El día 14 de
mayo de 2020, @AnecdotesMaths publicó en Twitter la siguiente igualdad:
315 =
(3+4)(1+4)(5+4)
En este blog
estamos atentos a desarrollos a partir de cualquier curiosidad que encontremos,
por lo que dedicaremos esta entrada a las igualdades del tipo
abc… = (a+k)(b+k)(c+k)…, donde a,b, c… son cifras de un número
y k una constante entera.
El subrayado
del primer miembro indica que son cifras
del número y no producto.
Generalizamos
a continuación la igualdad leída en Twitter.
El valor de k
está acotado por el 10, ya que si aumentamos esta cantidad tendríamos:
(a+10)(b+10)(c+10)…>10*10*10*…>
abc… ,
Sería
imposible la igualdad pedida.
Para iniciar
las búsquedas, necesitamos una función que nos devuelva las cifras de un número
por separado. Puedes consultar los códigos para VBasic de Excel y Calc en la siguiente
entrada de este blog
Allí se explican las funciones NUMCIFRAS (número de
cifras), CIFRA, (una cifra sola) y TROZOCIFRA (devuelve varias cifras)
En PARI
puedes usar:
cutdigit(a,
p, q)=(a%10^q)\10^(p-1)
Es
equivalente a TROZOCIFRAS, ya que devuelve las cifras entre los órdenes p y q,
con lo que si son iguales equivalen a una sola cifra.
Para el total
de cifras, PARI permite usar esta expresión:
#Vec(Str(N))
Equivale a
“cardinal del vector formado por la expresión en texto de N”
Con estas
funciones, no es difícil encontrar ejemplos como los deseados.
Versión para
Excel y Calc
Hemos elegido
la siguiente función para encontrar los números que poseen la propiedad
deseada:
Function
ciframasconst(n)
Dim i, j, k,
p
k = 0 ‘Esta constante, si es mayor que 0, indicará éxito
For i = 0 To
9 ‘La variable
i es la constante que se suma a las cifras
p = 1 ‘Inicio del producto de cifras
For j = 1 To
numcifras(n)
p = p *
(cifra(n, j) + i) ‘Se construye
el producto de cifras aumentadas
Next j
If p = n Then
k = i ‘Si el
producto coincide con el número, tomamos nota de la constante sumada
Next i
ciframasconst
= k ‘Si k>0,
se da la propiedad
End Function
La función devuelve la constante que se suma a las
cifras, de forma que si vale 0, es señal de que no se cumple la propiedad, y,
en caso contrario, devuelve el valor de la constante que se suma. En la
siguiente tabla figuran los primeros números que cumplen lo pedido y, junto a
ellos, la constante que se suma:
12 2
18 1
24 2
35 2
50 5
56 2
90 6
120 4
210 5
315 4
450 5
780 5
840 6
1500 5
Vemos que, efectivamente, 315 cumple la igualdad
para k=4, es decir, que 315=(3+4)(1+4)(5+4)
Otro ejemplo sería el 840, que la cumple para k=6:
840=(8+6)(4+6)(0+6)=14*10*6=840
Con esta función podemos extender la búsqueda
hasta donde deseemos, recordando que solo ensayamos valores de k entre 0 y 10:
Los primeros números obtenidos son:
12, 18, 24, 35, 50, 56, 90, 120, 210, 315, 450,
780, 840, 1500, 3920, 4320, 4752, 7744, 16500,
24960,…
Están ya publicados en http://oeis.org/A055482
A055482 There exists some
k>0 such that n is the product of (k + digits of n).
12, 18, 24, 35, 50,
56, 90, 120, 210, 315, 450, 780, 840, 1500, 3920, 4320, 4752, 7744, 16500,
24960, 57915, 59400, 60480, 91728, 269500, 493920, 917280, 1293600, 2419200,
3386880, 34992000, 266378112, 317447424, 1277337600, 3714984000, 14948388000,
48697248600, 460522782720, 896168448000
Versión en
PARI
El algoritmo usado se traslada fácilmente al lenguaje PARI:
cutdigit(a, p, q)=(a%10^q)\10^(p-1)
prod_cifr_inc(n,k)=my(m=#Vec(Str(n)),p=1,i);for(i=1,m,p=p*(cutdigit(n,i,i)+k));p
for(i=1,10^6,for(k=1,9,if(i==prod_cifr_inc(i,k),print1(i,",
"))))
Da los mismos resultados:
Primera
variante
En lugar de producto de cifras incrementadas podemos usar la
suma de sus cuadrados, es decir, que se cumpla la igualdad
abc…=(a+k)^2+(b+k)^2+(c+k)^2
La acotación para k puede ser más amplia, por ejemplo, la
raíz cuadrada del número N dividido entre el número de cifras. Así, 6754 podría
alcanzar la cota 41 en la base de cada sumando:
6754>4*41^2=6724
El uso de valores de k de dos cifras complicaría una
cuestión que solo es lúdica, por lo que seguiremos dándole valores entre 1 y 9.
Dejamos abierta una ampliación de valores.
Un pequeño cambio en la función ciframascons nos
devolvería los primeros números que cumplen esta condición:
20 2
40 2
106 3
114 4
118 2
121 5
146 3
158 2
171 4
230 7
274 5
325 7
413 9
469 6
481 8
Así, 325 coincide con la suma de los cuadrados de
las cifras incrementadas estas en 7 unidades:
325=(3+7)^2+(2+7)^2+(5+7)^2=100+81+144
Con cubos
Si en lugar de cuadrados usamos cubos, obtenemos
este otro listado:
141 1
251 1
440 2
532 2
560 1
1036 3
1307 3
1471 3
2240 6
2313 6
2609 3
2917 3
3016 6
3878 3
4799 3
Tomamos como ejemplo 3878, que con la constante
igual a 3 cumple:
3878=(3+3)^3+(8+3)^3+(7+3)^3+(8+3)^3=216+1331+1000+1331
Dejamos como ampliación de quien nos lea la
búsqueda de casos distintos. Por ejemplo, se podrían usar trozos de cifras en
lugar de cifras aisladas.
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