entre ese porcentaje y obtenemos 230,844096.
Nuestra simulación no estaba descaminada.

Con este experimento también hemos aprendido que los porcentajes no dependen de una media concreta sino de la medida tipificada Z, que en este caso valía Z=1,5.

Obtención de muestras

En el caso de la distribución normal es muy interesante el disponer de muestras de un colectivo del que sabemos algunos parámetros (generalmente media y desviación típica). Vemos algunos ejemplos:

Distribución de errores

75,6       78,0       77,8       77,5

75,2       79,0       76,8       78,0

76,5       76,8       76,6       77,2

77,3       78,4       76,6       76,6

77,1       77,6       77,3       76,1

Los datos anteriores simulan 20 repeticiones de una medida. A simple vista parece que la media es 77. En el Simulador se ha obtenido media 77,1 y desviación típica 0,9. Esta tabla puede servir para que el alumnado obtenga también la media, la  desviación típica y la gráfica, para saber si se aproxima a la distribución normal. Con el Simulador se pueden preparar rápidamente distintas muestras para un trabajo por equipos. También  puede aprenderse en clase el funcionamiento de esta herramienta y que los grupos simulen su propia muestra.

Colesterol en sangre

Esta muestra ha sido generada mediante el Simulador:

221,0     205,9     208,2     224,8     205,3     209,7     220,8     229,7

202,8     215,2     203,6     240,7     215,8     236,4     234,6     213,6

189,0     212,7     197,4     203,2     175,4     218,4     227,6     222,4

246,2     238,8     211,5     229,4     206,4     195,8     179,4     206,3

220,4     234,2     207,5     184,7     204,5     224,4     220,2     199,3

Se puede intentar adivinar en clase qué media se ha usado, e investigar si estos datos entran en lo que es frecuente en la vida real.

Cociente intelectual

A la vista de esta tabla, se puede discutir qué media y desviación típica se usa y seguir investigando en Internet:

103        87          106        57          100

62          88          81          98          83

102        90          98          103        100

109        76          93          99          100

107        84          75          104        105

91          96          111        121        108

93          89          89          88          92

71          85          92          104        83

82          97          88          91          82

103        85          110        108        94

84          101        94          86          97

105        92          85          120        121