En 1796, Gauss descubrió que todo entero positivo puede representarse como la suma de un máximo de tres números triangulares. Estos pueden ser iguales, y si consideráramos el 0 como triangular, podríamos afirmar que todo número natural es suma de tres triangulares.
Un ejercicio interesante es el de descubrir un algoritmo que los encuentre. Para hacerlo más formativo podemos basarnos en dos funciones, una para descubrir si un número es triangular y otra que nos devuelve el mayor triangular mayor o igual que un número dado.
Función estriangular
Si un número N es triangular verificará igualdad N=x(x+1)/2, con x y N ambos enteros, lo que obliga a que 8*N+1 sea cuadrado perfecto ¿por qué?. Esto nos lleva a este código:
Public function estriangular(n) as boolean
dim a
a = Int(sqr(8*n+1))
if a*a=8*n+1 then estriangular = true else estriangular = false
end function
Función mayortriang
Para encontrar el mayor triangular contenido en un número N bastará resolver la ecuación N=x(x+1)/2 truncando el resultado a un número entero. Así que quedará:
Public Function mayortriang(n)
dim a
a = Int((sqr(8*n+1)-1)/2)
mayortriang=a*(a+1)/2
end function
Con esto ya tenemos preparado un algoritmo para OpenOffice.org Calc (fácilmente adaptable a Excel) que encuentre todas las descomposiciones en tres triangulares (incluido el cero):
Sub sumatriangulares
Dim i,j,k
dim a,b
i=StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(3,3).value (se supone que el número se escribe en la celda D4)
a=mayortriang(i)
for j=0 to a (se recorren los valores posibles del primer sumando)
if estriangular(j) then
b=mayortriang(i-j)
for k=j to b (se recorren los valores posibles del segundo sumando)
if estriangular(k) then
if estriangular(i-j-k) and i-j-k>=k then (el tercer sumando ha de ser triangular)
msgbox(j) (se presenta el resultado)
msgbox(k)
msgbox(i-j-k)
end if
end if
next k
end if
next j
End Sub
Pues ánimo y a implementarlo. Puedes añadir una variable que cuente todas las formas de descomposición que tiene un número. Por ejemplo, entre los de tres cifras hay uno que admite 24 sumas distintas de triangulares ¿Cuál?
Este blog es un complemento natural de mi página http://www.hojamat.es. Por ello, se dedicará a los temas numéricos tratados con Hoja de Cálculo y a la estructura y prestaciones de esta. Su nivel será elemental o medio, y su orientación lúdica e investigadora.
jueves, 24 de diciembre de 2009
sábado, 19 de diciembre de 2009
Primos, semiprimos y casi primos (3)
¿Podríamos conseguir que cualquier número nos transmitiera dos números de forma simultánea sin ninguna ambigüedad, como ocurre con los semiprimos? La respuesta es afirmativa.
Observa estas factorizaciones: 24=4*6, 144=12*12, 600=24*25, 72=8*9,…
Los factores están elegidos de tal forma que dado un número (no necesariamente semiprimo) puedas adivinar qué factores te desean transmitir. Por ejemplo, ¿qué factores te transmite 120? Si has adivinado el método, sabrás que se trata de 120=10*12.
La idea es descomponer un número natural cualquiera en dos factores de forma que su diferencia sea mínima, escribiendo por convenio el menor delante del mayor.
¿Es única esta representación? Intenta demostrarlo o razonarlo.
Podemos llamar categoría rectangular C de un número N (la denotaremos por C(N) ) a la mínima diferencia (en valor absoluto) existente entre a y b al recorrer todas las factorizaciones de dos factores, es decir la diferencia entre el par de factores que se han propuesto aquí. Por ejemplo C(600)=25-24=1, C(120)=12-10=2, C(23)=23-1=22
Los números con C(N)=0 serán los cuadrados, y los de C(N)=1 los oblongos. En los números primos se cumplirá que C(p)=p-1
En la dirección
http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/propuestas/rutas/htm/ulam.htm
puedes consultar una curiosa relación de la función C(N) con la espiral de Ulam.
Observa estas factorizaciones: 24=4*6, 144=12*12, 600=24*25, 72=8*9,…
Los factores están elegidos de tal forma que dado un número (no necesariamente semiprimo) puedas adivinar qué factores te desean transmitir. Por ejemplo, ¿qué factores te transmite 120? Si has adivinado el método, sabrás que se trata de 120=10*12.
La idea es descomponer un número natural cualquiera en dos factores de forma que su diferencia sea mínima, escribiendo por convenio el menor delante del mayor.
¿Es única esta representación? Intenta demostrarlo o razonarlo.
Podemos llamar categoría rectangular C de un número N (la denotaremos por C(N) ) a la mínima diferencia (en valor absoluto) existente entre a y b al recorrer todas las factorizaciones de dos factores, es decir la diferencia entre el par de factores que se han propuesto aquí. Por ejemplo C(600)=25-24=1, C(120)=12-10=2, C(23)=23-1=22
Los números con C(N)=0 serán los cuadrados, y los de C(N)=1 los oblongos. En los números primos se cumplirá que C(p)=p-1
En la dirección
http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/propuestas/rutas/htm/ulam.htm
puedes consultar una curiosa relación de la función C(N) con la espiral de Ulam.
miércoles, 16 de diciembre de 2009
Primos, semiprimos y casi primos (2)
Las definiciones de semiprimo y k-casi primo nos permiten crear clases de equivalencia en los números naturales. Al conjunto de todos los k-casi primos se le representa por Pk. Así, P1 estará formado por los números primos, P2 por los semiprimos, P3 por los 3-casi primos, etc.
Conseguir esta clasificación con hoja de cálculo requiere partir de un algoritmo de factorización de números naturales (sólo consideraremos un nivel elemental) e incluirle un contador de factores primos.
La siguiente tabla se ha conseguido con un algoritmo de este tipo:
P1 P2 P3 P4 P5 P6
2 4 8 16 32 64
3 6 12 24 48 96
5 9 18 36 72 144
7 10 20 40 80 160
11 14 27 54 108 216
13 15 28 56 112 224
17 21 30 60 120 240
19 22 42 81 162 324
23 25 44 84 168 336
29 26 45 88 176 352
La primera columna está formada por primos, la segunda por semiprimos, la tercera por 3-casi primos, y así hasta k=6. Una curiosidad divertida es la de seguir la secuencia natural de números 1, 2, 3, 4, … en esta tabla e interpretar sus oscilaciones.
El núcleo del algoritmo es el de averiguar k, es decir, el número de factores primos de un número.
Copiamos a continuación las líneas fundamentales de este algoritmo:
Se supone que n es el número, f el factor primo que se va probando y m el contador que recogerá el número de factores:
f=1 (se comienza con factor 1)
while n>1 (esta condición controla el final del algoritmo)
f=f+1 (se prueba otro número)
while n/f=int(n/f) (se pregunta si ha encontrado un divisor)
m=m+1 (si es divisor, aumenta el contador)
n=n/f (se divide el número entre el divisor encontrado para acelerar la búsqueda)
wend wend
msgbox(m) (se comunica el resultado)
Es evidente que este algoritmo se ralentiza en cuanto n es un número de bastantes cifras, y de ahí la utilidad de los semiprimos en ciertas codificaciones.
Conseguir esta clasificación con hoja de cálculo requiere partir de un algoritmo de factorización de números naturales (sólo consideraremos un nivel elemental) e incluirle un contador de factores primos.
La siguiente tabla se ha conseguido con un algoritmo de este tipo:
P1 P2 P3 P4 P5 P6
2 4 8 16 32 64
3 6 12 24 48 96
5 9 18 36 72 144
7 10 20 40 80 160
11 14 27 54 108 216
13 15 28 56 112 224
17 21 30 60 120 240
19 22 42 81 162 324
23 25 44 84 168 336
29 26 45 88 176 352
La primera columna está formada por primos, la segunda por semiprimos, la tercera por 3-casi primos, y así hasta k=6. Una curiosidad divertida es la de seguir la secuencia natural de números 1, 2, 3, 4, … en esta tabla e interpretar sus oscilaciones.
El núcleo del algoritmo es el de averiguar k, es decir, el número de factores primos de un número.
Copiamos a continuación las líneas fundamentales de este algoritmo:
Se supone que n es el número, f el factor primo que se va probando y m el contador que recogerá el número de factores:
f=1 (se comienza con factor 1)
while n>1 (esta condición controla el final del algoritmo)
f=f+1 (se prueba otro número)
while n/f=int(n/f) (se pregunta si ha encontrado un divisor)
m=m+1 (si es divisor, aumenta el contador)
n=n/f (se divide el número entre el divisor encontrado para acelerar la búsqueda)
wend wend
msgbox(m) (se comunica el resultado)
Es evidente que este algoritmo se ralentiza en cuanto n es un número de bastantes cifras, y de ahí la utilidad de los semiprimos en ciertas codificaciones.
domingo, 13 de diciembre de 2009
Primos, semiprimos y casi primos (1)
Un número natural N es k-casi primo para otro natural k dado si la descomposición factorial de N contiene exactamente k números primos iguales o diferentes. Así, 27 es 3-casi primo, porque 27 =3*3*3, 225 es 4-casi primo, dado que 225 = 3*3*5*5.
Para k=1 tendremos los números primos, con un solo factor.
Para k=2 serán 2-casi primos los semiprimos, que son producto de dos factores primos, como 15=3*5, o 77=7*11.
Averiguar si un número es semiprimo equivale a descubrir sus dos factores, pero si estos son muy grandes, la operación puede exigir varios años de cómputo en un ordenador potente. Por ello se usan en el método RSA de encriptación de datos mediante claves públicas y privadas.
Profundizando algo más en el tema, con unos sencillos convenios se puede considerar que un número semiprimo nos da dos informaciones distintas de manera única. Por ejemplo, si convenimos en que cada número que recibamos por algún medio se considere como un producto de filas y columnas, con el número de filas no superior al de columnas, al recibir un número semiprimo podremos construir un rectángulo (una matriz) a partir de él de forma única.
Por ejemplo, si recibimos el número 91, lo podemos interpretar de forma única como el rectángulo 7*13. Es evidente que esto no ocurre con los demás números, como por ejemplo 63, que puede representar 7*9 o 3*21.
Esta propiedad permite transmitir ciertas informaciones de forma lineal simple. Si se recibe una serie de 35 dígitos como 27366524358291002738296634283912836, con el convenio anterior nos han enviado esta matriz:
2736652
4358291
0027382
9663428
3912836
Para k=1 tendremos los números primos, con un solo factor.
Para k=2 serán 2-casi primos los semiprimos, que son producto de dos factores primos, como 15=3*5, o 77=7*11.
Averiguar si un número es semiprimo equivale a descubrir sus dos factores, pero si estos son muy grandes, la operación puede exigir varios años de cómputo en un ordenador potente. Por ello se usan en el método RSA de encriptación de datos mediante claves públicas y privadas.
