lunes, 25 de junio de 2018

Diferencias mínimas entre divisores


Si ordenamos en orden creciente (o decreciente) los divisores de un número compuesto, las diferencias entre dos consecutivos son siempre menores que las existentes entre dos más alejados, como es fácil de razonar, ya que todas las del segundo tipo son sumas de las consecutivas. La cuestión que nos planteamos es saber qué diferencia entre divisores es la mínima y cuántas veces se repite.

Luego particularizaremos a la diferencia 1, que daría lugar a divisores que son números consecutivos. Para la primera parte de este estudio no consideraremos el divisor 1, porque así obtendremos propiedades más interesantes.

Por ejemplo, si escribimos ordenados los divisores de 135 mayores que 1, obtendremos:

135 45 27 15 9 5 3

Vemos que la diferencia mínima entre los consecutivos es 2 (entre 3 y 5), y que es menor que todas las demás diferencias, sean o no entre consecutivos. Esta diferencia mínima se puede repetir en la sucesión de divisores. Tenemos, por ejemplo el caso del 540:

540 270 180 135 108 90 60 54 45 36 30 27 20 18 15 12 10 9 6 5 4 3 2

En él se repite cinco veces la diferencia mínima 1:

1=3-2=4-3=5-4=6-5=10-9

Es fácil ver que ocurre esto por ser múltiplo de un factorial.

Esta cuestión da lugar a varios cálculos distintos. Los vemos uno a uno.

Búsqueda de la diferencia mínima

La primera cuestión, dado un número concreto, es averiguar cuál es la diferencia mínima entre divisores.

La siguiente función en VBasic resuelve la cuestión utilizando tan sólo las funciones predefinidas de Excel o Calc. Recorre los divisores del número tomando nota de las diferencias entre consecutivos y almacenando la menor que se encuentre:

Public Function mindifdivi(n)
Dim i, p, p1, a1, a2, es

p = n - 1: p1 = p: a1 = 1: a2 = n: es = 0 ‘Variables iniciales
For i = 2 To n / 2 ‘Recorre desde 2 hasta la mitad del número
If n / i = n \ i Then  ‘Comprueba si es divisor
a1 = i: es = 1 ‘Guarda memoria del divisor
p1 = Abs(a2 - a1) ‘Calcula la diferencia con el divisor anterior
If p1 < p Then p = p1 ‘Si es más pequeña que la almacenada, la sustituye
a2 = a1
End If
Next i
If es = 0 Then mindifdivi = 0 Else mindifdivi = p ‘Si no es primo, devuelve la diferencia mínima
End function

Como la gran mayoría de números es múltiplo de los primeros primos, 2, 3, 5 o 7, abundan los resultados 0 (los primos), 1 y 2, como podemos ver en los valores de 1 a 20:



Las mayores diferencias suelen presentarse en los números semiprimos, como el 14, o potencias de primos, que sería el caso del 9. Es lógico que sea así. Por ejemplo el año 2018 es semiprimo con los factores muy alejados (2018=2*1009), por lo que su mínima diferencia es 1007.

Las mínimas diferencias se dan entre los múltiplos de 2 y 3 o de 3 y 5 (o 5 y 7, por ejemplo), que tienen el valor de 1 o 2. Esto puede ser engañoso. Las diferencias entre factores primos pueden no ser las mínimas. En el caso de 2450 sus factores son  7, 5 y 2, lo que haría esperar una diferencia mínima de 2, pero en realidad es 1, diferencia entre 49 y 50, consecutivos en la lista de divisores:

2450 1225 490 350 245 175 98 70 50 49 35 25 14 10 7 5 2 1

¿Cuántas veces se repite una diferencia mínima?

Una vez que hemos encontrado la diferencia mínima, con una función similar a la anterior podemos contar las veces en las que aparece. Recordamos de nuevo que se excluye el divisor 1.

