Se llaman así a los denominadores del desarrollo en fracciones continuas de la raíz cuadrada de 2. Como este algoritmo no suele ser muy conocido, remitimos a nuestras entradas referidas a él. Como fueron varias, es preferible que consultes el resumen Números y hoja de cálculo II en su capítulo “Las olvidadas fracciones continuas”. Lo puedes descargar desde
http://www.hojamat.es/publicaciones/hojanum2.pdf
En esa publicación podrás
repasar lo más importante de estas fracciones, que sirven para aproximar tanto
los números racionales como los irracionales. En este último caso, si son
cuadráticos, los coeficientes de dichas fracciones son periódicos, detalle muy
importante, porque nos permite realizar iteraciones. Vemos todo esto a
continuación:
Raíz
de 2 en forma de fracción continua
Copiamos a continuación la
introducción al capítulo que hemos enlazado:
Llamamos fracción continua a la expresada de esta forma:
donde a es entero y b, c…son
enteros positivos llamados cocientes.
Toda fracción ordinaria se puede expresar de esta forma, y todo número
irracional admite aproximaciones mediante desarrollos de este tipo. Las
fracciones continuas se usan cuando se desea manejar un representación de los
números reales independiente del sistema de numeración (salvo en la expresión
de los cocientes).
Como hemos indicado más arriba, en el caso de
irracionales cuadráticos los cocientes son periódicos. Lo intentamos ver con la
raíz cuadrada de 2 y una calculadora:
1,4142135623731 = 1+0,4142135623731 = 1+1/2,414213562 =
1+1/(2+0,414213562) = 1+1(2+1/2,414213562) = 1+1(2+1/2+0,414213562) = …
Aunque de forma aproximada, ya vemos la
periodicidad. De hecho, la fracción continua de la raíz cuadrada de 2 es
Si se interrumpe el desarrollo, que es
infinito y periódico y se calcula el valor de lo truncado obtendremos las
llamadas reducidas. No vamos a
reproducir aquí la teoría, porque nuestro interés está en los denominadores de
esas reducidas. Desde hace mucho tiempo se sabe que tanto los cocientes como
las reducidas se calculan a partir del algoritmo
de Euclides para obtener el M.C.D. Dejamos por ahora el fundamento de todo
esto, porque lo que nos va a interesar es la obtención de los números de Pell
por recursión.
Podemos usar nuestra hoja de cálculo fraccont.xlsm para reproducirlo todo
(descargable desde http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#fraccont)
Reproducimos el resultado que da para la
raíz cuadrada de 2:
En la parte izquierda hemos escrito los decimales de la raíz cuadrada de 2, (=RAIZ(2)). La línea de arriba contiene los cocientes de la fracción continua, que, como vemos, es periódica salvo el primero. Debajo están escritas las reducidas, que son fracciones que se aproximan al valor de la raíz de 2, según puedes observar en la fila verde de abajo.
De toda esta teoría nos interesan los
valores de los denominadores (lo demás lo puedes ignorar): 1, 2, 5, 12, 29, 70,
169, 408, 985, 2378,…Estos son los llamados “Números de Pell”.
Se puede demostrar que la generación de
estos números se obtiene por recursión mediante un antiguo algoritmo llamado de
“los cumulantes”. Compruébalo:
P1=1, P2=2, P3=2*P2+P1=2*2+1=5,
P4=2*P3+P2=2*5+2=12,…
Pn=2*Pn-1+Pn-2
Aquí comienza verdaderamente el tema:
Llamaremos números de Pell a aquellos números enteros obtenidos mediante
esta definición por recursión:
P1 = 1, P2 = 2, Pn = 2*Pn-1 + Pn-2
Los primeros son: 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860,
33461, 80782, 195025, 470832, 1136689, 2744210, 6625109, 15994428, 38613965,
93222358, 225058681, 543339720, 1311738121, 3166815962, 7645370045,…
Están publicados en http://oeis.org/A000129
Los puedes reproducir
mediante la recursión, pero podemos usar otra herramienta que ofrece Hojamat.es sobre las sucesiones
recurrentes.