Profundizando algo más en el tema, con unos sencillos convenios se puede considerar que un número semiprimo nos da dos informaciones distintas de manera única. Por ejemplo, si convenimos en que cada número que recibamos por algún medio se considere como un producto de filas y columnas, con el número de filas no superior al de columnas, al recibir un número semiprimo podremos construir un rectángulo (una matriz) a partir de él de forma única.
Por ejemplo, si recibimos el número 91, lo podemos interpretar de forma única como el rectángulo 7*13. Es evidente que esto no ocurre con los demás números, como por ejemplo 63, que puede representar 7*9 o 3*21.
Esta propiedad permite transmitir ciertas informaciones de forma lineal simple. Si se recibe una serie de 35 dígitos como 27366524358291002738296634283912836, con el convenio anterior nos han enviado esta matriz:
2736652
4358291
0027382
9663428
3912836
jueves, 10 de diciembre de 2009
Teoría de las fracciones continuas
Si te han interesado los temas que hemos desarrollado (con la brevedad propia de un blog) sobre fracciones continuas, te ofrecemos un documento que expone la teoría de una forma sistemática y muy bien presentada.
Es un trabajo que nos ha enviado nuestro colaborador y amigo Rafael Parra Machío, que ya ha publicado comentarios muy interesantes en este blog.
Lo podéis descargar desde la dirección
http://www.hojamat.es/parra/fraccon.pdf
¡Buen aprendizaje!
Es un trabajo que nos ha enviado nuestro colaborador y amigo Rafael Parra Machío, que ya ha publicado comentarios muy interesantes en este blog.
Lo podéis descargar desde la dirección
http://www.hojamat.es/parra/fraccon.pdf
¡Buen aprendizaje!
viernes, 4 de diciembre de 2009
Fracciones continuas (3) - Ecuaciones diofánticas
Una aplicación importante de las fracciones continuas y sus reducidas es la de resolver ecuaciones diofánticas lineales del tipo Ax+By=C, en las que C es múltiplo del MCD de A y B (que son las que poseen solución). Quiere esto decir que A,B y C se pueden simplificar hasta conseguir que MCD(A,B)=1. En lo que sigue supondremos que esto se cumple.
Efectivamente, en una entrada anterior se vio que la diferencia entre dos reducidas consecutivas equivalía a una fracción de numerador la unidad y de denominador el producto de sus denominadores. Esta propiedad también se cumple entre la última reducida y la fracción dada.
Vemos cómo se aprovecha esta propiedad para resolver la ecuación.
Sea, por ejemplo, la ecuación 244X+108Y=112.
Simplificamos: 61X+27Y=28, con MCD(61,27)=1
Buscamos las reducidas de la fracción 61/27 y elegimos la última 9/4
Y se cumplirá, según la propiedad citada, que 61*4-27*9=1, luego 4 y -9 serán las soluciones de 61X+27Y=1. Bastará multiplicar por el término independiente 28 para obtener una solución: X=4*28 = 112 e Y=-9*28 = -252
Las demás soluciones se obtienen mediante las paramétricas.
X=112-27t
Y=-252+61t
Si se desean soluciones positivas deberemos ajustar el parámetro t
Efectivamente, en una entrada anterior se vio que la diferencia entre dos reducidas consecutivas equivalía a una fracción de numerador la unidad y de denominador el producto de sus denominadores. Esta propiedad también se cumple entre la última reducida y la fracción dada.
Vemos cómo se aprovecha esta propiedad para resolver la ecuación.
Sea, por ejemplo, la ecuación 244X+108Y=112.
Simplificamos: 61X+27Y=28, con MCD(61,27)=1
Buscamos las reducidas de la fracción 61/27 y elegimos la última 9/4
Y se cumplirá, según la propiedad citada, que 61*4-27*9=1, luego 4 y -9 serán las soluciones de 61X+27Y=1. Bastará multiplicar por el término independiente 28 para obtener una solución: X=4*28 = 112 e Y=-9*28 = -252
Las demás soluciones se obtienen mediante las paramétricas.
X=112-27t
Y=-252+61t
Si se desean soluciones positivas deberemos ajustar el parámetro t
miércoles, 25 de noviembre de 2009
Logaritmo entero (3)
Si deseas investigar con el logaritmo entero (función sofpr(n)) puedes usar este código en Basic para implementarlo en Excel o en Calc de OpenOffice.org. Es bastante eficiente, y similar al de encontrar todos los factores primos de un número.
Para no complicarlo no se han usado los tipos de datos.
Los comentarios van entre corchetes y en verde
Public function sofpr(n) [se declara pública para poderla usar en cualquier celda]
Dim ene,f,c,s [creación de variables]
ene=n [la variable ene recoge el argumento para preservar su valor]
f=1 [contendrá los factores primos]
s=0 [contendrá la suma de primos]
[bucle para encontrar los factores primos y sumarlos]
while ene>1 [la variable ene va disminuyendo en el algoritmo]
f=f+1 [la variable f va aumentando para buscar factores primos]
[bucle para determinar si f es factor primo y si se repite]
while ene/f=int(ene/f) [determina si f es divisor y busca sus repeticiones]
ene=ene/f [se divide ene entre el factor, que ya se sabe que lo es]
s=s+f [se incorpora f a la suma de primos]
wend [fin de bucle]
wend [fin de bucle]
sofpr=s [la función sofpr recoge el valor de s]
End function
Para no complicarlo no se han usado los tipos de datos.
Los comentarios van entre corchetes y en verde
Public function sofpr(n) [se declara pública para poderla usar en cualquier celda]
Dim ene,f,c,s [creación de variables]
ene=n [la variable ene recoge el argumento para preservar su valor]
f=1 [contendrá los factores primos]
s=0 [contendrá la suma de primos]
[bucle para encontrar los factores primos y sumarlos]
while ene>1 [la variable ene va disminuyendo en el algoritmo]
f=f+1 [la variable f va aumentando para buscar factores primos]
[bucle para determinar si f es factor primo y si se repite]
while ene/f=int(ene/f) [determina si f es divisor y busca sus repeticiones]
ene=ene/f [se divide ene entre el factor, que ya se sabe que lo es]
s=s+f [se incorpora f a la suma de primos]
wend [fin de bucle]
wend [fin de bucle]
sofpr=s [la función sofpr recoge el valor de s]
End function
lunes, 23 de noviembre de 2009
Logaritmo entero (2)
En la anterior entrada vimos que sopfr(n)<=n, luego si buscamos el valor de sopfr(sopfr(n)), se verificará que n>=sopfr(n)>=sopfr(sopfr(n)), y si reiteramos, habremos construido una sucesión recurrente no creciente de números naturales, que tendrá un valor mínimo, que puede ser el 0, el 4, o bien un número primo que actuará como punto fijo de la sucesión. Consideraremos que la sucesión termina cuando llega a su punto fijo o al 0.
Los números primos son ya puntos fijos, por lo que su sucesión se reducirá a un valor.
Otros números necesitan más pasos, como 393, que da lugar a la sucesión 134, 69, 26, 15, 8, 6, 5.
El número 20 presenta la curiosidad de ser igual a la suma de los elementos de la sucesión: 20=9+6+5. Tienen esa propiedad otros dos números de dos cifras. Intenta encontrarlos.
El número 140 es cuatro veces mayor que los términos de su sucesión: 140 =4*(16+8+6+5). Los números 546, 616, 735 y 800 tienen una propiedad similar, pero con cocientes mayores que 4. ¿Cuáles?
(Continuará)
Los números primos son ya puntos fijos, por lo que su sucesión se reducirá a un valor.
Otros números necesitan más pasos, como 393, que da lugar a la sucesión 134, 69, 26, 15, 8, 6, 5.
El número 20 presenta la curiosidad de ser igual a la suma de los elementos de la sucesión: 20=9+6+5. Tienen esa propiedad otros dos números de dos cifras. Intenta encontrarlos.
El número 140 es cuatro veces mayor que los términos de su sucesión: 140 =4*(16+8+6+5). Los números 546, 616, 735 y 800 tienen una propiedad similar, pero con cocientes mayores que 4. ¿Cuáles?
(Continuará)
sábado, 21 de noviembre de 2009
Logaritmo entero (1)
Llamaremos logaritmo entero de un número natural a la suma de todos sus factores primos, contando sus repeticiones. Se suele representar por la función sopfr(n). Así, sopfr(28)=2+2+7=11, sopfr(30)=2+3+5=10, sopfr(64)=2*6=12. El valor más pequeño corresponde a sopfr(1)=0 y los máximos coinciden con los números primos, como es evidente. Aquí tienes la gráfica de esta función para los primeros números, en la que se perciben dichos máximos:
Se le llama logaritmo porque posee la propiedad aditiva: sopfr(a*b)=sopfr(a)+sopfr(b). Se cumple por el hecho de contar las repeticiones de los factores primos. Si se contaran una sola vez, esta propiedad sólo se verificaría si los números fueran primos entre sí y daría lugar a otra función que se representa por sopf(n).
Podemos estudiar tres cuestiones:
(a) La función sopfr nunca sobrepasa el valor de su argumento, es decir, n>=sopfr(n). No es difícil demostrarlo. Se da la igualdad en el número 1, el 4 y en los números primos. Después considera que si k=m*n (no necesariamente primos) y alguno de los dos factores es mayor que 2, se cumple que k>m+n. Finalmente, aplicas esta propiedad de forma reiterada a las descomposiciones en un número creciente de factores hasta llegar a los primos.
(b) Si sopfr(n) es menor o igual que n, se podrían buscar los números que son divisibles entre su logaritmo entero. No hay muchos. Sin contar los números primos, en cuyo caso la divisibilidad es en realidad una identidad, entre los 1000 primeros números sólo hay 42 que sean divisibles entre su logaritmo entero, y entre los 10000 primeros hay 201. Entre ellos sólo en un caso es además su raíz cuadrada ¿En cuál?
(c) En los casos anteriores, si sopfr(n) divide a n, y n no es primo, tampoco lo es sopfr(n) ¿Sabrías demostrarlo? El razonamiento es fácil. Sin embargo, si suprimimos la condición de divisibilidad, el logaritmo entero puede ser primo, y de hecho lo es en multitud de casos. Por ejemplo, entre los 1000 primeros, el valor 19 es el que más se repite.
(Continuará)
Se le llama logaritmo porque posee la propiedad aditiva: sopfr(a*b)=sopfr(a)+sopfr(b). Se cumple por el hecho de contar las repeticiones de los factores primos. Si se contaran una sola vez, esta propiedad sólo se verificaría si los números fueran primos entre sí y daría lugar a otra función que se representa por sopf(n).
Podemos estudiar tres cuestiones:
(a) La función sopfr nunca sobrepasa el valor de su argumento, es decir, n>=sopfr(n). No es difícil demostrarlo. Se da la igualdad en el número 1, el 4 y en los números primos. Después considera que si k=m*n (no necesariamente primos) y alguno de los dos factores es mayor que 2, se cumple que k>m+n. Finalmente, aplicas esta propiedad de forma reiterada a las descomposiciones en un número creciente de factores hasta llegar a los primos.
