Rotaciones por bloques de cifras

Unas curiosidades no muy estudiadas se producen en números cuando la mitad derecha de sus cifras se permuta con el bloque de la izquierda sin alterar el orden interno de cada bloque. Por ejemplo, 24133 es primo, pero si rotamos sus cifras por bloques, es decir, que el 33 se permuta con el 24, se convierte en 33124, que es un cuadrado. Igual le ocurre a 24547, primo, que al rotar bloques también se convierte en cuadrado: 47524.

Otros números son primos y al rotar siguen siendo primos, como 1123 y 2311. Otros permanecen cuadrados, o triangulares, y así podemos seguir recorriendo casos. Se comprende que si el número de cifras es par, la rotación es completa, y, si es impar, se deja invariante la cifra del centro. Esta operación la rotularemos como función “rotar”. Así:

ROTAR(27365)=65327

ROTAR(7654)=5476

Con la experiencia acumulada en el uso de la hoja de cálculo, no es complicado diseñar esta función “rotar”. Para ello necesitamos dos funciones que hemos usado varias veces en este blog, como son NUMCIFRAS y TROZOCIFRAS. 

Sus listados los puedes consultar en nuestra entrada 

https://hojaynumeros.blogspot.com/2017/04/curiosidades-con-cifras-trozos.html

La primera cuenta las cifras de un número, y TROZOCIFRAS devuelve las cifras del número entre dos extremos prefijados.

El listado de la función ROTAR puede ser:

function rotar(n)

dim nc,nc1,r

'rota las cifras alrededor del centro si su número es impar

nc=numcifras(n)

if nc=1 then rotar=n:exit function ‘Es de una sola cifra

if nc mod 2 = 1 then ‘Número impar de cifras

nc1=(nc+1)/2

r=trozocifras(n,1,nc1-1)*10^nc1+trozocifras(n,nc1,nc1)*10^(nc1-1)+trozocifras(n,nc1+1,nc)

else

nc1=nc/2 ‘Número par de cifras

r=trozocifras(n,1,nc1)*10^nc1+trozocifras(n,nc1+1,nc)

end if

rotar=r

end function

Así, por ejemplo:

ROTAR(198262)=262198

Lo puedes comprobar si implementas la función en tu equipo.

Búsquedas

Sobre esta operación realizaremos algunas búsquedas de curiosidades. Eliminaremos los números terminados en 0, porque llevan a resultados con números diferentes de cifras, que no resultan atractivos, y tampoco usaremos números invariantes a la operación de rotar, como puede ser 2347234. Los primeros eliminados se caracterizarán por N MOD 10 = 0, y los segundos porque ROTAR(N)=N. Los ceros interiores también pueden alterar el número de cifras, pero omitiremos esta dificultad.

Veremos a continuación algunos casos concretos:

Cuadrado que se convierte en cuadrado

Dado que en nuestras búsquedas podemos alcanzar números grandes, es útil disponer de la función ROTAR en una versión para PARI, que es el instrumento que usamos cuando la hoja de cálculo no satisface las exigencias que le imponemos. El listado que sigue se limita a traducir paso por paso el algoritmo usado para hoja de cálculo:

numcif(n)=1+logint(n,10)

cutdigit(a, p, q)=(a%10^q)\10^(p-1)

rotar(n)={my(nc=numcif(n),r=0,nc1=0);if(nc==1,r=n);

if(nc%2==1&&nc<>1,nc1=(nc+1)/2;r=cutdigit(n,1,nc1-1)*10^nc1+cutdigit(n,nc1,nc1)*10^(nc1-1)+cutdigit(n,nc1+1,nc));

if(nc%2==0,nc1=nc/2;r=cutdigit(n,1,nc1)*10^nc1+cutdigit(n,nc1+1,nc));return(r)}

for(i=10,10^8,if(issquare(i),j=rotar(i);if(i%10<>0&&j<>i&&issquare(j),print1(i,", "))))

Obtendremos:

144, 169, 441, 961, 16641, 25281, 41616, 81225, 1002001, 1004004, 1006009, 1008016, 1214404, 2253001, 2256004, 2259009, 3297856, 4004001, 4008004, 4044121, 6255001, 8567329, 9006001, 14010049, 20412324, 23242041, 32410249, 56040196, 81649296, 82410084, 92968164,…

Hemos indicado  que algunos ejemplos con ceros interiores pueden alterar el número de cifras con la función ROTAR.

Primo que se convierte en primo

En el anterior código en PARI podemos sustituir las llamadas a la función issquare por la de isprime, con lo que obtendremos resultados similares, de números primos que siguen siendo primos con una rotación de bloques. Los primeros resultados son:

13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, 167, 179, 199, 311, 337, 347, 359, 389, 701, 709, 733, 739, 743, 751, 761, 769, 907, 937, 941, 953, 967, 971, 983, 991, 1103, 1109, 1123, 1163, 1181, 1193, 1301, 1303, 1319, 1321, 1327, 1361, 1777, 1783, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1979,…

Entre ellos figura el 73, el número de Sheldon, presentado en la serie de televisión “Big Bang”. No solo se convierte en el primo 37, sino que también se intercambian sus números de orden como primos:

73=Primo(21) y 37=Primo(12).

Entre ellos también figuran años primos del siglo XX y de los siglos con número de orden par.

Caso primo-cuadrado

Volvemos al caso que presentamos en los primeros párrafos, el de los primos que se convierten en cuadrados al rotar. Al igual que en el caso anterior, bastará usar las funciones isprime y issquare en el lugar adecuado. Resultará este listado:

61, 163, 487, 691, 1621, 2137, 2179, 2467, 2953, 3631, 9601, 21157, 21319, 24001, 24133, 24547, 25087, 36559, 36637, 36901, 49411, 49801, 56101, 56527, 64303, 69997, 84631, 121579, 124669, 129769, 136309, 156217, …

Entre ellos aparecen los que solo sufren un intercambio de una cifra, como 69997.

Si seguimos jugando con las dos funciones issquare y isprime comprobaremos que la situación es reversible, como era de esperar, pero con el orden cambiado.

 Siguiendo nuestro criterio de no cansar, y habiendo repetido el procedimiento, sólo se incluyen algunos listados más por si los lectores desean reproducirlos:

Triangular - triangular

153, 351, 5565, 6105, 6555, 53956, 56953, 81003, 128778, 490545, 778128, 1252153, 1532125, 1613706, 7063161, 7401628, 7966036, 11061456, 14561106, 16287778, 22301181, 23787753, 32534211, 42113253, 44006271, 49109005, 50717556, 55466778, 67785546, 75565071, 77532378, 77781628,…

En ellos se advierte el efecto de los ceros interiores, como en 81003, que alteran el efecto de la rotación.

Oblongo – Oblongo

20306, 162006, 2504306, 22122912, 29122212, 44602362, 65068422, 84226506,…

Resultan muy pocos, pero esto es frecuente en este tipo de números.