Sigue el mismo tipo al duplicar las unidades

El número 144 es cuadrado, 144=12², y si duplicamos su última cifra resulta otro cuadrado, pues 1444=38² ¿Ocurrirá esto con otros cuadrados? ¿Existirán ejemplos similares con números primos, triangulares y de otro tipo? Lo estudiamos.

Cuadrados

Los únicos cuadrados que presentan duplicadas sus dos últimas cifras son los terminados en 44 o en 00. No existirán casos con otras cifras. Lo vemos detenidamente:

Las terminaciones de los números cuadrados son 0, 1, 4, 5, 6 y 9. En los casos 1, 5, 6 y 9 es imposible la terminación en 11, 55, 66 o 99. En todos los razonamientos llamaremos a a la cifra de las decenas de la posible raíz cuadrada.

Un número terminado en 1 o en 9 no puede producir un cuadrado terminado en 11, pues si termina en a1, su cuadrado lo hará en (2a)1, y 2a no puede valer 1, y si termina en 9, el cuadrado de a9 terminaría en (18a+8)1, y tampoco podría terminar en 11. Desechamos, pues la terminación 11.

La 55 tampoco es posible terminación de cuadrado, pues si un número termina en a5, su cuadrado lo hará en (10a+2)5, y el paréntesis par no puede producir un 5 en las decenas.

Para producir un 66 la raíz cuadrada ha de terminar en a6 o en a4. En el primer caso el cuadrado terminaría en (12a+3)6, y el paréntesis no puede terminar en 6. En el otro caso sería (8a+1)6, que tampoco produce 66.

La 99 provendría de un número terminado en a3 o en a7, y su cuadrado terminaría en (6a)9 en el primer caso y (14a+4)9 en el segundo, lo que imposibilita el 99 como terminación.

La terminación en 00 para un cuadrado provendría de una raíz cuadrada terminada en 0. Hasta aquí bien, pero para la cuestión que nos ocupa debería también ser un cuadrado, con lo que tendría un número par de ceros, y al añadirle otro cero sería un número impar, que no podría ser cuadrado.

Por tanto, la única duplicación de unidades que produce un cuadrado es la 44. Si deseamos más casos además del 144 deberemos buscar entre los cuadrados terminados en 4.

Búsqueda de cuadrados del tipo dado

Lo iniciaremos en Basic de Excel para abordar el tema y extenderlo más tarde a otros casos. Usaremos la función sigueigual, que iremos adaptando a lo largo del estudio. Para cuadrados puede ser esta:

Public Function sigueigual(n) as boolean
Dim a, c

c = n Mod 10 ‘Encuentra la cifra de las unidades
If c <> 4 Then sigueigual = False: Exit Function ‘Si no termina en 4, lo dejamos
a = n * 10 + c ‘Formamos la duplicación de las unidades
If escuad(n) And escuad(a) Then sigueigual = True Else sigueigual = False
‘Si el número es cuadrado antes y después de duplicar, vale

End Function

La función escuad puede tener este código:

Public Function escuad(n) As Boolean
'Determina si n es un cuadrado

If n < 0 Then
escuad = False
Else
If n = Int(Sqr(n)) ^ 2 Then escuad = True Else escuad = False
End If

End Function

Probamos los primeros números con esta función y solo nos resulta la solución 144 y 1444, por lo que necesitamos una herramienta más potente, como el lenguaje PARI. Usaremos solo cuadrados, con lo que la búsqueda será más rápida. El listado que usaremos es este:

for(i=1, 1000000000, n=i*i; q=n%10; if( q==4, r=q+n*10; if(issquare(r),  print1(n,", ",sqrtint(n),", ",r,", ",sqrtint(r)))))

Para cada valor de la variable i forma su cuadrado n. Si termina en 4, se duplica la cifra de las unidades para formar la variable r y si es un cuadrado, hemos encontrado la solución. Con este código aparece la solución 144, 1444, y también dos más:

144, 12, 1444, 38, 432374632704, 657552, 4323746327044, 2079362, 899063381008862784, 948189528, 8990633810088627844, 2998438562,…

(Escribimos en cursiva las raíces cuadradas del término anterior)

Vemos que son escasos los cuadrados con esta propiedad. Con un poco de paciencia se podrían buscar más soluciones, pero con las tres dadas se advierte su rareza.

