domingo, 27 de febrero de 2011

La familia de las sigmas (1)

Observa esta imagen, construida con 546 cuadraditos


Está formada por cuadrados que guardan una cierta relación y su altura es de 42 cuadrados. Tiene una propiedad de la que carecen otras construcciones similares y es que se pueden reordenar los cuadrados para formar un rectángulo con la misma altura.

Esta figura está construida sobre una base de 20. Si la base hubiera sido de 25, también se habría podido transformar en un rectángulo.

¿De qué estamos hablando? 

Investiga durante unos días y después comentamos.

miércoles, 23 de febrero de 2011

Primos por todas partes

¿Sabes qué propiedad comparten estos números?

21, 33, 57, 69, 85, 93, 105, 129, 133, 145, 177, 195,…

Pues que tienen todos sus factores primos distintos (son números libres de cuadrados) y el promedio de esos factores es un número primo.

Por ejemplo 145=5*29, y el promedio de ambos es (5+29)/2= 17, que es primo.

195=3*5*13, y el promedio es (3+5+13)/3 = 21/3 = 7, también primo.

¿Cuáles serán los siguientes?

jueves, 17 de febrero de 2011

Mínima hipotenusa

(Con esta entrada participamos en el Carnaval de Matemáticas 2.1, organizado en esta ocasión por Tito Eliatron dixit, a quien le damos la enhorabuena por el cumpleaños de esta iniciativa)


Hace unas semanas proponíamos encontrar la forma de generar esta secuencia de números:
3, 5, 13, 85, 157, 12325, 12461, 106285, 276341,…Copiamos la entrada:

A partir del número 3 se construye la siguiente sucesión de números impares
3, 5, 13, 85, 157, 12325, 12461, 106285, 276341,…
¿Cómo se ha conseguido? Si consultas en la Red puedes descubrir una definición algo complicada, que está contenida en una página muy popular. Nosotros pedimos un procedimiento más simple mediante el que se genere un 5 a partir del 3, y un 13 a partir del 5, y así el mismo procedimiento en  todos.


No es difícil de adivinar

Hoy descubrimos la solución (un poco tarde, pero ha habido un olvido por medio) y, siguiendo nuestra afición a los giros, le daremos algunas vueltas.

Para formar esta sucesión a partir del 3 se ha elegido en cada paso la “mínima hipotenusa que forma con el número una terna pitagórica”: 32+42=52;  52+122=132; 132+842=852… y así van saliendo 3, 5, 13, 85,…

(a) La función mh(n) (“mínima hipotenusa para n”) está definida para todo número entero mayor que 2. En efecto, n2 ha de ser igual a una diferencia de cuadrados entre mh(n) y un cateto, llamémosles a y b:

n2=a2-b2=(a+b)(a-b), siendo ambos factores de la misma paridad y diferentes entre sí.

Esto siempre es posible: Si n es impar, n2 también lo será, y se podrá descomponer al menos como n2 =n2 *1, ambos impares. Si es par, n2 será múltiplo de 4, luego se puede escribir como n2 = 2*2m, ambos pares.

Por tanto todo número mayor que 2 posee una o varias hipotenusas posibles y bastará elegir la mínima (¿por qué esto falla con el 1 y el 2?)

(b) Una demostración fácil: Si n es primo, sólo existe una solución y viene dada por
Mh(n)=(n2+1)/2. Además, en ese caso, la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto es la unidad.

(c) Implementación de la función mh(n)

Si toda solución pasa por una diferencia de cuadrados, deberemos encontrar  dos factores de n con la misma paridad lo más cercanos uno de otro, a fin de que su semisuma (valor de a) sea mínima.

Incluimos un posible código

function minihip(n)
dim i,a,b
dim sigue as boolean


a=n*n ‘ tomamos el cuadrado de n
i=n  ‘El primer factor  probar es el mismo n
sigue=true  ‘Controla el bucle while
while sigue
i=i-1   ‘Vamos bajando el valor de i
b=a/i  ‘calculamos el otro factor
if esmultiplo(a,i)=1 and esnumpar(i+b)=1 then sigue=false ‘Han de ser divisores de n2 y de la misma paridad
wend
b=(b+i)/2 ‘Se encuentra la semisuma de ambos factores
minihip=b ‘y ese es el valor de mh(n)
end function

(d) Espiral de números

Si reiteramos la aplicación de la función mh(n) a partir de un número entero, podremos construir un espiral con las hipotenusas (enteras) lo más pequeñas posible. De poco nos sirve, porque pronto comienzan a crecer. Por ejemplo, la que comienza con el 16 al principio va muy lenta, pero después salta: 16, 20, 25, 65, 97 y de pronto, 4705.


