Cancelaciones anómalas (2/2)

Cancelaciones de tres cifras

Continuamos con las cancelaciones anómalas, estudio que iniciamos en la entrada anterior para números de dos cifras. Pasamos ahora al caso en el que tengan tres, siempre en base 10. Distinguimos algunos casos:

(1) Cancelación de la primera del numerador con la tercera del denominador.

Una vez hemos resuelto el problema con dos cifras mediante la función cancela (ver entrada anterior), bastará cambiar algunas líneas de código para poder cancelar la primera del numerador con la tercera del denominador. Como existen tres cifras, en la identidad de productos cruzados, en lugar de usar la función CIFRA usaremos TROZOCIFRAS, para abarcar las dos cifras restantes después de cancelar. Tendríamos que cambiar estas líneas:

p = numcifras(i)
If p = 3 And m = 3 Then ‘Ahora exigimos que ambos sean de tres cifras
x = cifra(i, 1) ‘Del numerador elegimos la primera cifra
y = cifra(n, 3) ‘Del denominador, la tercera
If x = y And n * trozocifras(i, 2, 3) = i * trozocifras(n, 1, 2) Then s$ = Str(n) + ", " + Str$(i)
‘Los productos cruzados serán de una cifra en un factor y de dos cifras en el otro
End If


Con estos cambios encontramos varios ejemplos. Reproducimos el resultado de nuestra operación de búsqueda. La primera columna son los denominadores y la segunda los numeradores.

Den. Num.
664 166
665 266
775 217
995 199
996 249
998 499

Son fáciles de comprobar. Lo vemos en la siguiente tabla:

En las dos primeras columnas figuran las soluciones obtenidas y el valor decimal de sus fracciones (en rojo). En las siguientes las resultantes de cancelar primera con tercera cifra, y al final, los valores coincidentes con los primeros.

Hemos destacado en color azul y negrita las fracciones ya “simplificadas” que coinciden con las soluciones obtenidas con dos cifras. La explicación de que figuren ahí es la igualdad de cifras que existente en cuatro de las seis soluciones. Ha sido un resultado no buscado.


(2) Cancelación de la segunda del numerador con la tercera del denominador.

Con un método similar podemos encontrar las cancelaciones anómalas en las que se “simplifica” la primera cifra del numerador con la tercera del denominador.
Las soluciones son estas:

Den.Num.
220 121
325 130
330 231
335 134
340 238
345 138
440 341
550 451
640 160
644 161
648 162
650 260
652 163
655 262
656 164
660 561
664 166
665 266
668 167
670 469
672 168
676 169
756 270
770 671
880 781
950 190
955 191
960 192
965 193
970 291
975 390
980 490
982 491
984 492
985 591
986 493
988 494
990 891
992 496
994 497
995 796
996 498
998 499

Los cambios en el código han sido

If p = 3 And m = 3 Then
x = cifra(i, 2)
y = cifra(n, 3)
If x = y And x <> 0 And n * (cifra(i, 3) * 10 + cifra(i, 1)) = i * trozocifras(n, 1, 2) Then s$ = Str(n) + ", " + Str$(i)

Vemos que al eliminar la segunda cifra del numerador hemos tenido que combinar la tercera con la primera, porque TROZOCIFRAS no nos servía en este caso.

Aparecen muchas más soluciones que en el caso anterior.

(3) Cancelación de la primera con la segunda

Sólo se publican las soluciones, dejando el desarrollo como ejercicio:

Den.Num.
265 106
298 149
365 146
398 199
464 116
465 186
498 249
532 133
565 226
595 119
596 149
597 199
598 299
664 166
665 266
695 139
698 349
732 183
765 306
775 217
795 159
796 199
798 399
854 305
864 216
865 346
894 149
895 179
897 299
898 449
931 133
932 233
965 386
976 427
995 199
996 249
998 499



(4) Otras cancelaciones

Sólo desarrollaremos la de dos cifras en el numerador y tres en el denominador.

(4.1) Si cancelamos la primera cifra del numerador con la segunda del denominador se producen muchos casos triviales. Hemos eliminado aquellos en los que el numerador es múltiplo de 11 y los que se producen cuando el denominador termina en 0. Nos hemos quedado con estos:

(4.2) La cancelación de primera cifra con tercera produce estos tres resultados (eliminando también los triviales):

Siguiendo nuestra norma de no cansar en los temas, remitimos a los casos publicados en OEIS (http://oeis.org/?language=spanish) Bastar plantear la búsqueda de "anomalous cancellation" y obtendrás dos páginas de resultados diversos. No están clasificados por el número de cifras, pero sirven de ayuda por si intentas otras búsquedas con las técnicas que hemos desarrollado.