Operandos simétricos (2)

En la anterior entrada estudiamos los pares de números de dos cifras cuyo producto no cambia si se invierten las mismas, como 48*63=84*36=3024. Abordaremos hoy la misma cuestión sustituyendo la operación de producto por otras. Comenzamos con la suma de cuadrados, que también presenta la misma propiedad en algunos casos, como 14^2+87^2=41^2+78^2=7765. Seguiremos los mismos pasos de estudio que recorrimos con el producto, pero más simplificados.

Operación Suma de cuadrados

Estos son los números menores de 100 que conservan el resultado de la suma de sus cuadrados aunque se altere el orden de las cifras. La tabla contiene los dos números y el resultado de la operación:

Para encontrarlos basta modificar ligeramente la función EQUISIM (ver entrada anterior). La podemos codificar así:

Function equisim(m, n)
Dim a, b, c

a = cifrainver(m) 'Invertimos las cifras
b = cifrainver(n)
c = m ^ 2 + n ^ 2 'Calculamos la suma de cuadrados
If c = a ^ 2 + b ^ 2 Then equisim = c Else equisim = 0 'Si coinciden se devuelve el producto y si no, un cero
End Function

Hemos aplicado esta función a todos los pares de números de dos cifras distintos y nos ha resultado la tabla de arriba.

Relación entre las cifras

Al igual que en el producto encontramos una relación sencilla entre las cifras que se invierten, en este caso obtenemos otra muy similar. Como en el caso anterior, basta un poco de Álgebra:

(10*a+b)^2+(10*m+n)^2=(10*b+a)^2+(10*n+m)^2

Desarrollamos y simplificamos y queda:

99(a²-b²)=99(n²-m²)

a²-b²=n²-m²

Lo comprobamos en algún ejemplo: 51²+57²=15²+75² y se cumple que 5²-1² = 7²-5² = 24 y con 27 y 96 se cumple que 7²-2²=49-4=45 y 9²-6²=81-36=45

Hemos resumido la situación creando una tabla con todas las diferencia de cuadrados que son posibles entre cifras. Están destacados en rojo los pares repetidos, que son los que nos valen para este caso:

Cualquier par de diferencias equivalentes generará ejemplos de la tabla. Faltarán {03, 54} y {04, 53} por haber reducido la búsqueda al caso de dos cifras.


Operación a²+a*b+b²

Otra operación simétrica que nos ha producido resultados es a²+a*b+b², o lo que es equivalente, (a³-b³)/(a-b). Con las mismas técnicas, que no repetiremos, se pueden obtener los números de dos cifras que presentan simetría en las mismas para esta operación.

Son estos:

Hemos publicado en Twitter un ejemplo bastante atractivo:

También podemos emprender un estudio algebraico, para ver la relación entre cifras (nos limitamos al caso de dos)

(10*a+b)^2+(10*a+b)*(10*m+n)+(10*m+n)^2=(10*b+a)^2+(10*b+a)*(10*n+m)+(10*n+m)^2

Desarrollamos con simplificación y nos resulta, como era previsible:

a²+am+m²=b²+bn+n²

También aquí se ha efectuado la comprobación con una tabla de doble entrada:

Con diferencias de cuadrados

Al igual que en las anteriores operaciones, basta adaptar la función EQUISIM. Nos han resultado bastantes pares:

14 78 5888
15 57 3024
17 48 2015
26 79 5565
27 69 4032
30 54 2016
40 53 1209
41 87 5888
51 75 3024
62 97 5565
71 84 2015
72 96 4032

Ejemplos:

69²-27²=96²-72²=4032
87²-41²=78²-14²=5888
75²-51²=57²-15²=3024

Puedes relacionar este caso con el del producto, que ya vimos en la entrada anterior. Podemos aprovechar que la diferencia de cuadrados equivale a suma por diferencia. Lo hemos iniciado, pero la condición de que ambos factores tengan la misma paridad impide una correspondencia clara entre ambas operaciones.


Con suma simétrica a²+b²+a²

Terminamos este catálogo de operaciones con sumas simétricas, como

13²+53²+13²=31²+35²+31²=3147

Sin dar detalles, que puedes reproducir fácilmente, he aquí la tabla de resultados simétricos equivalentes. Basta hacer corresponder los pares que producen un mismo resultado:


20 13 969
13 40 1938
13 53 3147
31 35 3147
24 51 3753
42 15 3753
40 26 3876
15 71 5491
51 17 5491
35 62 6294
53 26 6294
24 75 6777
42 57 6777
15 84 7506
51 48 7506
26 80 7752
60 39 8721
40 79 9441
46 73 9561
64 37 9561
37 91 11019
73 19 11019
57 71 11539
75 17 11539
35 97 11859
53 79 11859
57 84 13554
75 48 13554
68 95 18273
86 59 18273
79 80 18882

Operandos simétricos (1)

En las redes sociales es posible encontrar la publicación de operaciones en las que el resultado de las mismas no cambia si cada operando se sustituye por su simétrico en base 10, es decir, con las cifras en orden inverso. Por ejemplo 12*42=504 y si invertimos, 21*24=504 también. Otro ejemplo sería 12*63=756 y 21*36=756. Podemos estudiar diversos aspectos sobre esta casualidad. Nos limitaremos al caso de dos cifras, que es el más interesante. Dejamos los demás casos a otro momento en el que aumente la motivación.