(b) Si sopfr(n) es menor o igual que n, se podrían buscar los números que son divisibles entre su logaritmo entero. No hay muchos. Sin contar los números primos, en cuyo caso la divisibilidad es en realidad una identidad, entre los 1000 primeros números sólo hay 42 que sean divisibles entre su logaritmo entero, y entre los 10000 primeros hay 201. Entre ellos sólo en un caso es además su raíz cuadrada ¿En cuál?
(c) En los casos anteriores, si sopfr(n) divide a n, y n no es primo, tampoco lo es sopfr(n) ¿Sabrías demostrarlo? El razonamiento es fácil. Sin embargo, si suprimimos la condición de divisibilidad, el logaritmo entero puede ser primo, y de hecho lo es en multitud de casos. Por ejemplo, entre los 1000 primeros, el valor 19 es el que más se repite.
(Continuará)
viernes, 13 de noviembre de 2009
Concurrencias (1)
Quienes seguís este blog os habréis dado cuenta de nuestra preferencia por las concurrencias entre métodos, representaciones o técnicas. Ahí tenéis una:
¿Qué tiene que ver esta imagen
con esta propiedad
y con este experimento?:
Toma un número cualquiera, lo descompones en dos sumandos como quieras, y multiplícalos. Vuelve a descomponer los sumandos al azar cada uno en otros dos más pequeños y multiplícalos también. Sigue así con todos los números mayores que 1. Lo hagas como lo hagas, si sumas todos esos productos obtendrás siempre la misma suma. ¿Cuál? ¿Cómo se demuestra?
Ejemplo:
12 = 7+5 (7*5=35)
7=5+2 (5*2=10) 5=4+1 (4*1=4)
5=3+2 (3*2=6) 2=1+1 (1*1=1) 4=2+2 (2*2=4)
3=2+1 (2*1=2) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1)
2=1+1 (1*1=1)
Suma = 35+10+4+6+1+4+2+1+1+1+1 = 66
12 = 6+6 (6*6=36)
6=5+1 (5*1=5) 6=3+3 (3*3=9)
5=3+2 (3*2=6) 3=2+1 (2*1=2) 3=2+1 (2*1=2)
3=2+1 (2*1=2) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1)
2=1+1 (1*1=1)
Suma = 36+5+9+6+2+2+2+1+1+1+1 = 66
¿Qué tiene que ver esta imagen
con esta propiedad
y con este experimento?:
Toma un número cualquiera, lo descompones en dos sumandos como quieras, y multiplícalos. Vuelve a descomponer los sumandos al azar cada uno en otros dos más pequeños y multiplícalos también. Sigue así con todos los números mayores que 1. Lo hagas como lo hagas, si sumas todos esos productos obtendrás siempre la misma suma. ¿Cuál? ¿Cómo se demuestra?
Ejemplo:
12 = 7+5 (7*5=35)
7=5+2 (5*2=10) 5=4+1 (4*1=4)
5=3+2 (3*2=6) 2=1+1 (1*1=1) 4=2+2 (2*2=4)
3=2+1 (2*1=2) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1)
2=1+1 (1*1=1)
Suma = 35+10+4+6+1+4+2+1+1+1+1 = 66
12 = 6+6 (6*6=36)
6=5+1 (5*1=5) 6=3+3 (3*3=9)
5=3+2 (3*2=6) 3=2+1 (2*1=2) 3=2+1 (2*1=2)
3=2+1 (2*1=2) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1) 2=1+1 (1*1=1)
2=1+1 (1*1=1)
Suma = 36+5+9+6+2+2+2+1+1+1+1 = 66
sábado, 7 de noviembre de 2009
Cuadrado más uno por cuadrado más uno
Los números de la forma n2+1 tienen una propiedad muy elegante, y es que son divisores de otros números de la forma p2+1, y además, su cociente también es del tipo m2+1, es decir, que para todo n entero, existen m y p también enteros tales que
(n2+1)(m2+1)= p2+1.
¿Sabrías encontrar los valores adecuados de m y p para cualquier valor entero de n?
Es una cuestión meramente algebraica.
Actualización
Después de recibir el comentario de Rafael me puse a buscar casos en los que p sea primo.
Vi que se verificaba la igualdad para muchos primos de varios tipos, pero no he encontrado estudios sobre ello. Si alguien sabe algo más, recibiré con gusto su ayuda.
(n2+1)(m2+1)= p2+1.
¿Sabrías encontrar los valores adecuados de m y p para cualquier valor entero de n?
Es una cuestión meramente algebraica.
Actualización
Después de recibir el comentario de Rafael me puse a buscar casos en los que p sea primo.
Vi que se verificaba la igualdad para muchos primos de varios tipos, pero no he encontrado estudios sobre ello. Si alguien sabe algo más, recibiré con gusto su ayuda.
lunes, 2 de noviembre de 2009
Cubos y gnomones (4)
Cuando ya tenía programadas las tres entradas sobre Cubos y gnomones
encontré esta curiosidad en el siempre interesante blog de Claudio
http://simplementenumeros.blogspot.com/
Me planteé buscar cocientes similares pero con suma de cubos. Para ello, según lo que hemos visto en las anteriores entradas, bastaría buscar cuadrados de números triangulares tales que las diferencias entre sus índices fueran iguales dos a dos, como ocurre, por ejemplo con T102 - T52 = 452-102 y T182 - T132 =1532-782, (10-5=5 y 18-13=5) y que, además, las dos diferencias fueran divisibles, como ocurre en este ejemplo, en el que 1532-782=17325 es múltiplo de 452-102=1925.
Después bastaría traducir las diferencias entre triangulares en sumas de cubos, con lo que obtendríamos cocientes aparentemente complicados con resultado simple. La exigencia de que las diferencias entre índices sean iguales se debe a un deseo de simetría pero no es imprescindible.
Con una tabla de doble entrada de cuadrados de triangulares o con código Basic se encuentran fácilmente.
Presentamos cuatro de esos resultados, pero se pueden obtener muchos más. Es seguro que ya estarán publicados en alguna parte, pero lo que interesa es que se han encontrado con una hoja de cálculo y la comprobación, con Wiris.
encontré esta curiosidad en el siempre interesante blog de Claudio
http://simplementenumeros.blogspot.com/
Me planteé buscar cocientes similares pero con suma de cubos. Para ello, según lo que hemos visto en las anteriores entradas, bastaría buscar cuadrados de números triangulares tales que las diferencias entre sus índices fueran iguales dos a dos, como ocurre, por ejemplo con T102 - T52 = 452-102 y T182 - T132 =1532-782, (10-5=5 y 18-13=5) y que, además, las dos diferencias fueran divisibles, como ocurre en este ejemplo, en el que 1532-782=17325 es múltiplo de 452-102=1925.
Después bastaría traducir las diferencias entre triangulares en sumas de cubos, con lo que obtendríamos cocientes aparentemente complicados con resultado simple. La exigencia de que las diferencias entre índices sean iguales se debe a un deseo de simetría pero no es imprescindible.
Con una tabla de doble entrada de cuadrados de triangulares o con código Basic se encuentran fácilmente.
Presentamos cuatro de esos resultados, pero se pueden obtener muchos más. Es seguro que ya estarán publicados en alguna parte, pero lo que interesa es que se han encontrado con una hoja de cálculo y la comprobación, con Wiris.
martes, 27 de octubre de 2009
Cubos y gnomones (3)
En las dos entradas anteriores hemos sumado números impares y potencias. La demostración algebraica de las fórmulas de este tipo puede estar sujeta a errores. Nadie puede decir que no se ha equivocado en un desarrollo algebraico de dos hojas.
Un método para comprobar cálculos de sumas de este tipo es el uso de una fórmula de interpolación. En este caso un método de interpolación adecuado es el de Newton. Se puede adaptar con cierta facilidad al caso de valores enteros equidistantes.
En la siguiente dirección puedes encontrar su implementación en Excel y Calc:
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm
Si aplicamos esta herramienta al caso de la suma de cubos tomando, por ejemplo, como primer cubo el 27, nos resultaría esta expresión: S=27 + 64(x-3)+61/2(x-3)(x-4)+5(x-3)(x-4)(x-5)+1/4(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)
Puedes comprobar su validez dando a x los valores 3,4,5,6,7,… para verifiar que se obtienen las sumas de cubos 27, 91, 216, 432, 775,…
Otro problema es el de simplificar esta expresión, que también sería una operación sujeta a errores. Si lo haces, observarás que efectivamente la fórmula equivale a T2k+r - T2k-1.
Nota: No me resisto a incluir la interpolación que se logra con la calculadora en red WIRIS, porque es un gran auxiliar en este tipo de desarrollos:
El resultado final es la diferencia de números triangulares que ya hemos obtenido para la suma 27+64+125+216+...
¿Por qué entonces usar la hoja de cálculo?
Yo tengo mi propia respuesta, y es que resulta muy divertido pedalear. No todo va a ser ir en coche.
Un método para comprobar cálculos de sumas de este tipo es el uso de una fórmula de interpolación. En este caso un método de interpolación adecuado es el de Newton. Se puede adaptar con cierta facilidad al caso de valores enteros equidistantes.
En la siguiente dirección puedes encontrar su implementación en Excel y Calc:
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm
Si aplicamos esta herramienta al caso de la suma de cubos tomando, por ejemplo, como primer cubo el 27, nos resultaría esta expresión: S=27 + 64(x-3)+61/2(x-3)(x-4)+5(x-3)(x-4)(x-5)+1/4(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)
Puedes comprobar su validez dando a x los valores 3,4,5,6,7,… para verifiar que se obtienen las sumas de cubos 27, 91, 216, 432, 775,…
Otro problema es el de simplificar esta expresión, que también sería una operación sujeta a errores. Si lo haces, observarás que efectivamente la fórmula equivale a T2k+r - T2k-1.
Nota: No me resisto a incluir la interpolación que se logra con la calculadora en red WIRIS, porque es un gran auxiliar en este tipo de desarrollos:
El resultado final es la diferencia de números triangulares que ya hemos obtenido para la suma 27+64+125+216+...
¿Por qué entonces usar la hoja de cálculo?
Yo tengo mi propia respuesta, y es que resulta muy divertido pedalear. No todo va a ser ir en coche.
jueves, 22 de octubre de 2009
Cubos y gnomones (2)
La solución a la cuestión (1) de la entrada anterior es la siguiente:
Todo cubo n3 de base natural n equivale a la diferencia de los cuadrados de los números triangulares Tn y Tn-1.
Basta desarrollar la expresión (n(n+1)/2)2-(n(n-1)/2)2 y comprobar que el resultado es n3 .
Es esclarecedor observar la cuestión propuesta desde el punto de vista geométrico. Si representamos la suma 7+9+11 como un embaldosado compuesto de tres gnomones, n3 se adivina apilando baldosas:
En este caso se visualiza fácilmente
Prueba a convertir en cubo de esta forma otras sumas parecidas, como 13+15+17+19.
