Números refactorizables

Estudiando el número 2025 se descubre que tiene 15 divisores, y que este número 15 es divisor de 2025. Por eso, cumple la definición de número refactorizable o “tau”, porque si llamamos función TAU al número de divisores de N, en estos números se cumple que N/TAU(N) es un entero. En el caso de 2025 se cumple que 2025/15=135.

Un número se llama refactorizable o tau si es múltiplo del número de sus divisores.

Para descubrir si un número es de este tipo, habrá que calcular TAU y efectuar el cociente N/TAU(N) para analizar si es entero.

El cálculo de TAU es bastante simple:

TAU(N)=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_k), donde a₁, a₂, …a_k son los exponentes de los factores primos de N.

Si no se desea descomponer el número en factores primos se puede usar la función que publicamos en https://hojaynumeros.blogspot.com/search?q=tau%28

Con esta condición y un buscador se obtienen los primeros números refactorizables:

Están publicados en https://oeis.org/A033950

De entrada nos damos cuenta de que el único número primo de este tipo es el 2, porque todos los demás son impares, y no pueden ser múltiplos del número de sus divisores, que es 2.

Algo parecido ocurre con las potencias de primos, en las que el cuadrado posee tres divisores, luego el único cuadrado de primo refactorizable es 9=3². Del mismo modo se puede razonar que 8 es el único cubo de primo que cumple la definición. Podemos ampliar la condición a números del tipo p^p-1, como 625.

Un número impar refactorizable no puede tener un número par de divisores. En la fórmula TAU(N)=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_k) todos los factores deberán ser impares, y, por tanto, todos los a_i pares, por lo que N deberá ser un cuadrado:

Sólo los números impares que son cuadrados pueden ser refactorizables.

En la lista de refactorizables no hay números libres de cuadrados salvo 1 y 2. La razón es sencilla: si N no contiene cuadrados, todos sus factores primos estarán elevados a la unidad, luego su número de divisores será TAU(N)=2*2*2*2*2…=2ⁿ y esto obliga a que N contenga al cuadrado de 2, salvo 1 y 2

Todos los números refactorizables, salvo 1 y 2, contienen un cuadrado entre sus divisores.

Refactorizables consecutivos

Existen números consecutivos que son ambos refactorizables. Con nuestros buscadores se llega fácilmente a los primeros pares:

En https://oeis.org/A114617 puedes consultar una lista más amplia.

Se ha demostrado que no existen ternas de consecutivos entre los números de este tipo entre los que poseen pocas cifras. Las condiciones con tan exigentes que se ha dejado su no existencia como conjetura, ya que no se han encontrado ternas entre 1 y 10⁵³.

Conjuntos de cuatro o más consecutivos no pueden existir, porque habría entre ellos dos números impares, que deberían ser cuadrados y presentar una diferencia menor que 5, y eso no es posible.

Podemos plantearnos diferencia 2:

Esta sucesión está inédita.

Otras variantes de la cuestión

Podemos investigar los cocientes N/TAU(N) en sus casos particulares.

Entre los primeros números refactorizables tenemos:

Sólo el 1 y el 2 presentan cociente 1.

Sólo el 8 y el 12 son el doble de su número de divisores.

Los números 9, 18 y 24 son el triple de su función TAU.

Otros casos:

Podemos formar una tabla con los siguientes posibles cocientes:

Cociente    Encontrados

4                  36
5                  40, 60
6                  72
7                  56, 84
8                  80, 96
9                  108
10                180
11                88, 132
12                240

 A la vista de estos resultados queda clara una propiedad:

Todos los números del tipo 12p, con p primo impar, son refactorizables, y el cociente N/TAU(N) es exactamente p.

Es fácil demostrarlo. Al ser TAU una función multiplicativa tendremos TAU(12p)=TAU(12)TAU(p)=6*2=12, porque 12 y p son primos entre sí, luego el cociente pedido será p.

(Ver mi publicación Funciones multiplicativas https://www.hojamat.es/publicaciones/multifun.pdf)

¿De qué tipo es el cociente N/TAU(N)?

Cuadrado

Hemos buscado cocientes cuadrados y descubriendo que son frecuentes:

Están publicados en https://oeis.org/A145450

Triangular

Es similar a la anterior sucesión, pero no está publicada:

Primos

Ya se demostró que todos los enteros de tipo 12p con p primo impar, tienen como cociente p, pero pueden que existan más ejemplos. Los hemos buscado y resulta que los del tipo 8p con p primo e impar también son refactorizables, ya que, al ser 8 y p primos entre sí, TAU(8p)=TAU(8)*TAU(p)=4*2=8, luego el cociente es p.