En cada tramo de la espiral el arcocoseno de n/mh(n) nos da una medida muy intuitiva de lo que aumenta el cateto al pasar a la hipotenusa, así como del giro que sufre ésta en cada paso. También podemos usar la razón mh(n)/n. Hay muchos números que comparten la misma razón, así mh(22)/22 = 122/22 = 61/11 y mh(121)/121 = 671/121 = 61/11, pero hay que tener cuidado, pues el carácter mínimo de mh(n) puede romper alguna proporcionalidad.

(e) La función mh(n) no es inyectiva. De hecho, el número 925, es mínima hipotenusa de 43, 533, 740, 875, 888 y 924

(f) El que c sea la mínima hipotenusa para a, no significa que también lo sea para el otro cateto b. Hay veces que sí, como en el caso de a=52: su mínima hipotenusa es c=65, con lo que el otro cateto es b=39 y mh(39) = 65 de nuevo. En otros casos no se produce esa coincidencia: a=55, mh(a)=73, b=48 y mh(48)=50, que no coincide con 73.

Piensa, ¿qué será más frecuente, el que coincidan o el que no? Pues en los mil primeros números son más frecuentes las coincidencias (entre 56% y 53,5%), pero va decreciendo ese porcentaje. Con más paciencia o instrumentos más rápidos podríamos conjeturar su límite.

(g) Se señaló anteriormente que el arcocoseno es una buena medida de la razón n/mh(n). Su cota es pi/2. ¿Crees que podemos acercarnos a esa cota tanto como queramos eligiendo convenientemente n? La respuesta es afirmativa:
Usando números primos la razón n/mh(n) = 2p/(p2+1) tendería a 0 para p suficientemente grande.

jueves, 10 de febrero de 2011

Los años jacobeos

Ideas para una webquest

Con motivo del fin del año jacobeo 2010 se ha incluido en la prensa la lista de los próximos años de este tipo. Puede ser una buena ocasión para estudiarlos.

¿Cuál es el intervalo promedio entre dos años jacobeos a lo largo de un siglo o dos?

Con esta pregunta podemos organizar una webquest bastante interesante. Como siempre en este blog, renunciamos a dar detalles de su estructura (Introducción, tarea, proceso, recursos, evaluación, conclusión y autores) para dar tan sólo unas ideas generales:

Relación entre bisiestos y jacobeos

En primer lugar los alumnos deben tener clara la definición de año jacobeo y el porqué de que no aparezcan cada siete años. En lo posible, deberían adivinar los ciclos de 6, 5, 6 y 11 años sin necesidad de navegar por Internet. Este recurso se debería usar para conocer aspectos históricos o para encontrar tablas de años jacobeos.

Para adivinar los distintos ciclos podrían situar los años bisiestos en distintos puntos respecto al último año jacobeo y sacar consecuencias.

Las ideas básicas serían:
  • En un año normal el día de la semana de una fecha concreta avanza un día.
  • En un año bisiesto avanzan dos días las fechas posteriores a Febrero (nuestro caso).
Debe recurrirse a los restos módulo 7 aunque no se les llame así.

El ciclo 6,5,6,11 debe surgir del trabajo de los grupos de alumnos, y no de la consulta en la Red.

El ciclo de 28 años

Es importante que se descubra que 28=mcm(4,7) juega un papel fundamental en el cómputo de años y la periodicidad que produce. En este momento se puede consultar páginas web adecuadas para resumir lo descubierto. Esta tabla, copiada de la Wikipedia, puede constituir una buena culminación de esta primera parte del estudio.