También es atractiva la idea de formar primero el cubo como agregación de cuadrados y después convertirlo en suma de impares. Observa la figura:
Todo cubo n3 de base natural n equivale a la diferencia de los cuadrados de los números triangulares Tn y Tn-1.
Basta desarrollar la expresión (n(n+1)/2)2-(n(n-1)/2)2 y comprobar que el resultado es n3 .
Es esclarecedor observar la cuestión propuesta desde el punto de vista geométrico. Si representamos la suma 7+9+11 como un embaldosado compuesto de tres gnomones, n3 se adivina apilando baldosas:
En este caso se visualiza fácilmente
Prueba a convertir en cubo de esta forma otras sumas parecidas, como 13+15+17+19.
También es atractiva la idea de formar primero el cubo como agregación de cuadrados y después convertirlo en suma de impares. Observa la figura:
viernes, 16 de octubre de 2009
Cubos y gnomones (1)
En alguna página web he vuelto a encontrar esta propiedad:
1 = 13
3+5 = 23
7+9+11 = 33
13+15+17+19 = 43
Independientemente de su elegancia, es una invitación a profundizar en otras relacionadas con ella y a justificar rigurosamente su existencia.
(1) La propiedad presentada está relacionada con otra bien conocida:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
Saca consecuencias:
¿Se puede afirmar que todo cubo perfecto es diferencia de dos cuadrados?
En caso afirmativo ¿Qué tipo de números son los que pueden formar esa diferencia?
¿Podrías demostrarlo con todo rigor?
Publicaremos la solución en la siguiente entrada.
(2) La propiedad considerada nos permite encontrar una expresión algebraica para la suma de varios cubos consecutivos, por ejemplo
k3 + (k+1)3 + (k+2)3+ … + (k+r)3
¿Sabrías encontrarla?
Se pueden dar varias distintas. Si deseas comprobar la que propongas usa la hoja de cálculo
1 = 13
3+5 = 23
7+9+11 = 33
13+15+17+19 = 43
Independientemente de su elegancia, es una invitación a profundizar en otras relacionadas con ella y a justificar rigurosamente su existencia.
(1) La propiedad presentada está relacionada con otra bien conocida:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
Saca consecuencias:
¿Se puede afirmar que todo cubo perfecto es diferencia de dos cuadrados?
En caso afirmativo ¿Qué tipo de números son los que pueden formar esa diferencia?
¿Podrías demostrarlo con todo rigor?
Publicaremos la solución en la siguiente entrada.
(2) La propiedad considerada nos permite encontrar una expresión algebraica para la suma de varios cubos consecutivos, por ejemplo
k3 + (k+1)3 + (k+2)3+ … + (k+r)3
¿Sabrías encontrarla?
Se pueden dar varias distintas. Si deseas comprobar la que propongas usa la hoja de cálculo
domingo, 4 de octubre de 2009
Fracciones continuas (2) - Reducidas
En una entrada anterior desarrollamos la fracción 1280/345 en forma de fracción continua, formada por los cocientes [3,1,2,2,4,2], como puedes comprobar fácilmente con las hojas de cálculo fraccont.ods y fraccont.xls.
Debajo de los cocientes aparecen una serie de fracciones, llamadas reducidas o convergentes, que se van aproximando a 1280/245: 3/1, 4/1, 11/3, 26/7, 115/31 y 256/69, que resulta ser la fracción desarrollada, 1280/345, pero simplificada.
Puedes ver esta aproximación en los desarrollos decimales que figuran debajo en la hoja de cálculo.
Estas reducidas se forman calculando fracciones parciales de izquierda a derecha:
3=3; 3+1/1=4; 3+1/(1+1/2)=11/3…
La hoja de cálculo fraccont.ods (en su hoja dedicada a números fraccionarios) logra estas reducidas mediante un algoritmo clásico llamado de “los cumulantes”. Consiste en construir dos sucesiones recurrentes del tipo
Pn = pn-1*an+pn-2
siendo an la sucesión de cocientes de la fracción continua, precedidos en la primera fila por 0 y 1 y en la segunda por 1 y 0. Como ejemplo, si se aplican los cumulantes a la sucesión 1,1,1,1,1…. Resulta la sucesión de Fibonacci 1,1,2,3,5,8…
Puedes seguir estos cumulantes en las filas que contienen los numeradores y denominadores de las reducidas.
Las reducidas permiten la aproximación a una fracción con numerador y denominador grandes mediante otras que están construidas con números más pequeños. Esta utilidad la usaban los torneros cuando carecían de ruedas de determinado número de dientes y debían sustituirlas, con un pequeño error, por otras ruedas más pequeñas.
Por ejemplo, si deseamos que unos engranajes produzcan 2009 revoluciones en un eje y 2000 en otro, sus números de dientes deben seguir la proporción 2009/2000, pero se pueden sustituir por 223/222 con un error inferior a 0,000005.
La reducidas son alternativamente mayores y menores que la fracción dada, y se acercan a ella, pues la diferencia entre dos reducidas es siempre igual a la unidad dividida entre el producto de sus denominadores.
Debajo de los cocientes aparecen una serie de fracciones, llamadas reducidas o convergentes, que se van aproximando a 1280/245: 3/1, 4/1, 11/3, 26/7, 115/31 y 256/69, que resulta ser la fracción desarrollada, 1280/345, pero simplificada.
Puedes ver esta aproximación en los desarrollos decimales que figuran debajo en la hoja de cálculo.
Estas reducidas se forman calculando fracciones parciales de izquierda a derecha:
3=3; 3+1/1=4; 3+1/(1+1/2)=11/3…
La hoja de cálculo fraccont.ods (en su hoja dedicada a números fraccionarios) logra estas reducidas mediante un algoritmo clásico llamado de “los cumulantes”. Consiste en construir dos sucesiones recurrentes del tipo
Pn = pn-1*an+pn-2
siendo an la sucesión de cocientes de la fracción continua, precedidos en la primera fila por 0 y 1 y en la segunda por 1 y 0. Como ejemplo, si se aplican los cumulantes a la sucesión 1,1,1,1,1…. Resulta la sucesión de Fibonacci 1,1,2,3,5,8…
Puedes seguir estos cumulantes en las filas que contienen los numeradores y denominadores de las reducidas.
Las reducidas permiten la aproximación a una fracción con numerador y denominador grandes mediante otras que están construidas con números más pequeños. Esta utilidad la usaban los torneros cuando carecían de ruedas de determinado número de dientes y debían sustituirlas, con un pequeño error, por otras ruedas más pequeñas.
Por ejemplo, si deseamos que unos engranajes produzcan 2009 revoluciones en un eje y 2000 en otro, sus números de dientes deben seguir la proporción 2009/2000, pero se pueden sustituir por 223/222 con un error inferior a 0,000005.
La reducidas son alternativamente mayores y menores que la fracción dada, y se acercan a ella, pues la diferencia entre dos reducidas es siempre igual a la unidad dividida entre el producto de sus denominadores.
jueves, 1 de octubre de 2009
Los problemas de un tornero
Para construir una pieza, un tornero ha de ajustar unos engranajes de forma que mientras uno gire 2009 vueltas, el otro sólo recorra 2000. En este caprichoso encargo, los números son primos entre sí, por lo que no se pueden simplificar, y el tornero carece de engranajes de 2000 ó de 2009 dientes.
Le pide consejo al oficial. Éste hace unos cálculos y le ofrece la solución: “Usa un engranaje de 222 dientes y otro de 223, que nadie lo va a notar”
¿Qué operación hizo el oficial? ¿Por qué estaba seguro de que la pieza saldría bien fabricada?
(La solución, proximamente)
Le pide consejo al oficial. Éste hace unos cálculos y le ofrece la solución: “Usa un engranaje de 222 dientes y otro de 223, que nadie lo va a notar”
¿Qué operación hizo el oficial? ¿Por qué estaba seguro de que la pieza saldría bien fabricada?
(La solución, proximamente)
sábado, 5 de septiembre de 2009
Fracciones continuas (1) – Definición
Durante este otoño iremos comentando una técnica muy poderosa pero algo olvidada, que es la de las fracciones continuas. Con ellas puedes simplificar fracciones, aproximar números irracionales, resolver ecuaciones diofánticas, etc. Para no aburrir a nuestros visitantes, se irán publicando de forma alternada con otros temas de más actualidad.
Llamamos fracción continua a la expresada de esta forma:
donde a es entero y b, c…son enteros positivos llamados cocientes. Toda fracción ordinaria se puede expresar de esta forma, y todo número irracional admite aproximaciones mediante desarrollos de este tipo. Las fracciones continuas se usan cuando se desea manejar una representación de los números reales independiente del sistema de numeración.
Por comodidad tipográfica las fracciones continuas se representan por el conjunto de sus cocientes: [a,b,c,d]
No es este blog el espacio más adecuado para estudiar todo su desarrollo teórico, que puedes encontrar en los siguientes enlaces:
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracción_continua
http://sisbib.unmsm.edu.pe/BibVirtual/monografias/Basic/alanya_ps/contenido.htm
Nuestro interés aquí será la implementación de los algoritmos necesarios en hoja de cálculo para desarrollar un número en fracciones continuas y las aplicaciones que derivan de ello.
Si consultas la teoría descubrirás que los cocientes a, b, c,… son los que aparecen en el algoritmo de Euclides para el cálculo del m.c.d. de dos números. Así, por ejemplo, para encontrar el m.c.d. de 345 y 1280, en el algoritmo se obtienen los siguientes cocientes: 3,1,2,2,4,2
En el desarrollo mediante fracciones continuas de 1280/345 vuelven a aparecer los mismos cocientes 3,1,2,2,….¡porque se trata del mismo algoritmo orientado de forma diferente! En la siguiente imagen, capturada de la hoja de cálculo fraccont.ods (En Excel fraccont.xls),
puedes comprobar la evidente igualdad de la serie de cocientes. Comprueba que, efectivamente, es válido este desarrollo:
Expresado de otra forma: 1280/345 = [3,1,2,2,4,2]
Por tanto, el encontrar el MCD de dos números m y n se puede simultanear con el desarrollo en fracciones continuas.
(Continuará)
Llamamos fracción continua a la expresada de esta forma:
donde a es entero y b, c…son enteros positivos llamados cocientes. Toda fracción ordinaria se puede expresar de esta forma, y todo número irracional admite aproximaciones mediante desarrollos de este tipo. Las fracciones continuas se usan cuando se desea manejar una representación de los números reales independiente del sistema de numeración.
Por comodidad tipográfica las fracciones continuas se representan por el conjunto de sus cocientes: [a,b,c,d]
No es este blog el espacio más adecuado para estudiar todo su desarrollo teórico, que puedes encontrar en los siguientes enlaces:
http://es.wikipedia.org/wiki/Fracción_continua
http://sisbib.unmsm.edu.pe/BibVirtual/monografias/Basic/alanya_ps/contenido.htm
Nuestro interés aquí será la implementación de los algoritmos necesarios en hoja de cálculo para desarrollar un número en fracciones continuas y las aplicaciones que derivan de ello.
