Al complicar se simplifica

El uso conjunto de las operaciones de sumar y multiplicar en los temas de Teoría de Números da lugar a resultados aparentemente paradójicos. Los conceptos de divisor y múltiplo, de número primo, compuesto, abundante o deficiente se basan en la operación de multiplicar, pero nos empeñamos en sumarlos. A veces lo que logramos con esto es que al complicar una situación lo que logramos es una estructura menos compleja.

Un ejemplo claro es el de sumar números compuestos de varios divisores y que el resultado resulte ser un número primo. Así, 60=2²*3*5 y 931=7²*19 y sin embargo su suma 991 es un número primo. La operación de sumar ha significado una pérdida de complejidad.

Otro ejemplo: En una entrada anterior (http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/06/un-par-de-abundantes.html) vimos que todo número par mayor que 46 es suma de dos abundantes. Esta operación también puede suponer una pérdida de complejidad. Así, 18 y 40, ambos abundantes, con su suma producen el número 58, que es deficiente.

Estudiaremos con detenimiento otro ejemplo: La función sigma (http://hojaynumeros.blogspot.com/2011/03/la-familia-de-las-sigmas-2.html) suma todos los divisores de un número. Es una operación que requiere varios pasos y bastantes operaciones. ¿Podrá producir resultados primos o semiprimos?

Podríamos intentar una búsqueda simple con hoja de cálculo: recorreríamos todos los números en un cierto rango, calculando su sigma y viendo si es prima o semiprima. El resultado sería el siguiente (para números menores que 1000):

Número N	Sigma	Tipo	Factores de N	Factores de Sigma(N)
3	4	Semiprimo	3	2 2
4	7	Primo	2 2	7
5	6	Semiprimo	5	2 3
8	15	Semiprimo	2 2 2	3 5
9	13	Primo	3 3	13
13	14	Semiprimo	13	2 7
16	31	Primo	2 2 2 2	31
18	39	Semiprimo	2 3 3	3 13
25	31	Primo	5 5	31
36	91	Semiprimo	2 2 3 3	7 13
37	38	Semiprimo	37	2 19
49	57	Semiprimo	7 7	3 19
50	93	Semiprimo	2 5 5	3 31
61	62	Semiprimo	61	2 31
64	127	Primo	2 2 2 2 2 2	127
73	74	Semiprimo	73	2 37
81	121	Semiprimo	3 3 3 3	11 11
100	217	Semiprimo	2 2 5 5	7 31
121	133	Semiprimo	11 11	7 19
144	403	Semiprimo	2 2 2 2 3 3	13 31
157	158	Semiprimo	157	2 79
169	183	Semiprimo	13 13	3 61
193	194	Semiprimo	193	2 97
225	403	Semiprimo	3 3 5 5	13 31
256	511	Semiprimo	2 2 2 2 2 2 2 2	7 73
277	278	Semiprimo	277	2 139
289	307	Primo	17 17	307
313	314	Semiprimo	313	2 157
361	381	Semiprimo	19 19	3 127
397	398	Semiprimo	397	2 199
400	961	Semiprimo	2 2 2 2 5 5	31 31
421	422	Semiprimo	421	2 211
457	458	Semiprimo	457	2 229
529	553	Semiprimo	23 23	7 79
541	542	Semiprimo	541	2 271
576	1651	Semiprimo	2 2 2 2 2 2 3 3	13 127
578	921	Semiprimo	2 17 17	3 307
613	614	Semiprimo	613	2 307
625	781	Semiprimo	5 5 5 5	11 71
661	662	Semiprimo	661	2 331
673	674	Semiprimo	673	2 337
729	1093	Primo	3 3 3 3 3 3	1093
733	734	Semiprimo	733	2 367
757	758	Semiprimo	757	2 379
841	871	Semiprimo	29 29	13 67
877	878	Semiprimo	877	2 439
961	993	Semiprimo	31 31	3 331
997	998	Semiprimo	997	2 499

Se ve que en algunos casos, como el del 576, la pérdida de complejidad es notable.

Concretemos un poco, y supongamos que N es semiprimo: N=p*q con p y q ambos primos. ¿Cuándo su sigma resultaría ser prima o semiprima?

