Los números poligoriales se definen de forma similar a los factoriales, pero en lugar de multiplicar números naturales consecutivos, lo hacen con los números poligonales.
Un número poligorial de orden k equivale al producto de los
primeros números poligonales de orden k. Por ejemplo, 180 es poligorial de
orden 3, porque es el producto de los cuatro primeros números triangulares:
180=1*3*6*10. 518400 lo es de orden 4, porque equivale al producto de los
cuadrados 1, 4, 9, 16, 25 y 36.
En el caso de los factoriales los factores son números
naturales, y no hay que calcularlos previamente al producto, pero en el caso de
los poligoriales, cada factor posee su propia fórmula, que hay que evaluar.
Como trabajamos con números poligonales, es útil usar la misma fórmula en todos
los órdenes, aunque luego exista la posibilidad de simplificación en cada caso.
Es la siguiente:
En ella k es el
orden y n la longitud de un lado,
que es la variable que se recorre al plantear el producto.
Con esta fórmula no es difícil encontrar una función que
devuelva el valor de un poligorial de parámetros n y k:
Public Function poligorial(n, k)
Dim i, j, p
p = 1 ‘Inicio del producto de poligonales
For i = 1 To n
p = p * i * (i * (k - 2) - k + 4) / 2 ‘Cada
factor se evalúa con la fórmula para poligonales
Next i
poligorial = p
End Function
Casos particulares
A continuación recorreremos algunos órdenes, obteniendo el
listado de los primeros términos y alguna propiedad o curiosidad. Comenzamos
por los triangulares. Con la función de arriba, es fácil obtener esa lista de
los primeros números poligoriales triangulares:
Un listado más completo lo tienes en http://oeis.org/A006472. Como en esa página
figuran casi todos los casos, nos limitaremos a incluir el enlace en cada caso.
No es difícil encontrar una fórmula para el poligorial
triangular:
Se puede expresar de otra forma, pero así
es fácil calcularla con hoja de cálculo:
Si, por ejemplo, N figura en la celda I4,
su poligorial triangular sería =FACT(I4)*FACT(I4+1)/2^I4. Puedes
probarlo con cualquier elemento de la tabla:
FACT(7)*FACT(7+1)/2^7=1587600
En la dirección enlazada puedes consultar propiedades
combinatorias cuya naturaleza no las hace aptas para ser tratadas con una
simple hoja de cálculo.
En esa página figura una aproximación para estos
poligoriales:
a(n) ~
4*Pi*n^(2*n)/(2^n*exp(2*n)).
No es muy buena, como puedes comprobar en la siguiente tabla
de comparación:
Poligoriales cuadrados
Este orden es mucho más simple en su generación que el
anterior, ya que cada elemento es un producto de cuadrados consecutivos, luego
es, en sí mismo, otro cuadrado, que coincide con el cuadrado de un factorial.
Lo ves en la tabla:
Por tanto, su fórmula será:
El listado de los primeros junto con
muchas propiedades combinatorias lo puedes consultar en http://oeis.org/A001044
Fórmula
general en PARI
Ha llegado el momento de pensar en los
poligoriales como productos de sumas, ya que los poligonales equivalen a sumas
cuyos elementos tienen la expresión 1+(k-2)*(i-1).
En efecto, los triangulares suman números enteros i, como 10=1+2+3+4, por
lo que para k=3 suman 1+(3-2)*(i-1)=1+i-1=i. Los cuadrados suman impares:
1+3+5+7+9=25=5^2, con lo que para k=4 queda 1+(4-2)*(i-1)=1+2i-2=2i-1
Según estas consideraciones, que se basan
en que todo poligonal equivale a k-2 números triangulares sumados con su índice
(ver mi publicación “Números y formas” - http://www.hojamat.es/publicaciones/numform.pdf),
estos sumandos 1+(k-2)*(i-1) se
pueden extender a todos los poligoriales. En nuestra figura lo puedes entender
mejor:
En ella se observa que en cada especie de arco están
incluidas (k-2)*(i-1)+1 unidades: 3*0+1, 3*1+1, 3*2+1, 3*3+1…
Según esto, la función en PARI que devuelve el
poligorial(n,k) puede ser:
polygorial(n,k)={my(i,j);prod(i=1,n,sum(j=1,i,1+(k-2)*(j-1)))}
Expresa muy bien la idea de que el poligorial es un producto
de sumas.
Puedes comprobar, por ejemplo:
Polygorial(6,4)=518400
Polygorial(9,3)=2571912000
Poligoriales
pentagonales
Con la fórmula en PARI (que tiene traducción sencilla para
VBASIC) ya podemos encontrar poligoriales de cualquier orden. Si hacemos k=5
obtendremos los de orden pentagonal (o pentagoriales):
1, 5, 60, 1320, 46200, 2356200, 164934000, 15173928000,
1775349576000, 257425688520000,…
Su listado y propiedades los encontrarás en http://oeis.org/A084939
Resto de poligoriales
Una vez conseguido un procedimiento
general de obtención de términos, el resto es casuística o propiedades
combinatorias no abordables con hoja de cálculo. Un texto sencillo para ampliar
el tema es
https://web.archive.org/web/20140617132401/http://danieldockery.com/res/math/polygorials.pdf
En la página OEIS están incluidos
más órdenes de poligoriales. A continuación se insertan algunos listados conseguidos
de forma personal con nuestra función poligorial seguidos de su comprobación en
OEIS:
Hexagonales
Hemos usado el código PARI
polygorial(n,k)={my(i,j);prod(i=1,n,sum(j=1,i,1+(k-2)*(j-1)))}
for(i=1,10,print1(polygorial(i,6),",
"))
1, 6, 90, 2520, 113400, 7484400,
681080400, 81729648000, 12504636144000, 2375880867360000,…
Esta sucesión está incluida en http://oeis.org/A000680, sin destacar que se
trata de poligoriales hexagonales hasta el apartado de fórmulas.
Una forma de obtener estos números es mediante la expresión
Igualmente, es fácil encontrarlos
mediante la recursión a(n)=a(n-1)*C(2n,2), siendo C el número de combinaciones
o un binomial (en Excel, COMBINAT). En la siguiente tabla generamos estos
números mediante fórmula directa y por recursión (anterior por las
combinaciones de 2n sobre 2):
Con las herramientas presentadas podríamos seguir creando poligoriales.
Heptagoriales:
1, 7, 126, 4284, 235620, 19085220, 2137544640,
316356606720, 59791398670080, 14050978687468800,… http://oeis.org/A084940
Octogoriales:
1, 8, 168, 6720, 436800, 41932800,
5577062400, 981562982400, 220851671040000, 61838467891200000,… http://oeis.org/A084941
Y así se puede seguir hasta el orden deseado. Todos tienen
propiedades combinatorias interesantes, que no tienen cabida aquí.
