lunes, 25 de enero de 2010

Compartir o no compartir (1)

Propuesta de investigación en el aula

Uno de los teoremas más elegantes de la Teoría de la Divisibilidad afirma que la probabilidad de que al escoger al azar dos números naturales, estos resulten primos entre sí, es decir, que no compartan divisores primos, es igual acuya expresión decimal aproximada es 0,6079271

Es evidente que la comprensión y demostración de este teorema sobrepasa las capacidades del alumnado de Enseñanza Media, pero se puede intentar una aproximación intuitiva al mismo. Podríamos plantearnos distintas fases de una experimentación.

Fase 1

Experimentación y cálculo

Experimentación con frecuencias y con números acotados

El teorema que presentamos contiene infinitos en su enunciado. Por una parte, la variable aleatoria usada abarca todos los números naturales. Por otra, no existe máximo en la muestra que podamos estudiar. Por eso, en el aula nos podemos restringir a números acotados (por ejemplo, los menores que 100) y a muestras pequeñas, o bien toda la población de los mismos, que en este caso equivaldría a 10000 pares de números. Al alumnado entonces hay que advertirle que estudiaremos frecuencias, no probabilidades.

Experimentación

Se pueden usar bolas del bingo (por ejemplo, cien) con reposición, e ir planteando para cada par si tienen divisores comunes o no. Se puede organizar por grupos o con toda el aula. Cada alumno o alumna copiará en su cuaderno los pares y si son primos o no, para obtener frecuencias.

Con ello obtendremos, resultados parecidos al siguiente:

Comparten divisores 79
Son primos entre sí 121
Total 200
Frecuencia relativa 0,6050

Si repetimos el experimento varias veces o acumulamos resultados de varios grupos, nos acercaremos al verdadero valor de la probabilidad para números menores que 100, cuyo valor exacto es 6087/10000 = 0,6087

Cálculo

¿Cómo podemos encontrar esa probabilidad exacta con una hoja de cálculo? Si no deseamos acudir a macros, podemos construir una tabla de doble entrada, por ejemplo de 100 por 100, y calcular la función de Excel y Calc =M.C.D(a,b) para cada par. En la imagen puede ver un fragmento de esa tabla:



Sobre esta ella aplicamos la función =CONTAR.SI(Rango de los mcd;1), para contar los valores 1, y nos resultarán 6087 sobre 10000.

Ampliación

Después, como ampliación, se pueden encargar experimentos con cotas más altas, como 200, o cálculos de la probabilidad exacta para números pequeños, como del 2 al 20.

Siempre obtendremos frecuencias o probabilidades cercanas al 0,6, con lo que el alumnado conjeturará que el verdadero valor es el 60%, por lo que en una segunda fase habrá que sacarle del error:”Esto no es tan simple”.

Un punto delicado es el de saltar a la idea de infinito, pero en estos niveles siempre haremos lo que podamos, sin forzar.

(Continuará)

jueves, 21 de enero de 2010

Sumas de los primeros cuadrados o triangulares

Estudiando un tema determinado me he encontrado con esta relación que no conocía:

12+22+32+42+52+…+232+242 = 702

No sé si estará publicada ya en lgún blog, pero la presento aquí por su elegancia y por mi sospecha de que no existen casos similares, salvo el trivial 1. He buscado mediante dos métodos y no he encontrado otro cuadrado que sea suma de los K primeros cuadrados.

Si alguien conoce algo más del tema le rogaría nos lo comunicara.

¿Ocurrirá algo parecido con los números triangulares?:

1+3+6+10+15…+N(N+1)/2 = K(K+1)/2

La respuesta es afirmativa

He descubierto cuatro casos entre 1 y 100000, sin contar el trivial 1=1, en los que la suma de los primeros triangulares produce otro triangular.

El primero es 1+3+6 = 10

¿Cuáles son los otros tres?