Además de estos casos existen otros números refactorizables con cociente primo, pero sólo hemos encontrado el 9 y el 18, con cociente 3.

 

 

Relaciones entre PHI(n) y TAU(n)

Función TAU

Las funciones PHI y TAU, aplicadas a un número entero positivo, tienen algo de complementarias. La segunda, TAU, cuenta los divisores de un número N. También es llamada función divisor, o D(x). En el caso de un número primo p, es claro que los divisores son 1 y p, luego la función TAU valdrá 2 en este caso. 

Igualmente, es fácil deducir que para potencias de un número primo, p^k, TAU(p^k)=1+k

Puedes acudir  a nuestra publicación Funciones multiplicativas (http://www.hojamat.es/publicaciones/multifun.pdf)

para consultar la fórmula general.

TAU(N)=(1+a₁)(1+a₂)…(1+a_k)

a₁, a₂, …a_k son los exponentes de los factores primos de N.

Por ejemplo, TAU(24)=TAU(2³*3)=(1+3)(1+1)=8

Efectivamente, los divisores de 24 son ocho: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.

Función PHI

La función j(n) (indicatriz o indicador de Euler) es el cardinal del conjunto de elementos inversibles en Z_n o bien el conjunto de números coprimos con n y menores que él contando el 1. Esta segunda versión es más clara y adecuada al estudio que vamos a iniciar: cuenta los números primos con N y menores que N, con el añadido del 1.

La función indicatriz de Euler es multiplicativa, porque si m y n son coprimos, se cumple que

j(m). j(n) = j(m.n)

Su fórmula explícita es

(p_i son sus factores primos)

Por ejemplo, el número 18=3²*2 posee un valor de PHI igual a 18(1-1/2)(1-1/3)=6, Podemos comprobar que los números coprimos con 18 y menores que él son: 1, 5, 7, 11, 13 y 17. En total 6.

En los números primos p el valor de PHI(p)=p-1, como es fácil deducir.

En algunos lenguajes de programación recibe el nombre de función totient.

Relaciones entre TAU y PHI

Para cualquier número natural N, los números comprendidos entre 1 y N pertenecen a uno de estos tres conjuntos:

{A} Divisores de N: los cuenta la función TAU

{B} Coprimos con N incluido el 1: los cuenta la función PHI. En ambos conjuntos se encuentra el 1, lo que hace que no sean disjuntos.

{C} Resto de números: son aquellos números r que no son divisores de N ni coprimos con él: tienen un m.c.d con N que es mayor que 1 y menor que r.

Por ejemplo, en el número 30, los conjuntos serían:

{A} = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, pues 30=2*3*5 y TAU(30)=(1+1)(1+1)(1+1)=8

{B} = {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}, y PHI(30)=30(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=1*2*4=8

{C} = {4, 8, 9, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28}, que son 15 elementos.

La suma de los cardinales de los tres conjuntos es 31, porque el 1 está repetido, y 8+8+15=31.

Con este planteamiento se adivina que pueden existir varias relaciones distintas entre los tres cardinales. El primero lo recoge TAU y el segundo PHI. El tercero lo dejamos como complemento de los otros dos.

PHI=TAU

Según lo publicado en http://oeis.org/A020488, solo existen estos casos: 1, 3, 8, 10, 18, 24, 30.

Por ejemplo, en N=10, TAU(10)=TAU(2*5)=(1+1)(1+1)=4 y PHI(10)=10(1-1/2)(1-1/5)=1*4=4.

No debemos conformarnos con lo publicado. Puedes comprobarlo con las dos versiones sencillas para el cálculo de ambas funciones que hemos preparado con el Basic de las hojas de cálculo. Para no interrumpir el estudio, las incluimos en un Anexo.

Jud McCranie da razones en esa página de por qué no hay más soluciones, y lo probó A. P. Minin  1894 . Lo comprobamos con nuestras funciones de hoja de cálculo:

El único número primo de la lista es 3, pues TAU(p)=2  para cualquier primo, y PHI(p)=p-1. Luego ha de ser 2=p-1 y p=3.

PHI doble de  TAU

También existen pocos casos (http://oeis.org/A062516):

5, 9, 15, 28, 40, 72, 84, 90 y 120.

