Regresos 5 – Un cuadrado y una unidad (1)

El día 5 de noviembre de 2008 se publicó en mi blog “Números y hoja de cálculo” una primera versión del tema de los números del tipo n²+1 (https://hojaynumeros.blogspot.com/2008/11/un-cuadrado-ms-una-unidad.html). Después se amplió algo, pero como es un tema interesante, regresamos a él con nuevas ideas y materiales

 

En este regreso estudiaremos números tipo n²+1 según su naturaleza. Lo normal es comenzar con los que son primos

Primos del tipo n²+1

Con cualquier buscador, exigiendo que un número sea primo y de la forma n²+1 obtendremos una lista con los primeros números de ese tipo. Por ejemplo, con Excel nos resultaría

En la tabla figuran los primos P y los valores de n tales que P=n²+1. Hemos usado nuestra función ESPRIMO y la condición de que P coincida con la parte entera de su raíz cuadrada incrementada después en una unidad, o bien que sea cuadrado P-1. Es lógico que el valor de n sea par, salvo el primer caso P=1.

Otra forma de caracterizarlos es que su función PHI (indicatriz de Euler) sea un cuadrado, ya que PHI(N) cuenta los coprimos con N menores que él incluido 1, y en los números primos PHI(P)=P-1, y de ahí que sea un cuadrado en este caso.

Estos números están publicados en http://oeis.org/A002496, y según una conocida conjetura, forman una sucesión infinita

(Ver mi documento “Conjeturas” en http://www.hojamat.es/publicaciones/conjeturas.pdf)

Salvo el caso de 2, todos serán de la forma 4K+1, por ser n par y, según el Teorema de Navidad de Fermat, se descompondrán en suma de cuadrados de forma única. Así que, además de la suma n²+1², no existirá otra similar. Efectivamente, si ampliamos la tabla anterior con nuestra función ESSUMACUAD, obtenemos un resultado único:

N²+1 y los restos cuadráticos

Otra forma de ver la igualdad P=n²+1 es considerar que -1 es un resto cuadrático de P. Puedes estudiar los restos cuadráticos en mi documento de Teoría de las congruencias (http://www.hojamat.es/sindecimales/congruencias/teoria/teorcong.pdf)

Para cada número primo impar P, los números menores que él se dividen en Restos cuadráticos, si son restos de un cuadrado, y No restos cuadráticos, si no existe un cuadrado que presente un resto con ese valor módulo P.

Nuestra hoja de cálculo Congruencias2, (descargable desde http://www.hojamat.es/sindecimales/congruencias/herramientas/herrcong.htm) clasifica los posibles restos en Restos (cuadráticos) y No restos. Por ejemplo, para el 17, que es igual a 4²+1, el -1 (en este caso equivalente a 16) sí figura como resto cuadrático. Lo vemos en la imagen:

En la figura el 16 (-1) como resto, y el 4 (en rojo) como raíz cuadrada.

Los primos como el 23, que no figuran en nuestro listado, no poseerán -1 como resto cuadrático (en este caso 22):

Vemos que el 22 (o su equivalente -1) figura entre los no restos, por lo que 23 no tiene la forma n²+1, como era de suponer.

Estas consideraciones son triviales para el caso de números primos, pero serán útiles más adelante en el apartado de números compuestos.

Compuestos del tipo n²+1

Otras veces n²+1 es  un compuesto, como 26 o 50. En ese caso la figura cuadrada se puede convertir en un rectángulo al añadirle un cuadradito más, pues se formaría uno de 2 por 13 o de 5 por 10 o 2*25.

Podíamos afirmar que estos compuestos son aquellos en los que n²+1 se puede convertir en un rectángulo de lados enteros.

Según la definición de resto cuadrático, si un compuesto del tipo C=n²+1 tiene un divisor primo p, -1 deberá ser resto cuadrático módulo p, tal como vimos en el caso de los primos. Esto es muy importante, porque ningún número compuesto n²+1 podrá ser múltiplo de p si este no admite resto -1. Sería el caso de 23: ningún elemento de la sucesión http://oeis.org/A002496 será múltiplo de 23.

En la sucesión http://oeis.org/A070303 figuran aquellos primos que no pueden ser divisores de un compuesto del tipo n²+1:

3, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 103, 107, 109, 113, 127,…

Así que, por ejemplo, ningún número múltiplo de 7 puede convertirse en cuadrado al restarle una unidad.

Son aquellos que poseen la forma 4k+3, y no equivalen a una suma de cuadrados.

Lo puedes comprobar con este pequeño programa en PARI:

for(i=1,10^6,if(issquare(i*7-1),print(i)))

Al ejecutarlo descubrimos que no imprime nada, dentro del primer millón de primeros múltiplos de 7.

Resumiendo:

        Los restos cuadráticos clasifican, respecto a  expresiones del tipo n²+1, a los números primos en tres clases:

•        Primos que no dividen a este tipo de expresiones: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43,…En la descomposición factorial de cuadrados más una unidad no figurarán estos números primos. Son los que presentan la forma 4N+3
•       Números primos que sí son factores de expresiones del tipo n²+1: 2, 13, 29, 41, 53,…Se corresponden con los primos de la forma 4N+1. Por ejemplo, 5²+1=26=2*13
•      Por último, los que se pueden expresar como n²+1: 5, 17, 37, 101, 197,… que son un subconjunto de los anteriores.

Así, por ejemplo, se dan estas descomposiciones: 32²+1=5²*41; 57²+1=2*5³*13; 211²+1=2*113*197=2*113*(14²+1)

Los números de la forma n²+1 tienen una propiedad muy elegante, y es que son divisores de otros números similares, y además, su cociente también es del tipo n²+1, es decir, que para todo n, existen m y p tales que (n²+1)(m²+1)= p²+1. En efecto, basta tomar m=n-1 y p=n²-n+1: