Números aritméticos (4) - Otros aspectos

Carácter aritmético compartido

Finalizamos el estudio de los números aritméticos usuales buscando aquellos en los que su doble, cuadrado, o cubo o SIGMA también son aritméticos. Someteremos en un Buscador a cada número a dos condiciones, la de ser aritmético y la de que también lo sea otro número derivado de él. Resumimos algunos resultados:

Número y su doble

Existen muchos números aritméticos cuyo doble lo es también. La mayoría son impares libres de cuadrados, que ya sabemos que son todos aritméticos, pero existen ejemplos de aritméticos pares. Los primeros ejemplos de ambos casos son:

 

Son todos impares libres de cuadrados salvo el 30 y el 46. El primer caso está claro:

Caso 1: N es impar

En ese caso, 2N será el producto de dos coprimos, 2 y N, con lo que se dará:

SIGMA(2N)=SIGMA(2)*SIGMA(N)=3*SIGMA(N)

TAU(2N)=TAU(2)*TAU(N)=2*TAU(N)

SIGMA(2N)/TAU(2N)=3*K/2, luego K, cociente entre SIGMA(n) Y TAU(N),  ha de ser par.

En efecto, en los primeros ejemplos impares se cumple:

Todos los cocientes son pares.

Caso 2: N es par

Este caso es más complicado, y han de encajar algunos cocientes enteros.

En ese caso, N=2^p*M, 2N=2^p+1*M

SIGMA(N)=SIGMA(2^p)*SIGMA(M)=(2^p+1-1)*S

TAU(N)=TAU(2^p)*TAU(M)=(1+p)*T

SIGMA(2N)=SIGMA(2^p+1)*SIGMA(M)=(2^p+2-1)*S

TAU(2N)=TAU(2^p+1)*TAU(M)=(2+p)*T

 Por ejemplo, en el 46:

46=2*23, SIGMA(46)=3*24=72, TAU(46)=2*2=4, y es aritmético porque 72/4 es entero.

Vemos su doble:

92=2²*23, SIGMA(92)=7*24=168, TAU(92)=3*2=6, Y 168/6 es entero porque 6 divide a SIGMA(23), lo que es algo casual.

 

Número y su cuadrado

Si un número es aritmético, su cuadrado no tiene por qué serlo, porque la propiedad multiplicativa solo se aplica entre números primos entre sí. No obstante, son bastantes los casos que aparecen. Son estos:

7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 91, 97, 103, 109, 127, 133, 139, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 217, 223, 229, 241, 247, 259, 271, 277, 283, 301, 307, 313, 331, 337, 349, 367, 373, 379, 397, 403, 409, 421

Todos están incluidos en la sucesión https://oeis.org/A107925, pero en ella figuran números que no son aritméticos, aunque sí impares, como 121. Llama la atención que todos los que hemos descubierto son impares libres de cuadrados.

Número y su cubo

También existen casos en los que tanto N como su cubo son aritméticos. Con estas condiciones sí aparecen números pares. Los primeros términos son:

3, 5, 7, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 56, 57, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 94, 95

Anteriormente hemos publicado los cubos que son aritméticos, y en esta nueva sucesión faltan algunos como 13824, que es aritmético, y el cubo de 24, pero su base 24 no lo es, y por eso no figura en esta.

Elegimos un número par como ejemplo, el 42.

Los divisores del 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42, con lo que su promedio es

 (1+2+3+6+7+14+21+42)/8=96/8=12, entero.

Su cubo también es aritmético, pues

SIGMA(42^3)/TAU(42^3)=240000/64=3750, luego es aritmético.

 

Un número y su sigma

Terminamos estos ejemplos con aquellos números aritméticos cuya suma de divisores es también aritmética:

5, 13, 19, 20, 29, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 45, 49, 53, 59, 60, 61, 62, 67, 68, 69, 77, 78, 86, 92, 101, 109, 113, 116, 123, 131, 134, 137, 139, 143, 149, 157, 163, 164, 167, 168, 169, 173, 181, 183, 197, 204, 211, 212, 215,…

Aquí se dan todos los casos de paridad entre N y SIGMA(N).

 

Aritméticos de orden superior

Podíamos preguntarnos si existirán aritméticos con la media cuadrática, es decir si la raíz cuadrada del promedio de los cuadrados de los divisores es entera. Bastará un ligero retoque en la función esaritmetico, sustituyendo SIGMA por SIGMA_2, (o los divisores por sus cuadrados) que suma los cuadrados de los divisores, dividiendo entre TAU, y verificando si la raíz cuadrada del cociente es entera.

Con estas condiciones resultan estos primeros ejemplos:

Los valores de N están publicados en https://oeis.org/A140480 y se les llama RMS numbers.

A140480              RMS numbers: numbers n such that root mean square of divisors of n is an integer.

1, 7, 41, 239, 287, 1673, 3055, 6665, 9545, 9799, 9855, 21385, 26095, 34697, 46655, 66815, 68593, 68985, 125255, 155287, 182665, 242879, 273265, 380511, 391345, 404055, 421655, 627215, 730145, 814463, 823537, 876785, 1069895, 1087009, 1166399, 1204281, 1256489

El carácter multiplicativo de las funciones que intervienen en la definición hace que si A y B pertenecen al listado anterior y son coprimos, A*B también pertenezca (comentario de Andrew Weimholt en OEIs). Por ejemplo 7 y 239 son coprimos, por lo que su producto 1673 también figura en el listado.

Un caso especial es el de los primos que figuran en la sucesión. Porque en ellos SIGMA(p)/TAU(p)=(1+p²)/2 será un cuadrado, y su raíz un número de Pell. Estos números han sido tratados por el autor en

https://hojaynumeros.blogspot.com/2014/02/numeros-de-pell.html

https://hojaynumeros.blogspot.com/2020/12/los-numeros-de-pell.html

Podemos plantear 1+p²=2r², con lo obtendríamos una ecuación de Pell p²-2r²=-1

Acudimos a nuestra herramienta para esta ecuación (http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell) y quedan las primeras soluciones:

De ellas nos quedamos con las que se corresponden con -1 y con un valor de P primo:

Resultan los tres números primos que figuraban en el listado general.

Los valores de R, tal como se esperaba, son números de Pell, pues pertenecen a la sucesión 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832,…(ver enlaces anteriores)

Por último, planteamos un uso del Buscador de Naturales para rebajar un poco la dificultad del planteo anterior:

 

Fijamos las condiciones de que el número sea primo y que la raíz cuadrada de (1+p²)/2 sea entera, para después pedir evaluar esa raíz.

De esa forma hemos reproducido los resultados derivados de la ecuación de Pell.

Podríamos seguir con aritméticos de orden 3 o 4, pero no parecen presentar detalles interesantes.