Si consultas la teoría descubrirás que los cocientes a, b, c,… son los que aparecen en el algoritmo de Euclides para el cálculo del m.c.d. de dos números. Así, por ejemplo, para encontrar el m.c.d. de 345 y 1280, en el algoritmo se obtienen los siguientes cocientes: 3,1,2,2,4,2
En el desarrollo mediante fracciones continuas de 1280/345 vuelven a aparecer los mismos cocientes 3,1,2,2,….¡porque se trata del mismo algoritmo orientado de forma diferente! En la siguiente imagen, capturada de la hoja de cálculo fraccont.ods (En Excel fraccont.xls),
puedes comprobar la evidente igualdad de la serie de cocientes. Comprueba que, efectivamente, es válido este desarrollo:
Expresado de otra forma: 1280/345 = [3,1,2,2,4,2]
Por tanto, el encontrar el MCD de dos números m y n se puede simultanear con el desarrollo en fracciones continuas.
(Continuará)
viernes, 12 de junio de 2009
Múltiplo de cuadrados
Idea para el aula
El número 144 es el entero positivo más pequeño que es divisible entre 1, 4, 9 y 16, los cuatro primeros cuadrados. ¿Cuál es el número más pequeño que es múltiplo de los 20 primeros cuadrados? La solución es 54192375991353600, pero ¿cómo encontrarlo?
Llegar hasta ese número puede resultar complicado, en parte porque las calculadoras y hojas de cálculo pueden no llegar a gestionar tantas cifras. Por eso, sería preferible establecer una especie de competición en el aula para ver quién consigue el número más alto que sea múltiplo de los N primeros cuadrados. Salvo algún error por nuestra parte, esta es la solución:
Se pueden abordar varias estrategias:
* Multiplicar todos los cuadrados y después eliminar factores primos comunes. Es un método poco fiable y sujeto a errores y distracciones.
* Usar el mínimo común múltiplo. Es la mejor estrategia, pero hay que organizarla bien. Con una hoja de cálculo no es difícil, pero se produce desbordamiento de cifras.
* Ir multiplicando cada solución por los factores nuevos que aporta la siguiente. Por ejemplo, la solución para 324, si se multiplica por 361, nos da la solución para 400 ¿por qué? Es una estrategia prometedora, pero quizás requiera una cierta madurez.
* Cualquier otra que se le ocurra al alumnado, basada en ensayo y error, pero debe completarse con alguna prueba de que el número encontrado es el más pequeño posible.
Para que la experiencia tenga éxito no se deben dar pistas, tan sólo asegurarse de que se ha entendido bien la propuesta. Si acaso, presentar el número 144 como solución para N=4. Después hay que dejar que la creatividad y el trabajo en grupo hagan su efecto. Tan sólo se debe corregir un camino que no lleve a ninguna parte, para evitar frustraciones.
Si se logra algo distinto de un fracaso absoluto, se puede completar el trabajo con puestas en común, entradas de blog o confección de una página en la web del centro de enseñanza, en las que se vuelquen los distintos resultados, métodos y dificultades.
El número 144 es el entero positivo más pequeño que es divisible entre 1, 4, 9 y 16, los cuatro primeros cuadrados. ¿Cuál es el número más pequeño que es múltiplo de los 20 primeros cuadrados? La solución es 54192375991353600, pero ¿cómo encontrarlo?
Llegar hasta ese número puede resultar complicado, en parte porque las calculadoras y hojas de cálculo pueden no llegar a gestionar tantas cifras. Por eso, sería preferible establecer una especie de competición en el aula para ver quién consigue el número más alto que sea múltiplo de los N primeros cuadrados. Salvo algún error por nuestra parte, esta es la solución:
Se pueden abordar varias estrategias:
* Multiplicar todos los cuadrados y después eliminar factores primos comunes. Es un método poco fiable y sujeto a errores y distracciones.
* Usar el mínimo común múltiplo. Es la mejor estrategia, pero hay que organizarla bien. Con una hoja de cálculo no es difícil, pero se produce desbordamiento de cifras.
* Ir multiplicando cada solución por los factores nuevos que aporta la siguiente. Por ejemplo, la solución para 324, si se multiplica por 361, nos da la solución para 400 ¿por qué? Es una estrategia prometedora, pero quizás requiera una cierta madurez.
* Cualquier otra que se le ocurra al alumnado, basada en ensayo y error, pero debe completarse con alguna prueba de que el número encontrado es el más pequeño posible.
Para que la experiencia tenga éxito no se deben dar pistas, tan sólo asegurarse de que se ha entendido bien la propuesta. Si acaso, presentar el número 144 como solución para N=4. Después hay que dejar que la creatividad y el trabajo en grupo hagan su efecto. Tan sólo se debe corregir un camino que no lleve a ninguna parte, para evitar frustraciones.
Si se logra algo distinto de un fracaso absoluto, se puede completar el trabajo con puestas en común, entradas de blog o confección de una página en la web del centro de enseñanza, en las que se vuelquen los distintos resultados, métodos y dificultades.
sábado, 30 de mayo de 2009
Función “dígitos”
Si escribimos la serie de números 1,2,3,….N-1,N, ¿cuántos dígitos hemos escrito en el sistema decimal de numeración?
Esta cuestión se puede expresar de forma inversa mediante un problema:
Para numerar las páginas de un libro hemos tenido que escribir 702 dígitos ¿Cuántas páginas tiene el libro?
Es interesante estudiar la relación entre un número natural N y los dígitos empleados en escribir desde 1 hasta N. ¿Cómo se te ocurre abordar esta cuestión? Damos tres pistas:
(a) Recuento simple
Deberemos contar un dígito por cada número escrito, otro por cada número a partir de 10, otro a partir de 100, etc. Esto nos daría, para el número de tres cifras del ejemplo, la expresión
N+N-9+N-99 = 702; 3N=810; N=270
luego el libro tiene 270 páginas.
(b) Truco de Hoja de Cálculo
A partir de la resolución anterior, ¿podríamos construir una función tal que dado un número N nos devolviera el número de dígitos empleados en la sucesión 1..N?
Aprovechamos un truco. En las hojas de cálculo una igualdad o desigualdad verdadera posee el valor 1 y la falsa 0. Podríamos entonces construir esta función:
D(N)=N+(N-9)*(N>9)+(N-99)*(N>99)+(N-999)*(N>999)+(N-9999)*(N>9999)
que nos devolvería el valor deseado para cada entero positivo menor que 100000.
Así se puede construir una tabla para esta función en Hoja de Cálculo
(c) Uso en el aula
Esta función definida en Z puede usarse en las clases de Matemáticas, como ejemplo de
* Función definida entre números enteros
* Definición por intervalos
* Ejemplo de linealidad a trozos
Este tipo de ejemplos ayuda a extender el concepto de función, que a veces se queda tan solo en funciones reales, continuas y de definición simple.
¿Te atreverías con la definición de la función inversa de esta? Es evidente que su dominio no contendría a todos los números naturales.
Esta cuestión se puede expresar de forma inversa mediante un problema:
Para numerar las páginas de un libro hemos tenido que escribir 702 dígitos ¿Cuántas páginas tiene el libro?
Es interesante estudiar la relación entre un número natural N y los dígitos empleados en escribir desde 1 hasta N. ¿Cómo se te ocurre abordar esta cuestión? Damos tres pistas:
(a) Recuento simple
Deberemos contar un dígito por cada número escrito, otro por cada número a partir de 10, otro a partir de 100, etc. Esto nos daría, para el número de tres cifras del ejemplo, la expresión
N+N-9+N-99 = 702; 3N=810; N=270
luego el libro tiene 270 páginas.
(b) Truco de Hoja de Cálculo
A partir de la resolución anterior, ¿podríamos construir una función tal que dado un número N nos devolviera el número de dígitos empleados en la sucesión 1..N?
Aprovechamos un truco. En las hojas de cálculo una igualdad o desigualdad verdadera posee el valor 1 y la falsa 0. Podríamos entonces construir esta función:
D(N)=N+(N-9)*(N>9)+(N-99)*(N>99)+(N-999)*(N>999)+(N-9999)*(N>9999)
que nos devolvería el valor deseado para cada entero positivo menor que 100000.
Así se puede construir una tabla para esta función en Hoja de Cálculo
(c) Uso en el aula
Esta función definida en Z puede usarse en las clases de Matemáticas, como ejemplo de
* Función definida entre números enteros
* Definición por intervalos
* Ejemplo de linealidad a trozos
Este tipo de ejemplos ayuda a extender el concepto de función, que a veces se queda tan solo en funciones reales, continuas y de definición simple.
¿Te atreverías con la definición de la función inversa de esta? Es evidente que su dominio no contendría a todos los números naturales.
sábado, 23 de mayo de 2009
Una exploración matemática
En la entrada número 120 del siempre interesante blog de Claudio se hacía una propuesta que esencialmente consistía en buscar los números que son cuadrados perfectos y que su doble aumentado en una unidad también lo es, como 144=122 y 144*2+1=289 = 172.
En un primer comentario, Pablo Sussi proponía las soluciones 02, 22, 122, 702, 4082 y 23782 con una la ley de formación para las bases an+1 = 6an – an-1. Una entrada posterior contenía un enlace a una página de sucesiones de números enteros muy popular.
Navegando un poco y siguiendo enlaces sucesivos al propuesto descubrí que las soluciones 0, 4, 144, 4900, 166464, … divididas entre 4 coincidían con los números enteros que son cuadrados y triangulares a la vez (se puede prescindir del 0): 1, 36, 1225, 41616,…
Recordé de pronto que estos números se encuentran mediante la ecuación de Pell 8x2+1=y2, una de cuyas soluciones es x=1, y=3. De esta forma se me aclaró bastante la cuestión, y os cuento el proceso que seguí mediante una serie de propuestas encadenadas complementarias a las de Claudio.
(1) Demuestra que si 2n2 + 1 = m2, entonces n2/4 es también cuadrado y triangular.
(2) Demuestra que los números x que son cuadrados y triangulares a la vez coinciden con los valores de x2 que son soluciones de la ecuación de Pell 8x2+1=y2
(3) Una de las soluciones de la ecuación citada es x1=1, y1=3. Según la teoría correspondiente a las ecuaciones de Pell, las demás soluciones de esta ecuación vienen dadas por la igualdad
Usa esta propiedad para encontrar las soluciones de x, que serán 1, 6, 35, 204,…., que elevadas al cuadrado coincidirán con los números cuadrados y triangulares a la vez 1, 36, 1225, 41616,…que, a su vez, multiplicados por 4, resultarán ser las soluciones de 2n2 + 1 = m2, 4, 144, 4900, 166464…
(4) Usa la igualdad del apartado anterior para demostrar esta fórmula doble de recurrencia:
yn=8xn-1+3yn-1, xn=3xn-1+yn-1
o, en forma matricial:
Su aplicación reiterada nos permitirá encontrar los valores (1,3), (6,17), (35,99)…
Convierte esas dos fórmulas de recurrencia en una sola para xn, y te resultará
xn=6xn-1-xn-2, que coincide con la propuesta por Pablo Sussi para sus dobles 0, 2, 12, 72,…
(5) ¿Por qué el cociente entre las x parece tender a 3+2Raíz(2)?
