Derivada aritmética

Este original concepto fue presentado por el matemático español José Mingot Shelly en 1911 con el título "Una cuestión de la teoría de los números", trabajo presentado en el Tercer Congreso Nacional para el Progreso de las Ciencias, Granada. Es interesante su biografía, condicionada totalmente por la Guerra Civil española.

Como su nombre indica, esta derivada se basa en una operación similar a la de la derivada de un producto, y aplicada a números naturales. Podemos concretarla de esta forma:

D(0)=D(1)=0 (para completar la definición)
D(p)=1 si p es primo
D(ab)=aD(b)+bD(a) a>1, b>1 (Regla del producto)

Por ejemplo, D(10)=D(2*5)=2D(5)+5D(2)=2*1+5*1=7

Como la definición formal es similar a la de la derivada de una función, podemos extenderla a más factores, a potencias y a todos los números en general.

Así, en un número esfénico N=p*q*r, se tendrá D(N)=p*q+q*r+r*p.

Por ejemplo, D(30)=D(2*3*5)=2*3+3*5+5*2=31

Se generaliza fácilmente a las potencias de primos: D(p^k)=k*p^k-1

D(8)=D(2³)=3*2²=12
D(16)=D(2⁴)=4*2³=32

Veremos que nos conviene expresar la potencia de otra forma:

D(N)=D(p^k)=N*k/p

Caso general

Cualquier número se descompone en productos de potencias de primos. Con lo visto hasta ahora, se puede construir una forma de calcular la derivada aritmética en el caso general. Deberemos ir derivando cada potencia para multiplicarla por el resto de potencias de primos. Según el apartado anterior, cada potencia quedará multiplicada por su exponente y dividida entre su base. Extendemos a todas las potencias y queda:

Lo vemos mejor con un ejemplo:

D(360)=D(2³*3²*5)=360(3/2+2/3+1/5)=852

Estos resultados se pueden comprobar en https://oeis.org/A003415

Es fácil traducir todo esto a una función. En su primera parte es copia de nuestra rutina sacaprimos. Su salida es el conjunto de primos p() y el conjunto de exponentes ex(). A partir de ellos se construye la derivada.

Function derivada(n)
Dim f, a, e, nume, d, s
Dim p(20), ex(20)

‘Extrae primos y sus exponentes

a = n
f = 2
While f * f <= a
e = 0
While a / f = Int(a / f)
e = e + 1
a = a / f
Wend
If e > 0 Then
nume = nume + 1
p(nume) = f
ex(nume) = e
End If
If f = 2 Then f = 3 Else f = f + 2
Wend
If a > 1 Then
nume = nume + 1
p(nume) = a
ex(nume) = 1
End If

‘Fin de la extracción de primos

 s = 0 ‘Factor que multiplica a n
For f = 1 To nume
s = s + n*ex(f) / p(f) ‘Se suman los cocientes n*e/p
Next f
derivada = s
End Function

Hemos dimensionado los primos a 20 distintos, pues la gran mayoría de los números que tratamos tienen menos primos en su descomposición factorial. La misma idea usa la programación en PARI en la página enlazada. Aquí se puede comprobar la diferente potencia entre PARI y VBASIC:

(PARI) A003415(n) = {local(fac); if(n<1, 0, fac=factor(n); sum(i=1, matsize(fac)[1], n*fac[i, 2]/fac[i, 1]))} /* Michael B. Porter, Nov 25 2009 */

Dejamos su análisis como ejercicio lúdico.

Con cualquiera de estas dos herramientas podemos construir una tabla de derivadas aritméticas:

Observamos que todos los números primos tienen derivada 1 por definición, y las potencias de primos siguen la suya propia, como D(8)=D(2³)=3*2²=12

Naturaleza de la derivada aritmética

Siguiendo una costumbre en este blog, destacaremos algunas derivadas aritméticas según su tipo como números, primos, cuadrados, triangulares,…Publicamos a continuación una muestra:

Derivadas primas

Si añadimos a la búsqueda la condición de que la derivada sea prima, obtenemos este listado:

En la primera columna figuran los valores de N, y en la segunda las derivadas primas. Si siguiéramos buscando, observaríamos que muchos valores, como 191, se repiten bastante. Hemos añadido una columna más para comprobar que N es libre de cuadrados. En la página https://oeis.org/A157037 figuran los valores de N, y en ella se razona el porqué de que N no contenga divisores cuadrados.

Derivadas cuadradas

Deberemos en este caso excluir los casos en los que N es primo, pues nos llenarían las tablas con el valor cuadrado 1. Así que buscaremos derivadas cuadradas sólo para valores compuestos de N. El resultado es:

También están publicadas, en concreto en https://oeis.org/A256706

Por ejemplo, D(291)=D(3*97)=1*97+3*1=100=10²

Derivadas triangulares

Si exigimos que la derivada sea un número triangular, se encuentran muchos ejemplos. Estos son los primeros:

Esta sucesión parece estar inédita. El autor del blog no la va a publicar, y autoriza aquí su publicación por parte de otra persona.

Derivada que es potencia no trivial

Entre los valores de las derivadas aritméticas figuran, además de los cuadrados, otras potencias con exponentes mayores. Estos son los primeros valores:

Por ejemplo, D(108)=D(2²*3³)=108(2/2+3/3)=216=6³

También está inédita, aparentemente

Derivada de N igual a N

En la tabla anterior figura que la derivada de 27 es también 27. Buscaremos a continuación si existen más casos similares:

Basta observar la tabla para comprobar cuándo ocurre esto, y qué demostración sencilla es posible. Lo dejamos abierto a nuestros lectores.

