Se llaman así a aquellos números triangulares cuyo orden es también triangular. Los designaremos como DT. Si un número triangular de orden N se define como N(N+1)/2, en estos números, N también es triangular, por ejemplo m(m+1)/2, con lo que, sustituyendo queda:
DT(m)=(m(m+1)/2)(m(m+1)/2+1)/2=m(m+1)(m2+m+2)/8
Esta es la fórmula utilizada en su publicación en OEIS:
Como un número triangular es suma de los primeros números consecutivos, estos doblemente triangulares han de equivaler a una suma de ese tipo en el que el número de sumandos sea triangular. Esto se visualiza muy bien en el triángulo de Floyd:
1
2 3
4 5 6
7 8
9 10
11
12 13 14 15
Si
se van sumando los números fila a fila nos resultarán, 1, 6, 21, 55, 120,…los
doblemente triangulares.
Para
generarlos con hoja de cálculo basta crear una columna con los primeros números
naturales, otra paralela con los triangulares
y, por último, copiar la fórmula de la segunda en otra tercera:
La última fórmula se incluye para aclarar, pero en la hoja coincide con la segunda con órdenes distintos. Así:
Se observa que las dos columnas poseen la misma fórmula. Por eso estos números son doblemente triangulares.
Relación con números combinatorios
Como
también los números triangulares de orden N equivalen al número combinatorio
C(N+1,2), que cuenta el número de pares de elementos de un conjunto de cardinal
N+1, sin repetición, el número doblemente triangular contará el “número de
pares de pares”. Así, se puede expresar también como
En
lenguaje de hoja de cálculo tendríamos:
DT(N)=COMBINAT(COMBINAT(N+1;2)+1;2)
Escribe
en una hoja =COMBINAT(COMBINAT(12;2)+1;2) y te resultará 2211, el número
doblemente triangular de orden 11.
Colores en un cuadrado
Esta
idea de “pares de pares” la visualiza Wikipedia en las formas de colorear las
diagonales de un cuadrado si se consideran iguales las que surgen de rotaciones
o simetrías. En la imagen figuran los pares de colores arriba y a la izquierda,
mientras los “pares de pares” figuran en el centro:
Fuente: https://en.wikipedia.org/wiki/Doubly_triangular_number
Este esquema de colores se puede reproducir con nuestra herramienta Cartesius,
(http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)
si representamos las combinaciones
de colores con números de dos cifras. El planteo puede ser el siguiente:
Combinamos pares de pares,
representando los colores por 11, 12,…33 y exigiendo que sea creciente cada
arreglo para que no se repitan los pares (de pares). El resultado es:
En la parte derecha de la hoja se reflejará el total, el número doblemente triangular 21.
En OEIS se propone esta otra fórmula con números combinatorios:
Esta igualdad se verifica muy bien
en WolframAlpha:
También Mitch Harris, Oct 17 2006 y Bruce J. Nicholson proponen esta otra expresión con números combinatorios:
También se puede verificar algebraicamente. Antes hemos sustituido los números combinatorios por su expresión respecto a n:
Aportación nuestra
Para n>=2, a(n) es la suma de dos
números triangulares de esta forma:
DT(n)=T(n(n+1)/2)=T(n)+T((n^2+n-2)/2)
Esto es debido a la identidad:
n*(n+1)*(n^2+n+2)/8=n*(n+1)/2+(n^2+n-2)*(n^2+n)/8)
También la hemos verificado en https://www.wolframalpha.com/
La idea nos surgió al descubrir las
coincidencias con la sucesión de números triangulares que son suma de
triangulares. Puedes consultar nuestra entrada
https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/04/sumandos-con-el-mismo-caracter-que-la.html
Así, por ejemplo, 21=6+15, 55=10+45,
120=15+105,…
En realidad, no es necesario acudir
al Álgebra. La siguiente imagen representa muy bien esta descomposición:
En ella observamos que el triangular 21, de orden 6 (también triangular) se convierte en otro triangular al separarle el lado. Por tanto, 21 es la suma de dos triangulares, su lado, que es 6 y el triangular residual, 15.
Con sus fórmulas:
6*7/2=3*4/2+5*6/2
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