Ya puestos a calcular, me he planteado si sumando los primeros números triangulares podremos obtener un cuadrado, o, a la inversa, si sumando los primeros cuadrados la suma será un número triangular. En ambos casos existen soluciones. ¿Sabrías buscarlas?

jueves, 14 de enero de 2010

Primo divisor de repuno - Reflexión

No debemos conceder demasiada importancia al descubrimiento de la entrada anterior:

Todo número natural es siempre divisor de un número expresado de esta forma: 1111…00000…

En realidad es una aplicación sencilla del Principio del Palomar:

Si repartimos m objetos en n conjuntos, y m>n, entonces, al menos un conjunto deberá contener 2 objetos o más.

Así, podríamos inventar múltiples propiedades parecidas:

Entre los veinte primeros números de la sucesión de Fibonacci existirán al menos dos cuya diferencia sea múltiplo de 17. En efecto, 144-8 = 136 = 17*8

Toda progresión aritmética de más de 10 términos contiene al menos dos elementos que terminan en la misma cifra. Por ejemplo 7, 20, 33. 46, 59, 72, 85, 98, 111, 124, 137, 150, 163, 176,…(Se puede prescindir en este caso del Principio del Palomar ¿Cómo?)

(Propuesta por Paul Erdös) Si tomamos n+1 números naturales cualesquiera, todos ellos menores que 2n, entre ellos habrá al menos dos que sean primos entre sí.

martes, 12 de enero de 2010

Primo divisor de repuno - Razonamientos

Es más sencillo demostrar antes la segunda propiedad:

Todo número natural es siempre divisor de un número expresado de esta forma: 1111…00000…

Sea el número natural N. Basta considerar el conjunto de N+1 repunits 1, 11, 111, 1111, …..111…(N+1)..11. Si los dividimos todos entre N, como sólo existen N restos posibles habrá dos repunits que produzcan el mismo resto. en la división. Basta restarlos, con lo que obtendremos un múltiplo N, que tendrá la forma pedida: 1111…000…

A partir de ella podemos demostrar la primera:

Todo número natural primo distinto de 2 y 5 es siempre divisor de un repunit 11111….1

Según la propiedad anterior, el número primo N tendrá un múltiplo de la forma 1111…000… =1111…*10*10*10… Al ser primo distinto de 2 y 5 (si es base 10. Si no cambiaríamos la condición), no puede dividir a 10, luego dividirá a 1111… que es el repunit pedido.

¿Te quieres complicar un poco?

Por el Teorema de Fermat, si N es primo distinto de 2 y 5, será coprimo del 10, y se verificará que 10N-1-1 =9999…(N-1)…999 = 9*1111…(N-1)…111 es múltiplo de N. Si N no es 3, dividirá a 1111…(N-1)…111, y si lo es, basta elegir un repunit con un número de unos múltiplo de 3. También hemos descubierto que salvo en el caso del 3, el número de unos del repunit es N-1.

Este razonamiento se aplica de forma similar en otras bases.

domingo, 10 de enero de 2010

Primo divisor de repuno

¿Sabías que todo número primo distinto de 2 y 5 es divisor de un "repunit" (o “repuno”), que es un número cuyas cifras son todas iguales a la unidad: 1111111….?

Esta propiedad no depende de la base en la que esté escrito el repunit, si ésta es prima con el número dado (ya no intervendrian el 2 y el 5). Así, 7 divide a 111111 escrito en cualquier base coprima con él. Observa estas igualdades:

111111(10 = 111111(10 = 7*15873
111111(9 = 66430(10 = 7*9490
111111(2 = 63(10 = 7*9
111111(16 = 1118481(10 = 7*159783

¿Sabías que si el número es compuesto (o primo) es siempre divisor de un número expresado de esta forma: 1111…00000…?

