miércoles, 9 de diciembre de 2020

Los números de Pell

Se llaman así a los denominadores del desarrollo en fracciones continuas de la raíz cuadrada de 2. Como este algoritmo no suele ser muy conocido, remitimos a nuestras entradas referidas a él. Como fueron varias, es preferible que consultes el resumen Números y hoja de cálculo II en su capítulo “Las olvidadas fracciones continuas”. Lo puedes descargar desde

http://www.hojamat.es/publicaciones/hojanum2.pdf

En esa publicación podrás repasar lo más importante de estas fracciones, que sirven para aproximar tanto los números racionales como los irracionales. En este último caso, si son cuadráticos, los coeficientes de dichas fracciones son periódicos, detalle muy importante, porque nos permite realizar iteraciones. Vemos todo esto a continuación:

Raíz de 2 en forma de fracción continua

Copiamos a continuación la introducción al capítulo que hemos enlazado:

Llamamos fracción continua a la expresada de esta forma:

donde a es entero y b, c…son enteros positivos llamados cocientes. Toda fracción ordinaria se puede expresar de esta forma, y todo número irracional admite aproximaciones mediante desarrollos de este tipo. Las fracciones continuas se usan cuando se desea manejar un representación de los números reales independiente del sistema de numeración (salvo en la expresión de los cocientes).

Como hemos indicado más arriba, en el caso de irracionales cuadráticos los cocientes son periódicos. Lo intentamos ver con la raíz cuadrada de 2 y una calculadora:

1,4142135623731 = 1+0,4142135623731 = 1+1/2,414213562 = 1+1/(2+0,414213562) = 1+1(2+1/2,414213562) = 1+1(2+1/2+0,414213562) = …

Aunque de forma aproximada, ya vemos la periodicidad. De hecho, la fracción continua de la raíz cuadrada de 2 es


Si se interrumpe el desarrollo, que es infinito y periódico y se calcula el valor de lo truncado obtendremos las llamadas reducidas. No vamos a reproducir aquí la teoría, porque nuestro interés está en los denominadores de esas reducidas. Desde hace mucho tiempo se sabe que tanto los cocientes como las reducidas se calculan a partir del algoritmo de Euclides para obtener el M.C.D. Dejamos por ahora el fundamento de todo esto, porque lo que nos va a interesar es la obtención de los números de Pell por recursión.

Podemos usar nuestra hoja de cálculo fraccont.xlsm para reproducirlo todo (descargable desde http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#fraccont)

Reproducimos el resultado que da para la raíz cuadrada de 2:

En la parte izquierda hemos escrito los decimales de la raíz cuadrada de 2, (=RAIZ(2)). La línea de arriba contiene los cocientes de la fracción continua, que, como vemos, es periódica salvo el primero. Debajo están escritas las reducidas, que son fracciones que se aproximan al valor de la raíz de 2, según puedes observar en la fila verde de abajo.

De toda esta teoría nos interesan los valores de los denominadores (lo demás lo puedes ignorar): 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378,…Estos son los llamados “Números de Pell”.

Se puede demostrar que la generación de estos números se obtiene por recursión mediante un antiguo algoritmo llamado de “los cumulantes”. Compruébalo:

P1=1,  P2=2,  P3=2*P2+P1=2*2+1=5,  P4=2*P3+P2=2*5+2=12,…

Pn=2*Pn-1+Pn-2

Aquí comienza verdaderamente el tema:

Llamaremos números de Pell a aquellos números enteros obtenidos mediante esta definición por recursión:

P1 = 1,  P2 = 2,  Pn = 2*Pn-1 + Pn-2

Los primeros son: 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, 80782, 195025, 470832, 1136689, 2744210, 6625109, 15994428, 38613965, 93222358, 225058681, 543339720, 1311738121, 3166815962, 7645370045,…

Están publicados en http://oeis.org/A000129

Los puedes reproducir mediante la recursión, pero podemos usar otra herramienta que ofrece Hojamat.es sobre las sucesiones recurrentes.

