Operandos simétricos (2)

En la anterior entrada estudiamos los pares de números de dos cifras cuyo producto no cambia si se invierten las mismas, como 48*63=84*36=3024. Abordaremos hoy la misma cuestión sustituyendo la operación de producto por otras. Comenzamos con la suma de cuadrados, que también presenta la misma propiedad en algunos casos, como 14^2+87^2=41^2+78^2=7765. Seguiremos los mismos pasos de estudio que recorrimos con el producto, pero más simplificados.

Operación Suma de cuadrados

Estos son los números menores de 100 que conservan el resultado de la suma de sus cuadrados aunque se altere el orden de las cifras. La tabla contiene los dos números y el resultado de la operación:

Para encontrarlos basta modificar ligeramente la función EQUISIM (ver entrada anterior). La podemos codificar así:

Function equisim(m, n)
Dim a, b, c

a = cifrainver(m) 'Invertimos las cifras
b = cifrainver(n)
c = m ^ 2 + n ^ 2 'Calculamos la suma de cuadrados
If c = a ^ 2 + b ^ 2 Then equisim = c Else equisim = 0 'Si coinciden se devuelve el producto y si no, un cero
End Function

Hemos aplicado esta función a todos los pares de números de dos cifras distintos y nos ha resultado la tabla de arriba.

Relación entre las cifras

Al igual que en el producto encontramos una relación sencilla entre las cifras que se invierten, en este caso obtenemos otra muy similar. Como en el caso anterior, basta un poco de Álgebra:

(10*a+b)^2+(10*m+n)^2=(10*b+a)^2+(10*n+m)^2

Desarrollamos y simplificamos y queda:

99(a²-b²)=99(n²-m²)

a²-b²=n²-m²

Lo comprobamos en algún ejemplo: 51²+57²=15²+75² y se cumple que 5²-1² = 7²-5² = 24 y con 27 y 96 se cumple que 7²-2²=49-4=45 y 9²-6²=81-36=45

Hemos resumido la situación creando una tabla con todas las diferencia de cuadrados que son posibles entre cifras. Están destacados en rojo los pares repetidos, que son los que nos valen para este caso:

Cualquier par de diferencias equivalentes generará ejemplos de la tabla. Faltarán {03, 54} y {04, 53} por haber reducido la búsqueda al caso de dos cifras.


Operación a²+a*b+b²

Otra operación simétrica que nos ha producido resultados es a²+a*b+b², o lo que es equivalente, (a³-b³)/(a-b). Con las mismas técnicas, que no repetiremos, se pueden obtener los números de dos cifras que presentan simetría en las mismas para esta operación.

Son estos:

Hemos publicado en Twitter un ejemplo bastante atractivo:

También podemos emprender un estudio algebraico, para ver la relación entre cifras (nos limitamos al caso de dos)

(10*a+b)^2+(10*a+b)*(10*m+n)+(10*m+n)^2=(10*b+a)^2+(10*b+a)*(10*n+m)+(10*n+m)^2

Desarrollamos con simplificación y nos resulta, como era previsible:

a²+am+m²=b²+bn+n²

También aquí se ha efectuado la comprobación con una tabla de doble entrada:

Con diferencias de cuadrados

Al igual que en las anteriores operaciones, basta adaptar la función EQUISIM. Nos han resultado bastantes pares:

14 78 5888
15 57 3024
17 48 2015
26 79 5565
27 69 4032
30 54 2016
40 53 1209
41 87 5888
51 75 3024
62 97 5565
71 84 2015
72 96 4032

Ejemplos:

69²-27²=96²-72²=4032
87²-41²=78²-14²=5888
75²-51²=57²-15²=3024

Puedes relacionar este caso con el del producto, que ya vimos en la entrada anterior. Podemos aprovechar que la diferencia de cuadrados equivale a suma por diferencia. Lo hemos iniciado, pero la condición de que ambos factores tengan la misma paridad impide una correspondencia clara entre ambas operaciones.


Con suma simétrica a²+b²+a²

Terminamos este catálogo de operaciones con sumas simétricas, como

13²+53²+13²=31²+35²+31²=3147

Sin dar detalles, que puedes reproducir fácilmente, he aquí la tabla de resultados simétricos equivalentes. Basta hacer corresponder los pares que producen un mismo resultado:


20 13 969
13 40 1938
13 53 3147
31 35 3147
24 51 3753
42 15 3753
40 26 3876
15 71 5491
51 17 5491
35 62 6294
53 26 6294
24 75 6777
42 57 6777
15 84 7506
51 48 7506
26 80 7752
60 39 8721
40 79 9441
46 73 9561
64 37 9561
37 91 11019
73 19 11019
57 71 11539
75 17 11539
35 97 11859
53 79 11859
57 84 13554
75 48 13554
68 95 18273
86 59 18273
79 80 18882