Con nuestras funciones tenemos:

TAU doble de PHI

Sólo hay dos casos:

Otros casos

Con PHI=TAU+1 parece que no hay ninguno, y con PHI+1=TAU, solo dos casos:

PHI múltiplo de TAU

Si solo tenemos en cuenta múltiplos propios, cuyo cociente es mayor que 1, nos aparecen muchas soluciones. Las primeras son:

Si la relación de múltiplo es a la inversa, solo aparecen las soluciones ya vistas en las que TAU es el doble de PHI.

Por último, una curiosidad:

Pitagóricos

PHI y TAU son ambos catetos de una terna pitagórica. Solo se encuentran cinco soluciones:

20, 36, 60, 100, 300

Según el siguiente cuadro, en las ternas formadas sus elementos son múltiplos de las primitivas {3, 4, 5} o {9. 40, 41}.

Esta sucesión estaba inédita, y la hemos publicado en http://oeis.org/A308664. En esa página podrás leer un razonamiento de de Giovanni Resta con el que justifica que la sucesión sea finita.

  

ANEXO

Listado de la función PHI (Basic de Excel)

Public Function euler(n)

Dim f, a, e

Dim es As Boolean

'Calcula la indicatriz de Euler de un número

a = n ‘Copia el valor de n

f = 2 ‘Inicia el listado de primos

e = n ‘Inicia el valor de PHI

While f <= a ‘Recorre los primos posibles

es = False ‘Variable que indica si hemos llegado a un divisor primo o no

While a / f = a \ f ‘Si es un factor, se va eliminando del valor de n

a = a / f: es = True

Wend

If es Then e = e * (f - 1) / f ‘Si se ha encontrado un factor primo, se incorpora a PHI

If f = 2 Then f = 3 Else f = f + 2 ‘Busca el siguiente primo

Wend

euler = e

End Function

Listado de TAU

Es muy parecido al anterior

Public Function tau(n)

Dim f, a, e, exx

a = n ‘Copia el valor de n

f = 2 ‘Inicia el listado de primos

e = 1  ‘Inicia el valor de TAU

While f <= a ‘Recorre los primos posibles

exx = 0

While a / f = a \ f

a = a / f: exx = exx + 1 ‘Incrementa el exponente del factor primo encontrado

Wend

e = e * (1 + exx) ‘Construye TAU

If f = 2 Then f = 3 Else f = f + 2

Wend

tau = e

End Function

Números aritméticos (4) - Otros aspectos

Carácter aritmético compartido

Finalizamos el estudio de los números aritméticos usuales buscando aquellos en los que su doble, cuadrado, o cubo o SIGMA también son aritméticos. Someteremos en un Buscador a cada número a dos condiciones, la de ser aritmético y la de que también lo sea otro número derivado de él. Resumimos algunos resultados:

Número y su doble

Existen muchos números aritméticos cuyo doble lo es también. La mayoría son impares libres de cuadrados, que ya sabemos que son todos aritméticos, pero existen ejemplos de aritméticos pares. Los primeros ejemplos de ambos casos son:

 

Son todos impares libres de cuadrados salvo el 30 y el 46. El primer caso está claro:

Caso 1: N es impar

En ese caso, 2N será el producto de dos coprimos, 2 y N, con lo que se dará:

SIGMA(2N)=SIGMA(2)*SIGMA(N)=3*SIGMA(N)

TAU(2N)=TAU(2)*TAU(N)=2*TAU(N)

SIGMA(2N)/TAU(2N)=3*K/2, luego K, cociente entre SIGMA(n) Y TAU(N),  ha de ser par.

En efecto, en los primeros ejemplos impares se cumple:

Todos los cocientes son pares.

Caso 2: N es par

Este caso es más complicado, y han de encajar algunos cocientes enteros.

En ese caso, N=2^p*M, 2N=2^p+1*M

SIGMA(N)=SIGMA(2^p)*SIGMA(M)=(2^p+1-1)*S

TAU(N)=TAU(2^p)*TAU(M)=(1+p)*T

SIGMA(2N)=SIGMA(2^p+1)*SIGMA(M)=(2^p+2-1)*S

TAU(2N)=TAU(2^p+1)*TAU(M)=(2+p)*T

 Por ejemplo, en el 46:

46=2*23, SIGMA(46)=3*24=72, TAU(46)=2*2=4, y es aritmético porque 72/4 es entero.