Operación producto

El caso en el que la operación sea un producto ha sido ya bien estudiado. Los posibles resultados están publicados. Los primeros son estos:

504, 756, 806, 1008, 1148, 1209, 1472, 1512, 2016, 2208, 2418, 2772, 2924, 3024, 4416, 4433, 5544, 6314, 8096, 8316, 8415, 8866, 10736, 11088,...(http://oeis.org/A228164)

Todos esos números proceden de dos productos simétricos. El primero, 504, ya lo hemos desarrollado. La siguiente tabla la hemos construido en hoja de cálculo para destacar los factores correspondientes a los términos de la sucesión anterior. Las dos primeras columnas representan los factores y la tercera el producto. Es fácil buscar en ella resultados iguales y pares simétricos:

12 42 504
12 63 756
12 84 1008
13 62 806
13 93 1209
14 82 1148
21 24 504
21 36 756
21 48 1008
23 64 1472
23 96 2208
24 63 1512
24 84 2016
26 31 806
26 93 2418
28 41 1148
31 39 1209
32 46 1472
32 69 2208
34 86 2924
36 42 1512
36 84 3024
39 62 2418
42 48 2016
43 68 2924
46 96 4416
48 63 3024
64 69 4416


Resultan 28 resultados. Más adelante justificaremos este número. Es evidente que en esta cuestión se excluyen los capicúas. Para construir una tabla similar necesitaremos una función para descubrir si un número es capicúa y otra para invertir las cifras de un número entero.

Disponemos de la función ESCAPICUA, que devuelve VERDADERO si lo es, y la función CIFRAINVER, que invierte las cifras de un número. El código de ambas lo tienes en el Anexo.

Una vez preparadas estas dos funciones, basta un bucle doble para detectar si un par de números cumple la propiedad citada. Para facilitar las búsquedas introducimos la función EQUISIM, que devuelve VERDADERO si al invertir las cifras en un producto el resultado no cambia. Puede ser la siguiente:

function equisim(m,n)
dim a,b,c

a=cifrainver(m) ‘Invertimos las cifras
b=cifrainver(n)
c=m*n ‘Calculamos el producto
if c=a*b then equisim=c else equisim=0 ‘Si coinciden se devuelve el producto y si no, un cero
end function

Con esta función y un doble bucle podemos encontrar las soluciones de la tabla de arriba

For i = p To q
for a=i to q

c=equisim(i,a)
If c>0 and not escapicua(i) and not escapicua(a) and a<>cifrainver(i) Then
Msgbox(i)
Msgbox(a)
Msgbox(c)
End if
Next a
Next i

Relación entre las cifras

Una pregunta natural es si las cifras de estas soluciones están relacionadas de alguna forma. Con un poco de Álgebra lo descubriremos en el caso de dos cifras. Sean los números  (10*a+b) y (10*m+n). Planteamos que su producto coincida con el que resulta de invertir cifras:

 (10*a+b)(10*m+n)=(10*b+a)(10*n+m)

Operamos con simplificación y queda

99am=99bn

am=bn

Luego la relación entre cifras es que el producto de las decenas coincida con el de las unidades. Compruébalo con los ejemplos de la tabla. Por ejemplo,  46 y 96 cumplen 4*9=6*6 y también que 46*96=64*69=4416

Esta es otra forma de ver el problema. Para buscar soluciones recorreremos los números que se puedan expresar de dos formas distintas como producto de dos factores de un dígito. Por ejemplo, 18=3*6=2*9, luego unas soluciones son {32, 69} {39, 62} {23, 96} y {26, 93}.

Sería buena idea recorrer todos los números enteros que se pueden descomponer en dos pares de factores de una cifra distintos. Es fácil ver que son:

4=1*4=2*2
6=1*6=2*3
8=1*8=2*4
9=1*9=3*3
12=2*6=3*4
16=2*8=4*4
18=2*9=3*6
24=3*8=4*6
36=4*9=6*6

De ellos hay cinco con todas las cifras distintas, que según un razonamiento anterior, darán lugar a cuatro soluciones cada uno, lo que suma 20 soluciones. Con dos cifras repetidas hay cuatro, que a dos soluciones cada uno, formarán 8 soluciones. Sumamos y obtenemos las 28 que forman la tabla de soluciones.

Si quieres asegurarte de que ya no hay más, puedes usar esta función, que te devuelve “NO” si no es un número válido, o bien el conjunto de factores menores que 10.

Su código puede ser este:

Function cuatrodigi$(n)
Dim a, i, j, k
Dim s$

s = ""   ‘Recibirá las soluciones o un “NO”
k = 0    ‘Contador de pares
For i = 1 To 8
For j = i To 9
If n = i * j Then ‘Vemos si es producto de dos dígitos
k = k + 1            ‘Si lo es, incrementamos el contador y recogemos soluciones en s$
s$ = s$ + Str$(i) + Str$(j)
End If
Next j
Next i
If k > 1 Then cuatrodigi$ = s$ Else cuatrodigi = "NO"  ‘Recogemos soluciones si son cuatro o más
End Function


Hemos usado esta función en una rutina de búsqueda y nos han resultado las nueve soluciones ya analizadas:

En la próxima entrada estudiaremos otras operaciones simétricas distintas del producto.

