jueves, 30 de septiembre de 2021

Consecutivos que son poligonales

La cuestión que inicio en esta entrada puede extenderse a varios casos interesantes. Solo me quedaré con algunos, porque van a ser muy similares unos a otros. Se trata de conocer si dos números consecutivos pueden ser ambos poligonales no triviales, es decir, que sus lados no tengan medida 1, pues en ese caso todos los enteros positivos son poligonales.

Comenzaremos con el caso general, en el que exigimos que dos números consecutivos sean ambos poligonales, pero no concretamos el orden de cada uno. No pueden tener el mismo orden, pues su diferencia sería siempre mayor que la unidad. Después pasaremos a tres casos en los que los órdenes de los dos números son también consecutivos. Por simple casualidad, están desarrollados en orden inverso de número de lados.

Poligonales en general

Los criterios para saber si un número es poligonal o no están ligados a un orden determinado. En este blog y en mis publicaciones sobre este tipo de números se ha usado la siguiente función para saber si un número es o no poligonal de un cierto orden:

Function espoligonal(n, k) As Boolean

Dim d

Dim e As Boolean

e = False

d = (k - 4) ^ 2 + 8 * n * (k - 2)

If escuad(d) Then

If esentero((k - 4 + Sqr(d)) / 2 / (k - 2)) Then e = True

End If

espoligonal = e

End Function

Esta función ya está explicada en varias entradas de este blog. En primer lugar, determina si un discriminante es cuadrado y, después, si el orden correspondiente es entero o no.

El problema de esta función es que necesita tener como dato el valor del orden del poligonal. Por eso, en este caso, hay que complementarla con esta otra:

Function esunpoligonal(n)

Dim i, es

If n < 3 Then esunpoligonal = 0: Exit Function

es = 0

i = 3

While i < n And es = 0

If espoligonal(n, i) Then es = i

i = i + 1

Wend

esunpoligonal = es

End Function

 

Es fácil interpretar que se recorren todos los órdenes posibles y si en alguno da solución afirmativa, es que es un poligonal, y devuelve su orden. En caso contrario devuelve un cero.

Con esta función, el criterio para saber si dos números consecutivos son ambos poligonales será:

esunpoligonal(n)>0 and esunpoligonal(n+1)>0

Con esta condición es fácil encontrar el conjunto de los primeros casos:

Al existir muchos ejemplos, su búsqueda es muy rápida. No obstante, aquí inserto la versión en PARI:

isapolygonal(n)={my(i=3,p=n/3+2);while(i<p&&!ispolygonal(n,i),i+=1);i<p}

ok(n)=isapolygonal(n)&&isapolygonal(n+1)

for(i=2,350,if(ok(i),print1(i,", ")))

Con ella podremos disponer las soluciones en forma de lista:

9, 15, 21, 24, 27, 33, 34, 35, 39, 45, 48, 51, 54, 57, 63, 64, 65, 69, 75, 81, 84, 87, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 99, 105, 111, 114, 117, 120, 123, 124, 125, 129, 132, 135, 141, 144, 147, 153, 154, 155, 159, 165, 168, 171, 174, 175, 176, 177, 183, 184, 185, 189, 195, 201, 204, 207, 213, 214, 215, 216, …


Conjuntos de consecutivos con al menos dos elementos

 No es difícil, contando con la función esunpoligonal, detectar los casos de conjuntos de dos o más  elementos consecutivos que sean todos poligonales no triviales (longitud del lado mayor que 2). En este caso fijaremos la atención en el primer elemento del conjunto. Basta exigir:

esunpoligonal(i) > 0 And esunpoligonal(i + 1) > 0  And esunpoligonal(i - 1) = 0

Con esta condición indicamos que el número anterior no sea poligonal, y los dos siguientes, sí. Con ella es fácil encontrar los primeros ejemplos:

9, 15, 21, 24, 27, 33, 39, 45, 48, 51, 54, 57, 63, 69, 75, 81, 84, 87, 90, 99, 105, 111, 114, 117, 120, 123, 129, 132, 135, 141, 144, 147, 153, 159, 165, 168, 171, 174, 183, 189, 195, 201, 204, 207, 213, 219, 225, 231, 234, 237, 243, 249, 252, 255, 258, 264, 267, 273, 279, 285, 291, 294, 297, 300,

Con PARI puedes probar este código:

 isapolygonal(n)={my(i=3,p=n/3+2);while(i<p&&!ispolygonal(n,i),i+=1);i<p}

ok(n)=!isapolygonal(n-1)&&isapolygonal(n)&&isapolygonal(n+1)

for(i=3,300,if(ok(i),print1(i,", ")))

Por ejemplo, 174 pertenece a la sucesión porque 174, 175, 176, 177 y 178 son todos poligonales no triviales y 173 no lo es.