Vemos su doble:

92=2²*23, SIGMA(92)=7*24=168, TAU(92)=3*2=6, Y 168/6 es entero porque 6 divide a SIGMA(23), lo que es algo casual.

 

Número y su cuadrado

Si un número es aritmético, su cuadrado no tiene por qué serlo, porque la propiedad multiplicativa solo se aplica entre números primos entre sí. No obstante, son bastantes los casos que aparecen. Son estos:

7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 91, 97, 103, 109, 127, 133, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 217, 223, 229, 241, 247, 259, 271, 277, 283, 301, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397, 403, 409, 421

Todos están incluidos en la sucesión https://oeis.org/A107925, pero en ella figuran números que no son aritméticos, aunque sí impares, como 121. Llama la atención que todos los que hemos descubierto son impares libres de cuadrados.

Número y su cubo

También existen casos en los que tanto N como su cubo son aritméticos. Con estas condiciones sí aparecen números pares. Los primeros términos son:

3, 5, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 56, 57, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 94, 95

Anteriormente hemos publicado los cubos que son aritméticos, y en esta nueva sucesión faltan algunos como 13824, que es aritmético, y el cubo de 24, pero su base 24 no lo es, y por eso no figura en esta.

Elegimos un número par como ejemplo, el 42.

Los divisores del 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42, con lo que su promedio es

 (1+2+3+6+7+14+21+42)/8=96/8=12, entero.

Su cubo también es aritmético, pues

SIGMA(42^3)/TAU(42^3)=240000/64=3750, luego es aritmético.

 

Un número y su sigma

Terminamos estos ejemplos con aquellos números aritméticos cuya suma de divisores es también aritmética:

5, 13, 19, 20, 29, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 45, 49, 53, 59, 60, 61, 62, 67, 68, 69, 77, 78, 86, 92, 101, 109, 113, 116, 123, 131, 134, 137, 139, 143, 149, 157, 163, 164, 167, 168, 169, 173, 181, 183, 197, 204, 211, 212, 215,…

Aquí se dan todos los casos de paridad entre N y SIGMA(N).

 

Aritméticos de orden superior

Podíamos preguntarnos si existirán aritméticos con la media cuadrática, es decir si la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de los divisores es entera. Bastará un ligero retoque en la función esaritmetico, sustituyendo SIGMA por SIGMA_2, (o los divisores por sus cuadrados) que suma los cuadrados de los divisores, dividiendo entre TAU, y verificando si la raíz cuadrada del cociente es entera.

Con estas condiciones resultan estos primeros ejemplos:

Los valores de N están publicados en https://oeis.org/A140480 y se les llama RMS numbers.

A140480              RMS numbers: numbers n such that root mean square of divisors of n is an integer.

1, 7, 41, 239, 287, 1673, 3055, 6665, 9545, 9799, 9855, 21385, 26095, 34697, 46655, 66815, 68593, 68985, 125255, 155287, 182665, 242879, 273265, 380511, 391345, 404055, 421655, 627215, 730145, 814463, 823537, 876785, 1069895, 1087009, 1166399, 1204281, 1256489

El carácter multiplicativo de las funciones que intervienen en la definición hace que si A y B pertenecen al listado anterior y son coprimos, A*B también pertenezca (comentario de Andrew Weimholt en OEIs). Por ejemplo 7 y 239 son coprimos, por lo que su producto 1673 también figura en el listado.

Un caso especial es el de los primos que figuran en la sucesión. Porque en ellos SIGMA(p)/TAU(p)=(1+p²)/2 será un cuadrado, y su raíz un número de Pell. Estos números han sido tratados por el autor en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2014/02/numeros-de-pell.html

https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/12/los-numeros-de-pell.html

Podemos plantear 1+p²=2r², con lo obtendríamos una ecuación de Pell p²-2r²=-1

Acudimos a nuestra herramienta para esta ecuación (http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell) y quedan las primeras soluciones:

De ellas nos quedamos con las que se corresponden con -1 y con un valor de P primo:

Resultan los tres números primos que figuraban en el listado general.

Los valores de R, tal como se esperaba, son números de Pell, pues pertenecen a la sucesión 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832,…(ver enlaces anteriores)

Por último, planteamos un uso del Buscador de Naturales para rebajar un poco la dificultad del planteo anterior:

 

Fijamos las condiciones de que el número sea primo y que la raíz cuadrada de (1+p²)/2 sea entera, para después pedir evaluar esa raíz.