ANEXO

Public Function escapicua(n) As Boolean
Dim l, i, k
Dim c As Boolean
Dim auxi$

auxi = Right(auxi, Len(auxi) - 1)
c = True
i = 1
k = Int(l / 2)
While i <= k And c
  If Mid(auxi, i, 1) <> Mid(auxi, l - i + 1, 1) Then c = False
  i = i + 1
  Wend
End If
escapicua = c
End Function


Public Function cifrainver(n)
Dim l, i
Dim c
Dim auxi$, auxi2$, ci$
If n < 10 Then cifrainver = n: Exit Function
auxi = auxi = Right(auxi, Len(auxi) - 1)
auxi2$ = ""
l = Len(auxi)
For i = l To 1 Step -1
ci$ = Mid(auxi, i, 1)
auxi2 = auxi2 + ci$
Next i
c = Val(auxi2$)
cifrainver = c
End Function

Poligonales centrados (2)

Cuadrados centrados

Proseguimos el estudio de los poligonales centrados. Ya estudiamos los triangulares, por lo que pasamos ahora a los cuadrados.

Vimos en la entrada anterior que la suma 1+4+8+12+16+…, que se forma añadiendo 4 unidades a cada sumando, forma, con sus sumas parciales, la sucesión  1, 5, 13, 25, 41,…, que serían los números “cuadrados centrados”.
Los primeros términos son:

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381,...y están publicados en http://oeis.org/A001844

Con nuestra calculadora Calcupol puedes recorrerlos uno a uno. La puedes descargar desde

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados

Fijas en la parte derecha “Centrado” y orden 4. Borras la pantalla con CA y escribes 1

Como en el caso de los triangulares, con cada pulsación de la tecla PROX irás obteniendo los siguientes cuadrados centrados: 5, 13, 25,...

Si en la expresión de los poligonales centrados

sustituimos n por 4 nos resultará la expresión de los cuadrados centrados:

Por ejemplo CC(4)=2*16-2*4-1=32-8+1=25

Esta fórmula presenta una interpretación sencilla, pues equivale a la suma de dos cuadrados consecutivos. Así, 25=16+9, o 13=9+4. Si recordamos que los cuadrados son sumas de impares, con esta propiedad podemos engendrar los cuadrados centrados como una suma creciente y decreciente de impares. Lo vemos con el 61:

61=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1

Con un poco de Álgebra es fácil ver que es válida también esta otra expresión:

Así, el término 5 equivaldrá a (81+1)/2=41, como puedes comprobar en el listado. También 41 es suma de cuadrados: 41=26+16

Lo podemos expresar también como que el doble de un cuadrangular menos una unidad es un cuadrado perfecto. Esto convierte a un cuadrado centrado N en la hipotenusa de un triangulo rectángulo con un cateto igual a N-1. En efecto, N² - (N-1)² = 2N-1 es un cuadrado. Por ejemplo:

41² - 40² = 1681 – 1600 = 81 = 9²

Pentagonales centrados

Al igual que en los casos anteriores, partimos de la sucesión formada por el 1 y los múltiplos de 5, ya que en un pentagonal centrado se van añadiendo polígonos de cinco lados aumentando una unidad en cada caso: 1+5+10+15+20. Las sumas parciales formarán los pentagonales centrados (PC(n)):

1, 6, 16, 31, 51,…

Los primeros pentagonales centrados son:

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891, 2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976,…

Están publicados en http://oeis.org/A005891

Para conseguir su expresión podemos acudir a la interpolación polinómica. Como ya la hemos usado en casos anteriores, sólo insertaremos una captura de pantalla:

Vemos que dará lugar a un polinomio de segundo grado. Leemos los coeficientes:

P(x)=1+5*(x-1)+5/2*(x-1)(x-2)=(5n^2+5n+2)/2

Así que

Basta observar la fórmula para darse cuenta de que todos estos números son congruentes con la unidad módulo 5. Así 16=5*3+1, 76=5*15+1,...Ya sabemos que sus diferencias son múltiplos de 5.

También es sencillo comprobar que los coeficientes del 5 en la anterior expresión son todos números triangulares, ya que PC(n)=5n(n+1)/2+1.

Hexagonales centrados

La definición de estos números coincide con la de los anteriores, pero añadiendo a cada uno de ellos un hexágono nuevo (o múltiplo de 6)

Dejamos como ejercicio comprobar que su expresión es

HC(n)=(n+1)³-n³

Con ella podemos desarrollar la sucesión de hexagonales centrados:

1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107, 2269, 2437, 2611, 2791, 2977, 3169, 3367, 3571, 3781, 3997
(http://oeis.org/A003215)

La expresión obtenida equivale claramente a una diferencia de cubos consecutivos. En efecto, 7=2³-1³, 19=3³-2³=27-8, 37=4³-3³=64-27

Propiedad combinatoria

Sumas iguales a cero

Benoit Cloitre propone en la página OEIS citada que los números de la sucesión se corresponden con el número de tripletes ordenados de enteros (a,b,c),con -n <= a,b,c <= n, tales que a+b+c=0. Esta propiedad está expresada si el primer índice de la sucesión es cero, por lo que debemos aplicarla a n-1.

Por ejemplo, en el caso de n=3, HC(3)=19 coincidirá con el número de sumas de tres sumandos comprendidos entre -2 y 2 cuya suma sea 0.

Podemos comprobar esta propiedad con nuestra hoja Cartesius

http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius

El planteo sería muy simple:

xtotal=3
Xt=-2..2
Suma=0

Aunque no hayas usado nunca esta hoja Cartesius, entenderás que se fija un número de sumandos igual a 3, comprendidos entre -2 y 2 y cuya suma sea 0.
Introducimos este planteo en la hoja

Pulsamos el botón Iniciar y obtenemos las 19 sumas esperadas:

Esta propiedad se puede demostrar por inducción. Ya hemos comprobado para n=3. Para n=2 basta con que recorras el listado de sumas y te quedes con las que tienen máximo 1. Las contamos y resultan 7, y es trivial que para el caso n=1 sólo obtenemos un caso. Con esto se comprueba para los casos 1, 2 y 3.