 N pentagonal y N+1 hexagonal

Nos preguntaremos ahora si existen números pentagonales consecutivos con hexagonales, en este orden. El primer ejemplo es claro, pues no hemos exigido que no sean triviales, y serían 5 y 6. Los demás casos, como veremos, son mucho más complicados de abordar, por lo que lo haremos por fases y con paciencia.

Búsqueda directa

Si en Excel exigimos la condición  espoligonal(n,5) and espoligonal(n+1,6) o en PARI ispolygonal(n,5)&&ispolygonal(n+1,6), obtendremos las siguientes primeras soluciones.

 5, 6902, 209627, 259771820, 7889124465, 9776252688930,…

Observamos que el crecimiento es muy rápido y que sobrepasaremos la capacidad de Excel en pocos pasos. Por ello, y para más seguridad, es conveniente generar las siguientes soluciones mediante recurrencias.

Recurrencias

La fórmula de los pentagonales (ver https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/11/numeros-pentagonales-1.html y siguiente) es P(n)=(3n2-n)/2, y la de los hexagonales (https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/02/numeros-hexagonales-1.html y siguiente) es H(n)=n(2n-1). Por tanto, en este caso, como se diferencian en 1, el planteo sería:

 (3n2-n)/2+1=k(2k-1)

Hemos llamado n al orden del pentagonal y k al del hexagonal consecutivo con él. Con un poco de Álgebra y un cambio de variable llegaremos a una ecuación tipo Pell. Los pasos son:

3n2-n=4k2-2k-2

Cada miembro lo simplificamos con cambio de variable: X=6n-1, Y=4k-1

3n2-n=(9n2-3n)/3=((3n-1/2)2-1/4)/3=(X2-1)/12

4k2-2k-2=(2k-1/2)2-9/4=(Y2-9)/4

Igualamos con las nuevas variables.

 (X2-1)/12=(Y2-9)/4

(x2-1)=3(y2-9)

x2-3y2=-26

Esta es una ecuación del tipo Pell (Pell-like), que no tiene resolución automática, por lo que hay que encontrar una primera solución y después intentar recurrencias entre las demás soluciones. No es un proceso fácil en general.

En este caso conocemos las soluciones 5 y 6 para los poligonales, en los que n=2 y k=2, por lo que deben ser soluciones X=6*2-1=11, Y=4*2-1=7, y, en efecto, cumplen la ecuación:

112-3*72=121-3*49=121-147=-26

Si intentamos resolver la ecuación de Pell con estos datos, nunca obtenemos un segundo miembro igual a -26, solo 1 y -2:


En estos casos se aconseja buscar algún tipo de recurrencia similar a la que nos resolvería la ecuación de Pell pura, x2-3y2=1. Hay que tener un poco de suerte e intuición. En nuestro caso, como por búsqueda directa ya conocíamos las primeras soluciones, no fue excesivamente complicado. Las fórmulas de recurrencia entre X e Y que resultaron funcionar fueron:

X(n+2)=97*X(n)+168*Y(n)

Y(n+2)=56*X(n)+97*Y(n)

La segunda solución después de la X(1)=11 Y(1)=7 la dedujimos de la búsqueda directa, y resultaron ser X(2)=407, Y(2)=235. Con todos estos datos se pudo completar el cuadro de las primeras soluciones de X e Y:


Las últimas resultaban menos fiables, y hubo que corregirlas con PARI y la calculadora WIRIS.

De los valores de X e Y es fácil extraer los de los órdenes n y k:


Para revisar estos valores hemos usado la recurrencia, derivada de la anterior:

N(n+2)=97*N(n)+112*K(k)-44

K(n+2)=84*N(n)+97*K(n)-38

Y, por último, los valores consecutivos del pentagonal y el hexagonal a partir de sus órdenes:


Sólo se han incluido los valores que son fiables en Excel. Los siguientes superan su capacidad de cálculo, Si acudimos a otras herramientas que manejen todas las cifras, llegamos a la lista definitiva de los pentagonales:

5, 6902, 209627, 259771820, 7889124465, 9776252688930, 296899309928135, 367919493435441752, 11173508621946330077, 13846282206173162227790, 420503823181428876211635, 521090984179201293845229060, 15825240870436385705402363465, 19610738084753779286398188238202, 595567114497499116455683670452127

Evidentemente, los hexagonales son sus consecutivos. Vemos el ejemplo de 259771820:

El orden de 259771820 es, según las tablas de arriba, 13160, y se cumple:

P(13160)=(3*13160^2-13160)/2=259771820

El orden del hexagonal sería 11397 y se verifica:

H(11397)=11397*(2*11397-1)=259771821, que resulta consecutivo con el anterior.