De esa forma hemos reproducido los resultados derivados de la ecuación de Pell.

Podríamos seguir con aritméticos de orden 3 o 4, pero no parecen presentar detalles interesantes.

Números aritméticos (1) - Concepto y ejemplos

Concepto y ejemplos

Con esta entrada comenzamos una serie dedicada a los números aritméticos.  Su publicación podrá organizarse de forma consecutiva, o bien, por necesidades de actualidad, ser intercalada con entradas dedicadas a otros temas.

Los números aritméticos son aquellos en los que el promedio de sus divisores positivos es un número entero. Expresado de otra forma, aquellos en los que su función TAU (número de divisores) divide a su función SIGMA (suma de divisores). Su similitud con nuestros números AROLMAR nos ha motivado a estudiarlos.

(ver http://www.hojamat.es/publicaciones/arolmar.pdf)

El interés de estos números no está en descubrirlos, ya que son abundantes, están publicados (https://oeis.org/A003601) y son fáciles de encontrar. Basta exigir que TAU(N) divida a SIGMA(N). Ambas funciones las puedes encontrar implementadas para hoja de cálculo en este blog y en nuestras publicaciones. Aquí nos interesaran más sus distintos tipos y propiedades.

En la siguiente tabla hemos organizado una búsqueda:

 

Observamos que son aritméticos 1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14 y 15.

Los primeros, ya publicados, son:

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 27, 29, 30, 31, 33, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 51, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, 61, 62, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 77, 78, 79, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 99, 101, 102, 103, 105,...

Para quienes no tengan interés en las dos funciones SIGMA y TAU, adjuntamos una sencilla función en Vbasic para Excel y Calc:

function esaritmetico(n) as boolean

dim t,s,i,c

t=0 'variable para TAU
s=0 'variable para SIGMA
for i=1 to n
if n/i=n\i then 'se trata de un divisor
t=t+1 'incrementa TAU
s=s+i 'incrementa SIGMA
end if
next i
c=s/t' cociente entre SIGMA y TAU
if c=int(c) then esaritmetico=true else
esaritmetico=false
End function

Aplicando esta función a cualquier buscador obtenemos la lista de números aritméticos.

Por ejemplo, esta es la lista de ellos entre 1000 y 1020:

 

Observamos que casi todos los números de ese rango son aritméticos. Más adelante combinaremos esta función esaritmetico con otras, para buscar propiedades interesantes.

Para búsquedas con PARI, la mejor función es la publicada en OEIS:

is(n)=sigma(n)%numdiv(n)==0 \\ Charles R Greathouse IV, Jul 10 2012

En la siguiente imagen se ha usado esta función en la página oficial de PARI, para comprobar el listado  anterior:

 

A nivel elemental es adecuado el uso de nuestro Buscador de Naturales

(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#buscador)

 

Se entiende fácilmente la condición impuesta.

Carácter multiplicativo

Para entender algunas cuestiones que seguirán, hay que recordar que las funciones SIGMA y TAU son multiplicativas, es decir, que en ellas se cumple la igualdad fundamental de este tipo de funciones, que es

F(a*b)=F(a)*F(b) si a y b son primos entre sí.

Puedes consultar la teoría de estas funciones en nuestra publicación “Funciones multiplicativas” (http://www.hojamat.es/publicaciones/multifun.pdf)

Se puede construir un pequeño esquema con Excel o Calc para comprobar esta propiedad:

 

Escribimos dos aritméticos primos entre sí y comprobamos que su producto también es aritmético.

Números primos y sus productos

Todos los números primos p mayores que 2 son aritméticos, ya que son impares, su función Sigma(p) equivale a 1+p, par, y su función Tau(p) es 2, luego su cociente es entero. Como consecuencia, según demostró Ore (O. Ore, On the averages of the divisors of a number, Amer. Math. Monthly 55

(1948), 615-619), todo número libre de cuadrados impar ha de ser aritmético, porque se puede aplicar la propiedad multiplicativa a todos sus factores primos. Como ejemplo, hemos repetido el esquema de más arriba usando productos de distintos primos:

 

Según lo anterior, los números semiprimos impares no cuadrados deberán ser aritméticos. Por ejemplo, 851=23*37

SIGMA(851)=SIGMA(23)*SIGMA(37)=24*38=912

y como TAU(851)=4, se cumple la definición al ser 912 divisible entre 4.