Esto ya me coge cansado, pero creo que nos podemos basar en que los cocientes entre y y x cumplen qn = 6-1/qn-1, que nos lleva, tomando límites para n tendiendo a infinito, a la ecuación x = 6-1/x, una de cuyas soluciones es 3+2RAÍZ(2), que es la que vale al ser creciente la sucesión. Así que la conjetura de Claudio es cierta, si es que no he “tropezado” en algún paso. Si observáis algún error no dudéis en advertirme.
En un primer comentario, Pablo Sussi proponía las soluciones 02, 22, 122, 702, 4082 y 23782 con una la ley de formación para las bases an+1 = 6an – an-1. Una entrada posterior contenía un enlace a una página de sucesiones de números enteros muy popular.
Navegando un poco y siguiendo enlaces sucesivos al propuesto descubrí que las soluciones 0, 4, 144, 4900, 166464, … divididas entre 4 coincidían con los números enteros que son cuadrados y triangulares a la vez (se puede prescindir del 0): 1, 36, 1225, 41616,…
Recordé de pronto que estos números se encuentran mediante la ecuación de Pell 8x2+1=y2, una de cuyas soluciones es x=1, y=3. De esta forma se me aclaró bastante la cuestión, y os cuento el proceso que seguí mediante una serie de propuestas encadenadas complementarias a las de Claudio.
(1) Demuestra que si 2n2 + 1 = m2, entonces n2/4 es también cuadrado y triangular.
(2) Demuestra que los números x que son cuadrados y triangulares a la vez coinciden con los valores de x2 que son soluciones de la ecuación de Pell 8x2+1=y2
(3) Una de las soluciones de la ecuación citada es x1=1, y1=3. Según la teoría correspondiente a las ecuaciones de Pell, las demás soluciones de esta ecuación vienen dadas por la igualdad
Usa esta propiedad para encontrar las soluciones de x, que serán 1, 6, 35, 204,…., que elevadas al cuadrado coincidirán con los números cuadrados y triangulares a la vez 1, 36, 1225, 41616,…que, a su vez, multiplicados por 4, resultarán ser las soluciones de 2n2 + 1 = m2, 4, 144, 4900, 166464…
(4) Usa la igualdad del apartado anterior para demostrar esta fórmula doble de recurrencia:
yn=8xn-1+3yn-1, xn=3xn-1+yn-1
o, en forma matricial:
Su aplicación reiterada nos permitirá encontrar los valores (1,3), (6,17), (35,99)…
Convierte esas dos fórmulas de recurrencia en una sola para xn, y te resultará
xn=6xn-1-xn-2, que coincide con la propuesta por Pablo Sussi para sus dobles 0, 2, 12, 72,…
(5) ¿Por qué el cociente entre las x parece tender a 3+2Raíz(2)?
Esto ya me coge cansado, pero creo que nos podemos basar en que los cocientes entre y y x cumplen qn = 6-1/qn-1, que nos lleva, tomando límites para n tendiendo a infinito, a la ecuación x = 6-1/x, una de cuyas soluciones es 3+2RAÍZ(2), que es la que vale al ser creciente la sucesión. Así que la conjetura de Claudio es cierta, si es que no he “tropezado” en algún paso. Si observáis algún error no dudéis en advertirme.
miércoles, 20 de mayo de 2009
La mitad, cuadrado, el tercio, cubo
Encuentra los primeros números naturales N que admiten estas dos descomposiciones:
N= 2n2 = 3m3
siendo n y m también naturales (su mitad es cuadrado perfecto y su tercera parte cubo perfecto)
Es necesario recorrer los posibles factores primos de m y de n y sus exponentes.
Una solución es N=41472, pero existe otra menor.
Si has aprendido a hacerlo, prueba con
N= 2n2 = 5m5
Una solución es un número “muy redondo”
Si tu interés no ha sufrido merma, aborda el que
N= 3n3 = 5m5
Quizás la primera solución tenga nueve cifras
N= 2n2 = 3m3
siendo n y m también naturales (su mitad es cuadrado perfecto y su tercera parte cubo perfecto)
Es necesario recorrer los posibles factores primos de m y de n y sus exponentes.
Una solución es N=41472, pero existe otra menor.
Si has aprendido a hacerlo, prueba con
N= 2n2 = 5m5
Una solución es un número “muy redondo”
Si tu interés no ha sufrido merma, aborda el que
N= 3n3 = 5m5
Quizás la primera solución tenga nueve cifras
miércoles, 13 de mayo de 2009
Vuelta a la Combinatoria
Después de varios meses tratando de números primos, cuadrados y cifras, será bueno volver a la Combinatoria. Para comenzar, esta cuestión:
Consideramos los números enteros menores que 1000, desde el 000 hasta el 999. Para cada uno sumamos sus cifras (sistema de numeración decimal) y obtendremos una suma S. Encuentra un valor de S para el que hay exactamente 63 números que la producen.
Tres ayudas:
Para suma S=4 hay 15 números que la producen, desde 004 hasta 400.
Para suma S=15 tendremos 69 soluciones.
Te puede ayudar este esquema de decisión, si llamas A a la primera cifra
Y una curiosidad:
Si representamos el número de soluciones para cada valor de S entre 0 y 27, nos resulta esto:
¿Te recuerda algo? No saques conclusiones precipitadas.
Consideramos los números enteros menores que 1000, desde el 000 hasta el 999. Para cada uno sumamos sus cifras (sistema de numeración decimal) y obtendremos una suma S. Encuentra un valor de S para el que hay exactamente 63 números que la producen.
Tres ayudas:
Para suma S=4 hay 15 números que la producen, desde 004 hasta 400.
Para suma S=15 tendremos 69 soluciones.
Te puede ayudar este esquema de decisión, si llamas A a la primera cifra
Y una curiosidad:
Si representamos el número de soluciones para cada valor de S entre 0 y 27, nos resulta esto:
¿Te recuerda algo? No saques conclusiones precipitadas.
miércoles, 6 de mayo de 2009
Números automórficos
Los números de la primera columna de la siguiente tabla son automórficos.Si los estudias adivinarás pronto qué propiedad tienen para recibir este nombre.
¿Cómo podríamos encontrarlos con una hoja de cálculo? Para construir la tabla que se incluye se han usado macros, pero se puede prescindir de ellas. Puedes crear una tabla de números consecutivos y después aplicarles una condición.
Esta tabla es complementaria de la anterior. ¿Qué relación tiene con ella?
¿Cómo podríamos encontrarlos con una hoja de cálculo? Para construir la tabla que se incluye se han usado macros, pero se puede prescindir de ellas. Puedes crear una tabla de números consecutivos y después aplicarles una condición.
Esta tabla es complementaria de la anterior. ¿Qué relación tiene con ella?
miércoles, 29 de abril de 2009
Dándole vueltas (4)
En un tomo de la colección “La tortuga de Aquiles” hemos encontrado el siguiente problema:
Determinar todos los números N de tres cifras que tengan la propiedad de ser divisibles por 11 y que N/11 sea igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de N
Es un problema complicado, por lo que, con un poco de humor, recorreremos varias opciones de resolución según el ánimo que nos dejen los primeros intentos:
Método directo: Sea N=100a+10b+c, luego se cumplirá que
N=100a+10b+c = 11(a2+b2+c2)
Después de simplificar esto un poco, intentar eliminar alguna variable aprovechando el criterio de divisibilidad entre 11 y seguir un desarrollo tremebundo de tipo algebraico, se desemboca en dos discriminantes de ecuaciones de segundo grado que han de ser cuadrados perfectos, y ¡oh maravilla!, descubrimos las dos soluciones.
Con ayudita: El mismo método anterior desemboca mejor en esos discriminantes si consideramos que los múltiplos de 11 de tres cifras sólo pueden tener estas dos expresiones:
a(a+b)b si a+b<10>=10 (Nos referimos a expresión decimal y no a un producto)
Seguimos el método anterior, pero ya tenemos eliminada una variable. Se desemboca básicamente en los dos mismos discriminantes que en el anterior.
Sin Álgebra: Si lo anterior nos asusta, podemos emprender una búsqueda (buena para un cálculo mental mientras paseamos. Así lo resolvimos hace días).
¿En qué terminarán esos números? Expresemos como 10a+b el número N/11 y sólo buscaremos entre 10 y 90.
Si b=9,8,7,6 es fácil ver que no hay solución, porque 10a+b ha de ser mayor que el cuadrado de b, y si a+b<10, b="5,4,3">=10 (¿Por qué?) Quizás encontremos alguno terminado en 5,4 ó 3.
Si b=2,1,0, caliente, caliente…
Con hoja de cálculo: ¡Ya salió la hoja! Era inevitable que hablara de ella, pero el blog va de esto.
Una búsqueda sistemática se puede organizar creando una columna con los números que van desde 10 hasta 90, multiplicándolos por 11 en otra columna paralela. Después se descomponen estos últimos en sus tres cifras (¿cómo?) y finalmente se calcula la suma de sus cuadrados y se comparan con la primera columna.
Aquí tienes las primeras pruebas:
Apúntate a un método o dos y encuentra las dos soluciones.¡Suerte!
Determinar todos los números N de tres cifras que tengan la propiedad de ser divisibles por 11 y que N/11 sea igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de N
Es un problema complicado, por lo que, con un poco de humor, recorreremos varias opciones de resolución según el ánimo que nos dejen los primeros intentos:
Método directo: Sea N=100a+10b+c, luego se cumplirá que
N=100a+10b+c = 11(a2+b2+c2)
Después de simplificar esto un poco, intentar eliminar alguna variable aprovechando el criterio de divisibilidad entre 11 y seguir un desarrollo tremebundo de tipo algebraico, se desemboca en dos discriminantes de ecuaciones de segundo grado que han de ser cuadrados perfectos, y ¡oh maravilla!, descubrimos las dos soluciones.
Con ayudita: El mismo método anterior desemboca mejor en esos discriminantes si consideramos que los múltiplos de 11 de tres cifras sólo pueden tener estas dos expresiones:
a(a+b)b si a+b<10>=10 (Nos referimos a expresión decimal y no a un producto)
Seguimos el método anterior, pero ya tenemos eliminada una variable. Se desemboca básicamente en los dos mismos discriminantes que en el anterior.
Sin Álgebra: Si lo anterior nos asusta, podemos emprender una búsqueda (buena para un cálculo mental mientras paseamos. Así lo resolvimos hace días).
¿En qué terminarán esos números? Expresemos como 10a+b el número N/11 y sólo buscaremos entre 10 y 90.
Si b=9,8,7,6 es fácil ver que no hay solución, porque 10a+b ha de ser mayor que el cuadrado de b, y si a+b<10, b="5,4,3">=10 (¿Por qué?) Quizás encontremos alguno terminado en 5,4 ó 3.