Con esto damos el problema como resuelto. Ha sido bastante entretenido todo el proceso de llegar a una lista fiable.

 

N cuadrado y N+1 pentagonal

Sin pretenderlo, vamos a estudiar los casos en orden decreciente. Ha sido una casualidad. Nos toca ahora encontrar los cuadrados cuyo consecutivo es pentagonal.

Usando la misma función espoligonal(n,k) para los casos k=4 y k=5 hemos obtenido las primeras soluciones para el caso k=4 (cuadrados) con Excel:

 4, 144, 2500, 43264, 1387684, 24010000, 415425924, 13324546624, 230544022500, 3988919683984, 127942295300964

Con PARI, generando los cuadrados de forma rápida, ampliamos y comprobamos la lista:

n=2;m=4;while(n<=10^8,if(ispolygonal(m+1,5),print(m));m+=2*n+1;n+=1)

4, 144, 2500, 43264, 1387684, 24010000, 415425924, 13324546624, 230544022500, 3988919683984, 127942295300964, 2213683680040000, 38301606390193444,…

Al igual que en el caso anterior, con un poco de Álgebra llegamos a una ecuación tipo Pell:

 Será: n2+1=(3k2-k)/2

Y n2=(3k2-k)/2-1=(9k2-3k)/6-1=(36k2-12k+1)/24-1-1/24

Mediante cambio de variables X=6k-1, Y=n llegamos a la ecuación de tipo Pell X2-24Y2=25

Esta nos ha dado más trabajo que la anterior, porque la recurrencia válida se aplica a n+3 en lugar de n+2 o n+1. Ha resultado ser:

X(n+3)=49X(n)+240Y(n)

Y(n+3)=10X(n)+49Y(n)

Así, a partir de los primeros valores de X e Y deduciremos los de n y k, y, por último, a los del cuadrado y el pentagonal consecutivos. Al final, las soluciones para el cuadrado, primer número de los dos consecutivos, son:

4, 144, 2500, 43264, 1387684, 24010000, 415425924, 13324546624, 230544022500, 3988919683984, 127942295300964, 2213683680040000, 38301606390193444, 1228501906155314704, 21255790465200062500, 367772020569717770304, 11796075174961036491844,…

Se puede plasmar en esta construcción de una lista en PARI:

lista(m) = {my(x=vector(m),y=vector(m),z=vector(m),n);x[1]=2;x[2]=10;x[3]=41;y[1]=2;y[2]=12;y[3]=50;z[1]=4;z[2]=144;z[3]=2500;for(n=4,m,x[n]=49*x[n-3]+40*y[n-3]-8;y[n]=60*x[n-3]+49*y[n-3]-10;z[n]=y[n]^2);z}

print(lista(18));

[4, 144, 2500, 43264, 1387684, 24010000, 415425924, 13324546624, 230544022500, 3988919683984, 127942295300964, 2213683680040000, 38301606390193444, 1228501906155314704, 21255790465200062500, 367772020569717770304, 11796075174961036491844, 204098097833167320090000]

 

N triangular y N+1 cuadrado

Este caso está ya publicado en http://oeis.org/A006454. Por eso, nos limitaremos a comprobar resultados usando nuestros métodos.

0, 3, 15, 120, 528, 4095, 17955, 139128, 609960, 4726275, 20720703, 160554240, 703893960, 5454117903, 23911673955, 185279454480, 812293020528, 6294047334435, 27594051024015, 213812329916328, 937385441796000, 7263325169820735, 31843510970040003, 246739243443988680

Con las funciones de Excel, obtenemos la misma lista, exigiendo espoligonal(n,3) and espoligonal(n+1,4). En este caso disponemos en este blog de las funciones alternativas estriangular(n) y escuad(n+1). Con ambas es fácil reproducir los primeros elementos:


También aquí se pueden usar recurrencias. Con un proceso similar a los anteriores se llega a que X(n+2)=X(n)+3Y(n), Y(n+2)=3X(n)+8Y(n), con X=2O1+1, Y=O2, siendo O1 el orden del triangular y O2 el del cuadrado. De esa forma, a partir de los términos iniciales de la tabla anterior, se puede llegar más lejos de lo publicado en la sucesión A006454:

