1) En los números libres de cuadrados coinciden sigma y usigma: todos los divisores son unitarios. En los que contienen cuadrados no se puede dar la igualdad, pues si el factor p figura como p2 o con una potencia mayor k, su correspondiente factor en usigma sería (1+pk) y en sigma (1+p+p2+…pk) ¿Recuerdas por qué?
2) En los números 108, 540, 756, 1188, 1404, 1836, 2052, 2484,…la función sigma es el doble que la usigma (ver http://oeis.org/A063880)
3) Se pueden establecer otras relaciones entre ambas funciones.
(a) Imagina un número N cuya parte cuadrada es 4. Su descomposición factorial será del tipo N=22*p1*p2*p3…con lo que las funciones tendrían como expresión:
Sigma(N)=(1+2+4)(1+ p1) (1+ p2) (1+ p3)…
Usigma(N)=(1+4)(1+ p1) (1+ p2) (1+ p3)…, luego
5*sigma=7*usigma
Si lo programas con una hoja de cálculo obtendrás la secuencia
4, 12, 20, 28, 44, 52, 60, 68, 76, 84, 92,… (http://oeis.org/A081770) formada por los números cuya parte cuadrada es 4.
(b) Esta relación de 5 a 7 se convierte en la de 10 a 13 en el caso de tener parte cuadrada igual a 9. ¿Cuál sería la relación si la parte cuadrada fuera pk con p primo?
(4) Recuerda las dos definiciones de sigma y usigma:
Nos vamos a plantear ahora cuál será el MCD de los valores de ambas para un mismo N
(a) Si N no es cuadrado perfecto, sigma y usigma tendrán algún factor común y su máximo común divisor será mayor que 1.
En efecto, entre la multiplicidades ei de los factores primos existirá una al menos que sea impar (¿por qué?). Supongamos que sea k impar y exponente de un factor primo p de N.
Entonces, por razones algebraicas tenemos:
1+pk = (1+p)(1-p+p2-p3….), luego 1+p divide a 1+pk y por tanto divide a usigma(N)
1+p+p2+p3+…pk = (1+p)p+(1+p)p3+(1+p)p5… = (1+p)(p+p3+p5+…pk-1)
Esto sólo es posible porque k es impar. Por tanto, (1+p) también divide a sigma(N)
Así que hemos demostrado que los números no cuadrados presentan un MCD(sigma(N),usigma(N))>1, que era nuestra afirmación. Ese máximo común divisor es múltiplo de p+1 para algún factor primo p de N.
Lo puedes comprobar en esta tabla
N | Sigma | Usigma | MCD |
2 | 3 | 3 | 3 |
3 | 4 | 4 | 4 |
4 | 7 | 5 | 1 |
5 | 6 | 6 | 6 |
6 | 12 | 12 | 12 |
7 | 8 | 8 | 8 |
8 | 15 | 9 | 3 |
9 | 13 | 10 | 1 |
10 | 18 | 18 | 18 |
11 | 12 | 12 | 12 |
12 | 28 | 20 | 4 |
13 | 14 | 14 | 14 |
14 | 24 | 24 | 24 |
15 | 24 | 24 | 24 |
16 | 31 | 17 | 1 |
17 | 18 | 18 | 18 |
En ella vemos que los números que no son cuadrados el MCD es mayor que 1. Incluso en los libres de cuadrados coinciden las tres funciones, sigma, usigma y MCD. Sin embargo, en los cuadrados el resultado es 1, pero no debemos confiarnos.
(b) Los números cuadrados presentan en general MCD(sigma(N),usigma(N))=1, salvo algunos en los que se dan los valores 5, 13, 37, 61, 65, 73, 793,…
En este caso las multiplicidades ei de los factores primos serán todas pares, y no se podrá aplicar el razonamiento del apartado anterior.
Si emparejamos los factores que un mismo número primo p con multiplicidad k par produce en ambas funciones, tendremos (llamamos S al factor en sigma y U a su homologo en usigma):
S: 1+p+p2+p3+p4+….+pk (factor de p en sigma)
U: 1+pk (factor de p en usigma)
Pues bien, U y S son primos entre sí y no aportan ningún factor al MCD.
En efecto, si un factor m divide a U y a S
- No será m igual al número primo p, pues en ese caso no dividiría a U
- No dividirá m a p+1, pues 1+pk = (1+p)M(p)+2 por el Teorema del Resto (k es par), lo que nos deja la única posibilidad de que m=2, pero entonces m no dividiría a S, que es impar (¿por qué?).
- Dividirá m a la diferencia S-U: p+p2+p3+p4+….+pk = p(1+p+p2+p3+p4+….+pk-1) y como no divide a p, será divisor de 1+p+p2+p3+p4+….+pk-1=(1+p)(1+p+p2+….+pk-2). Como tampoco divide a 1+p, lo hará a 1+p+p2+….+pk-2 y a su diferencia con S: pk+pk-1=(1+p)pk-1, y esto es definitivamente imposible. Razónalo.
Así que si entre sigma y usigma en los números cuadrados existen factores comunes, estos provendrán de la expresión U para un número primo y la S para otro primo distinto.
Los factores primos impares de U han de ser de la forma 4k+1, que son los únicos que presentan un resto cuadrático igual a -1 (ver http://hojamat.es/sindecimales/congruencias/teoria/teorcong.htm#restcuad y
Esto nos reduce el catálogo de valores de p a 2, 5 13 17 29 37 41 53 61 73 89 97 101 109 113…
Si estos dividen a expresiones del tipo S construidas sobre otro primo, serán los que formen el MCD buscado. No lo haremos, pero ahora, para cada factor primo de los anteriores, buscaríamos qué par de primos distintos producen múltiplos de ellos en U o en S.
Por ejemplo, el factor 61 lo producen U=1+11^2 = 122 = 2*61 y S= 1+13+13^2 = 183 = 3*61
Si encargamos a la hoja de cálculo que nos devuelva los números cuadrados N en los que MCD(sigma(N),usigma(N))>1, obtenemos estos primeros resultados:
N | Sigma | Usigma | MCD |
225 | 403 | 260 | 13 |
576 | 1651 | 650 | 13 |
900 | 2821 | 1300 | 13 |
3600 | 12493 | 4420 | 13 |
8649 | 12909 | 9620 | 13 |
11025 | 22971 | 13000 | 13 |
14400 | 51181 | 16900 | 13 |
19881 | 29341 | 22100 | 13 |
20449 | 24339 | 20740 | 61 |
21025 | 27001 | 21892 | 13 |
27225 | 53599 | 31720 | 13 |
28224 | 94107 | 32500 | 13 |
34596 | 90363 | 48100 | 13 |
38025 | 73749 | 44200 | 13 |
44100 | 160797 | 65000 | 13 |
47961 | 70239 | 53300 | 13 |
53824 | 110617 | 54730 | 13 |
57600 | 205933 | 66820 | 13 |
58564 | 112735 | 73210 | 5 |
62001 | 90649 | 68900 | 13 |
65025 | 123721 | 75400 | 13 |
69696 | 219583 | 79300 | 13 |
