Estos números constituyen una extensión natural de los traducidos como “Catering perezoso” (o también como “Cortador perezoso”), que ya se han estudiado en este blog. Si aquellos contaban el máximo de cortes rectilíneos sobre una tarta o pizza, considerados en dos dimensiones (todos frontales a la superficie mayor de la tarta), aquí se trata de cortar un cubo o una tarta mediante cortes planos que actúan sobre tres dimensiones. Buscaremos siempre el número máximo de partes, por lo que no se consideran planos paralelos, ni cortes paralelos, ni varios planos incidentes en el mismo punto.
Siguiendo las ideas de Peter C. Heinig en https://oeis.org/A000125, podemos contemplar tres escalas de
complejidad en estos cortes:
Una dimensión, cortes sobre una recta. Es
evidente que el número máximo de regiones para n cortes es
C1(n)=binomial(n,0)+binomial(n,1)=1+n
En el caso de un plano, vimos, en la sucesión
de catering perezoso, https://hojaynumeros.blogspot.com/2026/02/el-catering-perezoso.html,
que el número era: n(n+1)/2+1, que también se puede escribir como
C2(n)= binomial(n,0)+binomial(n,1)+binomial(n,2)
En nuestro caso actual, sobre tres dimensiones,
es fácil razonar que su expresión es C(n+1,3)+n+1=(n+1)n(n-1)/6+n+1, lo que nos
llevaría a
C3(n) = binomial(n,0) +
binomial(n,1) + binomial(n,2) + binomial(n,3)
Lo vemos:
Una tarta, con el corte mediante un solo plano
se divide en dos partes, y se cumple C(1)=0+1+1=2
Para dos cortes obtenemos cuatro partes como
máximo, y se cumple:
C(2)=3*2*1/6+2+1=4
Aquí podemos seguir por inducción: Supongamos
efectuados los n-1 cortes primeros. Al cortarlos con un nuevo plano, si ese
número es máximo, se formarán en el nuevo plano el máximo de cortes posible,
que sabemos que es C2(n-1), y serían elementos de la sucesión del
catering perezoso, luego C3(n)= C3(n-1)+C2(n-1),
y quedaría:
C3(n)= C3(n-1)+(n-1)n/2+1=n(n-1)(n-2)/6+n+(n-1)n/2+1
Mediante el programa wxMaxima comprobamos la
identidad entre este resultado y el propuesto. En el recorte de pantalla
observamos además que las expresiones se pueden simplificar bastante:
Por una parte, hemos obtenido una fórmula
manejable:
Por otra, se ha comprobado en el razonamiento
que C3(n)= C3(n-1)+C2(n-1) y, por tanto, que
es válida la sugerencia de:
C3(n) = binomial(n,0) +
binomial(n,1) + binomial(n,2) + binomial(n,3)
Con esta comprobación se ha descubierto también
que estos números son la suma de los cuatro primeros elementos de la fila n del
triángulo de Pascal:
Esta propiedad nos permite identificar los
números de pastel con el número de subconjuntos de un conjunto de n elementos
cuyo cardinal no supere los tres elementos. Expresado de otra forma, la
suma del número de combinaciones de n elementos tomados de 0, 1, 2 o 3
elementos.
Al igual que ocurría con la sucesión del
catering perezoso, la existencia de una fórmula tan directa hace inútil la
búsqueda de otro algoritmo o función. Basta organizar una tabla con esa
fórmula:
Coinciden los valores extraídos del triángulo
de Pascal y con los publicados en https://oeis.org/A000125,
Con la fórmula básica se puede llegar a números
de orden grande, pero quizás se prefiera una recurrencia por la rapidez de
cálculo. En la página de OEIS citada se propone la siguiente:
a(n) = 4*a(n-1) - 6*a(n-2) + 4*a(n-3) - a(n-4).
Bastará, pues, crear una columna con los cuatro
primeros en una hoja de cálculo y después aplicar la fórmula a esos cuatro y
rellenar hacia abajo hasta el punto que deseemos.
Comienzo:
Escribimos los cuatro primeros, y al quinto le
aplicamos la fórmula de recurrencia.
Segundo paso
Rellenamos hacia bajo la fórmula:
De esta forma, en segundos, llegamos al orden
que deseemos:
Las recurrencias lineales son muy útiles para
construir tablas de forma casi instantánea.
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