Su código puede ser el siguiente:

Public Function nummindifdivi(n)
Dim i, p, p1, aa, a1

p = mindifdivi(n): p1 = 0 ‘Se calcula la diferencia mínima p y se pone el contador p1 a cero.
If p = 0 Then nummindifdivi = 0: Exit Function ‘Caso en el que n sea primo
For i = 2 To n / 2 ‘Recorremos los divisores propios
aa = n / i
If aa = Int(aa) Then ‘Si es un divisor, seguimos
a1 = aa + p ‘Incrementamos el divisor en la diferencia mínima
If n / a1 = Int(n / a1) Then p1 = p1 + 1 ‘Si resulta otro divisor, incrementamos el contador
End If
Next i
nummindifdivi = p1 ‘El resultado es el contador
End Function

A continuación reproducimos la tabla anterior adjuntando una columna con el número de ocurrencias de la diferencia mínima y la lista de divisores propios:



Así vemos, por ejemplo, que la diferencia mínima en el 12 es 1, y que se presenta dos veces, entre el 2 y el 3 y entre el 3 y el 4. En el caso del 14, la mínima es 5, y sólo aparece una vez, entre 2 y 7.

Con esta función podemos determinar los números con mayor número de ocurrencias de la diferencia mínima.

Ejemplos:

Números con más de cuatro diferencias mínimas

Los primeros son



Vemos que, por ejemplo, 420 presenta 7 diferencias mínimas iguales a 1:
2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 14-15 y 20-21.

Números con diferencia 2 y varias repeticiones

Los números 3465 y 4095 son los primeros que presentan cinco diferencias mínimas con valor 2. La razón es que todos sus factores primos son impares y esto facilita la repetición del 2. Así, 3465=3*3*5*7*11, y presenta diferencia 2 en
3-5, 5-7, 7-9, 9-11, 33-35

Las primeras diferencias son previsibles, restando los factores primos, pero otras es difícil encontrarlas por razonamiento, como 33-35.

Caso en el que diferencia mínima es 1 (consecutivos)

Este caso es el más interesante, por lo que merece una función especial para él. Aquí sí vamos a incluir el divisor 1, por la siguiente razón:

El número de pares de divisores consecutivos coincide con el de divisores oblongos, del tipo n(n+1). Es claro que todo número divisible por n y n+1 también lo es entre n(n+1), e igual ocurre a la inversa. Si no tenemos en cuenta el 1, perderíamos el oblongo 1*2=2.

Otro detalle que nos facilita la búsqueda es que los oblongos comienzan en 2 y luego sus diferencias van siendo 4, 6, 8, 12,…los pares consecutivos, lo que facilita el recorrido entre oblongos.

Según estas consideraciones, se puede diseñar la siguiente función numconsec que cuente los divisores consecutivos.

Public Function numconsec(n)
Dim i, m, p

m = 0: i = 2: p = 2 ‘Inicios de números oblongos
While i <= n
If n / i = n \ i Then m = m + 1 ‘Si es un divisor oblongo, se incrementa el contador
p = p + 2: i = i + p ‘Se genera el siguiente oblongo
Wend
numconsec = m
End Function


En http://oeis.org/A088723 están publicados los números que al menos poseen dos divisores consecutivos (sin contar el 1):

6, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80, 84, 90, 96, 100, 102, 108, 110, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 180, 182, 186, 192, 198, 200, 204, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260…

Tomamos uno de ellos, por ejemplo el 222. Le buscamos todos los divisores y resultan ser:

222 111 74 37 6 3 2 1, con consecutivos 2-3

Con nuestra función resultarían dos, ya que contamos 1-2 y 2-3, para que así coincida con oblongos, que en este caso serían 2 y 6.

Es claro que todos los múltiplos de 6 pertenecen al listado, pero hay otros, como el 110, no múltiplo de 6 pero es oblongo y sus divisores consecutivos son 10 y 11.

Estos son los que presentan más de dos pares de consecutivos:

12, 24, 30, 36, 42, 48, 60, 72, 84, 90, 96, 105, 108, 120, 126, 130, 132, 144,…

Casi todos son múltiplos de 6 o incluso de 12.

Con más de tres consecutivos aparecen:

60, 72, 84, 90, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 210, 216, 240,…

Es fácil ver que al aumentar el número de consecutivos iremos obteniendo entre ellos múltiplos de 60, pues nos garantizamos los consecutivos 1, 2, 3, 4,  5 y 6. Un caso especial vemos que es el 132=2*2*3*11, cuyos consecutivos son 1-2, 2-3, 3-4 y 11-12.