Para el caso n, podemos pasar al caso n+1, con lo que hay que añadir los elementos -(n+1) y n+1. Las nuevas sumas pueden ser de tres clases:

Si contienen -(n+1) y n+1, el tercer sumando será 0, y reordenando nos resultan 6 sumas nuevas.

Si sólo contiene el sumando -(n+1), deberá estar acompañado por todos los sumandos positivos entre 1 y n que sumen n+1. Existen n sumas ordenadas de ese tipo, y el sumando -(n+1) se puede situar en 3 posiciones, luego aparecerán 3n sumas nuevas.

El tercer caso también abarcará 3n sumas. Reunimos los tres casos y nos resulta 3n+3n+6=6(n+1), luego efectivamente, se añadirá un múltiplo de 6 al término anterior, lo que lo convierte en el siguiente hexagonal centrado.

Una propiedad aritmética

Las medias parciales de los k primeros términos coinciden con k².

Está basada en un inicio para n=0, por lo que usaremos n en lugar de n+1 en la demostración.

Esta propiedad se verifica en los primeros términos:

(1+7)/2 = 4 = 2²
(1+7+19)/3 = 9 = 3²

Si lo suponemos cierto para n, deberemos demostrar que la siguiente media coincide con (n+1)². Usaremos la expresión general aplicada al término n.

M(n+1)=S(n+1)/(n+1)=(S(n)+3n²+3n+1)/(n+1)=(n*n²+3n²+3n+1)/(n+1) = (n+1)³/(n+1) = (n+1)².

Es evidente que hemos demostrado de paso que las sumas parciales coinciden con n³

Aquí dejamos los poligonales centrados.

Con esta muestra podrás investigar más sobre el tema.

Poligonales centrados (1)

Los números poligonales ordinarios se engendran acumulando distintos polígonos a partir de un vértice, como podemos ver en la figura

Los poligonales centrados son similares, pero los polígonos se acumulan alrededor de un centro, con sus lados paralelos

Todos los poligonales de esta clase se pueden pues generar mediante sumas de números naturales que representen los contornos de los polígonos. En el caso de los triángulos serían 1+3+6+9+12+…

Efectuando sumas parciales obtendríamos la sucesión 1, 4, 10, 19, 31,.., a la que nombraremos como “números  triangulares centrados”.

En el caso de cuadrados se formaría la suma 1+4+8+12+16+…, y las sumas formarían la sucesión  1, 5, 13, 25, 41,…, que serían los números “cuadrados centrados”.

Con el mismo método resultarían los “pentagonales centrados”, a partir de la suma 1+5+10+15+20…, que serían 1, 6, 16, 31, 51,…

En general, los polígonos de orden n y lado k, al sumarse formarían:
 1+n+2n+3n+4n+...+kn=1+n*(1+2+3+4+5+...+k)=1+n*k*(k+1)/2

Si contamos el 1 como primer elemento, la suma del paréntesis tendría un elemento menos, y daría la expresión, si llamamos POLC al poligonal centrado:

POLC(n,k)=1+n*k*(k-1)/2=(n*k²-n*k+2)/2

Es decir:

En ella n representa el tipo de poligonal y k el lado.

Así, POLC(5,4)=(5*16-5*4+2)/2=62/2=31, tal como vimos en el listado de pentagonales.

POLC(3,5)=(3*25-3*5+2)/2=62/2=31, que sería el quinto triangular que obtuvimos más arriba.


Calculadora CALCUPOL

Estos cálculos se pueden evitar con nuestra calculadora de números figurados, “Calcupol”. Se descarga desde

http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados

Con la tecla CEN (de centrado) y la secuencia de teclas 3 CEN 5 = obtendríamos el triangular centrado de lado 5, que ya sabemos vale 31.

Usaremos esta calculadora varias veces en esta serie de entradas.


Relación con los poligonales ordinarios

Si recordamos la fórmula de los números poligonales

k((n-2)*k-(n-4))/2

y la comparamos con la de los centrados

(n*k²-n*k+2)/2

resulta:

(n*k²-n*k+2)/2-(k²*(n-2)-k*(n-4)/2 =
=( n*k²-n*k+2-n*k²+2k²+n*k-4k)/2 =
= (2+2k²-4k)/2=(k-1)²

Así que si conocemos un poligonal ordinario, bastará sumarle el cuadrado del lado después de restarle una unidad. Lo vemos con Calcupol. El número poligonal de orden 7 (heptagonal) de lado 10 tiene un valor de 235 (secuencia de teclas 7 POL 10 =) y si le añadimos (10-1)², obtenemos 235+81=316, que es el poligonal centrado del mismo orden y lado. Puedes comprobarlo con la secuencia 7 CEN 10 =


Relación con los triangulares ordinarios

La expresión

Se puede escribir así:

Esto nos indica que un poligonal centrado se forma añadiendo a 1 n números triangulares de lado n-1. En el caso, por ejemplo, del pentagonal de lado 4, se podrá descomponer en cinco triángulos de lado 3 y una unidad. La siguiente imagen, adaptación de otra de la Wikipedia, nos muestra claramente los triángulos:

Números triangulares centrados


Comenzamos el estudio particularizado para cada orden, siendo n=3 el caso  de menos lados. Ya se comentó más arriba que los triangulares centrados se forman mediante triángulos concéntricos como los de la imagen:

Se considera la unidad como primer triángulo.