Esta propiedad es independiente de la base, salvo el número de unos y ceros. Por ejemplo:

111111000(10 = 14*7936500
111111000(3 = 9828(10 =14*702
1111111000000(8 = 78536507392(10 = 14*5609750528
111111111000(2 = 4088(10 = 14*292

Publicaremos próximamente los razonamientos en los que se basan estas propiedades.

viernes, 8 de enero de 2010

Deconstruir y construir números enteros

Idea para el aula

Tomamos a palabra deconstruir de nuestro admirado cocinero Ferrán Adriá. Al igual que él descompone un plato en sus constituyentes y lo vuelve a montar de otra forma, nosotros lo haremos con números. La idea es descomponer un número entero de alguna forma, usando varias operaciones, y después volverlo a construir de otra manera totalmente distinta con los mismos ingredientes.

Lo vemos con el año 2010

La idea es usar distintas técnicas en cada paso: separar cifras, buscar factores primos, descomponer en cuadrados, hallar promedios, usar las cuatro operaciones básicas, etc.

Para un mismo número se pueden establecer competiciones en el aula, para ver qué esquema de deconstrucción es más elegante, o más complejo, o con operaciones de naturaleza más alejada. Puede ser un entretenimiento muy formativo, pero se deberá adaptar a la edad de alumnado y a sus conocimientos.

miércoles, 6 de enero de 2010

Algoritmos ayudados

En un comentario a una entrada anterior de este blog, Claudio nos proponía lo siguiente:

Te envío un problema que mandó Rodolfo Kurchan a la lista de Snark :

Este simpático acertijo me lo envió Michael Reid de EEUU: Colocar los dígitos 0, 1, .... , 9, sin repetir en la expresión a^b + c^d + e^f + g^h + i^j para obtener el año actual.

Pensé en aplicar esta idea al 2010. Como estábamos en días navideños, no me apetecía pensarlo mucho. Por otra parte, si intentaba un algoritmo sin preparación, me podía encontrar con 1010 pasos, lo que era demasiado para cualquier hoja de cálculo.

Así que pensé en ayudar un poco al algoritmo, para ver si entre la máquina y yo lo encontrábamos sin gran esfuerzo. La primera idea fue la de un algoritmo voraz, pero también había que diseñar bastante, y mi cabeza estaba con los villancicos.

Después de cavilar se me ocurrió elaborar una lista de potencias desde 00 hasta 99 eliminando las mayores de 2010 y casi todas las triviales: 13, 14,...08…La lista estaba compuesta por 1296, 1024, 729, 625, 512,…5, 4, 3, 2, 1, 0 (29 en total)

De esta forma, el algoritmo podía traducirse a “Descomponer 2010 en sumandos tomados de una lista”. Aún así, los cálculos tardaban demasiado (295 pasos) y los compromisos sociales me esperaban. Lo dejé para otro día.

Reanudada la tarea, impuse la condición de que los sumandos fueran no crecientes, lo que simplificaba la búsqueda, y como 2010/5 = 402 debería haber algún sumando superior a esa cantidad. De esta forma puede seguir recortando pasos.

Al final obtuve una lista de sumandos que comenzaba con

1296+625+81+8+0
1296+625+81+7+1
1296+625+81+6+2

y terminaba con

625+625+625+128+7
625+625+512+243+5
625+625+512+216+32

Ya tenía algo con lo que trabajar. Añadí a cada sumando los dígitos que lo formaban como una potencia:

1296 6 y 4 625 5 y 4 81 9 y 2 3 y 4 8 8 y 1 2 y 3 0

Ya sólo quedaba elegir las posibilidades en las que no se repitieran los dígitos. Encontré cuatro:

45+28+93+17+06=2010
45+28+93+16+07=2010
45+28+36+18+07=2010
45+28+36+17+09=2010

De esta forma la hoja de cálculo aportó una base para soslayar mi pereza mental, y yo le ayudé con mi sentido común.

¿Habrá más soluciones? Ya digo que esto me cogió con la mente dispersa. Si alguien los encuentra, aquí le esperamos.

Feliz año 2010