Al llegar aquí podemos pensar en los factoriales, que tienen garantizados n-1 consecutivos. Veamos si aparecen muchos más pares:



Hasta el 4 resultan los previstos. Después van apareciendo más casos, como en el 6!, que podemos recorrer 8: 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 8-9, 9-10 y 15-16.

Números “record”

En el párrafo anterior podíamos sospechar que el incremento del número de pares de divisores consecutivos no seguía una sucesión creciente. Hemos programado la búsqueda de los números en los que el número de pares se incrementa en una unidad, y hemos obtenido estos:




Vemos que el orden natural se rompe entre 72 y 60, ya que este segundo presenta más pares que el 72. Como era de esperar, no figuran apenas factoriales, que serían los mejores candidatos para poseer más pares de números consecutivos.

El resto de soluciones, salvo el ya conocido desfase en la primera,  lo tienes en http://oeis.org/A088726

A088726: Smallest numbers having exactly n divisors d>1 such that also d+1 is a divisor.

1, 6, 12, 72, 60, 180, 360, 420, 840, 1260, 3780, 2520, 5040, 13860, 36960, 41580, 27720, 55440, 83160, 166320, 277200, 491400, 471240, 360360, 1113840, 720720, 1081080, 3341520, 2162160, 2827440, 5405400, 4324320, 12972960, 6126120,…

Se vuelve a romper el orden en otros casos, como 3780 y 2520.

jueves, 14 de junio de 2018

Números piramidales centrados (4/4)



Otros números piramidales centrados


Hexagonales

Con estos números, como veremos, el inicio del estudio seguirá un camino más simple:

Partimos de los poligonales hexagonales centrados:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107, 2269, 2437, 2611, 2791, 2977, 3169, 3367, 3571, 3781, 3997
(http://oeis.org/A003215

Y

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-2.html)
En esta entrada nuestra incluimos su expresión, que es una diferencia de cubos consecutivos


Por tanto, si para construir los piramidales debemos ir formando las sumas parciales, resultarán cubos. En efecto:

1, 1+7=8, 1+7+19=27, 1+7+19+37=64

Luego la sucesión será:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167,…

En el boceto siguiente está representado el número 27, que a su vez contiene el 7 y el 1, en sus tres capas, luego 27=1+1+6+1+6+12



Los términos de la sucesión claramente son cubos. No hay que usar interpolador para verlo. Si también acudimos a la fórmula de Deza lo comprobaremos, para n=6




Así que estos números, además de ser piramidales centrados, representarán una figura cúbica. Aclara mucho la equivalencia si vas tomando grupos de tres unidades en la imagen anterior y te los imaginas alineados en una trama cúbica:



Al coincidir estos números con los cubos, todas sus propiedades se desprenderán de ese carácter, lo que les quita interés.

Suma de grupos de impares consecutivos

Añadimos esta propiedad porque se puede interpretar como un número trapezoidal. Cada número heptagonal centrado equivale a la suma de uno de estos grupos:

{1}, {3, 5},{7, 9, 11}, {13, 15, 17, 19},…

1=1
8=3+5
27=7+9+11
64=13+15+17+19

Las sumas se pueden representar mediante trapecios. Por ejemplo, la última formaría esta imagen:



Para comprobarlo algebraicamente, usaremos, como en casos anteriores, los números triangulares. Sabemos que la suma de impares equivale al cuadrado de su número, pero estos grupos se han ido eligiendo siguiendo los triangulares, por lo que su valor coincidirá con la diferencia de cuadrados de dos triangulares consecutivos. Así:


Heptagonales

Partimos de los poligonales centrados de siete lados

1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197,… http://oeis.org/A069099

Acumulamos:
1, 1+8=9, 9+22=31, 31+43=74,…y obtenemos:

1, 9, 31, 74, 145, 251, 399,…

Están publicados en http://oeis.org/A004126

Su expresión es fácil de obtener con la fórmula de Deza:



Propiedades

Como suma de triangulares

Casi todos los números figurados presentan relaciones sencillas con los números triangulares. En este caso es:

El piramidal heptagonal centrado de orden n equivale a la suma de n triangulares comenzando por T(n)

Por ejemplo:
31=6+10+15
74=10+15+21+28

Para el caso n basta recordar que la suma de los primeros números triangulares equivale a n(n+1)(n+2)/6, luego la suma de sólo cuatro será la diferencia entre la suma de los 2n-1 primeros menos la suma de los n-1 primeros. Lo desarrollamos:

(2n-1)2n(2n+1)/6-(n-1)n(n+1)/6

Simplificando en Wolfran-Alpha:



Obtenemos:



Coincide con la expresión obtenida más arriba, luego la propiedad es verdadera.


