Proseguimos el estudio de los poligonales centrados. Ya estudiamos los triangulares, por lo que pasamos ahora a los cuadrados.
Vimos en la entrada anterior que la suma 1+4+8+12+16+…, que se forma añadiendo 4 unidades a cada sumando, forma, con sus sumas parciales, la sucesión 1, 5, 13, 25, 41,…, que serían los números “cuadrados centrados”.
Los primeros términos son:
1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381,...y están publicados en http://oeis.org/A001844
Con nuestra calculadora Calcupol puedes recorrerlos uno a uno. La puedes descargar desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm#figurados
Fijas en la parte derecha “Centrado” y orden 4. Borras la pantalla con CA y escribes 1
Como en el caso de los triangulares, con cada pulsación de la tecla PROX irás obteniendo los siguientes cuadrados centrados: 5, 13, 25,...
Si en la expresión de los poligonales centrados
sustituimos n por 4 nos resultará la expresión de los cuadrados centrados:
Esta fórmula presenta una interpretación sencilla, pues equivale a la suma de dos cuadrados consecutivos. Así, 25=16+9, o 13=9+4. Si recordamos que los cuadrados son sumas de impares, con esta propiedad podemos engendrar los cuadrados centrados como una suma creciente y decreciente de impares. Lo vemos con el 61:
61=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1
Con un poco de Álgebra es fácil ver que es válida también esta otra expresión:
Así, el término 5 equivaldrá a (81+1)/2=41, como puedes comprobar en el listado. También 41 es suma de cuadrados: 41=26+16
Lo podemos expresar también como que el doble de un cuadrangular menos una unidad es un cuadrado perfecto. Esto convierte a un cuadrado centrado N en la hipotenusa de un triangulo rectángulo con un cateto igual a N-1. En efecto, N² - (N-1)² = 2N-1 es un cuadrado. Por ejemplo:
41² - 40² = 1681 – 1600 = 81 = 9²
Pentagonales centrados
Al igual que en los casos anteriores, partimos de la sucesión formada por el 1 y los múltiplos de 5, ya que en un pentagonal centrado se van añadiendo polígonos de cinco lados aumentando una unidad en cada caso: 1+5+10+15+20. Las sumas parciales formarán los pentagonales centrados (PC(n)):
1, 6, 16, 31, 51,…
Los primeros pentagonales centrados son:
1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601, 681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891, 2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976,…
Están publicados en http://oeis.org/A005891
Para conseguir su expresión podemos acudir a la interpolación polinómica. Como ya la hemos usado en casos anteriores, sólo insertaremos una captura de pantalla:
Vemos que dará lugar a un polinomio de segundo grado. Leemos los coeficientes:
P(x)=1+5*(x-1)+5/2*(x-1)(x-2)=(5n^2+5n+2)/2
Así que
Basta observar la fórmula para darse cuenta de que todos estos números son congruentes con la unidad módulo 5. Así 16=5*3+1, 76=5*15+1,...Ya sabemos que sus diferencias son múltiplos de 5.
También es sencillo comprobar que los coeficientes del 5 en la anterior expresión son todos números triangulares, ya que PC(n)=5n(n+1)/2+1.
Hexagonales centrados
La definición de estos números coincide con la de los anteriores, pero añadiendo a cada uno de ellos un hexágono nuevo (o múltiplo de 6)
Dejamos como ejercicio comprobar que su expresión es
HC(n)=(n+1)3-n3
Con ella podemos desarrollar la sucesión de hexagonales centrados:
1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721, 817, 919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107, 2269, 2437, 2611, 2791, 2977, 3169, 3367, 3571, 3781, 3997
(http://oeis.org/A003215)
La expresión obtenida equivale claramente a una diferencia de cubos consecutivos. En efecto, 7=2³-1³, 19=3³-2³=27-8, 37=4³-3³=64-27
Propiedad combinatoria
Sumas iguales a cero
Benoit Cloitre propone en la página OEIS citada que los números de la sucesión se corresponden con el número de tripletes ordenados de enteros (a,b,c),con -n <= a,b,c <= n, tales que a+b+c=0. Esta propiedad está expresada si el primer índice de la sucesión es cero, por lo que debemos aplicarla a n-1.
Por ejemplo, en el caso de n=3, HC(3)=19 coincidirá con el número de sumas de tres sumandos comprendidos entre -2 y 2 cuya suma sea 0.
Podemos comprobar esta propiedad con nuestra hoja Cartesius
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrcomb.htm#cartesius
El planteo sería muy simple:
xtotal=3
Xt=-2..2
Suma=0
Aunque no hayas usado nunca esta hoja Cartesius, entenderás que se fija un número de sumandos igual a 3, comprendidos entre -2 y 2 y cuya suma sea 0.
Introducimos este planteo en la hoja
Pulsamos el botón Iniciar y obtenemos las 19 sumas esperadas:
Esta propiedad se puede demostrar por inducción. Ya hemos comprobado para n=3. Para n=2 basta con que recorras el listado de sumas y te quedes con las que tienen máximo 1. Las contamos y resultan 7, y es trivial que para el caso n=1 sólo obtenemos un caso. Con esto se comprueba para los casos 1, 2 y 3.
Para el caso n, podemos pasar al caso n+1, con lo que hay que añadir los elementos -(n+1) y n+1. Las nuevas sumas pueden ser de tres clases:
Si contienen -(n+1) y n+1, el tercer sumando será 0, y reordenando nos resultan 6 sumas nuevas.
Si sólo contiene el sumando -(n+1), deberá estar acompañado por todos los sumandos positivos entre 1 y n que sumen n+1. Existen n sumas ordenadas de ese tipo, y el sumando -(n+1) se puede situar en 3 posiciones, luego aparecerán 3n sumas nuevas.
El tercer caso también abarcará 3n sumas. Reunimos los tres casos y nos resulta 3n+3n+6=6(n+1), luego efectivamente, se añadirá un múltiplo de 6 al término anterior, lo que lo convierte en el siguiente hexagonal centrado.
Una propiedad aritmética
Las medias parciales de los k primeros términos coinciden con k².
Está basada en un inicio para n=0, por lo que usaremos n en lugar de n+1 en la demostración.
Esta propiedad se verifica en los primeros términos:
(1+7)/2 = 4 = 2²
(1+7+19)/3 = 9 = 3²
Si lo suponemos cierto para n, deberemos demostrar que la siguiente media coincide con (n+1)². Usaremos la expresión general aplicada al término n.
M(n+1)=S(n+1)/(n+1)=(S(n)+3n²+3n+1)/(n+1)=(n*n²+3n²+3n+1)/(n+1) = (n+1)³/(n+1) = (n+1)².
Es evidente que hemos demostrado de paso que las sumas parciales coinciden con n³
Aquí dejamos los poligonales centrados.
Con esta muestra podrás investigar más sobre el tema.
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