Intervalo promedio


En la segunda parte se puede plantear el cálculo de la media aritmética de los periodos. Con un poco de trabajo se podrá concluir de que no hay que llegar a un siglo o dos, sino que basta con el ciclo de 28 y que los cálculos pedidos se reducen a M=(6+5+6+11)/4=7, como era de esperar. Así que en términos de promedio, igual da que existan años bisiestos o que no.

Expresión de resultados

Una vez realizado el aprendizaje, se debe exigir una buena expresión de lo aprendido. Se puede realizar, por ejemplo, de alguna de estas formas:

Mediante dos regletas superpuestas. 

Su sola visión nos da la clave:


La regla de arriba se puede ir moviendo adosada a la inferior y así ver como cambia el salto de un día a dos en los bisiestos. Los rótulos de Normal y Bisiesto se pueden sustituir por los números de años: 2011, 2012, …

Mediante una hoja de cálculo

En la siguiente tabla de OpenOffice.org Calc la segunda columna indica el día de la semana (1=domingo) mediante la función DIASEM y la tercera indica si es bisiesto por medio de la función ESAÑOBISIESTO.


Santiago
Día sem.
Bisiesto
25/07/2010
1
0
25/07/2011
2
0
25/07/2012
4
1
25/07/2013
5
0
25/07/2014
6
0
25/07/2015
7
0
25/07/2016
2
1
25/07/2017
3
0
25/07/2018
4
0
25/07/2019
5
0
25/07/2020
7
1
25/07/2021
1
0
25/07/2022
2
0
25/07/2023
3
0
25/07/2024
5
1
25/07/2025
6
0
25/07/2026
7
0
25/07/2027
1
0
25/07/2028
3
1
25/07/2029
4
0
25/07/2030
5
0
25/07/2031
6
0
25/07/2032
1
1
25/07/2033
2
0
25/07/2034
3
0
25/07/2035
4
0
25/07/2036
6
1































Los domingos se han destacado mediante un formato condicional. Se destacan así los ciclos de 5, 6 y 11.

Otras formas de expresión

Se puede recurrir a documentos de texto, presentaciones, dramatizaciones, alguna exposición, páginas web, etc.

Ampliación

¿Qué son las clases de restos módulo 7?
¿Cuándo se rompe el ciclo de 28 años?
Aplica todo esto a tu cumpleaños

A modo de mapa conceptual podemos resumir el trabajo propuesto:



sábado, 5 de febrero de 2011

Funciones de partición de un número

Nota de actualidad: Cuando ya estaba programada esta entrada, apareció en la prensa la noticia del descubrimiento de una fórmula para particiones de números grandes basada en un número finito de sumandos. Puedes informarte en estos blogs:

 http://francisthemulenews.wordpress.com/2011/01/22/una-suma-finita-para-calcular-la-funcion-de-particion/

http://www.cienciakanija.com/2011/01/21/nueva-teoria-revela-la-naturaleza-de-los-numeros/

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Hemos llamado P(N) al número de particiones en sumandos decrecientes del número N, pero se pueden definir otras funciones.Esta definición básica de número de particiones P(N) se puede someter a condicionamientos de los que surgirán nuevas definiciones. Las expresaremos así:

P(N / condicionamiento)

Vemos algunos ejemplos y sus propiedades

FUNCIÓN DE PARTICIÓN PK(N)

Es la misma función P(N) condicionada a que sólo intervenga un número K de sumandos:
Pk(N)= P(N / k sumandos): Particiones con un número k de sumandos fijado.

Su interés radica en que permite una fórmula de recurrencia para el cálculo de P(N). La demostración se puede consultar en manuales especializados.



Se parte de P1(k)=1 y de Pk(k)=1 y se van calculando todos los Pk(N) por recurrencia.

Es claro que después de encontrar los valores de Pk(N) bastará sumarlos todos para k menor o igual a N a fin de obtener P(N), pues la suma abarcaría todas las posibilidades.

El siguiente esquema está copiado de una hoja de cálculo programada para encontrar P(7)




K
1
2
3
4
5
6
7
N









1
1

1






2
2

1
1





3
3

1
1
1




4
5

1
2
1
1



5
7

1
2
2
1
1


6
11

1
3
3
2
1
1

7
15

1
3
4
3
2
1
1


Al final de esta entrada puedes leer un código que te puede valer para implementar esta función en una hoja de cálculo.