[3, 15, 120, 528, 4095, 17955, 139128, 609960, 4726275, 20720703, 160554240, 703893960, 5454117903, 23911673955, 185279454480, 812293020528, 6294047334435, 27594051024015, 213812329916328, 937385441796000, 7263325169820735, 31843510970040003, 246739243443988680, 1081741987539564120]

Para quien quiera avanzar más, dejamos el código en PARI. Bastará sustituir el 24 de la última línea por un número mayor:

lista(m) = {my(x=vector(m), y=vector(m), z=vector(m),n); x[1]=5; x[2]=11; y[1]=2; y[2]=4 ; z[1]=3; z[2]=15; for(n=3, m, x[n]=3*x[n-2]+8*y[n-2]; y[n]=x[n-2]+3*y[n-2]; z[n]=y[n]^2-1); z}

print(lista(24));

Este desarrollo resulta muy instructivo, pues se han combinado varias técnicas matemáticas, con la consiguiente concurrencia de resultados. Queda abierta la posibilidad de seguir aumentando el número de lados, pero lo importante está ya explicado.

miércoles, 22 de septiembre de 2021

Números que son sumas de K enteros positivos consecutivos

Recorriendo un poco al azar la página de OEIS (http://oeis.org/) descubrí que existen varias sucesiones en las que sus elementos se pueden descomponer como suma de K enteros positivos consecutivos, pero no en sumas de ese tipo con menor número de sumandos. Hay muchas variantes. Estas son algunas:

http://oeis.org/A270298: En ella figuran los que se descomponen en ocho sumandos, pero no en menos, como es 172=18+19+20+21+22+23+24+25, que es suma de ocho elementos, y veremos más adelante que no es posible una suma con menos sumandos consecutivos.

http://oeis.org/A270296: Contiene los que se descomponen en cinco sumandos pero no en menos, como 20=2+3+4+5+6.

Otra sucesión es http://oeis.org/A270299, para once sumandos, y se pueden encontrar otras para casos diversos.

Aquí abordaremos el tema en general, dando pautas y búsquedas para cualquier valor de K. Comenzaremos estudiando qué números admiten una suma con K sumandos enteros positivos consecutivos y, en otro paso, nos quedaremos con aquellos para los que esa suma tenga el mínimo número de sumandos.

Números que son suma de K sumandos

Si K es impar, el problema es más simple, porque en cualquier suma de ese tipo, como 44+45+46+47+48, con K=5, existe un número central, aquí el 46, y pares de sumandos simétricos cuya suma es el doble del mismo, como 45+47=44+48=2*46, Por tanto, la suma es 5 veces mayor que 46, y ha de ser, por tanto, múltiplo de 5. A la inversa, cualquier múltiplo de 5 se puede organizar como una serie de sumandos alrededor de un central.

Por ejemplo, 42 es múltiplo de 7, y el término central sería 6, con lo que podemos escribir la suma  3+4+5+6+7+8+9=42.

Si K es par, es algo un poco más complicado. Por ejemplo, con cuatro sumandos la suma se podría escribir como n+n+1+n+2+n+3=4n+6. Esto significa que la suma ha de ser par, pero no múltiplo de 4. Quiere decir que se podrán expresar como suma de cuatro consecutivos los múltiplos de 2 que no lo sean de 4.

14 es un ejemplo de suma de cuatro. Al dividirlo entre 4 resulta 3,5 como “falso término central”, y usamos los enteros más próximos: 2+3+4+5. Su doble, 28, sí sería múltiplo de 4. 14 no sería múltiplo, pero su doble sí.

Por otra parte, no basta con estas condiciones, porque algún número daría soluciones con sumandos negativos o nulos. Por ejemplo, para expresar 6 con cuatro sumandos, el falso término central sería 6/4=1,5, y los sumandos 0+1+2+3, con el 0 no positivo.

Para evitar esto se deberá verificar que el término central (verdadero o falso) sobrepase la mitad entera del número de sumandos, con lo que garantizamos que el primer sumando sea al menos 1. En el siguiente apartado veremos una condición equivalente más práctica.

Estudio algebraico

Una suma de K enteros consecutivos a partir de N, es decir, N+N+1+N+2+…N+K-1, se puede resumir como suma de una progresión aritmética:

Si pretendemos dividir la suma entre K, tal como efectuamos en párrafos anteriores, quedaría:

Si K es impar, esta expresión será entera, y nos dará el término central de la suma. Si K es par, resultará el “falso término central”, alrededor del cual se construirán pares de sumandos.