Ya se vio que se forman mediante la suma 1+3+6+9+12+...+3k, que da lugar a la expresión 1+3*k(k-1)/2, con lo que los primeros triangulares centrados serán; 1, 1+3, 1+3+6, 1+3+6+9,….es decir: 1, 4, 10, 19,…

Completamos la sucesión con más términos:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901,… Están publicados en http://oeis.org/A005448

Con nuestra calculadora Calcupol puedes recorrerlos uno a uno.

Fijas en la parte derecha “Centrado” y orden 3. Borras la pantalla con CA y escribes 1. Después, cada vez que pulses PROX, aparecerán los siguientes términos: 4, 10, 19, 31,...

Es interesante deducir la expresión del término general, que ya conocemos, mediante nuestro interpolador lineal para números naturales

(lo puedes descargar desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#newton)

Si la aplicamos a los números 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64 descubrimos que sus diferencias de tercer orden son nulas, y que esto los convierte en valores de un polinomio de segundo grado.

La herramienta de interpolación nos proporciona también los coeficientes en las filas inferiores.

Si conoces la interpolación de Newton entenderás que el polinomio buscado es
1/1+3/1(x-1)+3/2(x-1)(x-2)=1+3x(x-1)/2

Esto comprueba lo indicado más arriba.

Propiedades

(1) A partir del 10, todos los triangulares centrados son suma de tres triangulares consecutivos.

TC(n)=T(n)+T(n-1)+T(n-2)

Es una cuestión de Álgebra:

T(x-2)+T(x-1)+T(x)=(x-2)(x-1)/2+(x-1)x/2+x(x+1)/2=(x²-3x+2+x²-x+x²+x)/2=(3x²-3x+2)/2=1+3x(x-1)/2= TC(x)

Por inducción

Se cumple para TC(4)=10=1+3+6=T(1)+T(2)+T(3)

Si se cumple para x, será TC(x)=T(x-2)+T(x-1)+T(x). Si añadimos 3x, se convertirá en TC(x+1), y bastará demostrar que T(x-2) se convierte en T(x+1)
En efecto:

(x-2)(x-1)/2+3x=(x²-3x+2+6x)/2=(x²+3x+2)/2=T(x+1)

Piénsalo bien, sólo hay que convertir T(x-2) en T(x+1)


(2) Relación con números combinatorios

TC(n+1) = C(n+3, 3)-C(n, 3)

Otra cuestión de Álgebra:

C(n+3, 3)-C(n, 3)=((n+3)(n+2)(n+1)-n(n-1)(n-2))/6
(n³+6n²+11n+6-n3+3n²-2n)/6=(9n²+9n+6)/6=1+3n(n+1)/2=TC(n+1)

Puedes ir restando números combinatorios situados debajo de la línea continua, con un salto de tres lugares, e irán resultando los triangulares centrados:
20-1=19; 35-4=31; 56-10=46; 84-20=64; 120-35=85…


(3) Triangulares centrados primos

Entre los triangulares de este tipo existen algunos que son primos. Sólo es una curiosidad. Los primeros son:

19, 31, 109, 199, 409, … https://oeis.org/A125602


(4) Recurrencia

Todas las sucesiones de números figurados admiten recurrencias, por ser fórmulas polinómicas. Los triangulares centrados también poseen una generación por recurrencia, además de la contenida en la definición, de añadir 3n al término anterior:

Elegimos esta:

TC(n) = 3*TC(n-1) - 3*TC(n-2) + TC(n-3), TC(1)=1, TC(2)=4, TC(3)=10.

Se cumple para el 19=3*10-3*4+1=30-12+1=19

Otro término lo cumplirá por simples cálculos algebraicos.

3*TC(n-1) - 3*TC(n-2) + TC(n-3)=3*(1+3(n-1)(n-2)/2)-3*(1+3(n-2)(n-3)/2)+1+3(n-3)(n-4)/2

Si no te apetece simplificar acude a cualquier CAS. Nosotros hemos usado Wolfram Alpha

Hemos obtenido la expresión

que coincide con 1+3n(n-1)/2, expresión de TC(n)

Existen otras recurrencias, que puedes intentar demostrar:

a(n) = a(n-1) + 3*n-3. - (Vincenzo Librandi)
a(n) = 2*a(n-1) - a(n-2) + 3. - (Ant King)

En la siguiente entrada estudiaremos los cuadrados, pentagonales y hexagonales centrados.

Pirámides cuadrangulares en cuatro dimensiones

Estudiamos en una entrada anterior los números piramidales de tres lados en cuatro dimensiones, que se formaban sumando los términos de la sucesión de tetraedros de tres dimensiones y eligiendo las sumas parciales.

Lo puedes consultar en http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/11/numeros-piramidales-de-cuatro.html


Pirámides cuadrangulares

De la misma forma, si tomamos la sucesión de números piramidales cuadrados de tres dimensiones (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/05/numeros-piramidales-3-cuadrados.html), podemos ir obteniendo sus sumas parciales.