FUNCIÓN DE PARTICIÓN Q(N)

Como la anterior, cuenta el número de particiones, pero en este caso se exige que los sumandos sean todos distintos. Por ejemplo, el entero 7 admite las siguientes particiones como números distintos: 7 = 6+1 = 5+2 = 4+3 = 4+2+1, luego Q(7)=5

Euler demostró que esta función coincide con el número de particiones de n en partes impares.


Código para implementar P(N)

Es válido para Excel y OpenOffice

Public function partic(n)

dim a(40,40) En lugar de 40 puedes escribir un número mayor
dim i,s,h,k


if n=1 then partic=1:exit function
k=n
for i=1 to n
a(1,i)=1  a(k,n) representa la función P(k,n) explicada más arriba
a(i,i)=1   Se dan valores iniciales
next i

for h=2 to n
for i=2 to h-1
m=h-i
s=0
for j=1 to i:s=s+a(j,m):next j   Se implementa la fórmula de recurrencia
a(i,h)=s
next i
next h
For h=1 to n Se van sumando las funciones
s=0
for i=1 to k
s=s+a(i,h)
next i
next h

partic=s

end function

Con esta función hemos construido la tabla siguiente


N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(N)
1
2
3
5
7
11
15
22
30
42
N
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
P(N)
56
77
101
135
176
231
297
385
490
627
N
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
P(N)
792
1002
1255
1575
1958
2436
3010
3718
4565
5604

¿Te animas?

miércoles, 2 de febrero de 2011

Particiones de un número

Seguimos con el tema de las piezas de construcción y su distribución en lotes. Indicábamos que 9 piezas se podían distribuir de 30 formas diferentes. Lo concretamos un poco:

Se llaman particiones de un número natural N a las distintas formas de descomponerlo en sumandos enteros positivos sin tener en cuenta el orden y admitiendo repetición de sumandos.  Para no tener en cuenta el orden se puede exigir que los sumandos sean decrecientes en sentido amplio.  Así es más fácil representarlos.

Al número total de particiones de N lo representaremos por la función P(N). Por tanto la afirmación anterior se puede representar como P(9)=30.

En efecto, el 9 se puede descomponer en estas sumas:


9,   8+1,  7+2,   7+1+1,   6+3,   6+2+1,   6+1+1+1,   5+4,   5+3+1, 5+2+2 
5+2+1+1,   5+1+1+1+1,   4+4+1,  4+3+2,  4+3+1+1,   4+2+2+1,   4+2+1+1+1 
4+1+1+1+1+1,   3+3+3,  3+3+2+1,   3+3+1+1+1, 3+2+2+2,   3+2+2+1+1,   3+2+1+1+1+1
3+1+1+1+1+1+1, 2+2+2+2+1, 2+2+2+1+1+1, 2+2+1+1+1+1+1, 2+1+1+1+1+1+1+1 
1+1+1+1+1+1+1+1+1

Son 30 en total

Cada posible suma se puede representar mediante los llamados diagramas de Ferrer, en los que los sumandos se dibujan como conjuntos en filas.

Por ejemplo, 3+2+2+1+1 se puede representar así:

OOO
OO
OO
O
O

Puedes investigar en la Red las propiedades de estos diagramas.

El número de particiones se corresponde con el de soluciones no negativas de la ecuación diofántica

1x1+2x2+3x3+…Nxn = N

como es fácil demostrar.

También coincide con  el de soluciones no negativas de la ecuación diofántica

x1+x2+x3+…xn = N

si se exige que las soluciones formen una sucesión no creciente:

x1>=x2>=x3>=…xn

Igualmente, representa también las formas de repartir N objetos indistinguibles en cajas indistinguibles. En la imagen, extraída de una hoja de cálculo, puedes observar la distribución de seis bolas (11 particiones del número 6)



Más adelante estudiaremos otras funciones de partición condicionada de un número y su cálculo.

Mientras tanto te puedes dedicar a comprobar (con piezas, bolitas o lápiz) estos resultados:

N    P(N)
1     1
2     2
3     3
4     5
5     7
6     11
7     15
8     22
9     30
10   42
11   56
12   77

No perderás el tiempo, porque es divertido encontrar estrategias para no olvidar ninguna suma.