La primera de las igualdades nos indica que, para que el primer término N sea positivo, se ha de cumplir que

En el ejemplo anterior del 6 con 4 sumandos no se cumplirá esto, porque 6=4*3/2, y no se cumple la desigualdad.

Función con hoja de cálculo

Estas consideraciones teóricas se pueden unir en una función que nos indique si un número equivale a K sumandos consecutivos o no:

Function sumacons(n, k) As Boolean ‘Devuelve verdadero o falso

Dim es As Boolean

Dim b, c

If n > k * (k - 1) / 2 Then ‘Condición previa para poder seguir

b = n / k ‘Cociente entre suma y número de sumandos

c = 2 * n / k ‘Doble del anterior

If k / 2 = k \ 2 Then ‘Caso PAR

If b <> Int(b) And c = Int(c) Then es = True Else es = False ‘No es múltiplo de k, pero sí su doble

Else

If b = Int(b) Then es = True Else es = False ‘Caso IMPAR. Basta con que sea múltiplo de k

End If

Else

es = False

End If

sumacons = es

End Function

Si poseemos ya un criterio para saber si N es suma de K sumandos, el siguiente paso sería si también es suma para valores más pequeños que K. Esta es la parte fácil del estudio, porque basta un bucle de búsqueda para determinarlo:

Function sumaconsmin(n, k) As Boolean

Dim es As Boolean

Dim i

es = False

If sumacons(n, k) Then ‘Exigimos que n se exprese como suma de consecutivos

es = True

i = 2

While i < k And es

If sumacons(n, i) Then es = False ‘Si existe un número menor que k para el que es suma, el resultado será FALSO.

i = i + 1

Wend

End If

sumaconsmin = es

End Function

Con esa función de búsqueda se pueden comprobar fácilmente los términos de las sucesiones que enlazamos al principio:

A270298 Numbers which are representable as a sum of eight but no fewer consecutive nonnegative integers.

44, 52, 68, 76, 92, 116, 124, 148, 164, 172, 188, 212, 236, 244, 268, 284, 292, 316, 332, 356,…

COMPROBADO

A270296 Numbers which are representable as a sum of five but no fewer consecutive nonnegative integers.             

20, 40, 80, 100, 140, 160, 200, 220, 260, 280, 320, 340, 380, 400, 440, 460, 500, 520, 560,…

COMPROBADO

A270303 Numbers which are representable as a sum of nineteen but no fewer consecutive nonnegative integers.    

304, 608, 1216, 2432, 4864, 5776, 6992, 8816, 9424, 9728, 11248, 11552, 12464, 13072,…

COMPROBADO

A270297  Numbers which are representable as a sum of seven but no fewer consecutive nonnegative integers.

28, 56, 112, 196, 224, 308, 364, 392, 448, 476, 532, 616, 644, 728, 784, 812, 868, 896, 952, 1036, 1064

COMPROBADO

A270299 Numbers which are representable as a sum of eleven but no fewer consecutive nonnegative integers.             

88, 176, 352, 704, 968, 1144, 1408, 1496, 1672, 1936, 2024, 2288, 2552, 2728, 2816, 2992,…

COMPROBADO

Valores admisibles de K

Si cambiamos los valores de K nos daremos cuenta de que para algunos, como el 10, no existe sucesión. ¿De qué depende? Lo veremos por partes:

Todos los números primos son admisibles para esta cuestión. El 2, porque es el mínimo, y todos los impares son suma de dos consecutivos. El resto, al ser impares admitirán una suma de consecutivos en sus múltiplos, como vimos en párrafos anteriores, y como puedes comprobar en la última sucesión estudiada, en la que todas las soluciones que son suma de once sumandos son todas múltiplos de 11. Este número de sumandos no se puede reducir, al ser primo K, luego los números primos son admisibles y generarán una sucesión como las enlazadas.