Aritméticos no libres de cuadrados

Existen muchos números aritméticos que no son libres de cuadrados. Uniendo las dos propiedades de ser aritmético y de poseer una parte cuadrada mayor que 1, resultan estos otros números:

20, 27, 44, 45, 49, 54, 56, 60, 68, 92, 96, 99, 116, 125, 126, 132, 135, 140, 147, 150, 153, 164, 168, 169, 184, 188, 189, 198, 204, 207, 212, 220, 224, 236, 245, 248, 260, 261, 264, 270, 275, 276, 280, 284, 294,…

Entre ellos hay cuadrados, cubos o productos de cuadrados por otros factores. Según se explica en la página https://oeis.org/A023883, algunos tipos de ellos se pueden identificar:

Cuadrados de primos del tipo 6k+1

Lo podemos comprobar fácilmente, pues el valor de TAU será 3, y SIGMA será:

(6k+1)²+6k+1+1=36k²+18k+3

Esta expresión es claramente un múltiplo de 3, luego el número es aritmético.

Los primeros ejemplos son:

49, 169, 361, 961, 1369, 1849, 3721, 4489, 5329, 6241, 9409, 10609, 11881, 16129,…

Cubos de primos impares

Los cubos de primos tienen cuatro divisores, y en el caso de impares resulta:

TAU(N)=(2k+1)³+(2k+1)²+2k+1+1=8k³+12k²+6k+1+4k²+4k+1+2k+1+1=8k³+16k²+12k+4, que es múltiplo de 4 y convierte en aritmético al cubo.

Primos del tipo 6k-1 multiplicados por  cuadrado de otro primo

La función TAU de p²q, siendo ambos primos será:

TAU(N)=TAU(p²)*TAU(q)=3*2=6

La función SIGMA vendrá dada por

(1+p+p²)(1+q)

y bastará con que sea q del tipo 6k-1 para que sea múltiplo de TAU.

En la tabla de los primeros casos de N=p²q observamos la abundancia de este tipo, de un primo al cuadrado multiplicado por otro q=6k-1.

 

 Números aritméticos primitivos

Vimos anteriormente que el carácter de aritmético tiene la propiedad multiplicativa, es decir, que el producto de dos números aritméticos coprimos es otro número aritmético.

Llamaremos números aritméticos primitivos a aquellos que no hayan tenido ese origen, que no sean producto de dos aritméticos coprimos mayores que 1.

Podemos identificarlos con una función para VBasic:

Function esprimaritmetico(n)

Dim i, a, r
Dim sigue As Boolean

If Not esaritmetico(n) Then esprimaritmetico = False: Exit Function
 ‘Si no es aritmético, no seguimos
sigue = True ‘Control de detención de la búsqueda
i = 2 ‘Posible divisor
r = Sqr(n) ‘Buscamos hasta la raíz cuadrada
While i < r And sigue ‘Bucle de búsqueda
If n Mod i = 0 Then ‘Es divisor
a = n / i ‘Posible factor aritmético
If esaritmetico(i) And esaritmetico(n / i) And mcd(i, n / i) = 1 Then sigue = False
 ‘Ambos aritméticos y coprimos
End If
i = i + 1
Wend
esprimaritmetico = sigue
End Function

Con esta función y un buscador cualquiera, identificamos los aritméticos primitivos. Los primeros son estos:

1, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 20, 22, 23, 27, 29, 31, 37, 38, 41, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 53, 54, 56, 59, 61, 62, 67, 68, 71, 73, 79, 83, 86, 89, 92, 94, 96, 97, 99, 101, 103, 107, 109, 113, 116, 118, 125, 126, 127, 131, 134, 137, 139, 142, 149, 150, 151, 153, 157

Están publicados en https://oeis.org/A342438. Los hay primos y compuestos, pares e impares.

Los números primos han de ser necesariamente aritméticos primitivos, porque no son producto de dos factores mayores que 1.

Entre los números compuestos, según A342438, estarán los cuadrados de primos del tipo 6m+1. La razón es que son aritméticos, pues la suma de sus divisores es

36m²+12m+1+6m+1+1=36m²+18m+3, que es múltiplo del valor de TAU, que es 3.

Como, además, no son producto de dos factores coprimos, deberán ser aritméticos primitivos.

También serán de este tipo los cubos de primos impares.