Estos son los números piramidales cuadrados:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201, 6930, 7714, 8555, 9455,…
Formamos sus sumas parciales:


1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540, 825, 1210, 1716, 2366, 3185, 4200, 5440, 6936, 8721, 10830, 13300, 16170, 19481, 23276, 27600,…

Se obtienen así: 1=1, 1+5=6, 1+5+14=20, 1+5+14+30=50,…

Esta será la sucesión de números piramidales cuadrados de cuatro dimensiones. Los nombraremos como PIR4_4(n)

Los tienes publicados en http://oeis.org/A002415

Obtención de la fórmula polinomial

Ya estudiamos este procedimiento en una entrada anterior de esta serie
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/09/numeros-figurados-e-interpolacion.html

Consiste en usar la fórmula de interpolación de Newton aplicada a los primeros números naturales. Remitimos a la entrada enlazada para seguir el procedimiento. En primer lugar escribimos los primeros términos 1, 6, 20, 50, 105, 196, 336,… y obtenemos sus diferencias sucesivas de forma automática:

Como las quintas diferencias son nulas, el polinomio interpolador será de cuarto grado. Los coeficientes los tienes en la parte baja en forma de fracción. Así quedaría:

1+5(x-1)+9/2(x-1)(x-2)+7/6(x-1)(x-2)(x-3)+2/24(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

Lo podemos simplificar con wxMaxima:

O en la web de Wolfram Alpha, obteniendo el mismo resultado:

Hay que tener en cuenta que esta expresión es válida si se comienza la sucesión en 1. Podrás encontrar otras distintas cuando el inicio contenga ceros.

La comprobamos, por ejemplo para n=5 y n=6:

PIR4_4(5)=5*6^2*7/12=105
PIR4_4(6)=6*7^2*8/12=4*49=196

Expresión con números combinatorios

Todos los números figurados se pueden expresar mediante números combinatorios de una forma más o menos compleja. En este caso disponemos de dos expresiones

(n+3)(n+2)(n+1)n/12-(n+2)(n+1)n/6=(n+2)(n+1)n((n+3)/12-1/6)=n(n+2)(n+1)^2/12, que coincide con la fórmula obtenida más arriba.

Podemos comprobarlo también con la función COMBINAT de las hojas de cálculo:

Para n=6 tendríamos =2*COMBINAT(9;4)-COMBINAT(8;3)=196

Coincide con el resultado obtenido anteriormente.

Puedes probar también con esta otra:

Así, PIR4_4(7)=COMBINAT(10;4)+COMBINAT(9;4)=336, que es su valor correcto.

No es difícil comprobar la equivalencia de ambas expresiones combinatorias.

En la siguiente imagen del triángulo de Pascal hemos rodeado de círculos estos números combinatorios que sirven de sumandos:

Podeos sumar cada uno con el siguiente y resultarán piramidales cuadrados de 4 dimensiones:

1+5=6;  5+15=20;  15+35=50;  35+70=105;

Interpretación geométrica

Al igual que ocurría con las pirámides triangulares y los triángulos, estos números pueden representar el número de cuadrados que se pueden dibujar en una rejilla cuadrada de n vértices, si sus lados no son paralelos a los de la rejilla. En la imagen hemos representado cuatro de ellos.

Podemos razonar de un modo similar al que usamos con triángulos.

En primer lugar contaremos los cuadrados que se pueden dibujar si sus lados han de ser paralelos a las líneas de la rejilla. Por ejemplo, en la imagen se pueden dibujar 36 cuadrados de lado 1, 25 de lado 2, 16 de 3, y así hasta el cuadrado total que sería uno solo. Por tanto, el número de cuadrados de lados paralelos sería 1+4+9+16+25+36=91.

Resulta ser equivalente a un número piramidal cuadrado de índice 6. En efecto, puedes repasar la definición y fórmulas en

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/05/numeros-piramidales-3-cuadrados.html

Dentro de cada cuadrado de lado k en posición paralela se pueden dibujar k-1 cuadrados de los que nos interesan

En el caso del lado seis, podemos acumular los cuadrados según el número de lados, y obtendríamos:

36*0+25*1+16*2+9*3+4*4+1*5=105=PIR4_4(5)

Con cinco lados obtendríamos un resultado similar:

25*0+16*1+9*2+4*3+1*4=50=PIR4_4(4)

La demostración general supone mucho cálculo algebraico que nos da pereza abordar.

Suma y diferencia de números del mismo tipo (2)

En la anterior entrada estudiamos los números que son suma y diferencia de otros del mismo tipo, en concreto, triangulares y cuadrados. Estudiaremos en esta los primos y oblongos.

Con primos

Suma de dos primos

Si el número N es par mayor que 2, como sólo estudiaremos números no muy grandes, se cumplirá en él la conjetura de Goldbach y será suma de dos primos. Si es impar, la única solución es que N-2 sea primo. Esos son los dos casos en los que N es suma de dos primos. Podemos resumirlo en una función:

Public Function essumaprimos(n)
If n / 2 = n \ 2 And n > 2 Or esprimo(n - 2) Then essumaprimos = True Else essumaprimos = False
End Function

Con ella obtendríamos el listado contenido en http://oeis.org/A014091

4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 31, 32, 33, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 52, 54, 55, 56, 58, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 68, 69, 70, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 88, 90,…

Diferencia de primos

Se ha conjeturado que todo número par es diferencia entre dos primos, y se cumple para números no muy grandes. Si el número es impar, deberá ser N+2 primo. Así que eliminaremos del listado anterior aquellos impares como el 7 tales que al sumarles dos unidades se obtenga un compuesto.

Quedaría así:

4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 76,…

Los únicos impares N del listado son aquellos en los que N-2 y N+2 son ambos primos, como el 69, para el que 67 y 71 son ambos primos.

Observamos que, al final, no supone una gran novedad el hecho de ser suma y también diferencia de dos números del mismo tipo en los casos triangular, cuadrado o primo, que son los más populares. Los demás pueden tener dificultades con la cota del minuendo.