Fórmula combinatoria

La propiedad anterior se puede expresar así:


Octogonales

Los poligonales octogonales centrados, que no llegamos a estudiarlos en este blog, equivalen a los cuadrados de los números impares, como puedes ver en OEIS:










También los puedes recorrer con nuestra calculadora Calcupol

(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados)

Eliges el tipo Centrado de orden 8



Escribes un 1 en pantalla y vas pulsando la tecla PROX, con lo que aparecerán en pantalla los cuadrados de los impares.

Acumulamos esos cuadrados mediante sumas parciales

1+9=10
1+9+25=35
1+9+25+49=84

Obtendremos la sucesión

1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, 1771, 2300, 2925, 3654, 4495, 5456, 6545, 7770, 9139, 10660, 12341,…(http://oeis.org/A000447)

Estos serán los piramidales octogonales centrados.

De la fórmula de Deza se deduce:



También se puede escribir como



Se puede comprobar:

PIRC8(3)=3*5*7/3=35;  PIRC8(4)=4*7*9/3=84

Coincidencia con tetraedros

Si aplicamos la fórmula obtenida a los números impares nos resultará:



Los números combinatorios de orden 3 coinciden con los piramidales triangulares o tetraedros.

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/04/numeros-piramidales-2-tetraedros.html

Así que estos estos octogonales que estamos estudiando coinciden con los tetraedros en los lugares impares:

Piramidales octogonales centrados:

1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, 1771, 2300, 2925, 3654, 4495, 5456, 6545, 7770,…

Piramidales triangulares:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925,…

Cada dos de estos coinciden con los de arriba.

Este tema se ha alargado mucho. Es el momento de cortar y dejar el resto para investigar.

jueves, 7 de junio de 2018

Números piramidales centrados (3/4)


Piramidales pentagonales centrados


En las entradas anteriores de este blog (puedes consultarlas pulsando en la frase Entradas antiguas de la parte inferior de este texto) estudiamos números piramidales centrados de tres dimensiones con tres o cuatro lados. En esta seguiremos aumentando el número de lados a 5, pero nos limitaremos a una relación esquemática de su construcción, que ya ha sido explicada anteriormente y suponemos que bien entendida, y añadiremos alguna propiedad interesante de cada tipo.


Formación

Lo explicamos de forma esquemática, pues es un procedimiento que hemos desarrollado anteriormente. Insertamos enlaces para una mejor comprensión. Procederemos de la misma forma en los siguientes tipos.

Tomamos los números  poligonales pentagonales centrados:
1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891, 2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976,…

http://oeis.org/A005891

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-2.html

Sobre ellos acumulamos sumas parciales

1, 1+6=7, 1+6+16=23, 1+6+16+31=54,…

Y nos queda

1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609, 835, 1111, 1442, 1833, 2289, 2815, 3416, 4097, 4863, 5719, 6670, 7721, 8877, 10143,…http://oeis.org/A004068

Extraemos la expresión genera con nuestro interpolador (ver entradas anteriores):



Copiamos los coeficientes de abajo para obtener el polinomio interpolador, y resulta:

P(x)=1+6(x-1)+5(x-1)(x-2)+5(x-1)(x-2)(x-3)/6

Simplificamos en la página de WolframAlpha:



O bien


Es decir:



A partir de la fórmula de Deza (ver entrada anterior) también se obtiene:





Puedes ir engendrando así los términos de la sucesión o usar nuestra calculadora Calcupol, ya presentada en la anterior entrada. Ahora cambiamos el método. Ábrela y concreta en su parte derecha que deseas usar piramidales centrados y marca 5 como orden:



Después escribe un 1 en pantalla y ve usando la tecla PROX paso a paso, y obtendrás la sucesión 1, 7, 23, 54, 105, 181, 287,…Después, con la tecla ANT los puedes recorrer descendiendo hasta el 1. También puedes encontrar un término más alejado. Por ejemplo, con la secuencia de teclas 5 PIRC 30 =  obtendrás el término 30, que resulta ser  22505. Si ahora usas PROX y ANT puedes descubrir los términos más cercanos a él.