Si b=2,1,0, caliente, caliente…
Con hoja de cálculo: ¡Ya salió la hoja! Era inevitable que hablara de ella, pero el blog va de esto.
Una búsqueda sistemática se puede organizar creando una columna con los números que van desde 10 hasta 90, multiplicándolos por 11 en otra columna paralela. Después se descomponen estos últimos en sus tres cifras (¿cómo?) y finalmente se calcula la suma de sus cuadrados y se comparan con la primera columna.
Aquí tienes las primeras pruebas:
Apúntate a un método o dos y encuentra las dos soluciones.¡Suerte!
jueves, 16 de abril de 2009
Algoritmo derivado de un problema
2758620689655172413793103448 * 3=8275862068965517241379310344
¿Qué tiene de particular este resultado?
Hace días leí en un libro de problemas el siguiente:
Encontrar un número entero que termine en 6, y que si esa cifra 6 se mueve hasta situarse delante del resto de las cifras del número, el resultado equivalga a multiplicar ese número por 4: 6abc..de=4*abc..de6
Un caso similar es el número 205128, que si movemos el 8 a la primera posición 820512 el resultado equivale a cuatro veces el primitivo: 205128*4=820512
¿Cuál es la forma más rápida de resolver este tipo de problemas?
Intenté analizarlo por la parte izquierda, y aunque llegué a alguna solución, vi que resultaba mucho más eficiente trabajar por las unidades, después las decenas, etc. En efecto, si las unidades son 6, al multiplicar por 4 han de resultar 4 unidades. Luego el número termina en 4. Por un razonamiento similar, las decenas han de valer 8 (4*4+2=18), las centenas…seguí así hasta encontrar la solución. ¿Puedes encontrarla tú?
Este razonamiento se puede convertir en un algoritmo, en el que dada la cifra de las unidades (la que ha de moverse) y el número a multiplicar te devuelva el resultado, si es que existe. El problema es que hay que darle dos condiciones de parada, y que puede no acabar nunca. Si lo implementamos en hoja de cálculo el límite es el número de filas o columnas.
Si te animas a encontrar un procedimiento de resolución e incluso a convertirlo en algoritmo, intenta conseguir resultados tan espectaculares como el que encabeza esta entrada.
Aquí tienes otro resultado del algoritmo
Equivale a encontrar que 1304347826086956521739 * 7=9130434782608695652173
¿Existirán datos que produzcan algoritmos sin parada?
domingo, 12 de abril de 2009
Pasatiempo para usar en el aula
Hoy presentamos un pasatiempo tomado del libro “Estimula tu inteligencia natural”, de Bragdon y Fellows. Es sencillo adaptarlo a hoja de cálculo y usarlo en el aula, y por eso tiene un sitio en este blog.
Es un pasatiempo fácil, pero que hace pensar y a veces se complica. Consiste en descubrir la pauta de cálculo que siguen las cuatro filas de una tabla numérica y aplicarla a encontrar el valor adecuado que ha de tener la celda que contiene la interrogación.
Los resultados de la última columna se obtienen a partir de las dos primeras y de un número desconocido mediante las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Hay que adivinar dos operaciones y el número desconocido. En la tabla de la imagen, la operación es A*B-9, y por tanto el valor que ha de situarse en el interrogante es 9.
Aunque es un pasatiempo sencillo, en él se desarrollan tres habilidades fundamentales:
(a) Descubrimiento de regularidades
(b) Análisis de la relación entre resultado y datos. Estudiando las variaciones de estos y su influencia en los resultados, se puede conjeturar qué operaciones han intervenido.
(c) Uso de las operaciones inversas para descubrir el dato que falta.
Como es costumbre en este blog, no se indica ni nivel de enseñanza ni el momento de uso de este pasatiempo en clase.
Para quienes deseéis practicar con él, en la página http://www.hojamat.es disponéis de la versión en OpenOffice.org Calc y en Excel 2003.
Es un pasatiempo fácil, pero que hace pensar y a veces se complica. Consiste en descubrir la pauta de cálculo que siguen las cuatro filas de una tabla numérica y aplicarla a encontrar el valor adecuado que ha de tener la celda que contiene la interrogación.
Los resultados de la última columna se obtienen a partir de las dos primeras y de un número desconocido mediante las operaciones de sumar, restar y multiplicar. Hay que adivinar dos operaciones y el número desconocido. En la tabla de la imagen, la operación es A*B-9, y por tanto el valor que ha de situarse en el interrogante es 9.
Aunque es un pasatiempo sencillo, en él se desarrollan tres habilidades fundamentales:
(a) Descubrimiento de regularidades
(b) Análisis de la relación entre resultado y datos. Estudiando las variaciones de estos y su influencia en los resultados, se puede conjeturar qué operaciones han intervenido.
(c) Uso de las operaciones inversas para descubrir el dato que falta.
Como es costumbre en este blog, no se indica ni nivel de enseñanza ni el momento de uso de este pasatiempo en clase.
Para quienes deseéis practicar con él, en la página http://www.hojamat.es disponéis de la versión en OpenOffice.org Calc y en Excel 2003.
sábado, 4 de abril de 2009
Nidos de primos
Hace unos días se me ocurrió averiguar cuántos números primos se pueden generar permutando conjuntos determinados de cifras. Les llamé “nidos de primos”. Con una hoja de cálculo emprendí la búsqueda para estudiar el máximo número de primos que se puede generar. No tuve en cuenta la cifra 0 para que no cambiara el número de cifras, pero es otra búsqueda que se puede realizar con facilidad. Encontré lo siguiente:
Conjuntos de dos cifras: Con éstos no había que probar nada. El máximo de primos generados es 2, como en el caso de 13 y 31.
Tres cifras: Aquí me fallaron algunos candidatos que parecían idóneos, como el 137, y los conjuntos de cifras que producen más primos resultan ser 149, 179 y 379, que forman 4 primos cada uno. Por ejemplo, 1, 4 y 9 generan 149, 419, 491, y 941. Me llamó la atención que nunca se generaran seis. Puedo haber saltado alguno.
Cuatro cifras: Aquí hay dos conjuntos con número máximo de primos. Forman exactamente 11 primos, y son 1237 y 1279. Es curioso que la cifra 2 entre a formar parte de los dos conjuntos que forman más primos.
Cinco cifras: Aunque mi búsqueda no ha sido totalmente exhaustiva, creo que el máximo número de primos lo engendra el conjunto 13789, que permite formar 39 primos, seguido de 13459 con 37 y 12379 con 36. Creo que no hay ninguna generación con más primos.
Es instructivo el estudio de los cocientes entre el número de primos generado y el de permutaciones de los conjuntos:
2/2!=1; 4/3! = 0,6667; 11/4! = 0,4583; 39/5! = 0,325
Podemos compararlos con los cocientes entre los primos menores o iguales a 10, 100, 1000,.. y esas mismas cantidades:
4/10=0,4; 25/100=0,25; 168/1000= 0,168; 1229/10000=0,1229
Observamos que ambas son decrecientes y muy cercanas a progresiones geométricas de razón similar, como se ve en los cocientes entre cada elemento y su anterior:
0,6667/1 = 0,6667 y 0,25/0,4 = 0,625
0,4583/0,6667 = 0,6875 y 0,168/0,25 = 0,672
0,325/0,4583 = 0,7091 y 0,1229/0,168 = 0,7315
Esto indica que ambos están relacionados de alguna forma con la distribución de números primos.
Aquí detuve la búsqueda, porque la hoja de cálculo se lentifica pronto. Si alguien emplea programas más potentes puede seguir con números más altos de cifras.
Conjuntos de dos cifras: Con éstos no había que probar nada. El máximo de primos generados es 2, como en el caso de 13 y 31.
Tres cifras: Aquí me fallaron algunos candidatos que parecían idóneos, como el 137, y los conjuntos de cifras que producen más primos resultan ser 149, 179 y 379, que forman 4 primos cada uno. Por ejemplo, 1, 4 y 9 generan 149, 419, 491, y 941. Me llamó la atención que nunca se generaran seis. Puedo haber saltado alguno.
Cuatro cifras: Aquí hay dos conjuntos con número máximo de primos. Forman exactamente 11 primos, y son 1237 y 1279. Es curioso que la cifra 2 entre a formar parte de los dos conjuntos que forman más primos.
Cinco cifras: Aunque mi búsqueda no ha sido totalmente exhaustiva, creo que el máximo número de primos lo engendra el conjunto 13789, que permite formar 39 primos, seguido de 13459 con 37 y 12379 con 36. Creo que no hay ninguna generación con más primos.
Es instructivo el estudio de los cocientes entre el número de primos generado y el de permutaciones de los conjuntos:
2/2!=1; 4/3! = 0,6667; 11/4! = 0,4583; 39/5! = 0,325
Podemos compararlos con los cocientes entre los primos menores o iguales a 10, 100, 1000,.. y esas mismas cantidades:
4/10=0,4; 25/100=0,25; 168/1000= 0,168; 1229/10000=0,1229
Observamos que ambas son decrecientes y muy cercanas a progresiones geométricas de razón similar, como se ve en los cocientes entre cada elemento y su anterior:
0,6667/1 = 0,6667 y 0,25/0,4 = 0,625
0,4583/0,6667 = 0,6875 y 0,168/0,25 = 0,672
0,325/0,4583 = 0,7091 y 0,1229/0,168 = 0,7315
Esto indica que ambos están relacionados de alguna forma con la distribución de números primos.
Aquí detuve la búsqueda, porque la hoja de cálculo se lentifica pronto. Si alguien emplea programas más potentes puede seguir con números más altos de cifras.
jueves, 26 de marzo de 2009
Primos reversibles (Primo-Omirp)
Es muy popular la definición de los pares de números primo-omirp, o primos reversibles, que son aquellos en los que uno se forma invirtiendo las cifras del otro y que ambos son primos, como los pares 199 y 991, 7589 y 9857. Se suelen excluir los capicúas.
No vamos a insistir en el concepto, que incluso se recoge en la Wikipedia, sino en la posibilidad de encontrarlos con Hoja de Cálculo.
Para ello necesitamos las dos funciones que definimos en una entrada anterior: INVERTIR_CIFRAS y ESCAPICUA. Además, deberemos contar con la función ESPRIMO, uno de cuyos posibles códigos incluimos al final de la entrada.