Sin embargo, los múltiplos impares de los primos mayores que 2, incluidas sus potencias, no pueden ser admisibles, porque si un número se descompone en pq sumandos (p primo y q impar), también se descompondrá en p sumandos, luego estos números hay que desecharlos para la cuestión que nos ocupa. Por ejemplo, 225 se descompone en 15 sumandos:

225=8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22, pero también en 5 y en 3:

225=43+44+45+46+47

225=74+75+76

Sí lo son las potencias de 2. Si un número N se descompone en 2^k sumandos, sabemos, por consideraciones anteriores, que no será múltiplo de 2^k, pero sí lo será su doble. Por tanto, simplificando, N será múltiplo de 2^k-1, y sabemos que no debe serlo, luego sería admisible, como vemos en la sucesión A270298. Otra cuestión es qué números presentan la propiedad que estudiamos hoy. Un ejemplo sería el 44

Un ejemplo: 44 se descompone en ocho sumandos, porque su doble, 88, es múltiplo de 8:

44=2+3+4+5+6+7+8+9

Sin embargo, no se podrá descomponer en menos sumandos. Se comprueba fácilmente.

Nos quedan los números pares no potencias de 2. Si N se descompone como pq con p primo impar y q par, es par, 2N será múltiplo de K, y simplificando, N será múltiplo de p, porque q/2 es entero, luego será múltiplo de p y se podrá descomponer en p sumandos. No serán admisibles.

Resumiendo, serán admisibles para esta búsqueda los números primos y las potencias de 2. Los demás números no serán admisibles para este problema, y serán aquellos que poseen un divisor propio primo e impar.

En cualquier rango de números podemos observar que en la descomposición de N en K sumandos, solo figuran valores de K primos o potencias de 2:

Así que los valores de K que no dan lugar al estudio de esta cuestión serán todos los enteros suprimiendo los primos y las potencias de 2:

6, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 33, 34, 35,…

Estos números están publicados en http://oeis.org/A111774, pero con una definición distinta, como aquellos que se pueden descomponer en sumas de al menos tres números consecutivos. Es lógico, porque todos poseen un factor primo impar p y, al ser múltiplos de él, se descompondrán en una suma de p sumandos.

lunes, 13 de septiembre de 2021

Suma de dos igual a otra de tres

El 18 de abril de 2021 publiqué en Twitter (@connumeros) la siguiente identidad:

18421×18422/2+18422×18423/2=15040×15041/2+15041×15042/2+15042×15043/2

Era un caso particular basado en la sucesión  http://oeis.org/A262489, que contiene los índices de las sumas de dos números triangulares que son equivalentes a otras sumas de tres triangulares consecutivos.

Con una simple hoja de cálculo se puede construir la identidad. Basta iniciar un estudio algebraico. Sea n el índice del primer triangular de la suma S. Es fácil ver que se cumplirá que

S=n(n+1)/2+(n+1)(n+2)/2=(n+1)2

Es una conocida propiedad de los triangulares, que dos consecutivos suman un cuadrado. Si ahora la igualamos a otra suma de tres triangulares, queda:

X(x+1)+(x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)=3x2+9x+8=2S

El discriminante de esta ecuación será

D=92-4*3*(8-2S)

D=81-96+24S

D=24S-15, que deberá ser cuadrado para que la identidad se cumpla.

En el ejemplo de más arriba, S=184222=339370084, luego D tendrá el valor

D=24*339370084-15=8144882001=902492

Efectivamente, es un cuadrado, por lo que se puede resolver la ecuación de segundo grado dada, 3x2+9x+8=2*339370084, resultando x=(-9+90249)/6=15040, que es el índice inicial que figura en la identidad inicial de esta entrada.

Este estudio nos da una pista para encontrar los índices de números triangulares que intervienen en estas identidades. Bastará exigir que 24*(n+1)2-15 sea un cuadrado.

Con una simple búsqueda de esa condición en hoja de cálculo encontramos las primeras soluciones:

Coinciden con las primeras contenidas en la sucesión citada. Se ha añadido una columna con los índices iniciales de la suma triple. Esos están incluidos en la sucesión http://oeis.org/A165517

A262489 The index of the first of two consecutive positive triangular numbers (A000217) the sum of which is equal to the sum of three consecutive positive triangular numbers.

7, 18, 78, 187, 781, 1860, 7740, 18421, 76627, 182358, 758538, 1805167, 7508761, 17869320,…

Es fácil organizar esta búsqueda en PARI. Basta usar

ok(n)=issquare(24*(n+1)^2-15)

for(i=1,10^8,if(ok(i),print(i)))

De esa forma obtendremos nuevos términos con más rapidez.

Para proseguir encontrando términos es preferible usar la recurrencia sugerida en esa página:

a(n) = a(n-1)+10*a(n-2)-10*a(n-3)-a(n-4)+a(n-5) for n>5.

El uso de esta recurrencia se basa en que la ecuación que hemos usado, x2-24y2=15 es de tipo Pell y, en ese caso, las soluciones siguen una recurrencia.