Derivada múltiplo del número

Hemos observado derivadas que son iguales o el doble que el número dado. También existen casos en los que es un múltiplo mayor. Estos son los primeros casos:

Según lo explicado hasta ahora, esto ocurre cuando la suma de los cocientes entre los exponentes de los factores primos y ellos mismos es un número entero. Nos fijamos, por ejemplo en el número 6912=2⁸*3³, en el que esa suma es 8/2+3/3=5, y esa es la causa de que su derivada sea un múltiplo con cociente 5.

Esto traslada la cuestión a saber qué números cumplen la propiedad. Es fácil ver que no sólo la suma de esos cocientes ha de ser entera, sino que han de serlo cada uno por separado, pues al ser primos los denominadores no se podrán agrupar en sumas enteras esos cocientes si ellos no lo son.

Divisor propio mayor que la raíz cuadrada

 

Explorando por OEIS, encontré un tipo de números en https://oeis.org/A332269 y me ha apetecido desarrollar el tema mediante nuestras funciones en hoja de cálculo.

La idea es que en muchos números naturales N, un solo divisor propio de N es mayor que su raíz cuadrada, siendo todos los demás menores. Al ser propio, se descarta N, por lo que ese divisor ha de cumplir Sqr(N)<d<N, siendo Sqr la función raíz. Su valor máximo posible será N/2.

Por ejemplo, el número 27 posee como divisores propios 1, 3 y 9, siendo 9 el único divisor propio de 27 que es mayor que la raíz cuadrada de 27=5,19. Con este ejemplo ya tenemos un resultado, y es que los cubos de los números primos presentan esta propiedad.

Su búsqueda con Vbasic de Excel y Calc es bastante sencilla. Se puede desarrollar con esta función:

Function undivisor(n)
Dim k, m, d As Long
Dim r

r = Sqr(n) ’Cálculo de la raíz cuadrada
m = 0 ‘Contador de divisores
k = Int(n / 2) ‘Máximo divisor propio posible
While k > r ‘Contamos divisores mayores que la raíz
If n / k = n \ k Then d = k: m = m + 1
k = k - 1
Wend
‘Si el contador marca m=1 es de ese tipo
If m = 1 Then undivisor = d Else undivisor = 0
End Function

Devuelve un cero si no presenta la propiedad, y el mayor divisor si se cumple. Los primeros números con ella son:

6, 8, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 26, 27, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, 74, 77, 81, 82, 85, 86, 87, 91, 93, 94, 95, 106, 111, 115, 118, 119, 122, 123, 125, 129, 133, 134, 141, 142, 143, 145, 146, 155, 158, 159, 161, 166, 177, 178, 183, 185, 187, 194

Están publicados en https://oeis.org/A332269

En esta tabla observamos el cumplimiento de la condición:

 

En la página enlazada figuran algunos tipos de números con la propiedad pedida:

Semiprimos libres de cuadrados: Si N=pq, con p y q primos y p<q, es lógico que q sea el divisor único pedido. En el listado figuran muchos, como el 14=2*7, y 7 es mayor que la raíz cuadrada de 14.

Cubos y cuartas potencias de primos: En ambos casos se cumple, y el divisor es p² en el primer caso y p³ en el segundo. Así, en 16 el mayor divisor, 8, es el único mayor que la raíz cuadrada de 16, que es 4.

Simplificación

En la referida página de OEIS se incluye un comentario que nos permite simplificar la búsqueda, y es que si Sqr(N)<d<N, y d es único, también lo será N/d, que será divisor, pero que ahora se cumplirá N/d<Sqr(N), lo que nos permite buscar el divisor único entre 2 y Sqr(N).

El desarrollo de la función sería similar al presentado:

Function undivisor2(n)
Dim k, m, d As Long
Dim r

r = Sqr(n)
m = 0
k = 2 ‘Ahora se comienza en el 2, hasta la raíz cuadrada
While k < r ‘El resto se desarrolla igual
If n / k = n \ k Then d = k: m = m + 1
k = k + 1
Wend
If m = 1 Then undivisor2 = d Else undivisor2 = 0
End Function

Como era de esperar, resultan los mismos números:

Profundización

El número de divisores propios mayores que la raíz cuadrada coincide con el de los divisores menores, como vimos más arriba, ya que si D divide a N, también lo divide N/D. Esto nos permite cambiar la condición impuesta por la de que x*y=N tenga una sola solución si x es distinto de y y ambos mayores que la unidad. En ese caso, si x es menor que la raíz cuadrada de N, la otra variable y presentará un valor mayor que ella, con lo que se cumple la condición.

Si analizamos el valor de TAU(N) (número de divisores de N) observaremos que el número de pares x, y es igual a TAU(N)/2 si N es libre de cuadrados, y si (N,1) es un par, sólo deberá existir otro par (D,N/D), por lo que si TAU(N) vale cuatro, como ocurre en  los semiprimos libres de cuadrados p*q, con divisores (1, p, q, pq) y en los cubos de primos (1, p, p², p³), algo que ya se afirmó más arriba.

Si TAU(N) es mayor que 4, sólo se encuentran como ejemplos válidos las potencias cuartas de los números primos.

Ejemplos consecutivos

En la tabla figuran términos consecutivos. En la página de OEIS enlazada figuran varios tipos de números que forman pares de consecutivos. Es una curiosidad digna de leerse.