Si te animas, encontrarás (excluyendo capicúas) 4 parejas de dos cifras (13 – 31, 17 – 71, 37 – 73, 79 – 97), 14 parejas de tres cifras, desde 107-701 hasta 991-199, y 102 de cuatro cifras. Puedes ordenar bien los cálculos usando las mencionadas funciones (de ESCAPICUA puedes prescindir)
Código de la función ESPRIMO 'Devuelve un 1 si es primo y un 0 si es compuesto
Public function esprimo(a) as integer
dim ai as long
dim n as long
dim es ai=abs(int(a)
if ai=1 then es=0
if ai=2 then es=1
if ai>2 then
n=2:es=1
while n<=sqr(ai) and es=1
if ai MOD n=0 then es=0
n=n+1
wend
endif
esprimo=es
end function
viernes, 20 de marzo de 2009
Aspectos binarios del problema de la entrada anterior
El contenido de la entrada anterior se podría haber visualizado usando el sistema binario de numeración. La idea fundamental es la siguiente: Si un número n se expresa en sistema binario como un conjunto de unos y ceros, multiplicarlo por 2 equivale a añadir un cero a su derecha, o, en términos muy gráficos, "empujarle" sus cifras hacia la izquierda.
Así, si 7=111(2 su doble 14=1110(2 y multiplicado por 4 28=11100(2
En el problema citado, todos los números impares menores o iguales a n son "empujados" hasta convertirse en los números pares existentes entre n+1 y 2n. Como además esa operación equivale a ir multiplicando por 2, ls números primitivos serán los MFI de los resultantes.
Puedes verlo en la siguiente tabla, que contiene los números del 1 al 22 con su correspondiente desarrollo binario (se han suprimido los ceros): Los impares menores o iguales a 11 (1,3,5,7,9 y 11) son desplazados según las celdas de color naranja (que representan potencias de 2), hasta situarlos en las celdas de color verde, lo que los hace iguales a los números situados a su izquierda. Es mejor verlo que seguir la explicación.
1 | 1 | ||||
2 | 1 | ||||
3 | 1 | 1 | |||
4 | 1 | ||||
5 | 1 | 1 | |||
6 | 1 | 1 | |||
7 | 1 | 1 | 1 | ||
8 | 1 | ||||
9 | 1 | 1 | |||
10 | 1 | 1 | |||
11 | 1 | 1 | 1 | ||
12 | 1 | 1 | 3 | ||
13 | 1 | 1 | 1 | ||
14 | 1 | 1 | 1 | 7 | |
15 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
16 | 1 | 1 | |||
17 | 1 | 1 | |||
18 | 1 | 1 | 9 | ||
19 | 1 | 1 | 1 | ||
20 | 1 | 1 | 5 | ||
21 | 1 | 1 | 1 | ||
22 | 1 | 1 | 1 | 11 |
Estudiando el problema de esta forma quedan claras algunas propiedades que de otra forma pueden pasar desapercibidas:
(a) Entre n+1 y 2n siempre hay una potencia de 2 ¿Por qué?
(b) (Esta ya se comentó en la entrada anterior) Entre n+1 y 2n, dado un impar k menor o igual que n, existe siempre un número y sólo uno de la forma k*2h
Intenta verlas de forma binaria.
lunes, 16 de marzo de 2009
La hoja de cálculo ayuda a razonar
Recientemente, en el blog Problemas matemáticos , se ha publicado este elegante problema:
Dado un número cualquiera, llamamos MFI de ese número a su mayor divisor impar. Así, el MFI de 12 es 3, y el MFI de 15, es 15. Por cierto, que hay números, como el 8, que tienen por MFI a 1.
Demuestra que la suma de los MFI de los números n + 1, n + 2, ..., 2n de cualquier entero positivo n siempre da n2.
Puedes comprobarlo con cualquier número, si no te lo crees.
¿Podrás convencer a todo el mundo de que sucede de verdad para todos los números?
Como por mi edad tengo las neuronas bastante trabajadas :-), me quise ayudar de la hoja de cálculo para resolverlo.
La solución dada n2 me dio la pista de que aparecerían todos los números impares desde 1 hasta n. Para comprobarlo creé para OpenOffice.org Calc la siguiente función para determinar el MFI de cualquier número:
public function mayordivimp(a1) as long
dim a,n, max as long
a=int(abs(a1))
if a=0 then max=0
if a=1 then max=1
if a>1 then
max=1
for n=1 to a step 2
if a/n = int(a/n) then max=n
next n
end if
mayordivimp=max
end function
Con ella creé tablas de dos columnas entre n y 2n para varios valores de n, escribiendo en la primera el número y en la segunda su mayor divisor impar
14 7
15 15
16 1
17 17
18 9
19 19
20 5
21 21
22 11
23 23
24 3
25 25
26 13
Teniendo a la vista este tipo de tablas se observa que en ellas figuran todos los impares desde 1 hasta 2n+1, luego mi sospecha estaba justificada. ¿Por qué ocurre esto?
La causa es que todo número n se puede expresar como n=MFI.2p, y esto produce dos hechos: Todos los impares menores que n figurarán con seguridad en la lista de MFI entre n+1 y 2n y además una sola vez.
(a) Que figuran una sola vez es fácil de ver, pues si h.2p figura en la lista desde n+1 hasta 2n, su siguiente número del mismo tipo sería el doble n=MFI.2p+1, y sería mayor que 2n.
(b) Que deban figurar todos se deduce de que para cualquier número menor que n, al multiplicarlo por 2, 4, 8, etc., siempre será posible que el múltiplo formado esté en el intervalo pedido n+1 a 2n. Omito los detalles.
Este ejemplo ilustra la dificultad que a veces se tiene de "ver" los componentes de un problema. Al comprobar con la hoja de cálculo que la lista contenía todos los números impares deseados, fue mucho más simple investigar la causa.
(Continuará)
miércoles, 11 de marzo de 2009
Proporciones relativas
“Recientes estudios estadísticos han puesto de manifiesto que de cada veinte maltratadores condenados, sólo uno sobrepasaba los dos metros de estatura. Aconsejen, por tanto, a sus amigas y conocidas que se emparejen con hombres altos, que vivirán más tranquilas”
¿Qué te parece esta conclusión? Descabellada, ¿no? Pues en nuestra vida diaria a veces razonamos de forma similar. El otro día oí en la televisión este comentario: “De cada 50.000 accidentes de tráfico, sólo en 400 estuvieron involucrados autocares, lo que demuestra que son más seguros que los turismos” Estoy totalmente de acuerdo con la última afirmación, pero no con el modo de obtenerla. Deberían darnos el dato del número de turismos y autocares que circulan por término medio en nuestras carreteras. De esa forma, dividiríamos el número de accidentados entre el número total de cada clase, y así obtendríamos la proporción de accidentes de cada uno, lo que nos permitiría evaluar qué porcentaje es mayor. En este caso, seguro que sería el de turismos, pero con los datos de la noticia eso no se deduce.
Otra afirmación sobre tráfico: “Las carreteras secundarias son más peligrosas que las autovías, porque en aquellas se producen muchos más accidentes de tráfico”. ¿No habría que dividir entre el número de kilómetros existentes en España de cada clase de vía? Y si alguien nos dijera que los camiones son más peligrosos de noche, porque a esas horas están más involucrados en accidentes que los turismos, ¿no necesitaríamos otros datos? ¿no hay tramos en los que de noche prácticamente sólo circulan camiones?
Cuando no vivía en Madrid, los amigos y familiares que viajaban a la capital nos traían de regalo un décimo de lotería, porque “en Madrid toca más”. El mismo fenómeno se da cuando se compra la lotería en Sort, fiados en una mayor probabilidad de obtener premio, ya que en esa localidad se dan muchos. A pocas personas se les ocurre comparar los premios con los números vendidos en esas ciudades.
El error básico que cometemos en estos razonamientos es el de usar cantidades absolutas, y no proporciones relativas o porcentajes. Para comparar la incidencia de un fenómeno cualquiera deberíamos plantearnos una tabla de doble entrada, rellenarla con las cantidades absolutas y después proceder a convertirlas en porcentajes.
Veamos esta, que podemos imaginar perteneciente a una empresa
Si entráramos en la sala de fumar veríamos muchos más hombres que mujeres, y sin embargo sólo fuma el 42,5% de hombres frente a un 48,2% de mujeres.
Ya sabes, ten cuidado: si preguntas en tu parque a la gente que pasea si es diabética o no, no deduzcas de los resultados que a los diabéticos no les gusta tomar el sol.
Otra afirmación sobre tráfico: “Las carreteras secundarias son más peligrosas que las autovías, porque en aquellas se producen muchos más accidentes de tráfico”. ¿No habría que dividir entre el número de kilómetros existentes en España de cada clase de vía? Y si alguien nos dijera que los camiones son más peligrosos de noche, porque a esas horas están más involucrados en accidentes que los turismos, ¿no necesitaríamos otros datos? ¿no hay tramos en los que de noche prácticamente sólo circulan camiones?
Cuando no vivía en Madrid, los amigos y familiares que viajaban a la capital nos traían de regalo un décimo de lotería, porque “en Madrid toca más”. El mismo fenómeno se da cuando se compra la lotería en Sort, fiados en una mayor probabilidad de obtener premio, ya que en esa localidad se dan muchos. A pocas personas se les ocurre comparar los premios con los números vendidos en esas ciudades.
El error básico que cometemos en estos razonamientos es el de usar cantidades absolutas, y no proporciones relativas o porcentajes. Para comparar la incidencia de un fenómeno cualquiera deberíamos plantearnos una tabla de doble entrada, rellenarla con las cantidades absolutas y después proceder a convertirlas en porcentajes.
Veamos esta, que podemos imaginar perteneciente a una empresa
Hombres | Mujeres | |
Fuman | 34 | 13 |
No fuman | 46 | 14 |
Proporción | 42,5% | 48,2% |
Si entráramos en la sala de fumar veríamos muchos más hombres que mujeres, y sin embargo sólo fuma el 42,5% de hombres frente a un 48,2% de mujeres.
Ya sabes, ten cuidado: si preguntas en tu parque a la gente que pasea si es diabética o no, no deduzcas de los resultados que a los diabéticos no les gusta tomar el sol.
miércoles, 4 de marzo de 2009
Cuadrado del simétrico o simétrico del cuadrado
Claudi Alsina, en su libro “Vitaminas matemáticas”, señala como una propiedad del número 12 la siguiente: 122 = 144 y 212 = 441, es decir, que el cuadrado de su número simétrico en cifras coincide con el simétrico de su cuadrado.
Esta propiedad la poseen otras parejas de números, en concreto hay, si la hoja de cálculo no falla, las siguientes:
Dos parejas de dos cifras: 12 y 21, 13 y 31
Cinco parejas de cuatro cifras, desde 102 con 201 hasta 311 y 113
Dieciocho de cinco cifras, desde 1002-2001 hasta 3111-1113
Cuarenta y una parejas de cinco cifras…
Una cuestión sencilla: ¿Qué cifras no pueden figurar entre las componentes de esos números? ¿Cuál es la causa?
Otra algo más compleja: De las cifras que pueden figurar, ¿qué combinaciones de ellas habría que desechar?
Y más difícil, porque hay que contar bastante: ¿Por qué aparecen estos números de parejas?: 2 de dos cifras, 5 de tres cifras, 18 de cuatro y 41 de cinco…
Si deseas emprender una búsqueda ordenada con hoja de cálculo, puedes usar las funciones invertir_cifras y escapicua que se explicaron en entradas anteriores.
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