Suma de oblongos 

Recordemos que son oblongos los números doble de un triangular, o que se generan con la expresión N(N+1)

Para desechar casos triviales eliminaremos el cero como oblongo, aunque cumple la definición de ser del tipo n(n+1), ya que 0=0(0+1)

Los primeros números que son suma de dos oblongos mayores que cero son:

En forma de listado:

4, 8, 12, 14, 18, 22, 24, 26, 32, 36, 40, 42, 44, 48, 50, 54, 58, 60, 62, 68, 72, 74, 76, 78, 84, 86, 92, 96, 98, 102, 110, 112, 114, 116, 120, 122, 128, 130, 132, 134, 138, 140, 144, 146, 152, 158, 162, 166, 168, 174, 176, 180, 182, 184, 186, 188, 194, 198, 200, 202, 204, 212, 216, 220, 222, 224, 228, 230, 238, 240,…

Para obtenerlos basta pensar en que un oblongo es el doble de un triangular, luego serán oblongos los números cuya mitad sea triangular. En esa idea se basa la siguiente función:

Public Function sumaoblongos$(n)
Dim x, i
Dim resul$

x = 2: i = 4: resul = "NO"
While x <= n / 2 And resul = "NO"
If estriangular((n - x) / 2) Then
resul = Str$(x) + ", " + Str$(n - x)
End If
x = x + i
i = i + 2
Wend
sumaoblongos = resul
End Function

En ella la x y la i crecen como en los cuadrados, salvo que los oblongos comienzan con el 2 y crecen de dos en dos y los cuadrados comienzan en 1. Así, a los oblongos los genera la sucesión de pares y a los cuadrados la de impares.

Con PARI podemos usar este código:

for(t=1, 400, i=2; j=2; e=0; while(2*i<=t&e==0, if(issquare(4*(t-i)+1), e=1; print1(t, ", ")); j+=2; i+=j))

Es interesante considerar el caso en el que N también sea oblongo. Basta elegir en el listado anterior aquellos términos que sean oblongos.

12, 42, 72, 110, 132, 182, 240, 272, 342, 420, 462, 552, 702, 756, 812, 992, 1122, 1332, 1406, 1482, 1640, 1722, 1892, 1980, 2070, 2162, 2352, 2450, 2652, 2756, 2862, 2970, 3080, 3192, 3306, 3422, 3540, 3782, 3906, 4032, 4160, 4422, 4556, 4692, 5112, 5402, 5550, 5700, 5852, 6006, 6162, 6480, 6642, 6972, 7482, 7832, 8010, 8372, 8556, 8742, 8930, 9120, 9312, 9702,


Código PARI 

Puedes obtener el listado con este código, en el que generamos oblongos con k*(k+1) y después el primer sumando oblongo tal como hicimos en sumaoblongos. La prueba para el segundo sumando es que 4*(t-i)+1 sea cuadrado.

for(k=1, 100, t=k*(k+1); i=2; j=2; e=0; while(2*i<=t&e==0, if(issquare(4*(t-i)+1), e=1; print1(t, ", ")); j+=2; i+=j))


Número de sumas de oblongos distintas

Terminamos con unas curiosidades. Podemos evaluar en cuántas sumas distintas de oblongos se puede descomponer un número. Usamos la función


Public Function numsumaoblongos(n)
Dim x, i, s

x = 2: i = 4: s = 0
While x <= n / 2
If estriangular((n - x) / 2) Then s = s + 1
x = x + i
i = i + 2
Wend
numsumaoblongos = s
End Function

Es similar a sumaoblongos, pero cuenta sumas en lugar de presentarlas.

Estos son los que admiten  dos o más sumas:

Estos otros cuatro o más

Comprobamos el 2762 con nuestra hoja Cartesius, descargable desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius

Planteamos

Viene a expresar que 2762 se descompone en dos sumandos del tipo n(n+1), ordenados en orden creciente para evitar repeticiones. Resultan seis, como era de esperar:

Diferencia de oblongos

p(p+1)-q(q+1)=N significa que p^2+p-q^2-q=(p-q)(p+q+1)=N
Es fácil ver que este producto es par en todos los casos, y es lógico, por ser diferencia de oblongos. Por tanto, todos los números pares 2k serán diferencia de dos oblongos, que pueden ser (k+1)k y k(k-1), ya que su diferencia sería 2k. Así:
16=9*8-8*7=72-56

Por tanto, también en este caso el tema de la diferencia es trivial.

Suma y diferencia de números del mismo tipo (1)

Con triangulares

Hace unos meses publiqué en Twitter esta propiedad del número de fecha 28617. Consistía en que ese número era suma y también diferencia entre dos triangulares.

28617=161*162/2+176*177/2
28617=4772*4773/2-4766*4767/2

Podríamos buscar otros números N que presentaran la misma propiedad. Para ver que un número es suma de triangulares basta un bucle de búsqueda, recordando que los triangulares se generan sumando 1, 2, 3,… al precedente: 1=0+1, 3=1+2, 6=3+3, 10=6+4. Después basta restar N con el triangular dado, y si es también triangular, ya lo hemos encontrado: N sería suma de dos triangulares.