Podemos razonar que p ha de ser igual a q: si son ambos iguales a 2, se cumple, porque 4=2*2 y sigma(4)=1+2+4=7 que es primo. En caso contrario, uno de ellos, supongamos que sea p, ha de ser impar, con lo que sigma(N)=(1+p)(1+q)=2h(1+q), con al menos tres factores, por lo que no puede ser primo ni semiprimo. En resumen: N ha de tener la forma de N=p² con p primo. Puedes comprobarlo en la tabla anterior, pues todos los valores de N que presentan dos factores son cuadrados de primos (aunque no están todos)

Número N	Sigma	Factores de sigma
4	7	7
9	13	13
25	31	31
49	57	3 19
121	133	7 19
169	183	3 61
289	307	307
361	381	3 127
529	553	7 79
841	871	13 67
961	993	3 331

En efecto, no están todos los cuadrados de primos, y además, los factores que aparecen en sigma(N) son el 3 y números primos del tipo 6m+1. ¿Por qué? Aclararemos algo a continuación. Repasaremos con ello la teoría de los restos cuadráticos:

Para este tipo de números sigma(N)=1+p+p². Como el caso de p=2 está resuelto, podemos suponer que p>2 y por tanto impar, N será impar y sigma(N) también. Por tanto, si poseen divisores h, estos serán mayores que 2. Llamemos k a un posible divisor de sigma(N). Al ser primo impar, podremos aplicar la teoría de los restos cuadráticos (ver Parra Restos cuadráticos y Ley de reciprocidad cuadrática http://hojamat.es/parra/restocuad.pdf)

(NOTA: Por razones tipográficas usamos el signo = en las congruencias).

Si k es un divisor, se ha de cumplir que 1+p+p²=0 (mod k). Si multiplicamos por 4 quedará:

4+4p+4p²=(2p+1)²+3=0 (Mod k)   (1)

Esta congruencia puede darse en dos situaciones:

(a) Que sea k=3. Con ello se cumpliría (1) siempre que 2p+1=0 (mod 3), 2p=2 (mod 3), p=1 (mod 3) (se puede dividir entre 2 porque es primo con k), es decir que p ha de ser de la forma 3m+1. Esta es condición necesaria para que k=3, pero no suficiente.

(b) Que k no sea 3. En ese caso el número -3 ha de ser resto cuadrático respecto  a k (Ver Parra http://hojamat.es/parra/restocuad.pdf). Para que esto se cumpla, k ha de tener la forma k=6m+1. Esto completa el razonamiento: k ha de ser 3 o del tipo 6m+1, como puedes comprobar en la tabla anterior.

Una vez determinada la naturaleza de los factores (que sean el 3 u otro primo de la forma 6m+1), debemos tener en cuenta que sigma(N) puede tener un sólo factor y por tanto ser primo, o bien dos, pasando a ser semiprimo.

(A) Sigma(N) es primo

Para el caso de sigma prima puedes consultar  https://oeis.org/A023194. Es interesante que leas algunos comentarios, pero ten en cuenta que aquí solo hemos estudiado el caso en el que N era el cuadrado de un primo. Por tanto, nuestra secuencia de estos primos

2, 3, 5, 17, 41, 59, 71, 89, 101, 131, 167, 173, 293, 383, 677, 701, 743, 761, 773, 827, 839, 857, 911, 1091, 1097, 1163, 1181, 1193, 1217…

es una subsecuencia de https://oeis.org/A055638 y coincide con https://oeis.org/A053182 en la que figura un comentario de nuestro amigo Claudio Meller.

Todos sus elementos, salvo los primeros 2 y 3, son números primos de la forma 6m-1.

(A) Sigma(N) es semiprimo

En este caso los resultados son:

Primo p	Sigma(p*p)	Factores de Sigma
7	57	3 19
11	133	7 19
13	183	3 61
19	381	3 127
23	553	7 79
29	871	13 67
31	993	3 331
43	1893	3 631
47	2257	37 61
53	2863	7 409
73	5403	3 1801
83	6973	19 367
97	9507	3 3169
103	10713	3 3571
113	12883	13 991
127	16257	3 5419
157	24807	3 8269
179	32221	7 4603
197	39007	19 2053
199	39801	3 13267
223	49953	3 16651
227	51757	73 709

Como se ve, los factores primos de Sigma sólo pueden ser el 3 o los del tipo 6m+1