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2
En la hoja “Segundo orden”
podemos escribir los datos de esta recursión: 1 y 2 como elementos iniciales de
los números de Pell así como 2 y 1 como coeficientes de la fórmula de
recursión. Quedaría así:
X(n)= .85355*( 2.41421)^n+ .14645*(-.41421)^n)
Está escrita con decimales, pero puedes
comprobar fácilmente que coincide con la que te dará cualquier publicación:
Si le das un valor entero positivo a n,
con la fórmula se obtendrá Pn. A partir de ella se deduce que el
cociente entre dos números de Pell consecutivos se acerca al valor del número
de plata:
La recurrencia también es útil para
investigar si un número cualquiera es de Pell o no. Como el proceso es bastante
rápido, bastará usar esa recurrencia desde P(1)=1 y P(2)=2 hasta llegar al
número dado. Si el proceso pasa por él, será de Pell y, si lo sobrepasa, no lo
será. Lo hemos plasmado en esta función:
Función ESPELL
Public Function espell(n)
Dim a, b, c
Dim es As Boolean
If n = 1 Or n = 2 Then espell = True: Exit
Function ’ Si es 1 o 2, hemos terminado
a = 2: b = 5: es = False ‘Iniciamos en P(3)=5 y es=false (lo normal es que no sea tipo Pell)
While b <= n
If b = n Then es = True ‘Si pasa por el número, será de tipo Pell
c = a + 2 * b: a = b: b = c ‘Recurrencia
Wend ‘Si sobrepasa al número, no es de Pell
espell = es
End Function
Puedes probarla con números que sabes que
son del tipo Pell y otros que no lo sean, para ver su funcionamiento.
Si conoces el lenguaje PARI, puedes usar
esta otra, que es idéntica, pero de estructura más compacta:
espell(n)={my(a=2,b=5,c,m=0);while(b<=n,if(b==n,m=1);c=a+2*b;a=b;b=c);m||n==1||n==2}
Son soluciones de ecuaciones de Pell
Lo que sigue es sólo una ventana a otro
tema. Si no te interesan las ecuaciones de Pell, ignóralo. Si ya tienes una
idea, esto te servirá para repasar o avanzar.
Los valores P2n son soluciones de la ecuación de Pell x2-2y2=1
Hemos usado nuestra hoja
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell
En ella hemos a D el valor 2 y hemos
pedido soluciones para que el segundo miembro valga 1:
Los valores P2n-1 son soluciones de la ecuación de Pell x2-2y2=-1
En efecto, para el -1 resultan los números
de Pell de índice impar 5, 29, 169,…
Los números de Pell y las ternas pitagóricas
Los números de Pell nos sirven para
descubrir catetos de una terna pitagórica primitiva que se diferencien en una
unidad. Para ello recordemos que las ternas se formaban mediante estas tres
expresiones: (2mn, m2-n2,
m2+n2), con m y n coprimos y de distinta paridad. Si
los dos catetos se diferencian en una unidad se cumplirá que m2-n2=2mn+1.
Hemos escrito 1, pero también resultan casos con el -1
Convertimos m2-n2=2mn+1 en (m-n)2-2n2=1
( o a -1)
Por tanto, m-n y n serán soluciones de la
ecuación de Pell contenidas en las tablas de arriba.
Tomemos, por ejemplo, las soluciones 99 y
70. Calculamos:
m-n=99, n=70, m=169, m2-n2= 23661 y 2mn=2*169*70=23660, y son consecutivos.
Vemos otro: m-n=17, n=12, m=29 y m2-n2=697
y 2mn=696.
Los valores de m y n resultan ser números
de Pell consecutivos.
¿Pueden
ser de otro tipo los números de Pell?
Si combinamos nuestra
función ESPELL vista más arriba con otras del mismo tipo como ESCUAD, ESPRIMO,
ESOBLONGO o ESTRIANGULAR, podemos saber si un número de Pell puede pertenecer a
otro tipo. Aquí tienes algunos resultados:
Primos
Sí existen números de Pell
que son primos. Los primeros son 2, 5, 29, 5741,…Sus índices han de ser primos
también. Puedes profundizar en estas páginas:
https://mathworld.wolfram.com/PellNumber.html
Cuadrados
Sólo son de Pell y cuadrados
estos dos: el 1 y el 169
Triangulares
Ocurre algo similar, que el
1 es el único número de Pell triangular
Oblongos
Hemos encontrado 2 y 12 y no
parece haber más.
Semiprimos
Hemos encontrado 169=13*13,
985=5*197, 1136689=137*8297, 6625109
Con esto tienes una idea
básica de lo que son los números de Pell y algunas de sus propiedades.
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