Lo podemos organizar en el Basic de las hojas de cálculo. Definimos una función tipo texto que devuelva “NO” si el número no  es suma de triangulares, o bien los dos sumandos en el caso de que existan. Podría ser esta:

Public Function sumatriang$(n)
Dim x, i
Dim resul$

x = 1: i = 2: resul = "NO" ‘Inicia i, x para que engendren triangulares
While x <= n / 2 And resul = "NO" ‘Busca hasta la mitad de N
If estriangular(n - x) Then ‘Si la diferencia es triangular, lo tenemos
resul = Str$(x) + ", " + Str$(n - x) ‘Se construye el resultado
End If
x = x + i ‘Estas líneas son importantes. Engendran los distintos triangulares
i = i + 1 ‘Así x será siempre triangular
Wend
sumatriang = resul
End Function

La función estriangular tiene este código, que se basa en que ocho triangulares iguales más una unidad equivale a un cuadrado:

Function estriangular(n) As Boolean
Dim a
If escuad(8 * n + 1) Then estriangular = True Else estriangular = False
End Function

Si organizamos un bucle de búsqueda con la función sumatriang obtenemos los números que son suma de dos triangulares:

Están contenidos en http://oeis.org/A051533

Un caso interesante es aquel en el que el número dado es también triangular. Los tienes en https://oeis.org/A089982:

6, 21, 36, 55, 66, 91, 120, 136, 171, 210, 231, 276, 351, 378, 406, 496, 561, 666, 703, 741, 820, 861, 946, 990, 1035, 1081, 1176, 1225, 1326, 1378, 1431, 1485, 1540, 1596, 1653,…

Puedes conseguirlos añadiendo la condición de que sea triangular n en la función sumatriang.

Diferencia de triangulares

Esta cuestión es más complicada para organizar un algoritmo, pues no sabemos hasta dónde llegar en la búsqueda del minuendo triangular. Es preferible acudir a esta consideración:

Sean los triangulares p(p+1)/2 y q(q+1)/2. Si su diferencia es N, será p(p+1)/2-q(q+1)/2=N; p^2+p-q^2-q=2N; (p-q)(1+p+q)=2N, luego p-q divide a 2N. Si p-q=1, bastará con que 1+p+q=2N, pero esto se cumple siempre, ya que p y q tienen distinta paridad, luego 1+p+q puede ser par.

Si p=q+1, la cuestión se reduce a (q+1)^2+q+1-q^2-q=2q+1+1=2N; q+1=N y q=N-1.

Así tendremos que N(N+1)/2-(N-1)N/2=N

Todo número natural es diferencia de dos triangulares

La segunda parte de la cuestión ha resultado banal, luego en lugar de buscar suma y diferencia de triangulares, habría bastado con la primera parte, la de la suma, que ya está estudiada.

Pasamos a otro tipo.

Con cuadrados

La cuestión de la descomposición de un número en suma de cuadrados ya está resuelta desde Fermat y Gauss. Lo estudiamos en

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2010/10/en-cuantas-sumas-de-cuadrados-2-de-5.html

El criterio más práctico es: sólo se pueden descomponer en cuadrados los números en los que los factores primos del tipo 4n+3 figuren en su descomposición con exponente par.

No viene mal obtener un listado de esos números. Se puede acudir a la descomposición en factores primos o reproducir para cuadrados la función sumatriang. Lo haremos de esta segunda forma. Basta adaptar esa función para cuadrados. El cambio mayor consiste en que la variable i no crece según los números naturales, sino mediante los impares. Quedaría así la nueva función:

Public Function sumacuadrados$(n)
Dim x, i
Dim resul$

x = 1: i = 3: resul = "NO"
While x <= n / 2 And resul = "NO"
If escuad(n - x) Then
resul = Str$(x) + ", " + Str$(n - x)
End If
x = x + i
i = i + 2
Wend
sumacuadrados = resul
End Function

Con ella obtenemos un listado de los números que se descomponen en dos cuadrados, junto con sus factores primos:

Observamos que los factores primos son del tipo 4k+1 o bien, como en el caso del 18 o el 45, del tipo 4k+3 con exponente par.

Un listado más completo lo puedes estudiar en http://oeis.org/A000404:
2, 5, 8, 10, 13, 17, 18, 20, 25, 26, 29, 32, 34, 37, 40, 41, 45, 50, 52, 53, 58, 61, 65, 68, 72, 73, 74, 80, 82, 85, 89, 90, 97, 98, 100, 101, 104, 106, 109, 113, 116, 117, 122, 125, 128, 130, 136, 137, 145, 146, 148, 149, 153, 157, 160, 162, 164, 169,…

Esto resuelve la primera parte de la cuestión. Pasamos a la diferencia:

Diferencia de cuadrados

Si N=p^2-q^2, tendremos N=(p+q)(p-q), luego p+q y p-q son divisores de N. Si p-q=1, p+q=N, por lo que podemos afirmar (y es bien conocido) que N es impar e igual a la diferencia (K+1)^2-K^2, siendo K=(N-1)/2, o lo que es lo mismo, N=((N+1)/2)2-((N-1)/2)2. Así, por ejemplo, 13=72-62

Si N es par, p-q puede valer 2, con lo que p=q+2 y N=(2q+2)*2, lo que implica que N es múltiplo de 4. También es conocido que los números múltiplos de 2 pero no de 4 no equivalen a una diferencia de cuadrados.

Un estudio completo de la situación  lo tienes en

http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/01/numero-de-descomposiciones-en.html

Así que en el listado anterior habría que suprimir todos los pares no múltiplos de 4. Con esta operación obtenemos el siguiente listado definitivo de los números que son a la vez suma y diferencia de cuadrados:

5, 8, 13, 17, 20, 25, 29, 32, 37, 40, 41, 45, 52, 53, 61, 65, 68, 72, 73, 80, 85, 89, 97, 100, 101, 104, 109, 113, 116, 117, 125, 128, 136, 137, 145, 148, 149, 153, 157, 160, 164, 169, 173, 180, 181, 185, 193, 197, 200, 205, 208, 212, 221, 225, 229, 232, 233,…

http://oeis.org/A097268

Podríamos completar el algoritmo de la función sumacuadrados, pero es preferible el estudio teórico que hemos desarrollado. Lo dejamos como ejercicio.