Coincidiendo con la publicación en Hojamat.es del documento Funciones especiales y carácter de Dirichlet de Rafael Parra Machío, y como producto de una feliz casualidad, pues no ha habido acuerdo previo con dicho autor, iniciamos hoy una serie de entradas que de forma espaciada y algo periódica tratarán el tema de las funciones multiplicativas a lo largo de este curso.
Este tema está muy bien tratado en muchos manuales y páginas web, entre ellas la referida más arriba. Por eso, en estas entradas no nos limitaremos a repetir el tratamiento teórico, sino que abordaremos los temas mediante esquemas, cálculos, búsquedas o curiosidades. Los lectores no deben buscar en ellas los fundamentos teóricos, porque sólo aparecerán sintetizados. Así constituyen una invitación a la profundización teórica.
Comenzamos con unas definiciones:
Funciones aritméticas
Son funciones reales o complejas definidas sobre el conjunto de los números naturales.
Por tanto, toda función aritmética admite una representación como una sucesión de números (enteros, reales, complejos…)
Por ejemplo, la sucesión siguiente (representada como una correspondencia con los naturales) representa a la función “mayor divisor propio”. En efecto, repasa la tabla y observarás que los números de abajo son los máximos divisores propios de los de arriba.
Con frecuencia usaremos esta notación u otra similar para representar funciones aritméticas.
Funciones multiplicativas
Una función aritmética es multiplicativa cuando para todo par a y b de números naturales primos entre sí se cumple que
F(a*b)=F(a)*F(b) (si (a,b)=1, siendo (a,b) el MCD de ambos números)
Si esto se cumple aunque los números no sean coprimos, llamaremos a la función completamente multiplicativa. Por ahora no las consideraremos.
Hoy lo explicaremos con un ejemplo sencillo: la función Tau, que es la que cuenta los divisores de un número, y que por comodidad tipográfica designaremos por D(n), ya que es parte de la familia de las funciones divisor o sigmas
(ver http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/02/la-familia-de-las-sigmas-1.html)
Así, D(15)=4, porque admite los divisores 1, 3, 5 y 15. De igual forma, D(28)=6, ya que dividen a 28 los números 1, 2, 4, 7, 14 y 28
Pues bien, como 15 y 28 son coprimos, resulta que D(15*28)=24, como puedes comprobar. Más tarde lo razonaremos en general.
A partir de ahora podremos publicar tablas de doble entrada en las que puedas practicar y hacer comprobaciones con las funciones multiplicativas. Aquí tienes la primera, dedicada a la función Tau:
En la tabla sólo aparecen los valores de los productos cuando los dos factores son primos entre sí. Se ha elegido el rango de 20 a 30 porque en el mismo disponemos de gran variedad de números: primos, semiprimos, cuadrados…
Repasa algunos valores, calcúlalos si lo deseas y comprueba el carácter multiplicativo de Tau.
Propiedades de las funciones multiplicativas
(1) Si una función es multiplicativa se dará que F(a*1)=F(a)*F(1), luego deberá ser F(1)=1
A veces esta propiedad no está clara en alguna función, porque puede que no acabe de tener mucho sentido aplicarla a la unidad. En ese caso se suele definir directamente: F(1)=1.
En nuestro ejemplo D(1)=1 porque 1 sólo tiene un divisor.
(2) Si una multiplicativa está definida para cada potencia de un primo, lo estará para todo número natural, pues aplicando la función a la factorización
Puedes seguir los detalles en los documentos teóricos. En ellos también se demuestra lo siguiente, que es fundamental para manejar funciones multiplicativas:
Si una función aplicada a N actúa de igual forma e independientemente para cada factor de N del tipo pr, siendo p un factor primo de N y r su exponente (factor primario de N), y después multiplica los resultados, esa función será multiplicativa
Si recuerdas la Teoría de la Divisibilidad, la función Tau tiene un desarrollo muy sencillo, que es el producto de los exponentes en la factorización aumentados en una unidad:
D(N)=(1+a1 )*(1+a2 )…(1+ak )
Sólo por este desarrollo ya se habría adivinado que es multiplicativa.
(3) El producto de dos multiplicativas también es también multiplicativo
Consúltalo, pero con un poquito de Álgebra comprenderás esta propiedad.
(4) En esta propiedad hay que detenerse un poco, aunque no la demostraremos (busca, busca…):
Si g(x) es una función multiplicativa, entonces, la función f(n) definida por
Omitiendo detalles, la base de esta propiedad está en que los divisores de un producto de dos números coprimos M y N son productos de dos divisores, uno de M y otro de N, y al final la suma de productos coincidirá con el producto de sumas. ¿Es difícil de entender? Pues busca el desarrollo en cualquier manual o página que lo explique.
Nosotros lo comprobaremos en el caso de la tau para dos números concretos. Esto no demuestra nada, pero te ayudará a crearte una idea del proceso.
Ves que arriba hemos escrito los divisores de 105 y debajo de cada uno su número de divisores. Nos dan una suma de 27. Hemos efectuado la misma operación con 22 y nos suman 9. El producto de ambos (nótese que son coprimos) es 2310, que tiene 32 divisores (era de esperar ¿no?) y sus divisores suman 243, que es precisamente el producto de 27 por 9, luego en este caso el proceso ha sido multiplicativo. Pero no generalices. Hay que demostrar las cosas.
Lo dejamos por hoy. Otros días veremos algunos ejemplos de funciones multiplicativas interesantes.