He acudido a mi hoja de cálculo para la prolongación de una recurrencia. (Ver mi entrada anterior o en la dirección http://www.hojamat.es/blog/ecurrecurre.xlsm)

En primer lugar, escribo en la fila correspondiente los diez primeros términos de la sucesión y pulso sobre el botón “Homogénea”. Se planteará automáticamente un sistema de ecuaciones con esos términos:

Acudimos al botón “Resolver” y obtendremos los cinco coeficientes de la recurrencia:

Efectivamente, es cierto que a(n) = a(n-1)+10*a(n-2)-10*a(n-3)-a(n-4)+a(n-5). Con ella podemos prolongar la sucesión cuanto deseemos, a partir de los cinco primeros términos.

 

Caso de números oblongos

Con los índices de la sucesión que estudiamos se pueden construir oblongos en lugar de triangulares, usando la expresión N(N+1). Por ejemplo, el número 78 daría lugar al oblongo 78*79, que sumado con su siguiente, 79*80, daría un resultado de 12482, que equivale a la suma de tres oblongos:

12482 =63*64+64*65+65*66

 

Caso de números cuadrados

Un planteamiento similar para cuadrados es:

n2+(n+1)2=k2+(k+1)2+(k+2)2

Manipulamos algebraicamente y queda

 (2n+1)2+1=6(k+1)2+4

Esto quiere decir que ((2n+1)2-3)/6 ha de ser un cuadrado.

Con nuestra función escuad y una búsqueda obtenemos las primeras soluciones:


En efecto, por ejemplo, 13^2+14^2=10^2+11^2+12^2=365

 Con PARI se encuentran más fácilmente. Usamos:

for(i=0,10^8,if(issquare(((2*i+1)^2-3)/6), print(i)))

Así se obtienen:

 

Recurrencia

 Al ser las ecuaciones de tipo Pell, podemos confiar en que los resultados se obtengan con una recurrencia lineal de tercer orden. Acudimos de nuevo a nuestra herramienta de hoja de cálculo:

 


Una curiosa equivalencia

Los coeficientes obtenidos coinciden con los publicados en http://oeis.org/A031138, sucesión que contiene los mismos elementos con distinta definición. En esa sucesión se exige que 1^5+2^5+3^5+4^5+…k^5 sea un cuadrado perfecto. Las dos condiciones son equivalentes. Lo vemos.

 Según la fórmula de Faulhaber (https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Faulhaber) la suma de esas potencias equivale a un polinomio de sexto grado. La imagen siguiente está tomada de esa dirección de Wikipedia:

 

Resulta que la condición que obtuvimos más arriba, que sea cuadrado ((2n+1)2-3)/6=(4n2+4n-2)/6 es equivalente a la de OEIS.

Si multiplicamos el polinomio de Faulhaber por 144, seguirá siendo cuadrado, resultando 24n6+72n5+60n4-12n2. Si también el polinomio obtenido aquí lo multiplicamos por 36, seguirá siendo cuadrado, y nos dará 24n2+24n-12. El cociente entre ambos es un polinomio cuadrado perfecto (n+1)2=n2+2n+1.

En la imagen se incluye una captura de pantalla del cálculo correspondiente con la calculadora Wiris:

 


Por tanto, el carácter de cuadrado perfecto en una definición coincide con la otra, luego la sucesión contenida en http://oeis.org/A031138 coincide con la que estudiamos.

En la imagen podemos observar cómo para el 13 se cumple esta condición: la suma de potencias quintas del 1 hasta 13 es un cuadrado perfecto:

 


 Estas conexiones son las que dan interés y elegancia a los cálculos matemáticos.

 

 

jueves, 2 de septiembre de 2021

Prolongación de una recurrencia

En la confección de sucesiones, que es una de las tareas más frecuentes en este blog, aparecen con cierta frecuencia algunas de las que se sabe o sospecha que pueden generarse mediante una fórmula de recurrencia respecto a sus primeros términos. Así ocurre, por ejemplo, con los números poligonales, que ocupan una buena parte de nuestros estudios, o con aquellas cuestiones que se resuelven con la ecuación de Pell o similares (ecuaciones Pell-like).

Las ecuaciones de recurrencia más frecuentes en estos temas son las lineales, en las que existe una relación de este tipo entre un elemento y varios de sus anteriores. Las llamaremos homogéneas si no intervienen términos independientes. Comenzaremos por ellas.