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#recurre2

En la hoja “Segundo orden” podemos escribir los datos de esta recursión: 1 y 2 como elementos iniciales de los números de Pell así como 2 y 1 como coeficientes de la fórmula de recursión. Quedaría así:


Si le das al botón
Ver sucesión obtendrás los primeros números de Pell:

Si bajas a celdas inferiores podrás encontrar la ecuación característica, que es la fórmula que devuelve los números de Pell sin necesidad de recursión. La hoja nos devuelve esta ecuación:

X(n)= .85355*( 2.41421)^n+ .14645*(-.41421)^n)

Está escrita con decimales, pero puedes comprobar fácilmente que coincide con la que te dará  cualquier publicación:



Si le das un valor entero positivo a n, con la fórmula se obtendrá Pn. A partir de ella se deduce que el cociente entre dos números de Pell consecutivos se acerca al valor del número de plata:

La razón es que al crecer n el segundo sumando tiende a 0. Lo comprobamos con nuestra herramienta recurre2.xlsm:

 


La recurrencia también es útil para investigar si un número cualquiera es de Pell o no. Como el proceso es bastante rápido, bastará usar esa recurrencia desde P(1)=1 y P(2)=2 hasta llegar al número dado. Si el proceso pasa por él, será de Pell y, si lo sobrepasa, no lo será. Lo hemos plasmado en esta función:

Función ESPELL

Public Function espell(n)

Dim a, b, c

Dim es As Boolean

 

If n = 1 Or n = 2 Then espell = True: Exit Function ’ Si es 1 o 2, hemos terminado

a = 2: b = 5: es = False ‘Iniciamos en P(3)=5 y es=false (lo normal es que no sea tipo Pell)

While b <= n

If b = n Then es = True ‘Si pasa por el número, será de tipo Pell

c = a + 2 * b: a = b: b = c ‘Recurrencia

Wend ‘Si sobrepasa al número, no es de Pell

espell = es

End Function

 

Puedes probarla con números que sabes que son del tipo Pell y otros que no lo sean, para ver su funcionamiento.

Si conoces el lenguaje PARI, puedes usar esta otra, que es idéntica, pero de estructura más compacta:

espell(n)={my(a=2,b=5,c,m=0);while(b<=n,if(b==n,m=1);c=a+2*b;a=b;b=c);m||n==1||n==2}


Son soluciones de ecuaciones de Pell

Lo que sigue es sólo una ventana a otro tema. Si no te interesan las ecuaciones de Pell, ignóralo. Si ya tienes una idea, esto te servirá para repasar o avanzar.

Los valores P2n son soluciones de la ecuación de Pell x2-2y2=1

Hemos usado nuestra hoja

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#pell

En ella hemos a D el valor 2 y hemos pedido soluciones para que el segundo miembro valga 1:

Observamos que las soluciones para Y son los números de Pell de índice par.

Los valores P2n-1 son soluciones de la ecuación de Pell x2-2y2=-1

En efecto, para el -1 resultan los números de Pell de índice impar 5, 29, 169,…


Aquí lo dejamos, ya que era una idea para profundizar.

 

Los números de Pell y las ternas pitagóricas

Los números de Pell nos sirven para descubrir catetos de una terna pitagórica primitiva que se diferencien en una unidad. Para ello recordemos que las ternas se formaban mediante estas tres expresiones: (2mn, m2-n2, m2+n2), con m y n coprimos y de distinta paridad. Si los dos catetos se diferencian en una unidad se cumplirá que m2-n2=2mn+1. Hemos escrito 1, pero también resultan casos con el -1

Convertimos m2-n2=2mn+1 en (m-n)2-2n2=1 ( o a -1)

Por tanto, m-n y n serán soluciones de la ecuación de Pell contenidas en las tablas de arriba.

Tomemos, por ejemplo, las soluciones 99 y 70. Calculamos:

m-n=99, n=70, m=169, m2-n2= 23661 y 2mn=2*169*70=23660, y son consecutivos.

Vemos otro: m-n=17, n=12, m=29 y m2-n2=697 y 2mn=696.

Los valores de m y n resultan ser números de Pell consecutivos.

 

¿Pueden ser de otro tipo los números de Pell?

Si combinamos nuestra función ESPELL vista más arriba con otras del mismo tipo como ESCUAD, ESPRIMO, ESOBLONGO o ESTRIANGULAR, podemos saber si un número de Pell puede pertenecer a otro tipo. Aquí tienes algunos resultados:

Primos

Sí existen números de Pell que son primos. Los primeros son 2, 5, 29, 5741,…Sus índices han de ser primos también. Puedes profundizar en estas páginas:

https://mathworld.wolfram.com/PellNumber.html

http://oeis.org/A086383

Cuadrados

Sólo son de Pell y cuadrados estos dos: el 1 y el 169

Triangulares

Ocurre algo similar, que el 1 es el único número de Pell triangular

Oblongos

Hemos encontrado 2 y 12 y no parece haber más.

Semiprimos

Hemos encontrado 169=13*13, 985=5*197, 1136689=137*8297, 6625109

Con esto tienes una idea básica de lo que son los números de Pell y algunas de sus propiedades.

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