Estos números (los que son raíces cuadradas del segundo cuadrado, como 2998438562) pertenecen a la sucesión http://oeis.org/A239364, que son soluciones de la ecuación de Pell x²-10y²=4, que viene a exigir que al añadir un 4 a un cuadrado y² se convierta en otro cuadrado x², pero en la sucesión indicada figuran otras soluciones, que son las que no terminan en 44.

Primos

Podemos ir adaptando la función sigueigual según el tipo de números que estudiemos. En el caso de los primos podría ser:

Public Function sigueigual(n)

Dim a, c

c = n Mod 10

a = n * 10 + c

If esprimo(n) And esprimo(a) Then sigueigual = True Else sigueigual = False

End Function

Resultan estos primeros ejemplos, que, como vemos, son mucho más frecuentes que los cuadrados:

19, 23, 31, 43, 59, 67, 73, 97, 103, 127, 139, 149, 151, 173, 181, 193, 199, 211, 233, 239, 241, 263, 269, 271, 277, 283, 349, 353, 367, 373, 383, 409, 421, 479, 487, 499, 509, 523, 547, 571, 601, 613, 619, 631,…

Por ejemplo, 173 es primo y 1733 también.

Con PARI basta con un código muy simple:

forprime(n=2, 2000, p=(n%10)+n*10; if(isprime(p), print(n,", ")))

Puedes experimentar con él aumentando el rango de búsqueda, que en el listado va de 2 a 2000. Observa lo útil que es la instrucción forprime.

Triangulares

En el caso de los triangulares volvemos a la escasez de resultados. En la siguiente versión de sigueigual usamos la condición para que n sea triangular, y es que 8*n+1 sea cuadrado:

Public Function sigueigual(n)

Dim a, c

c = n Mod 10

a = n * 10 + c

If escuad(8 * n + 1) And escuad(8 * a + 1) Then sigueigual = True Else sigueigual = False

End Function

En una primera búsqueda obtenemos cuatro soluciones: 6, 66, 171 y 1540.

Para encontrar otros ejemplos necesitamos usar PARI, como es costumbre en este blog:

for(i=1, 10000000000, n=i*(i+1)/2;q=n%10;r=q+n*10; if(issquare(8*r+1), print1(n,", ")))

En primer lugar construimos un triangular mediante su definición, n=i*(i+1)/2, y después le adosamos el último dígito y comprobamos que sigue siendo triangular mediante la prueba issquare(8*r+1).

De esta forma obtenemos más soluciones:

6, 66, 171, 1540, 21454525, 43809480, 1395379509846, 5671003058155, 337549427259780, 39693585656707986,…

No son tan escasos como los cuadrados, pero se ve que aparecerán de forma aislada.

Oblongos

Ya que hemos recorrido los tipos más estudiados, completamos con alguno más. Por ejemplo, con los oblongos.

Como estos números son dobles de un triangular, el criterio del 8*n+1 que estudiamos anteriormente se modifica en que sea cuadrada la expresión 4*n+1. Así quedaría sigueigual:

Public Function sigueigual(n)

Dim a, c

c = n Mod 10

a = n * 10 + c

If escuad(4 * n + 1) And escuad(4 * a + 1) Then sigueigual = True Else sigueigual = False

End Function

Las dos primeras soluciones que nos da esta función, 342 y 3080, resultan ser dobles de dos soluciones para triangulares, como son 171 y 1540.

Si ampliamos usando PARI comprobamos que estos ejemplos son también escasos:

342, 3080, 225150, 87618960, 711635652, 6404720870, 182191536189390, 675098854519560,…

Con esto ya tenemos una idea de lo que da de sí esta cuestión. Lo dejamos aquí.