Sistema de ecuaciones de una recurrencia

Si cada elemento depende de los anteriores, pongamos por ejemplo, de cuatro, y de forma lineal, se dará la siguiente situación:

 a(n)=c1a(n-1)+c2a(n-2)+c3a(n-3)+c4a(n-4)

Si elegimos los ocho primeros términos de la sucesión podremos plantear (en el caso homogéneo)

a(8)=c1a(7)+c2a(6)+c3a(5)+c4a(4)

a(7)=c1a(6)+c2a(5)+c3a(4)+c4a(3)

a(6)=c1a(5)+c2a(4)+c3a(3)+c4a(2)

a(5)=c1a(4)+c2a(3)+c3a(2)+c4a(1)

Esto constituye un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas c1, c2, c3, c4, que, al resolverse, nos descubre la ecuación de recurrencia. Con los instrumentos de cálculo disponibles en la actualidad es una tarea fácil de sobrellevar.

Pongamos un ejemplo. Los números hexagonales se generan con una ecuación de recurrencia de orden 3. Para encontrarla, ya lo habrás descubierto, necesitamos el doble de elementos, en este caso 6. Buscamos cualquier listado de ellos y seleccionamos 1 , 6 , 15 , 28 , 45 , 66. Por comodidad, llamamos a los coeficientes A, B, C, y queda

66=45A+28B+15C

45=28A+15B+6C

28=15A+6B+C

Resolvemos el sistema y obtenemos A=3, B=-3, C=1, luego los números hexagonales se generan mediante H(n)=3H(n-1)-3H(n-2)+H(n-3). Puedes comprobarlo en la entrada correspondiente en este blog (https://hojaynumeros.blogspot.com/2021/02/numeros-hexagonales-1.html)

 Automatización del proceso

Desde hace años ofrezco en mi página web una calculadora matricial para Excel y Calc (http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#matrices)

Esta herramienta es de propósito general, con varias opciones y posibilidad de programar operaciones. Para no confundir con excesivo material, la he adaptado al problema que nos ocupa, y he situado esa versión en la carpeta propia de este blog.

http://www.hojamat.es/blog/ecurrecurre.xlsm

En el caso de los hexagonales marcamos como orden 3, y escribimos en la fila correspondiente los primeros términos 1 , 6 , 15 , 28 , 45 , 66.

Después pulsamos en el botón “Homogénea” y se construirá el sistema de ecuaciones correspondiente:


Finalmente, pulsamos el botón “Resolver” y obtendremos los coeficientes:

Como es una adaptación de otra herramienta, se aconseja no tocar nada más de la hoja. Si todo se viene abajo, volveremos a iniciar Excel.

Caso no homogéneo

Hay recurrencias lineales que poseen un término independiente. Estos mismos números hexagonales del ejemplo admiten otra recursión de tercer orden con término independiente 4.

a(3)=K+c1a(1)+c2a(2)

a(4)=K+c1a(2)+c2a(3)

a(5)=K+c1a(3)+c2a(4)

Resolvemos y nos resultan los coeficientes como en el caso homogéneo.

En nuestra hoja de cálculo basta pulsar sobre el botón “No homogéneo” y después sobre “Resolver”. En el caso de los hexagonales:


No se debe olvidar rellenar el Orden, en este caso, 3. La solución, después de resolver, queda:

La interpretamos como a(n)=2a(n-1)-a(n-2)+4. En efecto:

15=2*6-1+4

28=2*15-6+4

45=2*28-15+4

 

Otros ejemplos

La recurrencia homogénea que hemos descubierto para los números hexagonales es una propiedad general de todos los poligonales, en los que P(n)=3P(n-1)-P(n-2)+P(n-3). Lo vemos en los octogonales: 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936,…

Aquí se inserta la captura de pantalla en la que comprobamos que los coeficientes:


Puedes probar con otros tipos de poligonales, como estos cuadrados centrados, 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145,…y te resultarán los mismos coeficientes 3, -3 y 1.

Triangulares cuadrados

Los triangulares que también son cuadrados ( los hemos estudiado en https://hojaynumeros.blogspot.com/2015/10/damos-vueltas-los-triangulares.html) también admiten una recurrencia homogénea de tercer orden. Tomamos su listado y lo volcamos en nuestra hoja de cálculo: 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041,…y resulta:


Efectivamente, TC(n)=35TC(n-1)-35TC(n-2)+TC(n-3), tal como hemos comprobado con los siguientes términos.

Así podríamos recorrer más ejemplos. Como esto es una presentación de una herramienta, con lo explicado basta.