Propiedades de estos números

Si los piramidales cuadrados centrados los interpretamos como octaedros, estos pentagonales los podemos convertir en decaedros, es decir en poliedros de diez caras. Así lo interpreta la sucesión de OEIS A004068, como ves en su inicio:

A004068 Number of atoms in a decahedron with n shells.
0, 1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609, 835, 1111, 1442, 1833, 2289, 2815, 3416, 4097, 4863, 5719, 6670, 7721, 8877, 10143, 11524, 13025, 14651, 16407, 18298, 20329, 22505, 24831, 27312, 29953, 32759, 35735, 38886, 42217, 45733, 49439,…

Como es una cuestión geométrica y el sentido de la palabra decaedro es ambiguo, dejamos esta interpretación en este punto.

Otra interpretación de la fórmula

La expresión general del valor de estos números se puede escribir de otra forma:



Esta, a su vez equivale a


Llegamos a algo interesante, y es que la fórmula se reduce a un cubo y a un número combinatorio.

Relación con la Combinatoria

La última expresión de la fórmula se puede interpretar como una diferencia entre combinaciones con repetición de n elementos tomados de 3 en 3 y las combinaciones de n+1 elementos también de 3 en 3.

Esta consideración nos lleva a una interpretación combinatoria similar a otra que descubrimos para los piramidales centrados de 4 lados.

a(n+1) equivale al número de tripletas (w,x,y) con términos comprendidos en {0,...,n} y tales que x+y>=w. Esta propiedad también es debida a Clark Kimberling.

Antes de razonar nada, lo desarrollaremos mediante nuestra herramienta Cartesius, que construye productos cartesianos condicionados
(http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius)

Usaremos este planteo para el caso n=3:

En la primera línea pedimos un producto de tres factores. Después, que pertenezcan al intervalo (0,..3) y, finalmente, que el primero sea menor o igual que la suma de los otros dos.

El resultado es igual a 54 casos, que es el cuarto término de la sucesión. Veamos en detalle los valores de x1:

El valor x1=0 aparece sin restricciones, ya que es menor o igual que cualquier otro elemento. En total 16 veces:



El valor x1=1 ya tiene una restricción, que es (1, 0, 0), luego se presentará 16-1 veces:


De igual forma, x1=2 aparece 16-3=13 veces, donde 3 son las combinaciones que forman las excepciones: (2,0,0), (2,1,0) y (2,0,1)



Por último, el 3 sólo aparecerá en 16-6=10 casos





Se ve, y se puede generalizar fácilmente, que lo que se le va restando a cada 16 un número triangular:

16+16-1+16-3+16-6=64-1-3-6=54

Para n=4 obtendríamos:

5^3=125, luego la expresión que acabamos de obtener se convertiría en
25+25-1+25-3+25-6+25-10=125-(1+3+6+10)=105, como era de esperar. Los números triangulares representan las combinaciones de dos en dos que representan a las excepciones.

La suma de triangulares equivale al número piramidal triangular o tetraedro,  tal como puedes comprobar en nuestra entrada

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/04/numeros-piramidales-2-tetraedros.html

En ella vemos que equivale a un número combinatorio


Ajustando índices nos queda la expresión ya vista para los piramidales que estamos estudiando:



Así que la propiedad es cierta.

Todo este estudio nos da otra interpretación geométrica para estos piramidales centrados de orden 5, y es que son la diferencia entre un número cúbico e lado n y un tetraedro de lado n-1.


Suma de valores de un polinomio

Traducimos una propuesta de Reinhard Zumkeller, Nov 11 2012:

Otra expresión para estos números es


En efecto, si sumamos estos términos, obtenemos los piramidales centrados pentagonales:



Para demostrarlo recordemos que la suma de n naturales es n(n+1)/2 y la de sus cuadrados n(n+1)(2n+1)/6. Por tanto, al sumar n^2+nk+k^2 obtendremos:

 PIRC(5,n)=n(n+1)(2n+1)/6-n*n*(n+1)/2+n*n^2

Lo simplificamos en la página de WolframAlpha y nos queda comprobado:


Volvemos a la expresión inicial.